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第二章 §2.13 函数模型的应用-2025年新高考数学一轮复习（课件+讲义+练习）
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1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§2.13 函数模型的应用
1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.三种函数模型的性质
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.( )(2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%，第二天跌了10%，则员工甲不赚不赔.( )(3)已知a>1，在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax的增长速度会超过并远远大于y＝xa和y＝lgax的增长速度.( )(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.( )
2.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是A.y＝100x B.y＝lg100xC.y＝x100 D.y＝100x
根据函数特点可知，指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，底数大于1的指数函数增长速度最快.
3.(2024·南宁联考)有一组实验数据如表：
则体现这组数据的最佳函数模型是
通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快，A，B选项中的函数增长速度越来越慢，不正确；C选项中，当x＝6时，y≈21.33；D选项中，当x＝6时，y＝18，误差偏大，故C选项正确.
4.(2023·福州模拟)我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)＝－5t2＋15t＋20，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为A.26米 B.28米C.31米 D.33米
题型一 用函数图象刻画变化过程
例1 (1)(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是A.首次服用1单位该药物，约10分 钟后药物发挥治疗作用B.每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒C.首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药 物持续发挥治疗作用D.首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒
从图象中可以看出，首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用1单位该药物，约1小时后血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；
服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误.
(2)在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1,2，…，11)，并由实验数据得到散点图.由此散点图，在区间[－2,3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是
由散点图的定义域可排除C，D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型.
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
跟踪训练1 如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是
函数图象大致如A选项所示.
题型二 已知函数模型的实际问题
例2 (1)(2023·南京模拟)目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的A.6倍 B.102倍C.103倍 D.106倍
设里氏8.0级地震所释放出来的能量为E1，里氏6.0级地震所释放出来的能量为E2，则lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8，E1＝1016.8；lg E2＝4.8＋1.5×6＝13.8，E2＝1013.8，
(2)(2023·无锡模拟)根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1 mg/m3为安全范围.已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05 mg/m3，使用了甲醛喷剂并处于良好通风环境下时，室内甲醛浓度μ(t)(单位：mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间t(t∈N)(单位：天)近似满足函数关系式μ(t)＝ ＋0.05(λ∈R)，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)A.32天 B.33天C.34天 D.35天
依题意可知当t＝0时，μ(t)＝6.05，
即6.05＝ ＋0.05，解得λ＝6，
所以μ(t)＝ ＋0.05，
由μ(t)＝ ＋0.05≤0.1，
所以t≥33.6，又t∈N，所以tmin＝34，至少需要放置的时间为34天.
已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
跟踪训练2 (2023·西安模拟)某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为M＝M0e－kt(其中M0，k是正常数).已知经过1 h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤掉60%的污染物所需的时间约为(参考数据：lg 2≈0.301)A.3 h B.4 h C.5 h D.6 h
由题意可知(1－20%)M0＝M0e－k，所以e－k＝0.8，由(1－60%)M0＝M0e－kt，得0.4＝e－kt＝(e－k)t＝0.8t，
题型三 构造函数模型的实际问题
例3 (2024·文山模拟)汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段(如图所示)，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(单位：m/s)，且0≤v≤33.3时，
通过大数据统计分析得到下表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9).
(1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式；
(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于90 m，则汽车的行驶速度应限制在多少以下？
根据题意，对任意的k∈[0.5,0.9]，d<90恒成立，
易知当v＝0时，满足题意；
即v2＋10v－600<0，解得－30
跟踪训练3 “打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为20 m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的85%，若石片接触水面时的速度低于6 m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，lg 17≈1.23)A.6 B.7 C.8 D.9
设石片第n次接触水面时的速度为vn，则vn＝20×0.85n－1，由题意得20×0.85n－1≥6，即0.85n－1≥0.3，得n－1≤lg0.850.3，
所以n≤8.4，故这次“打水漂”石片的弹跳次数为8.
一、单项选择题1.(2023·内江模拟)现有一组关于速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的实验数据如表：
用下列函数中的一个近似地表示这组数据满足的规律，其中最接近的一个是
从表中数据的变化趋势看，函数递增的速度不断加快，A项，是对数函数模型，其递增速度越来越慢，不符合题意；B项，随着t的增大，速度变小，不符合题意，C项，是二次函数模型，对比数据，其最接近实验数据的变化趋势，符合题意；D项，是一次函数模型，增长速度不变，不符合题意.
2.(2023·广安模拟)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是
在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且单调递增，故排除A，D；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，故排除B；能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是C.
3.(2023·赤峰模拟)心理学家经常用函数L(t)＝A(1－e－kt)测定时间t(单位：min)内的记忆量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率.已知一个学生在5 min内需要记忆200个单词，而他的记忆量为20个单词，则该生的记忆率k约为(ln 0.9≈－0.105，ln 0.1≈－2.303)
由题意可得20＝200(1－e－5k)，
4.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d(x)(单位：dB)与声强x(单位：W/m2)满足d(x)＝ .若人交谈时的声强级约为50 dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为A.130 dB B.140 dBC.150 dB D.160 dB
设人交谈时的声强为x1，则火箭发射时的声强为109x1，
则火箭发射时的声强为109×10－7＝102，
故火箭发射时的声强级约为140 dB.
5.某次购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，优惠方案如下：(1)如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；(2)如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；(3)如果购物总额超过 100元但不超过300元，则按该次购物总额的9折优惠；(4)如果购物总额超过300元，其中300元内的按第(3)条给予优惠，超过 300元的部分给予8折优惠.某人购买了部分商品，则下列说法不正确的是A.如果购物总额为78元，则应付款73元B.如果购物总额为228元，则应付款205.2元C.如果购物总额为368元，则应付款294.4元D.如果购物时一次性应付款442.8元，则购物总额为516元
若购物总额为78元，则应付款78－5＝73(元)，故A正确；若购物总额为228元，则应付款228×0.9＝205.2(元)，故B正确；若购物总额为368元，则应付款300×0.9＋68×0.8＝324.4(元)，故C错误；
A.26万元 B.44万元C.48万元 D.72万元
设甲城市投资a万元，则乙城市投资(120－a)万元，
解得40≤a≤80，设投资这两座城市收益为y，
二、多项选择题7.(2023·潍坊模拟)图①是某大型游乐场的游客人数x(万人)与收支差额y(万元)(门票销售额减去投入的成本费用)的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是
A.图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元B.图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支 恰好平衡C.图②游乐场实行的措施是降低门票的售价D.图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用
图①中点A的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，故A正确；图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，故B正确；图②游乐场实行的措施是提高门票的售价，故C错误；图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，故D正确.
8.(2024·宿迁模拟)某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费.抽奖结果共分五个等级，等级x与购物卡的面值y(元)的关系式为y＝eax＋b＋k，三等奖比四等奖的面值多100元，比五等奖的面值多120元，且四等奖的面值是五等奖面值的3倍，则A.a＝－ln 5B.k＝15C.一等奖的面值为3 130元D.三等奖的面值为130元
由题意可知，四等奖比五等奖的面值多20元，因为100÷20＝5，
则a＝－ln 5，故A正确；由(e3a＋b＋k)－(e4a＋b＋k)＝e3a＋b(1－ea)＝100，可知e3a＋b＝125.因为四等奖的面值是五等奖面值的3倍，
所以e4a＋b＋k＝3(e5a＋b＋k)，解得k＝5，故B错误；则三等奖的面值为e3a＋b＋k＝125＋5＝130(元)，故D正确；由ea＋b＋k＝e3a＋b·e－2a＋k＝125×25＋5＝3 130，故一等奖的面值为3 130元，故C正确.
三、填空题9.某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可行3 km(含3 km)，3 km后到10 km(含10 km)每多走1 km(不足1 km按1 km计)加价0.5元，10 km后每多走1 km加价0.8元，某人坐出租车走了12 km，他应付________元.
结合已知条件可知，某人坐出租车走了12 km，应付6＋(10－3)×0.5＋(12－10)×0.8＝11.1(元).
10.(2023·西安模拟)某市拟建造一批外形为长方体的工作房，如图所示.房子的高度为3 m，占地面积为6 m2，墙体ABFE和DCGH的造价均为800 元/m2，墙体ADHE和BCGF的造价均为1 200 元/m2，地面和房顶的造价共20 000元.则一个这样的工作房的总造价最低为________元.
所以一个这样的工作房的总造价最低为48 800元.
11.某商场为了实现100万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在利润达到5万元后，奖金y(单位：万元)随利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%，现有三个奖励模型：①y＝0.2x，②y＝lg5x，③y＝1.02x，则符合该商场要求的模型为________.(填序号)
在同一平面直角坐标系中作出函数y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x的图象，如图所示.观察图象可知，在区间[5,100]内，函数y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有函数y＝lg5x的图象始终在直线y＝3和y＝0.2x的下方，所以按模型y＝lg5x进行奖励符合商场的要求.
12.(2024·海南模拟)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2 mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2 mg/cm3，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.477)________.
过滤第1次污染物的含量为1.2×(1－0.2)(mg/cm3)；过滤第2次污染物的含量为1.2×(1－0.2)2(mg/cm3)；过滤第3次污染物的含量为1.2×(1－0.2)3(mg/cm3)；…过滤第n次污染物的含量为1.2×(1－0.2)n(mg/cm3).要求废气中该污染物的含量不能超过0.2 mg/cm3，
因为lg 2≈0.3，lg 3≈0.477，
所以n≥7.77，又n∈N*，所以nmin＝8，故排放前需要过滤的次数至少为8.
四、解答题13.(2024·株洲模拟)研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示，当x∈[0,16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16,40]时，曲线是函数y＝lg0.8(x＋a)＋80图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.(1)求函数y＝f(x)的解析式；
当x∈[0,16]时，设函数f(x)＝b(x－12)2＋84(b<0)，因为f(16)＝b(16－12)2＋84＝80，
当x∈[16,40]时，f(x)＝lg0.8(x＋a)＋80，由f(16)＝lg0.8(16＋a)＋80＝80，解得a＝－15，所以f(x)＝lg0.8(x－15)＋80，
(2)在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(参考数据：0.8－12≈14.6，精确到1分钟)
当x∈[0,16]时，
即(x－12)2≥64，解得x≤4或x≥20(舍去)，所以x∈[0,4]；当x∈[16,40]时，令f(x)＝lg0.8(x－15)＋80≤68，得x≥15＋0.8－12≈29.6，所以x∈[30,40]，所以学生处于“欠佳听课状态”的时长为4－0＋40－30＝14(分钟).
14.(2023·惠州模拟)近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内(以30天计)，每件的销售价格P(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)＝10＋ (k为常数，且k>0,1≤x≤30，x∈N*)，日销售量Q(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如表所示：
已知第10天的日销售收入为505元.(1)给出以下四个函数模型：①Q(x)＝ax＋b；②Q(x)＝a|x－m|＋b；③Q(x)＝a－bx；④Q(x)＝a·lgbx.请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
由表格中的数据知，当时间x变长时，Q(x)先增后减，①③④函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型.所以选择函数模型②：Q(x)＝a|x－m|＋b.由Q(15)＝Q(25)，可得|15－m|＝|25－m|，解得m＝20，
则日销售量Q(x)与时间x的关系式为Q(x)＝－|x－20|＋60(1≤x≤30，x∈N*).
(2)设该工艺品的日销售收入为f(x)(单位：元)，求f(x)的最小值.
因为第10天的日销售收入为505元，
由(1)知Q(x)＝－|x－20|＋60
则f(x)＝P(x)·Q(x)
当1≤x≤20，x∈N*时，
当20
1、揣摩例题。课本上和老师讲解的例题，一般都具有一定的典型性和代表性。要认真研究，深刻理解，要透过“样板”，学会通过逻辑思维，灵活运用所学知识去分析问题和解决问题，特别是要学习分析问题的思路、解决问题的方法，并能总结出解题的规律。 2、精练习题。复习时不要搞“题海战术”，应在老师的指导下，选一些源于课本的变式题，或体现基本概念、基本方法的基本题，通过解题来提高思维能力和解题技巧，加深对所学知识的深入理解。在解题时，要独立思考，一题多思，一题多解，反复玩味，悟出道理。 3、加强审题的规范性。每每大考过后，总有同学抱怨没考好，纠其原因是考试时没有注意审题。审题决定了成功与否，不解决这个问题势必影响到高考的成败。那么怎么审题呢? 应找出题目中的已知条件 ;善于挖掘题目中的隐含条件 ;认真分析条件与目标的联系，确定解题思路 。 4、重视错题。“错误是最好的老师”，但更重要的是寻找错因，及时进行总结，三五个字，一两句话都行，言简意赅，切中要害，以利于吸取教训，力求相同的错误不犯第二次。
§2.13 函数模型的应用
1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
1.三种函数模型的性质
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.( )(2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%，第二天跌了10%，则员工甲不赚不赔.( )(3)已知a>1，在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax的增长速度会超过并远远大于y＝xa和y＝lgax的增长速度.( )(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.( )
2.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是A.y＝100x B.y＝lg100xC.y＝x100 D.y＝100x
根据函数特点可知，指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，底数大于1的指数函数增长速度最快.
3.(2024·南宁联考)有一组实验数据如表：
则体现这组数据的最佳函数模型是
通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增长的速度越来越快，A，B选项中的函数增长速度越来越慢，不正确；C选项中，当x＝6时，y≈21.33；D选项中，当x＝6时，y＝18，误差偏大，故C选项正确.
4.(2023·福州模拟)我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)＝－5t2＋15t＋20，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为A.26米 B.28米C.31米 D.33米
题型一 用函数图象刻画变化过程
例1 (1)(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示：
根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是A.首次服用1单位该药物，约10分 钟后药物发挥治疗作用B.每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒C.首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药 物持续发挥治疗作用D.首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒
从图象中可以看出，首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用1单位该药物，约1小时后血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；
服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；首次服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误.
(2)在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i＝1,2，…，11)，并由实验数据得到散点图.由此散点图，在区间[－2,3]上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是
由散点图的定义域可排除C，D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型.
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.
跟踪训练1 如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y的函数y＝f(x)的图象大致是
函数图象大致如A选项所示.
题型二 已知函数模型的实际问题
例2 (1)(2023·南京模拟)目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的A.6倍 B.102倍C.103倍 D.106倍
设里氏8.0级地震所释放出来的能量为E1，里氏6.0级地震所释放出来的能量为E2，则lg E1＝4.8＋1.5×8＝16.8，E1＝1016.8；lg E2＝4.8＋1.5×6＝13.8，E2＝1013.8，
(2)(2023·无锡模拟)根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度≤0.1 mg/m3为安全范围.已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05 mg/m3，使用了甲醛喷剂并处于良好通风环境下时，室内甲醛浓度μ(t)(单位：mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间t(t∈N)(单位：天)近似满足函数关系式μ(t)＝ ＋0.05(λ∈R)，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6)A.32天 B.33天C.34天 D.35天
依题意可知当t＝0时，μ(t)＝6.05，
即6.05＝ ＋0.05，解得λ＝6，
所以μ(t)＝ ＋0.05，
由μ(t)＝ ＋0.05≤0.1，
所以t≥33.6，又t∈N，所以tmin＝34，至少需要放置的时间为34天.
已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.
跟踪训练2 (2023·西安模拟)某化工企业为了响应并落实国家污水减排政策，加装了污水过滤排放设备，在过滤过程中，污染物含量M(单位：mg/L)与时间t(单位：h)之间的关系为M＝M0e－kt(其中M0，k是正常数).已知经过1 h，设备可以过滤掉20%的污染物，则过滤掉60%的污染物所需的时间约为(参考数据：lg 2≈0.301)A.3 h B.4 h C.5 h D.6 h
由题意可知(1－20%)M0＝M0e－k，所以e－k＝0.8，由(1－60%)M0＝M0e－kt，得0.4＝e－kt＝(e－k)t＝0.8t，
题型三 构造函数模型的实际问题
例3 (2024·文山模拟)汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离，当此距离等于报警距离时就开启报警提醒，等于危险距离时就自动刹车.某种算法将报警时间分为4段(如图所示)，分别为准备时间t0、人的反应时间t1、系统反应时间t2、制动时间t3，相应的距离分别为d0，d1，d2，d3，当车速为v(单位：m/s)，且0≤v≤33.3时，
通过大数据统计分析得到下表(其中系数k随地面湿滑程度等路面情况而变化，且0.5≤k≤0.9).
(1)请写出报警距离d(单位：m)与车速v(单位：m/s)之间的表达式；
(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于90 m，则汽车的行驶速度应限制在多少以下？
根据题意，对任意的k∈[0.5,0.9]，d<90恒成立，
易知当v＝0时，满足题意；
即v2＋10v－600<0，解得－30
跟踪训练3 “打水漂”是一种游戏，通过一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好.小赵同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为20 m/s，然后石片在水面上继续进行多次弹跳.不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的85%，若石片接触水面时的速度低于6 m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小赵同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.48，lg 17≈1.23)A.6 B.7 C.8 D.9
设石片第n次接触水面时的速度为vn，则vn＝20×0.85n－1，由题意得20×0.85n－1≥6，即0.85n－1≥0.3，得n－1≤lg0.850.3，
所以n≤8.4，故这次“打水漂”石片的弹跳次数为8.
一、单项选择题1.(2023·内江模拟)现有一组关于速度v(单位：m/s)与时间t(单位：s)的实验数据如表：
用下列函数中的一个近似地表示这组数据满足的规律，其中最接近的一个是
从表中数据的变化趋势看，函数递增的速度不断加快，A项，是对数函数模型，其递增速度越来越慢，不符合题意；B项，随着t的增大，速度变小，不符合题意，C项，是二次函数模型，对比数据，其最接近实验数据的变化趋势，符合题意；D项，是一次函数模型，增长速度不变，不符合题意.
2.(2023·广安模拟)在2 h内将某种药物注射进患者的血液中，在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减.能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是
在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为线段，且单调递增，故排除A，D；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减，故排除B；能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是C.
3.(2023·赤峰模拟)心理学家经常用函数L(t)＝A(1－e－kt)测定时间t(单位：min)内的记忆量L，其中A表示需要记忆的量，k表示记忆率.已知一个学生在5 min内需要记忆200个单词，而他的记忆量为20个单词，则该生的记忆率k约为(ln 0.9≈－0.105，ln 0.1≈－2.303)
由题意可得20＝200(1－e－5k)，
4.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级d(x)(单位：dB)与声强x(单位：W/m2)满足d(x)＝ .若人交谈时的声强级约为50 dB，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为109，则火箭发射时的声强级约为A.130 dB B.140 dBC.150 dB D.160 dB
设人交谈时的声强为x1，则火箭发射时的声强为109x1，
则火箭发射时的声强为109×10－7＝102，
故火箭发射时的声强级约为140 dB.
5.某次购物节中，某电商对顾客实行购物优惠活动，优惠方案如下：(1)如果购物总额不超过50元，则不给予优惠；(2)如果购物总额超过50元但不超过100元，可以使用一张5元优惠券；(3)如果购物总额超过 100元但不超过300元，则按该次购物总额的9折优惠；(4)如果购物总额超过300元，其中300元内的按第(3)条给予优惠，超过 300元的部分给予8折优惠.某人购买了部分商品，则下列说法不正确的是A.如果购物总额为78元，则应付款73元B.如果购物总额为228元，则应付款205.2元C.如果购物总额为368元，则应付款294.4元D.如果购物时一次性应付款442.8元，则购物总额为516元
若购物总额为78元，则应付款78－5＝73(元)，故A正确；若购物总额为228元，则应付款228×0.9＝205.2(元)，故B正确；若购物总额为368元，则应付款300×0.9＋68×0.8＝324.4(元)，故C错误；
A.26万元 B.44万元C.48万元 D.72万元
设甲城市投资a万元，则乙城市投资(120－a)万元，
解得40≤a≤80，设投资这两座城市收益为y，
二、多项选择题7.(2023·潍坊模拟)图①是某大型游乐场的游客人数x(万人)与收支差额y(万元)(门票销售额减去投入的成本费用)的函数图象，销售初期该游乐场为亏损状态，为了实现扭亏为盈，游乐场采取了两种措施，图②和图③中的虚线为采取了两种措施后的图象，则下列说法正确的是
A.图①中点A的实际意义表示该游乐场的投入的成本费用为1万元B.图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，该游乐场的收支 恰好平衡C.图②游乐场实行的措施是降低门票的售价D.图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用
图①中点A的实际意义表示游乐场的投入成本为1万元，故A正确；图①中点B的实际意义表示当游客人数为1.5万人时，游乐场的收支恰好平衡，故B正确；图②游乐场实行的措施是提高门票的售价，故C错误；图③游乐场实行的措施是减少投入的成本费用，故D正确.
8.(2024·宿迁模拟)某大型商场开业期间为吸引顾客，推出“单次消费满100元可参加抽奖”的活动，奖品为本商场现金购物卡，可用于以后在该商场消费.抽奖结果共分五个等级，等级x与购物卡的面值y(元)的关系式为y＝eax＋b＋k，三等奖比四等奖的面值多100元，比五等奖的面值多120元，且四等奖的面值是五等奖面值的3倍，则A.a＝－ln 5B.k＝15C.一等奖的面值为3 130元D.三等奖的面值为130元
由题意可知，四等奖比五等奖的面值多20元，因为100÷20＝5，
则a＝－ln 5，故A正确；由(e3a＋b＋k)－(e4a＋b＋k)＝e3a＋b(1－ea)＝100，可知e3a＋b＝125.因为四等奖的面值是五等奖面值的3倍，
所以e4a＋b＋k＝3(e5a＋b＋k)，解得k＝5，故B错误；则三等奖的面值为e3a＋b＋k＝125＋5＝130(元)，故D正确；由ea＋b＋k＝e3a＋b·e－2a＋k＝125×25＋5＝3 130，故一等奖的面值为3 130元，故C正确.
三、填空题9.某城市出租车按如下方法收费：起步价6元，可行3 km(含3 km)，3 km后到10 km(含10 km)每多走1 km(不足1 km按1 km计)加价0.5元，10 km后每多走1 km加价0.8元，某人坐出租车走了12 km，他应付________元.
结合已知条件可知，某人坐出租车走了12 km，应付6＋(10－3)×0.5＋(12－10)×0.8＝11.1(元).
10.(2023·西安模拟)某市拟建造一批外形为长方体的工作房，如图所示.房子的高度为3 m，占地面积为6 m2，墙体ABFE和DCGH的造价均为800 元/m2，墙体ADHE和BCGF的造价均为1 200 元/m2，地面和房顶的造价共20 000元.则一个这样的工作房的总造价最低为________元.
所以一个这样的工作房的总造价最低为48 800元.
11.某商场为了实现100万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在利润达到5万元后，奖金y(单位：万元)随利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%，现有三个奖励模型：①y＝0.2x，②y＝lg5x，③y＝1.02x，则符合该商场要求的模型为________.(填序号)
在同一平面直角坐标系中作出函数y＝0.2x，y＝lg5x，y＝1.02x的图象，如图所示.观察图象可知，在区间[5,100]内，函数y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有函数y＝lg5x的图象始终在直线y＝3和y＝0.2x的下方，所以按模型y＝lg5x进行奖励符合商场的要求.
12.(2024·海南模拟)“环境就是民生，青山就是美丽，蓝天也是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为1.2 mg/cm3，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少20%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过0.2 mg/cm3，若要使该工厂的废气达标排放，那么在排放前需要过滤的次数至少为(参考数据：lg 2≈0.3，lg 3≈0.477)________.
过滤第1次污染物的含量为1.2×(1－0.2)(mg/cm3)；过滤第2次污染物的含量为1.2×(1－0.2)2(mg/cm3)；过滤第3次污染物的含量为1.2×(1－0.2)3(mg/cm3)；…过滤第n次污染物的含量为1.2×(1－0.2)n(mg/cm3).要求废气中该污染物的含量不能超过0.2 mg/cm3，
因为lg 2≈0.3，lg 3≈0.477，
所以n≥7.77，又n∈N*，所以nmin＝8，故排放前需要过滤的次数至少为8.
四、解答题13.(2024·株洲模拟)研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示，当x∈[0,16]时，曲线是二次函数图象的一部分；当x∈[16,40]时，曲线是函数y＝lg0.8(x＋a)＋80图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.(1)求函数y＝f(x)的解析式；
当x∈[0,16]时，设函数f(x)＝b(x－12)2＋84(b<0)，因为f(16)＝b(16－12)2＋84＝80，
当x∈[16,40]时，f(x)＝lg0.8(x＋a)＋80，由f(16)＝lg0.8(16＋a)＋80＝80，解得a＝－15，所以f(x)＝lg0.8(x－15)＋80，
(2)在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(参考数据：0.8－12≈14.6，精确到1分钟)
当x∈[0,16]时，
即(x－12)2≥64，解得x≤4或x≥20(舍去)，所以x∈[0,4]；当x∈[16,40]时，令f(x)＝lg0.8(x－15)＋80≤68，得x≥15＋0.8－12≈29.6，所以x∈[30,40]，所以学生处于“欠佳听课状态”的时长为4－0＋40－30＝14(分钟).
14.(2023·惠州模拟)近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内(以30天计)，每件的销售价格P(单位：元)与时间x(单位：天)的函数关系近似满足P(x)＝10＋ (k为常数，且k>0,1≤x≤30，x∈N*)，日销售量Q(单位：件)与时间x(单位：天)的部分数据如表所示：
已知第10天的日销售收入为505元.(1)给出以下四个函数模型：①Q(x)＝ax＋b；②Q(x)＝a|x－m|＋b；③Q(x)＝a－bx；④Q(x)＝a·lgbx.请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；
由表格中的数据知，当时间x变长时，Q(x)先增后减，①③④函数模型都描述的是单调函数，不符合该数据模型.所以选择函数模型②：Q(x)＝a|x－m|＋b.由Q(15)＝Q(25)，可得|15－m|＝|25－m|，解得m＝20，
则日销售量Q(x)与时间x的关系式为Q(x)＝－|x－20|＋60(1≤x≤30，x∈N*).
(2)设该工艺品的日销售收入为f(x)(单位：元)，求f(x)的最小值.
因为第10天的日销售收入为505元，
由(1)知Q(x)＝－|x－20|＋60
则f(x)＝P(x)·Q(x)
当1≤x≤20，x∈N*时，
当20
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