2025年高考数学一轮复习-第六章-第五节-第1课时-余弦定理、正弦定理-专项训练【含答案】

这是一份2025年高考数学一轮复习-第六章-第五节-第1课时-余弦定理、正弦定理-专项训练【含答案】，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单项选择题
1．在下列关于△ABC的四个条件中选择一个，能够使角A被唯一确定的是( )
①sin A＝12；②cs A＝－13；③cs B＝－14，b＝3a；④C＝π4，b＝2，c＝3.
A．①② B．②③
C．②④ D．②③④
2．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a2－b2＝3bc，sin C＝23sin B，则A＝( )
A．5π6 B．2π3
C．π3 D．π6
3．在△ABC中，(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)，则∠C＝( )
A．π6 B．π3
C．2π3 D．5π6
4．在△ABC中，若AB·BC＝－2，且B＝60°，则△ABC的面积为( )
A．23 B．3
C．32 D．6
5．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，且b cs C＋a cs B＝a，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰或直角三角形
6．已知锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝1，B＝2A，则b的取值范围为( )
A．(2，3) B．(1，3)
C．(2，2) D．(0，2)
二、多项选择题
7．△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b sin A＝(3b－c)sin B，且cs A＝13，则下列结论正确的是( )
A．a＋c＝3b
B．tan A＝22
C．△ABC的周长为4c
D．△ABC的面积为229a2
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝23，c＝3，A＋3C＝π，则下列结论正确的是( )
A．cs C＝33 B．sin B＝23
C．a＝3 D．S△ABC＝2
三、填空题
9．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cs B＝－14，则b＝________．
10．我国南宋著名数学家秦九韶，发现了由三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是S＝14c2a2−c2+a2−b222，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边a＝2，b＝3，c＝2，则该三角形的面积S＝________．
四、解答题
11．在△ABC中，b sin A－a cs B2＝0.
(1)求角B；
(2)若b＝3，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求a及△ABC的面积．
条件①：sin A＋sin C＝2sin B；
条件②：c＝3；
条件③：ac＝10.
12．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝π2，∠ACD＝π3，AD＝3，S为△ABC的面积，且2S＝－3 BA·BC.
(1)求角B；
(2)若cs D＝12，求四边形ABCD的周长．
13．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BD sin ∠ABC＝a sin C.
(1)证明：BD＝b；
(2)若AD＝2DC，求cs ∠ABC.
参考答案
1．B [对于①：sin A＝12，因为A∈(0，π)，所以A＝π6或5π6，故①错误；
对于②：cs A＝－13，因为y＝cs x在(0，π)上单调，所以角A被唯一确定，故②正确；
对于③：cs B＝－14，b＝3a，因为cs B＝－14＜0，B∈(0，π)，所以B∈π2，π，所以A∈0，π2，
所以sin B＝1−cs2B＝154，
又b＝3a，由正弦定理得sinB＝3sin A，
所以sin A＝sinB3＝1512，
所以角A被唯一确定，故③正确；
对于④：C＝π4，b＝2，c＝3，
因为b sin C＝2×sin π4＝2，
所以b sin C＜c＜b，
如图，△ABC不唯一，故④错误.
故选B.]
2．D [∵sin C＝23sin B，∴c＝23b，结合a2－b2＝3bc得a＝7b.
由余弦定理的推论可得
cs A＝b2+c2−a22bc＝b2+12b2−7b22×b×23b＝32.
又∵A∈(0，π)，∴A＝π6.故选D.]
3．B [由(a＋c)(sin A－sin C)＝b(sin A－sin B)得(a＋c)(a－c)＝b(a－b)，即a2＋b2－c2＝ab，
∴cs C＝a2+b2−c22ab＝ab2ab＝12，
又C∈(0，π)，∴C＝π3.故选B.]
4．B [因为AB·BC＝－2且B＝60°，
所以a·c·cs (180°－60°)＝ac cs 120°＝－2，
所以ac＝4，所以S△ABC＝12ac sin B＝12×4×32＝3.故选B.]
5．D [由b cs C＋a cs B＝a及正弦定理，得
sin B cs C＋sin A cs B＝sin A，
所以sin B cs C＋sin A cs B＝sin (B＋C)＝sin B cs C＋cs B sin C，即cs B(sin A－sin C)＝0，
当cs B＝0时，因为0＜B＜π，所以B＝π2，
当cs B≠0时，所以sin A－sin C＝0，
即sin A＝sin C，
因为0＜A＜π，0＜C＜π，所以A＝C，
所以△ABC为等腰或直角三角形．故选D.]
6．A [∵B＝2A，∴sin B＝sin 2A＝2sin Acs A.
∵a＝1，∴b＝2acs A＝2cs A.
又△ABC为锐角三角形，
∴0＜2A＜π2，0＜A＜π2，0＜C＜π2，π2＜3A＜π，∴π6＜A＜π4，∴22＜cs A＜32.
即2＜b＝2cs A＜3.故选A.]
7．ABD [由正弦定理及题意得ba＝(3b－c)b，整理得a＝3b－c，即a＋c＝3b，A正确；
由cs A＝13可得sin A＝1−132＝223，
则tan A＝sinAcsA＝22，B正确；
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cs A，又a＝3b－c，可得(3b－c)2＝b2＋c2－2bc×13，
整理得3b＝2c，△ABC的周长为a＋b＋c＝4b＝83c，C错误；
由上知：a＝3b－c，3b＝2c，可得a＝c，b＝23a，则S△ABC＝12bc sin A＝12·23a·a·223＝229a2，D正确．故选ABD.]
8．AD [因为A＋3C＝π，故B＝2C，根据正弦定理bsinB＝csinC，得23sin C＝3×2sin C cs C.
由于sin C≠0，故cs C＝33，sin C＝63，所以sin B＝sin 2C＝2sin C cs C＝223.又由余弦定理c2＝a2＋b2－2ab cs C，化简得到a2－4a＋3＝0，解得a＝3或a＝1．若a＝3，则A＝C＝π4，故B＝π2，不合题意，因此a＝1.故S△ABC＝12ab sin C＝12×1×23×63＝2.故选AD.]
9．4 [在△ABC中，由b2＝a2＋c2－2ac cs B及b＋c＝7知，b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×−14，整理得15b－60＝0，所以b＝4．]
10．234 [法一：S＝142×4−4+2−322＝148−94＝234.
法二：cs A＝3+4−223×2＝543＝5312，sin A＝6912，S＝12×3×2×6912＝234.]
11．解：(1)由正弦定理得b sin A＝a sin B，
得a sin B－a cs B2＝0，
2a sin B2cs B2－a cs B2＝0，
因为0＜B2＜π2，所以a cs B2≠0.
则sin B2＝12.
所以B2＝π6，所以B＝π3.
(2)选条件①：sin A＋sin C＝2sin B.
因为b＝3，B＝π3，sin A＋sin C＝2sin B，
由正弦定理得a＋c＝2b＝6，
由余弦定理得9＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，
解得ac＝9，则ac=9，a+c=6，解得a=3，c=3，
所以△ABC存在且唯一确定，
则S△ABC＝12ac sin B＝934.
选条件②：c＝3.
已知B＝π3，b＝3，c＝3，
由正弦定理得sin C＝cbsin B＝12，
因为c＜b，
所以C＝π6，A＝π2，a＝b2+c2＝23.
所以△ABC存在且唯一确定，
则S△ABC＝12bc＝332.
选条件③：ac＝10.
由余弦定理得9＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，
即a＋c＝39，
所以a(39－a)＝10，即a2－39a＋10＝0，
因为(39)2－4×10＝－1＜0，
所以不存在a使得△ABC存在．
12．解：(1)由2S＝－3BA·BC，
在△ABC中，得2×12AB×BC sin B＝－3AB×BC cs B，
即sin B＝－3cs B，可得tan B＝－3，
因为B∈(0，π)，所以B＝2π3.
(2)因为cs D＝12，D∈(0，π)，所以D＝π3，
所以△ACD为等边三角形，AC＝3，∠CAD＝π3，
所以∠BAC＝π6，∠ACB＝π6，
由正弦定理知ACsinB＝ABsin∠ACB，得
AB＝AC·sin∠ACBsinB＝3×1232＝1＝BC，
故四边形ABCD的周长为2＋23.
13．解：(1)证明：设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理，得sin ∠ABC＝b2R，sin C＝c2R，
因为BD sin ∠ABC＝a sin C，所以BD·b2R＝a·c2R，
即BD·b＝ac.又因为b2＝ac，所以BD＝b.
(2)法一：(两次应用余弦定理)
因为AD＝2DC，如图，在△ABC中，cs C＝a2+b2−c22ab.①
在△BCD中，cs C＝a2+b32−b22a·b3.②
由①②得a2＋b2－c2＝3a2+b32−b2，整理得2a2－113b2＋c2＝0.
又因为b2＝ac，所以6a2－11ac＋3c2＝0，
解得a＝c3或a＝3c2.
当a＝c3，b2＝ac＝c23时，a＋b＝c3+3c3＜c(舍去)．
当a＝3c2，b2＝ac＝3c22时，
cs ∠ABC＝3c22+c2−3c222×3c2×c＝712.
所以cs ∠ABC＝712．
法二：(向量法)
因为AD＝2DC，所以AD＝2DC，
即BD＝23BC+13BA.
所以BD2＝49 BC2＋49 BA·BC+19BA2，
即b2＝49a2＋49ac cs ∠ABC＋19c2，
又因为b2＝ac，
所以9ac＝4a2＋4ac·cs ∠ABC＋c2．③
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cs ∠ABC，
所以ac＝a2＋c2－2ac cs ∠ABC.④
联立③④，得6a2－11ac＋3c2＝0.
所以a＝32c或a＝13c.
当a＝c3，b2＝ac＝c23时，a＋b＝c3+3c3＜c(舍去)．
当a＝3c2，b2＝ac＝3c22时，
cs ∠ABC＝3c22+c2−3c222×3c2×c＝712.
所以cs ∠ABC＝712