[数学]2021～2022学年新疆乌鲁木齐新市区乌鲁木齐市第七十中学高一下学期期末数学试卷(原题版+解析版)

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2021~2022学年新疆乌鲁木齐新市区乌鲁木齐市第七十中学高一下学期期末数学试卷
1. 若复数
为虚数单位 ，则
（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
B
因为
，
所以
，
，所以
故选：
2. 已知 、 是平面向量，下列命题正确的是（
）
A. 若
C. 若
，则
，则
B. 若
，则
D. 零向量与任何非零向量都不共线
答案
解析
C
【分析】
A，根据向量的定义判断；B.向量不能比较大小判断；C，若
，则
，由共线向量定理判断；D，由零向量与任一向量共线
判断.
【详解】
对于A，向量方向不相同则向量不相等，选项A错误；
对于B.向量不能比较大小，选项B错误；
对于C，若
，则
，
，选项C正确；
对于D，零向量与任一向量共线，选项D错误.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查平面向量的概念及线性运算，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.
3. 在四边形
中，若
，则该四边形的面积为（
）
A.
B.
C. 5
D. 10
答案
解析
D
解：
，
，
，
，
，
，
四边形
的面积
，
因此正确答案为：D．
4. 设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是
A. 若
B. 若
C. 若
D. 若
，
，
，则
，则
，则
，则
，
，
，
，
，
，
答案
解析
D
试题分析：
，
,因此正确答案为D.考点：点线面的位置关系.

5. 已知某地 、 、 三个村的人口户数及贫困情况分别如图（1）和图（2）所示，为了解该地三个村的贫困原因，当地政府决
定采用分层抽样的方法抽取 的户数进行调查，则样本容量和抽取 村贫困户的户数分别是（
）
A.
，
B.
，
C.
，
D.
，
答案
解析
B
由图 得样本容量为
户．
，抽取贫困户的户数为
户，则抽取 村贫困户的户数为
因此正确答案为B.
6. 通过模拟试验，产生了20组随机数：
如果恰有三个数在
中，则表示恰有三次击中目标，问四次射击中恰有三次击中目标的概率约为（
B. C. D.
）
A.
答案
解析
B
【分析】
确定四次射击恰有三次击中目标的随机数，即可求得结果
【详解】
这20组数中恰有三个数在
中的有，3013，2604，5725，6576，6754，共5组，
所以四次射击中恰有三次击中目标的概率约为
故选：B
，
7. 某单位组织“不忘初心，牢记使命”主题教育知识比赛，满分100分.统计20人的得分情况如图所示，若所有得分的中位数为
，平均数为 ，标准差为 ，则
的大小关系为（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
C
【分析】
根据中位数、平均数、标准差公式计算可得；
【详解】
解：由图可知 分的有 人， 分的有 人， 分的有 人， 分的有 人， 分的有 人，
分的有 人；
所以中位数
平均数
，
，
标准差为
，
所以
；
故选：C

8. 6张卡片上分别写有数字
从这6张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为偶数的概率为
（
）
A.
B.
C.
D.
答案
解析
C
【分析】
利用列举法列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得；
【详解】
解：从6张卡片上分别写有数字1，2，3，4，5，6，从这6张卡片中随机抽取2张的结果数如下
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
、
共15种结果，每种结果等可能出现，
记“取出的2张卡片上的数字之和为偶数”为事件 ，则 包含的结果有：
、
、
、
、
、
共 种结果，
所以
；
故选：C．
9. 掷一枚骰子，记事件A表示事件“出现奇数点”，事件B表示事件“出现4点或5点”，事件C表示事件“点数不超过3”，事件D
表示事件“点数大于4”，则
①事件A与B是独立事件
②事件B与C是互斥事件
③事件C与D是对立事件
④
，
以上为说法正确的有（
）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
答案
解析
B
【分析】
利用独立事件、互斥事件、对立事件的定义直接求解．
【详解】
解：掷一枚骰子，记事件 表示事件“出现奇数点”，事件 表示事件“出现4点或5点”，
事件 表示事件“点数不超过3”，事件 表示事件“点数大于4”，
对于①，
，
，
，
， 事件 与 是独立事件，故①正确；
对于②，事件 与事件 不能同时发生， 事件 与事件 是互斥事件，故②正确；
对于③，事件 与事件 不能同时发生，但能同时不发生，是互斥但不对立事件，故③错误；
对于④，
，故④错误．
故选：B．
10. 已知i为虚数单位，如果复数z满足
A. 1 B.
，那么
C. 2
的最小值是（
）
D.
答案
解析
A
设复数
， ，
在复平面内对应的点分别为 ， ， ，因为
（包括端点），如下图所示.
，
，所以复数 在复平面内对
应的点的轨迹为线段
问题转化为：动点Z在线段
.
上移动，求
的最小值.因此作
于 ，则 与 之间的距离即为所求的最小值，即

因此正确答案为：A.
11. 已知
是边长为2的等边三角形， 为平面
B.
内一点，则
的最小值是
A.
C.
D.
答案
解析
B
建立如下图所示的坐标系，以
中点为坐标原点，则
，
，
，
设
则
，则
，
，
，
当
，
时，取得最小值
．
，
因此正确答案为：
12. 中国有悠久的金石文化，印信是金石文化代表之一，印信的形状多为长方体､正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的
印信形状是“半正多面体”.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，古希腊著名数学家阿基米德研究过此类多
面体的性质，故半正多面体又被称为“阿基米德多面体”.半正多面体体现了数学的对称美，如图，是一个棱数为24的半正多面
体，它的所有顶点都在同一个正方体的棱上，且此正方体的棱长为1.则下列关于该多面体的说法中错误的是（
）
A. 多面体有12个顶点，14个面
C.
B. 多面体的表面积为3
D. 多面体有外接球（即经过多面体所有顶点的球）
多面体的体积为
答案
解析
B
解：一个棱数为24的半正多面体有12个顶点，14个面；可将半正多面体补成棱长为1的正方体，故其顶点是正方体各棱的中点．
半正多面体的棱长为
，表面积为
，
体积可看作正方体的体积减去八个三棱锥的体积，
则
，
又因为正方体的中心到多面体各顶点的距离相等，所以有外接球．
因此正确答案为：B．

13. 若
是关于 的方程
的一个根，则
.
答案
解析
4
【分析】
将
代入方程，然后求出 的值即可.
【详解】
因为
是关于 的方程
，所以
的一个根，
，
所以
，即
，
所以
故答案为：4
14. 连续投掷一颗骰子两次，第一次向上的点数比第二次向上的点数小的概率是
.
答案
解析
【分析】
利用列举法求解即可.
【详解】
连续投掷一颗骰子两次，总共有36种结果，
用 表示第一次向上的点数，用 表示第二次向上的点数，
满足
的有：
；
；
；
；
，共有 种情况，
所以连续投掷一颗骰子两次，第一次向上的点数比第二次向上的点数小的概率是
故答案为：
，
､ ､ ､ ､
都在同一球面上，则此球的体积
15. 正四棱锥
为
的底面边长和各侧棱长都为2，点
.
答案
解析
【分析】
正四棱锥的外接球球心在高上，而外接球球心到所有顶点距离相等，
所以该球的球心恰好为底面
积公式求出体积即可.
【详解】
的中心,计算出半径，再用球的体
正四棱锥
的底面边长和各侧棱长都为2,
都在同一球面上,
该球的球心恰好为底面
点
､ ､ ､ ､
的中心,
球的半径
,
此球的体积为
.
故答案为：
16. 如图，四棱锥
的底面为正方形，
底面
，则下列结论：
①
②
，
平面
，

③
与
所成的角等于
的大小为
所成的角的为
其中正确结论的序号是
与
所成的角，
④二面角
，
⑤
与平面
，
.
答案
解析
①②④
【分析】
根据线面垂直的性质、判定定理，二面角、线面角的定义一一判断即可；
【详解】
解：四棱锥
的底面为正方形，
底面
，
在①中，
底面
，底面
为正方形，
连接
，则
，根据三垂线定理，可得
，故①正确；
在②中，
，
平面
，
平面
，
平面
在③中，
平面
，故②正确；
，
，所以
平面
，
，
又
是正方形，所以
所成的角为
所成的角小于
平面
，又
，
，
平面
，
，所以
，
平面
，
平面
，所以
，
与
与
与
所成的角为
，
与
，
所成的角，故③错误；
平面 ，所以
在④中，
即
为二面角
的平面角，
又
是正方形，所以
，
，故④确．
平面
二面角
在⑤中，
又
的大小为
平面
，
，所以
，
是正方形，所以
，又
，
平面
，所以
平面
，
所以
为
与平面
所成的角，故⑤错误．
故答案为：①②④．
17. 某中学（含初高中6个年级）随机选取了 名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．
（Ⅰ）求 的值及样本中男生身高在
（单位:cm）的人数；
（Ⅱ）假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；
（Ⅲ）根据频率分布直方图估计该校男生身高的85%分位数.
答案
（Ⅰ）
，4；（Ⅱ）171.5cm；（Ⅲ）183 cm.

解析
（Ⅰ）通过题意，
解得
所以样本中学生身高在
.
．
内（单位: ）的人数为
（Ⅱ）设样本中男生身高的平均值为 ，则
．
估计该校男生的平均身高为
．
（Ⅲ）由
因为
，根据直方图，
所以样本中的85%分位数落在
设85%分位数为 ，则
内，
，
解得
.
所以估计该校男生身高的85%分位数为183 cm.
18. 如下图，在
中， 为边
上的一点，
，且
与
的夹角为
.
(1)求
(2)求
的模长
的值.
答案
解析
(1)
；(2)
.
（1）因为
因为
，所以
，
，
与
的夹角为
，
所以
所以
（2）
，
；
19. 如图所示，在长方体
中，
，
，
， 为
的中点.
(1)求证：平面
(2)求异面直线
平面
；
与
所成的角.
答案
解析
(1)证明见解析(2)
【分析】
（1）证明
（2）取
平面
的中点 ，连接
的值，即可得解.
，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立；
、
，分析可知异面直线 所成角为
与
或其补角，推导出
，计算出
、
的值，可求得

【详解】
（1）证明：在矩形
中，
，则
，
，
为
的中点，则
，同理可得
，
所以，
，
，
平面
，
平面
平面
，
，
，
，
平面
（2）解：取
，因此，平面
平面
.
的中点 ，连接
、
，
因为
为矩形，则
且
，
、 分别为
、
的中点，
且
，
所以，四边形
所以，异面直线
平面
为平行四边形，则
且
，
与
所成角为
平面
或其补角，
，
，则
，
平面
，且
，
所以，
，故
.
因此，异面直线
与
所成的角为 .
20. 如图几何体中，底面
为正方形，
平面
，且
.
(1)求证：
平面
；
(2)求
与平面
所成角的正弦值.
答案
解析
(1)见解析(2)
【分析】
（1）证明
（2）连接
【详解】
平面
，
平面
，推出平面
与平面
平面
，然后证明
平面
；
交
于 ，证明到
为
所成角. 直角三角形
中，求解
即可得出答案
（1）因为底面
为正方形，所以
,
又
，
平面
，且
平面
，
平面
，
，所以
平面
，
同理
平面
所以平面
，
又
平面
，
所以
平面
；
（2）由
所以平面
平面
平面
，
，
平面
连接
交
于 ，则
由平面与平面垂直的性质定理得：
平面
，
所以
为
与平面
所成角.
，所以
在直角三角形
所以
中，求得
，

即
与平面
所成角的正弦值为 .
21. 某校组织防控疫情知识竞赛活动，某班经过层层筛选后剩下甲､乙两名同学争夺一个参赛名额，该班设计了一个游戏方案决定
谁去参加，规则如下：一个袋中装有6个大小相同的小球，其中标号为i的球有i个 ，2， ，甲同学从6个球中随机摸取3个球
记下球的标号之和后放回，乙同学再从中摸出3个球记下其标号之和，两人中所取球的标号之和多者获胜.
(1)求甲所取球的标号之和为7的概率；
(2)求甲获胜的概率.
答案
解析
(1) (2)
（1）解：记标号为1的球为 ，标号为2的球为 ， ，标号为3的球为 ， ，
，
则每位同学取球标号的所有情况为：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
共20种，
甲所取球的标号之和为7的情况为：
所以甲所取球的标号之和为7的概率
，
，
，
，
，
共6种，
．
（2）解：由（1）知，每人标号之和为5的概率
，
标号之和为6的概率
则甲获胜的概率
，标号之和为8的概率
，标号之和为9的概率为
，标号之和为7的概率
．
，
22. 如图，在直角三角形
中，
，
，
，点
在线段
上.
（1）若
，求
的长；
（2）若点 在线段
上，且
，求
的面积最小值，并求
的面积最小时
的长.
答案
解析
（1） 或 ；（2）
【分析】
取最小值为
，
.
（1）在
中运用余弦定理即可求解出答案；
（2）
中
【详解】
解：（1）在
中由余弦定理
，∴
，
或
；
（2）设
，
在
中，
，
，由正弦定理得：
，
∴
在
中，由正弦定理得：
，
∴
∴
∵
，
，∴
，
，

∴
时，
取得最小值为
，此时，
设点C到AB得距离为d，则，
所以
的面积最小时，
的长为
.