2021-2022学年新疆昌吉州行知学校高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年新疆昌吉州行知学校高一（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若复数满足，则的虚部为(    )

A.  B.  C.  D.

2. 在复平面内，复数对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3. 有两张卡片，一张的正反面分别写着数字与，另一张的正反面分别写着数字与，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 奥林匹克会旗中央有个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学，每人分得个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是(    )

A. 对立事件 B. 不可能事件
C. 互斥但不对立事件 D. 既不互斥又不对立事件

5. 的内角，，的对边分别为，，，若，则等于(    )

A.  B.  C. 或 D. 或

6. 在中，已知，，，则等于(    )

A.  B.  C. 或 D. 以上都不对

7. 已知向量，，若，则实数的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知向量与的夹角为，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

9. 在四边形中，若，且，则四边形为(    )

A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形

10. 设，是空间中不同的直线，，是不同的平面，则下列说法正确的是(    )

A. ，，则 B. ，，，则
C. ，，，则 D. ，，则

11. 已知互相垂直的平面，交于直线，若直线，满足，，则(    )

A.  B.  C.  D.

12. 在正方体中，为棱的中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知复数，则的共轭复数 ______ ．
14. 已知向量，，若，则          ．
15. 在中，角、、所对的边分别为、、、若，则______．
16. 棱长为的正方体中，是棱的中点，过作正方体的截面，则截面的面积是          ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    取何值时，复数
    是实数；    
    是纯虚数．
18. 本小题分

已知平面向量，，．

Ⅰ若，求的值；

Ⅱ若，求

19. 本小题分
    某普通高中高三年级共有人，分三组进行体质测试，在三个组中男、女生人数如下表所示．已知在全体学生中随机抽取名，抽到第二、三组中女生的概率分别是、．

求，，的值；
为了调查学生的课外活动时间，现从三个组中按：的比例抽取学生进行问卷调查，三个组被选取的人数分别是多少？
若从中选取的学生中随机选出两名学生进行访谈，求参加访谈的两名学生“来自两个组”的概率．

20. 本小题分
    在中，内角，，的对边分别为，，，已知
    Ⅰ求角的值；
    Ⅱ若，且的面积为，求，．
21. 本小题分
    树立和践行“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出人，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示．
    Ⅰ求出的值；
    Ⅱ求出这人年龄的样本平均数同一组数据用该区间的中点值作代表和中位数精确到小数点后一位；
    Ⅲ现在要从年龄较小的第、组中用分层抽样的方法抽取人，则第、组分别抽取多少人？

22. 本小题分
    如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，分别为，的中点．
    
    
    
    求证：；
    求证：平面平面；
    求证：平面．
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由，
得．
则的虚部为．
故选：．
把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
 

2.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查复数代数形式的混合运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
利用复数代数形式的乘除运算化简，求出的坐标得答案．
【解答】
解：复数
，
对应的点的坐标为，即位于第四象限．
故选D．  

3.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查了古典概型问题的概率的求法，关键是不重不漏的列举所有满足条件的基本事件．
首先一一列举出所有满足条件的两位数，再找到两位数为奇数的基本事件，根据古典概型的概率公式计算可得．
【解答】
解：两张卡片排在一起组成两位数的基本事件有，，，，，共种，其中所组成的两位数为奇数的有，，共种，
所以所组成的两位数为奇数的概率是．
故选C．  

4.【答案】 

【解析】解：根据互斥事件定义可得，事件“甲分得红色”与“乙分得红色”不同时发生，故为互斥事件，但是当不发生时也不一定发生，故不为对立事件，
故选：．
根据互斥事件的定义可解．
本题考查互斥事件的定义，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：，
由正弦定理可得：，
，
，或．
故选：．
由已知利用正弦定理可求的值，结合的范围，由特殊角的三角函数值即可得解．
本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：由，利用余弦定理得：
，即，
因式分解得：，解得：或．
故选：．
由，及的值，利用余弦定理即可列出关于的一元二次方程，求出方程的解即可得到的值．
此题考查学生灵活运用余弦定理及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．
 

7.【答案】 

【解析】解：向量，，．
，
，
，解得．
实数的值为．
故选：．
由平面向量坐标运算法则得，再由，列出方程能求出．
本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：向量与的夹角为，


；
．
故选：．
根据平面向量的数量积与模长公式，计算的值即可．
本题考查了平面向量数量积与模长公式的应用问题，是基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：由，可得且与方向相同，可得四边形是平行四边形，
又由，可得，即四边形对角线相等，
所以四边形是矩形．
故选：．
由，可得四边形是平行四边形，又由，可得四边形是矩形．
本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，是基础题．
在中，或；在中，与平行或异面；在中，与相交或平行；在中，由面面平行的性质定理得．
【解答】
解：由，是空间中不同的直线，，是不同的平面，知：
在中，，，则或，故A错误；
在中，，，，则与平行或异面，故B错误；
在中，，，，则与相交或平行，故C错误；
在中，，，则由面面平行的性质定理得，故D正确．
故选：．  

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查两直线关系的判断，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，属于基础题．
由已知条件推导出，再由，推导出．

【解答】

解：互相垂直的平面，交于直线，直线，满足，
或或与相交，，
，
．
故选：．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查线线垂直的判断，涉及线面垂直的判定与性质，是中档题．
连接，推导出，，从而平面，由此得到．

【解答】

解：如图，连接，由题意得，

平面，且平面，
，
，，平面，
平面，
平面，
．
故选C．

13.【答案】 

【解析】解：，
．
故答案为：．
直接利用复数代数形式的除法运算化简，则的共轭复数可求．
本题考查了复数代数形式的除法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的坐标运算和共线，是基础题．
利用向量坐标运算法则求出，再由向量平行的性质能求出的值．

【解答】

解：向量，，
，
，，
，
解得．
故答案为：．

15.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦公式的应用．考查对三角函数公式的记忆能力和综合运用能力．
先根据正弦定理将边的关系转化为角的正弦值的关系，再运用两角和与差的正弦公式化简可得到，进而可求得的值．
【解答】
解：由正弦定理和，
可得，
，

．
故答案为．  

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查正方体的性质，空间中截面的作法及梯形的面积公式．
在正方体中由点、线、面的位置关系作出截面，依据图形求出面积即可．

【解答】

解：如图，

因为平面，平面，
设平面平面，
则，
在正方体中，，
所以，
因为为中点，所以为中点，
所以截面是梯形，
其中
梯形的高为
所以截面面积为
所以答案是：．

17.【答案】解要使复数是实数，
则．
当时，是实数；
要使复数是纯虚数，
则或．
当或时，是纯虚数． 

【解析】题目给出的复数的实部含有分式，要使给出的复数时实数，需要其虚部等于，实部的分母不等于；
要使给出的复数是纯虚数，需要虚部不等于，实部的分子等于，分母不等于．
本题考查复数的基本概念，关键是读懂题意，把问题转化为方程组求解，解答此题的关键是保证实部部分的分母有意义，此题虽是基础题但易出错．
 

18.【答案】解：，

整理得：
解得：，或

即
解得，或
当时，，

当时，，

故的值为或． 

【解析】由，，我们易构造一个关于的方程，解方程即可求出满足条件的的值．
若，根据两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，构造一个关于的方程，解方程求出的值后，分类讨论后，即可得到
本题考查的知识是数量积判断两个平面向量的垂直关系，向量的模，平行向量与共线向量，其中根据“两个向量平行，坐标交叉相乘差为零，两个向量若垂直，对应相乘和为零”构造方程是解答本题的关键．
 

19.【答案】解：，；；
由题意知，三个组分别有人、人、人，
按：的比例各组被选的人数分别是人、人、人，
第一组选出的学生记为，，，第二组选出的学生记为，，第三组选出的学生记为，
从中任取个的基本事件为，，，，，，，，，，，，，，共个，
“来自两个组”的事件包括有，，，，，，，，，，，共个，
所以“来自两个组”的概率为． 

【解析】用概率样本容量频数，即可求出，，的值；
根据分层抽样，即可确定出各组要抽取的人数；
第一组选出的学生记为，，，；第二组选出的学生记为，；第三组选出的学生记为，列举出所有的基本事件，根据古典概型的概率公式，即可得到结论．
本题主要考查分层抽样的应用，以及古典概率的计算，利用列举法是解决本题的关键．
 

20.【答案】本题满分为分
解：Ⅰ，
，分
，
即，
，
，
又是三角形的内角，
分
Ⅱ，，，分
又，
，
，
分 

【解析】Ⅰ利用两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形内角和定理化简已知等式可得，由于，解得，又是三角形的内角，即可得解的值．
Ⅱ利用三角形面积公式可求，又由余弦定理可解得，联立即可解得，的值．
本题主要考查了两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形内角和定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想的应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：由，
解得．
平均数为岁，
设中位数为，则，
解得岁．
第、组抽取的人数分别为人，人，
从第、组中用分层抽样的方法抽取人，抽取比例为，
所以第一组抽取，第二组抽取，
所以第、组抽取的人数分别为人，人． 

【解析】由频率分布直方图的性质，能求出的值．
由频率分布直方图能求出平均数和中位数．
第、组抽取的人数分别为人，人，从第、组中用分层抽样的方法抽取人，抽取比例为，由此能求出第、组抽取的人数．
本题考查频率、频数、众数、平均数、中位数的求法，考查分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

22.【答案】证明：，为的中点，可得，
底面为矩形，可得，
则
底面为矩形，
，
平面平面，，平面，
平面．

，
又，且，，，
平面，
又平面
平面平面．
如图，取中点，连接，．

，分别为，的中点，
，且
四边形为矩形，且为的中点，
，，
，且，
四边形为平行四边形，
，
又不在平面内，在平面内，
平面 

【解析】本题考查线面和面面的位置关系，考查线面平行、垂直的判定和性质，以及面面垂直的判断和性质，注意运用转化思想，考查推理能力和空间想象能力，属于中档题．
由等腰三角形的三线合一性质和矩形的对边平行性质，即可得证；
作出平面和平面的交线，注意运用公理，再由面面垂直的性质和两个平面所成角的定义，即可得证；
取的中点，连接，，运用中位线定理和平行四边形的判断和性质，结合线面平行的判定定理，即可得证．