人教版高中数学选择性必修第一册-第3章-圆锥曲线的方程单元测试卷（含解析）

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第3章 圆锥曲线的方程单元测试卷（原卷版）[时间：120分钟　　　满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为(　　)A．4　　　　　　　　　　　 B．－4C．－eq \f(1,4) D.eq \f(1,4)2．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(1,3)，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的标准方程为(　　)A.eq \f(x2,3)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1 D.eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,8)＝13．直线l：y＝k(x－eq \r(2))与双曲线x2－y2＝1仅有一个公共点，则实数k的值为(　　)A．1 B．－1C．1或－1 D．1或－1或04．已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，则此双曲线的离心率为(　　)A.eq \f(\r(5),2) B.eq \r(5)C.eq \f(5,2) D．55．设a，b∈R，a≠b且ab≠0，则方程bx－y＋a＝0和方程ax2－by2＝ab在同一坐标系下的图象可能是(　　)6．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4eq \r(2)，|DE|＝2eq \r(5)，则C的焦点到准线的距离为(　　)A．2 B．4C．6 D．87.如图，已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，P是双曲线右支上的一点，F2P的延长线与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|＝1，则双曲线的离心率是(　　)A．3 B．2C.eq \r(3) D.eq \r(2)8．设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是(　　)A．(1，3) B．(1，4)C．(2，3) D．(2，4)二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知点F(1，0)为曲线C的焦点，则曲线C的方程可能为(　　)A．y2＝4x B．x2＝4yC.eq \f(x2,cos2θ)＋eq \f(y2,sin2θ)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2))) D.eq \f(x2,cos2θ)－eq \f(y2,sin2θ)＝1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2)))10．已知A，B为圆锥曲线E的焦点，点C在E上，若△ABC为等腰直角三角形，则E的离心率可能为(　　)A.eq \r(2)－1 B.eq \f(\r(2),2)C.eq \r(2) D.eq \r(2)＋111．已知P是椭圆E：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，F1，F2为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是(　　)A．P点纵坐标为3 B．∠F1PF2>eq \f(π,2)C．△F1PF2的周长为4(eq \r(2)＋1) D．△F1PF2的内切圆半径为eq \f(3,2)(eq \r(2)－1)12．已知A，B两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AP，BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是(　　)A．当m＝－1时，点P的轨迹为圆(除去与x轴的交点)B．当－11时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的交点)三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知a∈{－2，0，1，3}，b∈{1，2}，则曲线ax2＋by2＝1为椭圆的概率是________．14．抛物线y2＝2px(p>0)的准线与双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p＝________，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________．(本题第一空2分，第二空3分)15．在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，与两焦点张角为90°的点可能有________个(填出所有可能情况)．16．设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知Q点是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a，b>0)上异于两顶点的一动点，F1，F2是双曲线的左、右焦点．从F2向∠F1QF2的平分线作垂线F2P，垂足为P，求P点的轨迹方程．18．(12分)已知点P到F1(0，eq \r(3))，F2(0，－eq \r(3))的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与轨迹C交于A，B两点．(1)求轨迹C的方程；(2)若|AB|＝eq \f(8\r(2),5)，求k.19．(12分)已知直线l：y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．(1)若|AB|＝10，求m的值；(2)若OA⊥OB，求m的值．20．(12分)如图，已知抛物线C1：y＝eq \f(1,4)x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t，0)(t>0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．(1)求点A，B的坐标；(2)求△PAB的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．21．(12分)已知椭圆Γ：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为M(－2，0)，离心率为eq \f(\r(2),2).(1)求椭圆Γ的方程；(2)过N(1，0)的直线AB交椭圆Γ于A，B两点；当eq \o(MA,\s\up6(→))·eq \o(MB,\s\up6(→))取得最大值时，求△MAB的面积．22．(12分)已知曲线C上任意一点S(x，y)都满足到直线l′：x＝2的距离是它到点T(1，0)的距离的eq \r(2)倍．(1)求曲线C的方程；(2)设曲线C与x轴正半轴交于点A2，不垂直于x轴的直线l与曲线C交于A，B两点(异于点A2)．若以AB为直径的圆经过点A2，试问直线l是否过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．1．过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若eq \f(1,3)n>0)和双曲线eq \f(x2,a)－eq \f(y2,b)＝1(a>b>0)有相同的左、右焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是(　　)A．m－a B.eq \f(1,2)(m－a)C．m2－a2 D.eq \r(m)－eq \r(a)3．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝eq \f(π,3)，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)A.eq \f(4\r(3),3) B.eq \f(2\r(3),3)C．3 D．24．已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　)A.eq \f(x2,4)－eq \f(3y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(4y2,3)＝1C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝15．【多选题】已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A1(－a，0)，A2(a，0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，－b)，且四边形A1PA2Q的面积为2eq \r(2)，四边形A1PA2Q的内切圆的周长为eq \f(2\r(6),3)π，则双曲线C的方程为(　　)A.eq \f(x2,2)－y2＝1 B．x2－eq \f(y2,2)＝1C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝16．【多选题】我们通常称离心率是eq \f(\r(5)－1,2)的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A1，A2，B1，B2分别为其左、右、上、下顶点，F1，F2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C为“黄金椭圆”的是(　　)A．|A1F1|·|F2A2|＝|F1F2|2B．∠F1B1A2＝90°C．PF1⊥x轴，且PO∥A2B1D．四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F27．【多选题】已知方程mx2＋ny2＝1，其中m2＋n2≠0，则(　　)A．mn>0时，方程表示椭圆B．mn<0时，方程表示双曲线C．n＝0时，方程表示抛物线D．n>m>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆8.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则eq \f(b,a)＝________．9．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋eq \f(y2,b2)＝1(0b>0)的左焦点为F，离心率为eq \f(\r(3),3)，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为eq \f(4\r(3),3).(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若eq \o(AC,\s\up6(→))·eq \o(DB,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→))·eq \o(CB,\s\up6(→))＝8，求k的值．14．已知抛物线C的顶点在原点O，焦点与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的右焦点重合．(1)求抛物线C的方程；(2)在抛物线C的对称轴上是否存在定点M，使过点M的动直线与抛物线C相交于P，Q两点时，有∠POQ＝eq \f(π,2).若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．15.如图所示，已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B分别为其长、短轴的一个端点，F1，F2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(OM,\s\up6(→))是共线向量．(1)求椭圆的离心率e；(2)设Q是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F1QF2的取值范围．第3章 圆锥曲线的方程单元测试卷（解析版）[时间：120分钟　　　满分：150分]一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝1，则a的值为(　　)A．4　　　　　　　　　　　 B．－4C．－eq \f(1,4) D.eq \f(1,4)答案　C2．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq \f(1,3)，过F2的直线l交C于A，B两点，若△AF1B的周长为12，则C的标准方程为(　　)A.eq \f(x2,3)＋y2＝1 B.eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1C.eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1 D.eq \f(y2,9)＋eq \f(x2,8)＝1答案　C解析　因为△AF1B的周长为12，所以4a＝12，所以a＝3.又eq \f(c,a)＝eq \f(1,3)，所以c＝1，b2＝8，所以C的标准方程为eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,8)＝1.3．直线l：y＝k(x－eq \r(2))与双曲线x2－y2＝1仅有一个公共点，则实数k的值为(　　)A．1 B．－1C．1或－1 D．1或－1或0答案　C解析　由题意可知直线l恒过点(eq \r(2)，0)，即双曲线的右焦点，双曲线的渐近线方程为y＝±x.要使直线l与双曲线只有一个公共点，则该直线与渐近线平行，所以k＝±1.故选C.4．已知中心在原点，焦点在y轴的双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x，则此双曲线的离心率为(　　)A.eq \f(\r(5),2) B.eq \r(5)C.eq \f(5,2) D．5答案　B解析　由已知可设双曲线方程为eq \f(y2,a2)－eq \f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)．∴±eq \f(a,b)＝±eq \f(1,2)，∴b＝2a，∴b2＝4a2，∴c2－a2＝4a2.∴c2＝5a2，∴eq \f(c2,a2)＝5，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(5).5．设a，b∈R，a≠b且ab≠0，则方程bx－y＋a＝0和方程ax2－by2＝ab在同一坐标系下的图象可能是(　　)答案　B解析　方程ax2－by2＝ab变形为eq \f(x2,b)－eq \f(y2,a)＝1，直线bx－y＋a＝0，即y＝bx＋a的斜率为b，纵截距为a.当a>0，b>0时，eq \f(x2,b)－eq \f(y2,a)＝1表示焦点在x轴上的双曲线，此时直线的斜率b>0，纵截距a>0，故C错误；当a<0，b<0时，eq \f(x2,b)－eq \f(y2,a)＝1表示焦点在y轴上的双曲线，此时直线的斜率b<0，纵截距a<0，故D错误；当a<0，b>0，且－a≠b时，eq \f(x2,b)－eq \f(y2,a)＝1表示椭圆，此时直线的斜率b>0，纵截距a<0，故A错误．故选B.6．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4eq \r(2)，|DE|＝2eq \r(5)，则C的焦点到准线的距离为(　　)A．2 B．4C．6 D．8答案　B解析　由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p>0)．由|AB|＝4eq \r(2)，|DE|＝2eq \r(5)，可取Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,p)，2\r(2)))，D(－eq \f(p,2)，eq \r(5))，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得eq \f(16,p2)＋8＝eq \f(p2,4)＋5，得p＝4.故选B.7.如图，已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，P是双曲线右支上的一点，F2P的延长线与y轴交于点A，△APF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若|PQ|＝1，则双曲线的离心率是(　　)A．3 B．2C.eq \r(3) D.eq \r(2)答案　B解析　如图，记AF1，AF2与△APF1的内切圆分别相切于点N，M，则|AN|＝|AM|，|PM|＝|PQ|，|NF1|＝|QF1|，又因为|AF1|＝|AF2|，则|NF1|＝|AF1|－|AN|＝|AF2|－|AM|＝|MF2|，因此|QF1|＝|MF2|，则|PF1|－|PF2|＝(|PQ|＋|QF1|)－(|MF2|－|PM|)＝|PQ|＋|PM|＝2|PQ|＝2，即2a＝2，则a＝1.由|F1F2|＝4＝2c，得c＝2，所以双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝2.故选B.8．设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是(　　)A．(1，3) B．(1，4)C．(2，3) D．(2，4)答案　D解析　如图，显然当直线l的斜率不存在时，必有两条直线满足题意，当直线l的斜率存在时，设斜率为k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2，M(x0，y0)，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y12＝4x1，,y22＝4x2，))两式相减得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．由于x1≠x2，所以eq \f(y1＋y2,2)·eq \f(y1－y2,x1－x2)＝2⇒ky0＝2.①圆心为C(5，0)，由CM⊥AB，得k·eq \f(y0－0,x0－5)＝－1⇒ky0＝5－x0.②由①②解得x0＝3，即点M必在直线x＝3上，将x0＝3代入y2＝4x，得y02＝12⇒－2eq \r(3)0)上，所以(x0－5)2＋y02＝r2(r>0)，r2＝y02＋4<12＋4＝16.因为斜率存在，所以y0≠0，所以4b>0)，设椭圆的离心率为e.因为△ABC为等腰直角三角形，所以当AB为斜边时，可以得到b＝c＝eq \f(\r(2),2)a，则e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)；当AB为直角边时，不妨令|AC|＝|AB|＝2c，所以2eq \r(2)c＋2c＝2a，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(2)－1.若圆锥曲线E为双曲线，不妨设双曲线方程为eq \f(x2,a′2)－eq \f(y2,b′2)＝1(a′>0，b′>0)，设双曲线的离心率为e′.因为△ABC为等腰直角三角形，所以AB只能为直角边，不妨令AC⊥AB，则|AC|＝|AB|＝2c，可以得到2eq \r(2)c′＝2a′＋2c′，则e′＝eq \f(c′,a′)＝eq \r(2)＋1.故选ABD.11．已知P是椭圆E：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，F1，F2为其左、右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是(　　)A．P点纵坐标为3 B．∠F1PF2>eq \f(π,2)C．△F1PF2的周长为4(eq \r(2)＋1) D．△F1PF2的内切圆半径为eq \f(3,2)(eq \r(2)－1)答案　CD解析　设点P的坐标为(x，y)，由椭圆E：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1，可知a2＝8，b2＝4，所以c2＝a2－b2＝4，所以c＝2，F1(－2，0)，F2(2，0)．因为△F1PF2的面积为3，所以eq \f(1,2)×2c×|y|＝eq \f(1,2)×4×|y|＝3，得到y＝±eq \f(3,2)，A说法错误；将y＝±eq \f(3,2)代入椭圆E的方程，得到eq \f(x2,8)＋eq \f(9,16)＝1，解得x＝±eq \f(\r(14),2)，不妨取Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(14),2)，\f(3,2)))，因为eq \o(PF1,\s\up6(→))·eq \o(PF2,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2－\f(\r(14),2)，－\f(3,2)))·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(\r(14),2)，－\f(3,2)))＝eq \f(14,4)－4＋eq \f(9,4)>0，所以∠F1PF2为锐角，B说法错误；因为a＝2eq \r(2)，所以|PF1|＋|PF2|＝4eq \r(2)，所以△F1PF2的周长为4＋4eq \r(2)＝4(eq \r(2)＋1)，C说法正确；设△F1PF2的内切圆半径为r，因为△F1PF2的面积为3，所以eq \f(1,2)×r×4(eq \r(2)＋1)＝3，解得r＝eq \f(3,2)(eq \r(2)－1)，D说法正确．故选CD.12．已知A，B两点的坐标分别是(－1，0)，(1，0)，直线AP，BP相交于点P，且两直线的斜率之积为m，则下列结论正确的是(　　)A．当m＝－1时，点P的轨迹为圆(除去与x轴的交点)B．当－11时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的交点)答案　ABD解析　设点P的坐标为(x，y)(x≠±1)，则直线AP的斜率为kAP＝eq \f(y,x＋1)，直线BP的斜率为kBP＝eq \f(y,x－1).因为kAP·kBP＝m，所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－1)＝m(x≠±1)，化简得到点P的轨迹方程为x2＋eq \f(y2,－m)＝1(x≠±1)，所以正确结论有A、B、D.故选ABD.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知a∈{－2，0，1，3}，b∈{1，2}，则曲线ax2＋by2＝1为椭圆的概率是________．答案　eq \f(3,8)解析　由题意，得(a，b)共有8种不同情况，其中满足“曲线ax2＋by2＝1为椭圆”的有(1，2)，(3，1)，(3，2)，共3种情况，由古典概型的概率公式，得所求概率P＝eq \f(3,8).14．抛物线y2＝2px(p>0)的准线与双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p＝________，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为________．(本题第一空2分，第二空3分)答案　2　eq \f(2\r(5),5)解析　抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，双曲线x2－eq \f(y2,4)＝1的两条渐近线方程分别为y＝2x，y＝－2x，这三条直线构成等腰三角形，其底边长为2p，三角形的高为eq \f(p,2)，因此eq \f(1,2)×2p×eq \f(p,2)＝2，解得p＝2.则抛物线焦点坐标为(1，0)，且到直线y＝2x和y＝－2x的距离相等，均为eq \f(|2－0|,\r(5))＝eq \f(2\r(5),5).15．在椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)上，与两焦点张角为90°的点可能有________个(填出所有可能情况)．答案　0或2或4解析　设该点为P(x，y)，椭圆的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)(c＞0)，则|PF1|＝eq \r(（x＋c）2＋y2)＝eq \r(（x＋c）2＋b2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,a2))))＝a＋ex，|PF2|＝a－ex.|PF1|2＋|PF2|2＝4a2－2|PF1|·|PF2|＝2a2＋2eq \f(c2,a2)x2＝4c2.∴x2＝2a2－eq \f(a4,c2)＝eq \f(a2（2c2－a2）,c2)≥0.∴当a2＞2c2时，该点不存在；当a2≤2c2时，该点存在，且当a2＝2c2时这样的点有2个，当c20，b>0)的两条渐近线分别交于点A，B.若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．答案　eq \f(\r(5),2)解析　利用渐近线与直线方程求出交点A，B的坐标，进而得出中点C的坐标；由|PA|＝|PB|可知，PC与直线x－3y＋m＝0(m≠0)垂直，利用斜率关系求出a，b的关系式．双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x.由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,a)x，,x－3y＋m＝0，))得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(am,3b－a)，\f(bm,3b－a))).由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(b,a)x，,x－3y＋m＝0，))得Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1( \f(－am,a＋3b)，\f(bm,a＋3b))).所以AB的中点C的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2m,9b2－a2)，\f(3b2m,9b2－a2))).设直线l：x－3y＋m＝0(m≠0)，因为|PA|＝|PB|，所以PC⊥l.所以kPC＝－3，即eq \f(\f(3b2m,9b2－a2),\f(a2m,9b2－a2)－m)＝－3，化简得a2＝4b2.在双曲线中，c2＝a2＋b2＝5b2，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),2).四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(10分)已知Q点是双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a，b>0)上异于两顶点的一动点，F1，F2是双曲线的左、右焦点．从F2向∠F1QF2的平分线作垂线F2P，垂足为P，求P点的轨迹方程．解析　如图，延长F2P交F1Q于点A，连接OP，则由角平分线的性质，知|AQ|＝|F2Q|.由三角形中位线性质，知|OP|＝eq \f(1,2)|F1A|.∴|OP|＝eq \f(1,2)(|QF1|－|QA|)＝eq \f(1,2)(|QF1|－|QF2|)．若点Q在双曲线的左支上时，|OP|＝eq \f(1,2)(|QF2|－|QF1|)，　即|OP|＝eq \f(1,2)×2a＝a，∴P点的轨迹方程为x2＋y2＝a2(y≠0)．18．(12分)已知点P到F1(0，eq \r(3))，F2(0，－eq \r(3))的距离之和为4，设点P的轨迹为C，直线y＝kx＋1与轨迹C交于A，B两点．(1)求轨迹C的方程；(2)若|AB|＝eq \f(8\r(2),5)，求k.解析　(1)设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－eq \r(3))，(0，eq \r(3))为焦点，长半轴长为2的椭圆，即a＝2，c＝eq \r(3)，b＝eq \r(22－（\r(3)）2)＝1，故轨迹C的方程为x2＋eq \f(y2,4)＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(y2,4)＝1，,y＝kx＋1，))得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，则Δ＝4k2＋12(k2＋4)＝16(k2＋3)>0，且x1＋x2＝－eq \f(2k,k2＋4)，x1x2＝－eq \f(3,k2＋4).则(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝eq \f(16（k2＋3）,（k2＋4）2)，所以|AB|2＝(1＋k)2(x1－x2)2＝(1＋k)2·eq \f(16（k2＋3）,（k2＋4）2)＝eq \f(128,25)，整理得(17k2＋53)(k2－1)＝0，解得k2＝1，所以k＝±1.19．(12分)已知直线l：y＝x＋m与抛物线y2＝8x交于A，B两点．(1)若|AB|＝10，求m的值；(2)若OA⊥OB，求m的值．解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，(1)由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,y2＝8x，))得x2＋(2m－8)x＋m2＝0，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝（2m－8）2－4m2>0，,x1＋x2＝8－2m，,x1x2＝m2.))由|AB|＝eq \r(2)|x1－x2|＝eq \r(2)·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝10.得m＝eq \f(7,16)(m＜2)．(2)∵OA⊥OB，∴x1x2＋y1y2＝0.∴x1x2＋(x1＋m)(x2＋m)＝0.∴2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0.∴2m2＋m(8－2m)＋m2＝0.∴m2＋8m＝0，m＝0或m＝－8.经检验得m＝－8.20．(12分)如图，已知抛物线C1：y＝eq \f(1,4)x2，圆C2：x2＋(y－1)2＝1，过点P(t，0)(t>0)作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线C1和圆C2相切，A，B为切点．(1)求点A，B的坐标；(2)求△PAB的面积．注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则称该直线与抛物线相切，称该公共点为切点．解析　(1)由题意知直线PA的斜率存在，故可设直线PA的方程为y＝k(x－t)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x－t），,y＝\f(1,4)x2，))消去y，整理得x2－4kx＋4kt＝0，由于直线PA与抛物线相切，令Δ＝0，得k＝t.因此，点A的坐标为(2t，t2)．设圆C2的圆心为D(0，1)，点B的坐标为(x0，y0)，由题意知点B，O关于直线PD对称，故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(y0,2)＝－\f(x0,2t)＋1，,x0t－y0＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝\f(2t,1＋t2)，,y0＝\f(2t2,1＋t2).))因此，点B的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2t,1＋t2)，\f(2t2,1＋t2))).(2)由(1)知|AP|＝t·eq \r(1＋t2)，直线PA的方程为tx－y－t2＝0.点B到直线PA的距离是d＝eq \f(t2,\r(1＋t2)).设△PAB的面积为S，所以S＝eq \f(1,2)|AP|·d＝eq \f(t3,2).21．(12分)已知椭圆Γ：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为M(－2，0)，离心率为eq \f(\r(2),2).(1)求椭圆Γ的方程；(2)过N(1，0)的直线AB交椭圆Γ于A，B两点；当eq \o(MA,\s\up6(→))·eq \o(MB,\s\up6(→))取得最大值时，求△MAB的面积．解析　(1)由已知a＝2，eq \f(c,a)＝eq \f(\r(2),2)，得c＝eq \r(2)，∴a2－b2＝2，即4－b2＝2，∴b2＝2，∴椭圆Γ的方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,2)＝1.(2)当直线AB与x轴重合时，eq \o(MA,\s\up6(→))·eq \o(MB,\s\up6(→))＝0.当直线AB与x轴不重合时，设直线AB的方程为x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq \o(MA,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1)，eq \o(MB,\s\up6(→))＝(x2＋2，y2)．由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝ty＋1，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))得(t2＋2)y2＋2ty－3＝0.显然Δ>0，∴y1＋y2＝eq \f(－2t,t2＋2)，y1y2＝eq \f(－3,t2＋2).∴eq \o(MA,\s\up6(→))·eq \o(MB,\s\up6(→))＝(x1＋2)(x2＋2)＋y1y2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋3t(y1＋y2)＋9＝(t2＋1)·eq \f(－3,t2＋2)＋3t·eq \f(－2t,t2＋2)＋9＝eq \f(－3－3t2－6t2,t2＋2)＋9＝eq \f(－9t2－3,t2＋2)＋9＝eq \f(15,t2＋2)≤eq \f(15,2)，∴eq \o(MA,\s\up6(→))·eq \o(MB,\s\up6(→))的最大值为eq \f(15,2).此时t＝0，直线AB的方程为x＝1.综上可知eq \o(MA,\s\up6(→))·eq \o(MB,\s\up6(→))的最大值为eq \f(15,2).联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝\f(\r(6),2)))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－\f(\r(6),2)，))不妨令Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(6),2)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，－\f(\r(6),2)))，∴|AB|＝eq \r(6)，又|MN|＝3，∴S△MAB＝eq \f(1,2)|MN|·|AB|＝eq \f(1,2)×3×eq \r(6)＝eq \f(3\r(6),2).22．(12分)已知曲线C上任意一点S(x，y)都满足到直线l′：x＝2的距离是它到点T(1，0)的距离的eq \r(2)倍．(1)求曲线C的方程；(2)设曲线C与x轴正半轴交于点A2，不垂直于x轴的直线l与曲线C交于A，B两点(异于点A2)．若以AB为直径的圆经过点A2，试问直线l是否过定点？若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．解析　(1)∵曲线C上任意一点S(x，y)都满足到直线l′：x＝2的距离是它到点T(1，0)的距离的eq \r(2)倍，∴|x－2|＝eq \r(2)·eq \r(（x－1）2＋y2)，化简，得eq \f(x2,2)＋y2＝1，即曲线C是椭圆，其方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1.(2)设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,2)＋y2＝1，))得(1＋2k2)x2＋4mkx＋2m2－2＝0，∴Δ＝(4mk)2－4(1＋2k2)(2m2－2)>0，即2k2＋1>m2，x1＋x2＝－eq \f(4mk,1＋2k2)，x1x2＝eq \f(2m2－2,1＋2k2).∵y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝k2·eq \f(2m2－2,1＋2k2)＋mk·eq \f(－4mk,1＋2k2)＋m2＝eq \f(m2－2k2,1＋2k2).∵点A2(eq \r(2)，0)在以AB为直径的圆上，∴AA2⊥BA2，即eq \o(AA2,\s\up6(→))·eq \o(BA2,\s\up6(→))＝0.又eq \o(AA2,\s\up6(→))＝(eq \r(2)－x1，－y1)，eq \o(BA2,\s\up6(→))＝(eq \r(2)－x2，－y2)，∴(eq \r(2)－x1，－y1)·(eq \r(2)－x2，－y2)＝0，即(eq \r(2)－x1)(eq \r(2)－x2)＋y1y2＝2－eq \r(2)(x1＋x2)＋x1x2＋y1y2＝0，∴2＋eq \r(2)·eq \f(4mk,1＋2k2)＋eq \f(2m2－2,1＋2k2)＋eq \f(m2－2k2,1＋2k2)＝0，化简得2k2＋4eq \r(2)mk＋3m2＝0，即(eq \r(2)k＋m)(eq \r(2)k＋3m)＝0，∴eq \r(2)k＋m＝0或eq \r(2)k＋3m＝0.当eq \r(2)k＋m＝0时，直线l：y＝k(x－eq \r(2))过定点(eq \r(2)，0)，即过点A2(eq \r(2)，0)，不满足题意；当eq \r(2)k＋3m＝0时，直线l的方程可化为y＝keq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(2),3)))，过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，0)).综上，直线l过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),3)，0)).1．过椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若eq \f(1,3)n>0)和双曲线eq \f(x2,a)－eq \f(y2,b)＝1(a>b>0)有相同的左、右焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是(　　)A．m－a B.eq \f(1,2)(m－a)C．m2－a2 D.eq \r(m)－eq \r(a)答案　A解析　不妨取P在双曲线的右支上，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝2\r(m)，,|PF1|－|PF2|＝2\r(a)，))解得|PF1|＝eq \r(m)＋eq \r(a)，|PF2|＝eq \r(m)－eq \r(a).∴|PF1|·|PF2|＝(eq \r(m)＋eq \r(a))(eq \r(m)－eq \r(a))＝m－a.3．已知F1，F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2＝eq \f(π,3)，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(　　)A.eq \f(4\r(3),3) B.eq \f(2\r(3),3)C．3 D．2答案　A解析　利用椭圆、双曲线的定义和几何性质求解．设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)，|F1F2|＝2c，椭圆长半轴长为a1，双曲线实半轴长为a2，椭圆、双曲线的离心率分别为e1，e2，由(2c)2＝r12＋r22－2r1r2cos eq \f(π,3)，得4c2＝r12＋r22－r1r2.由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r1＋r2＝2a1，,r1－r2＝2a2，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r1＝a1＋a2，,r2＝a1－a2.))∴eq \f(1,e1)＋eq \f(1,e2)＝eq \f(a1＋a2,c)＝eq \f(r1,c).令m＝eq \f(r12,c2)＝eq \f(4r12,r12＋r22－r1r2)＝eq \f(4,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r2,r1)))\s\up12(2)－\f(r2,r1))＝eq \f(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r2,r1)－\f(1,2)))\s\up12(2)＋\f(3,4))，当eq \f(r2,r1)＝eq \f(1,2)时，mmax＝eq \f(16,3)，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1,c)))eq \s\do7(max)＝eq \f(4\r(3),3).即eq \f(1,e1)＋eq \f(1,e2)的最大值为eq \f(4\r(3),3).4．已知双曲线eq \f(x2,4)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为(　　)A.eq \f(x2,4)－eq \f(3y2,4)＝1 B.eq \f(x2,4)－eq \f(4y2,3)＝1C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,4)＝1 D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1答案　D解析　根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD为矩形．双曲线的渐近线方程为y＝±eq \f(b,2)x，圆的方程为x2＋y2＝4，不妨设交点A在第一象限，由y＝eq \f(b,2)x，x2＋y2＝4得xA＝eq \f(4,\r(4＋b2))，yA＝eq \f(2b,\r(4＋b2))，故四边形ABCD的面积为4xAyA＝eq \f(32b,4＋b2)＝2b，解得b2＝12，故所求的双曲线方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,12)＝1.故选D.5．【多选题】已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个顶点分别为A1(－a，0)，A2(a，0)，P，Q的坐标分别为(0，b)，(0，－b)，且四边形A1PA2Q的面积为2eq \r(2)，四边形A1PA2Q的内切圆的周长为eq \f(2\r(6),3)π，则双曲线C的方程为(　　)A.eq \f(x2,2)－y2＝1 B．x2－eq \f(y2,2)＝1C.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,2)＝1 D.eq \f(x2,2)－eq \f(y2,4)＝1答案　AB解析　因为A1(－a，0)，A2(a，0)，P(0，b)，Q(0，－b)，所以|A1A2|＝2a，|PQ|＝2b，所以|A1P|＝|A2Q|＝|A1Q|＝|A2P|＝eq \r(a2＋b2)＝c.又四边形A1PA2Q的面积为2eq \r(2)，所以4×eq \f(1,2)ab＝2eq \r(2)，即ab＝eq \r(2).记四边形A1PA2Q的内切圆的半径为r，则2πr＝eq \f(2\r(6),3)π，解得r＝eq \f(\r(6),3)，所以2cr＝2eq \r(2)，所以c＝eq \r(3).又c2＝a2＋b2＝3，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\r(2)，,b＝1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝\r(2)))，所以双曲线C的方程为eq \f(x2,2)－y2＝1或x2－eq \f(y2,2)＝1.故选AB.6．【多选题】我们通常称离心率是eq \f(\r(5)－1,2)的椭圆为“黄金椭圆”．如图，已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A1，A2，B1，B2分别为其左、右、上、下顶点，F1，F2分别为左、右焦点，P为椭圆上一点，下列条件中能使椭圆C为“黄金椭圆”的是(　　)A．|A1F1|·|F2A2|＝|F1F2|2B．∠F1B1A2＝90°C．PF1⊥x轴，且PO∥A2B1D．四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2答案　BD解析　∵椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∴A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，b)，B2(0，－b)，F1(－c，0)，F2(c，0)．对于A，若|A1F1|·|F2A2|＝|F1F2|2，则(a－c)2＝(2c)2，∴a－c＝2c，∴e＝eq \f(1,3)，不符合题意，故A错误；对于B，若∠F1B1A2＝90°，则|A2F1|2＝|B1F1|2＋|B1A2|2，∴(a＋c)2＝a2＋a2＋b2，∴c2＋ac－a2＝0，∴e2＋e－1＝0，解得e＝eq \f(\r(5)－1,2)或e＝eq \f(－\r(5)－1,2)(舍去)，符合题意，故B正确；对于C，若PF1⊥x轴，且PO∥A2B1，则Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－c，\f(b2,a)))，∵kPO＝kA2B1，∴eq \f(\f(b2,a),－c)＝eq \f(b,－a)，解得b＝c，又a2＝b2＋c2，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(c,\r(2)c)＝eq \f(\r(2),2)，不符合题意，故C错误；对于D，若四边形A1B2A2B1的内切圆过焦点F1，F2，即四边形A1B2A2B1的内切圆的半径为c，则由菱形面积公式可得ab＝ceq \r(a2＋b2)，∴c4－3a2c2＋a4＝0，∴e4－3e2＋1＝0，解得e2＝eq \f(3＋\r(5),2)(舍去)或e2＝eq \f(3－\r(5),2)，∴e＝eq \f(\r(5)－1,2)，故D正确．故选BD.7．【多选题】已知方程mx2＋ny2＝1，其中m2＋n2≠0，则(　　)A．mn>0时，方程表示椭圆B．mn<0时，方程表示双曲线C．n＝0时，方程表示抛物线D．n>m>0时，方程表示焦点在x轴上的椭圆答案　BD解析　mx2＋ny2＝1表示椭圆的充要条件是m>0，n>0，A不正确；mx2＋ny2＝1表示双曲线的充要条件是mn<0，B正确；当n＝0时，mx2＝1不表示抛物线，C不正确；mx2＋ny2＝1表示焦点在x轴上的椭圆的充要条件是n>m>0，D正确．故选BD.8.如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则eq \f(b,a)＝________．答案　eq \r(2)＋1思路分析　根据正方形的边长及O为AD的中点，求出点C，F的坐标，将两点坐标代入抛物线方程列式求解．解析　∵正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b，O为AD的中点，∴Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－a))，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋b，b)).又∵点C，F在抛物线y2＝2px(p>0)上，∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2＝pa，,b2＝2p\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋b))，))解得eq \f(b,a)＝eq \r(2)＋1.9．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋eq \f(y2,b2)＝1(00，∴－1b>0)的左焦点为F，离心率为eq \f(\r(3),3)，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为eq \f(4\r(3),3).(1)求椭圆的方程；(2)设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点，若eq \o(AC,\s\up6(→))·eq \o(DB,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→))·eq \o(CB,\s\up6(→))＝8，求k的值．解析　(1)设F(－c，0)，由eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)，知a＝eq \r(3)c.过点F且与x轴垂直的直线为x＝－c，代入椭圆方程有eq \f(（－c）2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，解得y＝±eq \f(\r(6)b,3).于是eq \f(2\r(6)b,3)＝eq \f(4\r(3),3)，解得b＝eq \r(2).又a2－c2＝b2，从而a＝eq \r(3)，c＝1，所以椭圆的方程为eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.(2)设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，由F(－1，0)得直线CD的方程为y＝k(x＋1)，由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝k（x＋1），,\f(x2,3)＋\f(y2,2)＝1，))消去y，整理得(2＋3k2)x2＋6k2x＋3k2－6＝0.由根与系数的关系可得x1＋x2＝－eq \f(6k2,2＋3k2)，x1x2＝eq \f(3k2－6,2＋3k2).因为A(－eq \r(3)，0)，B(eq \r(3)，0)，所以eq \o(AC,\s\up6(→))·eq \o(DB,\s\up6(→))＋eq \o(AD,\s\up6(→))·eq \o(CB,\s\up6(→))＝(x1＋eq \r(3)，y1)·(eq \r(3)－x2，－y2)＋(x2＋eq \r(3)，y2)·(eq \r(3)－x1，－y1)＝6－2x1x2－2y1y2＝6－2x1x2－2k2(x1＋1)(x2＋1)＝6－(2＋2k2)x1x2－2k2(x1＋x2)－2k2＝6＋eq \f(2k2＋12,2＋3k2).由已知得6＋eq \f(2k2＋12,2＋3k2)＝8，解得k＝±eq \r(2).14．已知抛物线C的顶点在原点O，焦点与椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的右焦点重合．(1)求抛物线C的方程；(2)在抛物线C的对称轴上是否存在定点M，使过点M的动直线与抛物线C相交于P，Q两点时，有∠POQ＝eq \f(π,2).若存在，求出M的坐标；若不存在，请说明理由．解析　(1)椭圆eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,9)＝1的右焦点为(4，0)，所以抛物线C的方程为y2＝16x.(2)设点M(a，0)(a≠0)满足题设，当PQ的斜率存在时，PQ的方程为y＝k(x－a)，则联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝16x，,y＝k（x－a）))⇒k2x2－2(ak2＋8)x＋a2k2＝0，则x1＋x2＝eq \f(2（ak2＋8）,k2)，x1x2＝a2.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则由∠POQ＝eq \f(π,2)，得x1x2＋y1y2＝0.从而x1x2＋k2(x1－a)(x2－a)＝0⇒a2－16a＝0⇒a＝16，若PQ的方程为x＝a，代入抛物线方程得y＝±4eq \r(a)，当∠POQ＝eq \f(π,2)时，a＝4eq \r(a)，即a＝16，所以存在满足条件的点M(16，0)．15.如图所示，已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，A，B分别为其长、短轴的一个端点，F1，F2分别是其左、右焦点．从椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，且eq \o(AB,\s\up6(→))与eq \o(OM,\s\up6(→))是共线向量．(1)求椭圆的离心率e；(2)设Q是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F1QF2的取值范围．解析　(1)设M(xM，yM)，∵F1(－c，0)，∴xM＝－c，yM＝eq \f(b2,a)，∴kOM＝－eq \f(b2,ac).由题意知kAB＝－eq \f(b,a)，∵eq \o(OM,\s\up6(→))与eq \o(AB,\s\up6(→))是共线向量，∴－eq \f(b2,ac)＝－eq \f(b,a)，∴b＝c，∴a＝eq \r(2)c，∴e＝eq \f(\r(2),2).(2)设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，则r1＋r2＝2a.又|F1F2|＝2c，∴由余弦定理，得cos θ＝eq \f(r12＋r22－4c2,2r1r2)＝eq \f(（r1＋r2）2－2r1r2－4c2,2r1r2)＝eq \f(a2,r1r2)－1≥eq \f(a2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r1＋r2,2)))\s\up12(2))－1＝0，当且仅当r1＝r2时等号成立，∴cos θ≥0，∴θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))..