2025届高考数学一轮复习教师用书第三章第五节对数与对数函数讲义（Word附解析）

第五节　对数与对数函数【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.对数的概念一般地,如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.以10为底的对数叫做常用对数,记为lg N. 以e为底的对数叫做自然对数,记为ln N. 2.对数的性质与运算性质(1)对数的性质:loga1=0,logaa=1,alogaN=N(a>0,且a≠1,N>0).(2)对数的运算性质如果a>0,且a≠1,M>0,N>0,那么:①loga(MN)=logaM+logaN;②logaMN=logaM-logaN;③logaMn=nlogaM(n∈R).(3)换底公式:logab=logcblogca(a>0,且a≠1,b>0,c>0,且c≠1).【微点拨】(1)换底公式的变形①logab·logba=1,即logab=1logba(a,b均大于0且不等于1).②logambn=nmlogab(a,b均大于0且不等于1,m≠0,n∈R).③logNM=logaMlogaN=logbMlogbN(a,b,N均大于0且不等于1,M>0).(2)换底公式的推广logab·logbc·logcd=logad(a,b,c均大于0且不等于1,d>0).3.对数函数的图象与性质4.反函数指数函数y=ax(a>0且a≠1)与对数函数y=logax(a>0且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列结论错误的是 (　　)A.log2x2=2log2xB.若MN>0,则loga(MN)=logaM+logaNC.函数y=ln 1+x1-x与y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同D.当x>1时,若logax>logbx,则ab>c B.a>c>bC.b>c>a D.c>b>a【解析】选A.方法一:如图,作出函数y1=log0.2x,y2=log0.3x,y3=log0.4x的图象,由图可知,当x=6时,log0.26>log0.36>log0.46,即a>b>c.方法二:易知0>log60.4>log60.3>log60.2,所以1log60.41时,依题意得loga4-loga2=1,解得a=2;当0a>1>d>c>0,即在第一象限,不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大.【即时练】1.函数y=loga(x-2)+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点__________. 【解析】因为loga1=0,令x-2=1,所以x=3,所以y=loga1+2=2,所以原函数的图象恒过定点(3,2).答案:(3,2)2.已知图中曲线C1,C2,C3,C4是函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象,则曲线C1,C2,C3,C4对应的a的值依次为 (　　)A.3,2,13,12 B.2,3,13,12C.2,3,12,13 D.3,2,12,13【解析】选B.方法一:可用结论2,画直线y=1,交点的位置自左向右,底数由小到大.方法二:因为C1,C2为增函数,所以它们的底数都大于1,又当x>1时,图象越靠近x轴,其底数越大,故C1,C2对应的a值分别为2,3.又因为C3,C4为减函数,所以它们的底数都大于0小于1,此时当x>1时,图象越靠近x轴,其底数越小,所以C3,C4对应的a分别为13,12.综上可得C1,C2,C3,C4对应的a值依次为2,3,13,12.【核心考点·分类突破】考点一　对数的运算[例1](1)下列运算正确的是 (　　)A.2log1510+log150.25=2B.log427×log258×log95=89C.lg 2+lg 50=10D.log(2+3)(2-3)-(log22)2=-54【解析】选D.对于A,2log1510+log150.25=log15(102×0.25)=log1552=-2,A错误;对于B,log427×log258×log95=lg 33lg 22×lg 23lg 52×lg5lg 32=3×32×2×2=98,B错误;对于C,lg 2+lg 50=lg 100=2,C错误;对于D,log(2+3)(2-3)-(log22)2=-1-(12)2=-54,D正确.(2)计算:(1-log63)2+log62·log618log64=__________. 【解析】原式=1-2log63+(log63)2+log663·log6(6×3)log64=1-2log63+(log63)2+1-(log63)2log64=2(1-log63)2log62=log66-log63log62=log62log62=1.答案:1(3)已知a=log26,3b=36,则1a+2b=__________,2ab=__________. 【解析】a=log26,3b=36,则b=log336=2log36,则1a+2b=log62+log63=log66=1,ab=log262log36=lg6lg22lg6lg3=lg32lg2=12log23=log23,则2ab=2log23=3.答案:1　3【解题技法】对数运算的一般思路(1)拆:首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再用对数的运算性质化简合并.(2)合:将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算,然后逆用对数的运算性质,转化为同底数对数真数的积、商、幂的运算.【加练备选】1.已知a=lg 2,10b=3,则log56= (　　)A.a+b1+a B.a+b1-a C.a-b1+a D.a-b1-a【解析】选B.因为a=lg 2,10b=3,所以b=lg 3,log56=lg6lg5=lg2+lg31-lg2=a+b1-a.2.(2023·豫北名校联考)已知2a=7b=k,若2a+1b=1,则k的值为 (　　)A.28 B.114 C.14 D.17【解析】选A.因为2a=7b=k,所以a=log2k,b=log7k,所以1a=logk2,1b=logk7,所以2a+1b=2logk2+logk7=logk28=1,所以k=28.3.计算:(827) -23+eln 3+log142-log34·log23=__________. 【解析】原式=(23) 3×(-23)+3-12log2(212)-2log32·log23=94+3-14-2=3.答案:3考点二　对数函数的图象及应用[例2](1)函数f(x)=2log4(1-x)的大致图象是 (　　)【解析】选C.方法一:函数f(x)=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除A,B;函数f(x)=2log4(1-x)在定义域上单调递减,排除D.方法二(特值法):分别取x=12及x=-1验证即可.(2)金榜原创·易错对对碰①当x∈(0,14]时,x