2021-2022学年新疆伊犁州高一（下）期末数学试卷（Word解析版）

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2021-2022学年新疆伊犁州高一（下）期末数学试卷

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 是(    )

A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

2. 复数的虚部是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 下列四个向量中，与向量共线的是(    )

A.  B.  C.  D.

4. 下列几何体中为棱柱的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 已知角的终边与单位圆交于点，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6. 设平面向量，，若，则(    )

A.  B.  C.  D.

7. 已知复数，其中为虚数单位，则等于(    )

A.  B.  C.  D.

8. 已知，为直线，为平面，若，，则与的位置关系是(    )

A. 平行 B. 相交或异面 C. 异面 D. 平行或异面

9. 将一个圆锥的高变为原来的，底面半径变为原来的倍，则所得圆锥的体积(    )

A. 变为原来的一半 B. 变为原来的 C. 不变 D. 变为原来的倍

10. 在正六边形中，点是线段的中点，则(    )

A.  B.  C.  D.

11. 已知函数，下列结论中错误的是(    )

A. 函数图像关于直线对称 B. 在区间上是增函数
C. 函数是周期函数，最小正周期是 D. 函数的值域是

12. 在六面体中，已知四边形与都是矩形，平面平面，它们之间的距离为，，，，，若六面体有外接球，则该六面体的外接球的体积为(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 将函数的图像向______平移个单位，可以得到函数的图像．
14. 若正方体的表面积为，则其体积为______．
15. 如图，在中，为边上的中线，为所在平面上一点，满足，设，若，则的值为______．

16. 在中，记角，，所对的边分别是，，，面积为，则的最大值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 已知，是实数，为虚数单位，且，求，的值．
18. 已知函数，为常数．
    求函数的最小正周期；
    设时，若函数的最小值为，求的值．
19. 如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，．
    求证：平面；
    E.
     

20. 已知向量，．
    求的值；
    设向量，的夹角为，求的值．
21. 如图，矩形中，，，为的中点，把沿翻折，满足．
    
    Ⅰ求证：平面平面；
    Ⅱ求二面角的余弦值．
22. 已知向量，求函数，．
    求函数的单调增区间；
    当时，方程有两个不等的实根，求的取值范围；
    若方程在上的解为，，求
    

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了象限角，是基础题．
根据象限角的概念，转化即可得出结论．

【解答】

解：因为，是第一象限角，
所以是第一象限角．
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：由复数概念知，复数的虚部是．
故选：．
直接由复数的概念得答案．
本题考查复数的基本概念，是基础的会考题型．
 

3.【答案】 

【解析】解：由于与向量共线的向量为的形式，
令，可得与向量共线的向量为，
故选：．
由题意，利用两个向量共线的性质，得出结论．
本题主要考查两个向量共线的性质，属于基础题．
 

4.【答案】 

【解析】解：根据棱柱的定义可知，棱柱有两个互相平行的平面，其余各面为平行四边形的多面体，
由图形可知没有互相平行的平面，不是多面体，的侧面不是平行四边形，
故选：．
根据棱柱的定义进行判断．
本题考查了棱柱的结构特征，属于基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：角的终边与单位圆交于点，
，
故选：．
根据三角函数的定义直接进行求解即可．
本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的定义是解决本题的关键，是基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量垂直的性质、向量的数量积公式，属于基础题．
由题可以得到关于的方程，解之即可得到结果．

【解答】

解：平面向量，，
若，则，
，
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
由已知利用复数代数形式的乘除运算化简，进而得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：因为，
所以直线与平面没有公共点，又，
所以与没有公共点，即与的位置关系是平行或异面．
故选：．
利用线面平行的定义及直线的位置关系即得．
本题考查了线面平行的定义及直线的位置关系，属于基础题．
 

9.【答案】 

【解析】解：设圆锥原来的高和底面半径分别为和，圆锥原来体积为，变化后为，
，，
即圆锥的体积扩大到原来的倍，
故选：．
由圆锥体积公式分别求解出原来的体积和变化后的体积，由此可得结果．
本题考查了圆锥体积的计算，属于基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：作出正六边形，如图所示，
则
．
故选：．
作出正六边形，再根据平面向量线性运算的法则进行求解即可．
本题考查平面向量的基本定理及向量的线性运算，考查学生的运算求解能力，属于基础题．
 

11.【答案】 

【解析】解：由题意，当，即时，，
当，即时，，即；
对，因为，故函数图像关于直线对称，故A正确；
对，当时，，在上为增函数，在上为减函数，故B错误；
对，由的解析式可得，最小正周期为，故C正确；
对，根据的解析式可得，当与时，取得最大值，当时，取得最小值，故D正确；
故选：．
先讨论的正负值去绝对值，可将表达为分段函数，对，计算即可判断；对，根据的解析式判断即可．
本题考查了三角函数的综合应用，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：设六面体的外接球的球心为，六面体的上，下底面的对角线的交点为，，
则，，在一条直线上，平面，平面，，
连接，，，，

又，，
设该六面体的外接球的为，，
则，
解得，，
该六面体的外接球的体积为．
故选：．
设六面体的外接球的球心为，六面体的上，下底面的对角线的交点为，，该六面体的外接球的为，，利用球的性质结合条件可得，进而即得．
本题考查了六面体外接球的体积计算，属于中档题．
 

13.【答案】右 

【解析】解：把函数的图象向右平移个单位可得到的图象，
故答案为：右．
根据函数的图象变换规律，即可得到答案．
本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：设正方体的棱长为，
正方体的表面积为，，解得，
则其体积为．
故答案为：．
由正方体的表面积为，求出正方体的棱长为，由此能求出其体积．
本题考查正方体的体积的求法，考查正方体的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由已知得为三角形的重心，则，
由于，因此设，
可得，
，
，
，
故答案为：．
已知得为三角形的重心，则，由于，因此设，又，得，即可解．
本题考查平面向量相关知识，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：由三角形面积公式和余弦定理得：
，当且仅当时等号成立，
设，则，
所以，解得是三角形内角，所以时，，
所以的最大值为．
故答案为：．
由三角形面积公式和余弦定理变形后应用基本不等式化待求式为的三角函数，设，利用辅助角公式得的最大值，从而得结论．
本题考查了余弦定理与三角形面积、基本不等式的应用，属于中档题．
 

17.【答案】解：，是实数，为虚数单位，且，
，，
解得，． 

【解析】由题意，利用两个复数相等的充要条件，求得，的值．
本题主要考查两个复数相等的充要条件，属于基础题．
 

18.【答案】解：函数，为常数，
故函数的最小正周期为；
由于，
所以，
故；
由于函数的最小值为，故，
故． 

【解析】直接利用函数的关系式求出函数的最小正周期；
利用函数的定义域求出函数的值域，进一步利用求出的值．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，函数的定义域和函数的值域的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
 

19.【答案】证明：在直三棱柱中，，分别为，的中点，
，，，
平面，平面，
平面．
解：在直三棱柱中，是的中点，．
，且，
又，、平面，
平面，
平面，E. 

【解析】本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
推导出，，从而，由此能证明平面．
推导出，，从而平面，由此能证明E.
 

20.【答案】解：；
，
． 

【解析】由数量积的运算律与坐标表示计算；
由数量积的的定义计算．
本题考查了数量积的运算律与坐标表示计算，属于基础题．
 

21.【答案】Ⅰ证明：由已知可得，，在中，满足，
，
，且，、平面，平面，
又平面，平面平面．
Ⅱ解：法一：几何法如图所示，连接，取中点，连接，

，过作交于点，连接，，
平面平面，平面平面，
平面，，又，平面，
，即为所求的二面角的平面角，
由，
，，
又，
，
二面角的余弦值为．
法二：向量法取的中点，连接，
，，平面平面，平面平面，
平面，
如图所示，以为坐标原点，
以，分别为，轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，
则
，，，，
，，
设为平面的法向量，不妨令，则，，
而平面的其中一个法向量显然为，
，
二面角的余弦值为． 

【解析】Ⅰ证明，结合，推出平面，然后证明平面平面．
Ⅱ解：法一：几何法如图所示，连接，取中点，连接，过作交于点，连接，，即为所求的二面角的平面角，通过求解三角形推出二面角的余弦值．
法二：向量法取的中点，连接，以为坐标原点，以，分别为，轴，过作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的其中一个法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦值即可．
本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，平面与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
 

22.【答案】解：由题意可知，


函数的单调增区间为；
令，
当时，令，则，
且在区间上单调递增，在区间上单调递减，
若使得方程有两个不等的实根，
则需函数与有两个交点，
即与有两个交点，
所以，即；
由，令，则，
所以，
又因为时，图象关于对称，且，
时，图象关于对称，且，
所以等价于，
设，为与的两交点的横坐标，则，
，为方程的两个解，
，
即，即，
所以． 

【解析】由题可得，然后利用正弦函数的性质即得；
令，根据方程有两个不等的实根，则需函数在上的图象与有两个交点，求解即可；
令，则函数变形为，从而等价于，根据函数的图象与性质，可知与的两交点的横坐标，，满足，则，即，代入，求解即可．
本题考查向量与三角函数的综合，考查学生的综合能力，属于难题．