2025届高考数学一轮复习教师用书第三章第四节指数与指数函数讲义（Word附解析）

第四节　指数与指数函数【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.指数与指数运算(1)根式的性质①(na)n=a(a使na有意义);②当n是奇数时,nan=a;当n是偶数时,nan=|a|=.(2)分数指数幂的意义①amn= (a>0,m,n∈N*,且n>1);②a-mn=1amn=(a>0,m,n∈N*,且n>1);③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.(3)有理数指数幂的运算性质:ar·as=ar+s,(ar)s=ars(其中a>0,r,s∈Q),(ab)r=arbr(其中a>0,b>0,r∈Q).【微点拨】化简nan时,一定要注意区分n是奇数还是偶数.2.指数函数的图象与性质【微点拨】(1)画指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象,应抓住三个关键点(0,1),(1,a), (-1,1a).(2)讨论指数函数的性质时,要注意分底数a>1和00,且a≠1),则m1)的值域是[a,+∞)【解析】选ABC.2.(人A必修第一册P119T6·变形式)已知a=0.750.1,b=1.012.7,c=1.013.5,则 (　　)A.a>b>c B.a>c>bC.c>b>a D.c>a>b【解析】选C.因为函数y=1.01x在(-∞,+∞)上是增函数,且3.5>2.7,故1.013.5>1.012.7>1>0.750.1,即c>b>a.3.(忽视函数的定义域)函数f(x)=21x-1的值域为________. 【解析】因为f(x)的定义域为{x|x≠1},所以1x-1≠0,故f(x)>0且f(x)≠1,即函数的值域为(0,1)∪(1,+∞).答案:(0,1)∪(1,+∞)4.(忽视底数的取值)若函数f(x)=ax在[-1,1]上的最大值为2,则a=________. 【解析】若a>1,则f(x)max=f(1)=a=2;若00,且a≠1)的图象恒过点(0,1),(1,a), (-1,1a).2.指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,底数a,b,c,d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律:在第一象限内,指数函数y=ax(a>0,a≠1)的图象越高,底数越大.【即时练】1.若a>0且a≠1,则函数f(x)=ax-4+3的图象恒过的定点的坐标为________. 【解析】令x-4=0,得x=4,所以f(4)=a0+3=4,所以函数f(x)=ax-4+3的图象恒过定点(4,4).答案:(4,4)2.已知y1=(13)x,y2=3x,y3=10-x,y4=10x,则在同一平面直角坐标系内,它们的图象为 (　　)【解析】选A.y2=3x与y4=10x在R上单调递增;y1=(13)x与y3=10-x=(110)x在R上单调递减,在第一象限内作直线x=1(图略),由结论可得选项A正确.【核心考点·分类突破】考点一　指数幂的运算[例1](1)已知x<0,y>0,化简:49x8y4= (　　)A.-3x2y B.3x2yC.-3x2y D.3x2y【解析】选B.由题意得49x8y4=914(x8)14(y4)14=3x2·|y|=3x2y.(2)计算:(-1.8)0+(32)-2·3(338) 2-10.01+93=__________. 【解析】(-1.8)0+(32)-2·3(338) 2-10.01+93=1+232·27823-10+932=1+(23)2·(32)2-10+33=1+1-10+27=19.答案:19(3)已知a2x=5,则a3x-a-3xax-a-x=__________. 【解析】a3x-a-3xax-a-x=(ax-a-x)(a2x+1+a-2x)ax-a-x=a2x+1+a-2x=5+1+15=315.答案:315【解题技法】指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的,无括号的先做指数运算.(2)先乘除后加减,负指数幂化成正指数幂的倒数.(3)底数是字母,先确定符号;底数是小数,先化成分数;底数是带分数的,先化成假分数.(4)若是根式,应化为分数指数幂,尽可能用幂的形式表示,运用指数幂的运算性质来计算.【对点训练】1.已知3a+2b=1,则9a·3b3a=________. 【解析】因为3a+2b=1,所以32a+b=12,所以原式=(32)a·3b(3a)12=32a+b-12a=332a+b=312=3.答案:32.计算:(14) -12·(4ab-1)3(0.1)-1·(a3·b-3)12=________(a>0,b>0). 【解析】原式=2·432a32b-3210a32b-32=85.答案:853.若a,b,c为正实数,ax=by=cz,1x+1y+1z=0,则abc=________. 【解析】设ax=by=cz=k,则k>0,a=k1x,b=k1y,c=k1z,因此abc=k1xk1yk1z=k1x+1y+1z=k0=1.答案:1考点二　指数函数的图象及应用[例2](1)函数f(x)=(12)|x+1|的图象大致为 (　　)【解析】选B.作出函数y=(12)|x|的图象,如图所示,将y=(12)|x|的图象向左平移1个单位得到f(x)=(12)|x+1|的图象.(2)(多选题)(2023·福州调研)已知实数a,b满足等式2 023a=2 024b,下列等式可以成立的是 (　　)A.a=b=0 B.a0,使x+a0时有y1=e-x∈(0,1),而y=x+a∈(a,+∞),所以当a<1时,∃x>0,使得ex(x+a)<1成立.3.若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点,则实数b的取值范围是__________. 【解析】在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=b的图象,如图所示.所以当0b>c B.a>c>bC.b>c>a D.c>b>a【解析】选D.方法一:由指数函数y=0.3x在定义域内单调递减,得ab.方法二:因为ab=0.365<1,且bc=(34)0.5<1,又a,b,c都为正数,所以c>b>a.角度2 　解简单的指数方程或不等式[例4](1)若x满足不等式2x2+1≤(14)x-2,则函数y=2x的值域是 (　　)A.[18,2) B.[18,2]C. (-∞,18] D.[2,+∞)【解析】选B.将2x2+1≤(14)x-2化为x2+1≤-2(x-2),即x2+2x-3≤0,解得x∈[-3,1],所以2-3≤2x≤21,所以函数y=2x的值域是[18,2].(2)已知实数a≠1,函数f(x)=4x,x≥0,2a-x,x<0,若f(1-a)=f(a-1),则a的值为________. 【解析】①当a<1时,由f(1-a)=f(a-1)得41-a=2a-(a-1),即22-2a=2,所以2-2a=1,解得a=12;②当a>1时,由f(1-a)=f(a-1)得2a-(1-a)=4a-1,即22a-1=22a-2,所以2a-1=2a-2,无解.综上可知,a=12.答案:12角度3 指数函数性质的综合应用[例5](1)(多选题)(2023·广州模拟)已知函数y=(12) x2+4x+3,则下列说法正确的是(　　)A.定义域为RB.值域为(0,2]C.在[-2,+∞)上单调递增D.在[-2,+∞)上单调递减【解析】选ABD.函数y=(12) x2+4x+3的定义域为R,A正确;因为x2+4x+3=(x+2)2-1≥-1,所以0<(12) x2+4x+3≤2,故函数y=(12) x2+4x+3的值域为(0,2],B正确;因为y=(12)u在R上是减函数,u=x2+4x+3在(-∞,-2]上是减函数,在[-2,+∞)上是增函数,所以函数y=(12) x2+4x+3在[-2,+∞)上单调递减,C错误,D正确.(2)(多选题)(2023·杭州模拟)已知函数f(x)=3x-13x+1,下列说法正确的有 (　　)A.f(x)的图象关于原点对称B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的值域为(-1,1)D.∀x1,x2∈R,且x1≠x2,f(x1)-f(x2)x1-x2<0【解析】选AC.对于A,由f(-x)=3-x-13-x+1=-3x-13x+1=-f(x),可得函数f(x)为奇函数,函数f(x)的图象关于原点对称,故选项A正确,选项B错误;对于C,设y=3x-13x+1,可得3x=1+y1-y,所以1+y1-y>0,即1+yy-1<0,解得-1a>b B.b>a>cC.a>c>b D.a>b>c【解析】选A.因为指数函数y=2x在R上单调递增,且1.9>1.5,所以21.9>21.5,即a>b.因为幂函数y=x1.9在(0,+∞)上单调递增,且3>2,所以31.9>21.9,即c>a,所以c>a>b.2.(2023·青岛模拟)已知y=4x-3·2x+3的值域为[1,7],则x的取值范围可以是 (　　)A.[2,4] B.(-∞,0)C.(0,1)∪[2,4] D.(-∞,0]∪[1,2]【解析】选D.因为y=4x-3·2x+3的值域为[1,7],所以1≤4x-3·2x+3≤7.所以0<2x≤1或2≤2x≤4.所以x≤0或1≤x≤2.3.(多选题)已知函数f(x)=ex+e-xex-e-x,则下列结论中正确的是 (　　)A.f(x)的定义域为RB.f(x)是奇函数C.f(x)在定义域上是减函数D.f(x)无最小值,无最大值【解析】选BD.对于A,由ex-e-x≠0,解得x≠0,故f(x)的定义域为{x|x≠0},故A错误;对于B,函数f(x)的定义域关于原点对称,且f(-x)=e-x+exe-x-ex=-f(x),故f(x)是奇函数,故B正确;对于C,f(x)=ex+e-xex-e-x=e2x+1e2x-1=1+2e2x-1,故函数f(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上分别单调递减,当x∈(-∞,0)时,f(x)<0,当x∈(0,+∞)时,f(x)>0,所以f(x)在定义域上不是减函数,故C错误;对于D,由选项C的分析可知,函数f(x)的值域为(-∞,-1)∪(1,+∞),无最小值,无最大值,故D正确.4.已知函数f(x)=2|2x-m|(m为常数),若f(x)在区间[2,+∞)上是增函数,则m的取值范围是________. 【解析】令t=|2x-m|,则t=|2x-m|在区间(m2,+∞)上单调递增,在区间(-∞,m2]上单调递减.而y=2t为R上的增函数,所以要使函数f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上单调递增,则有m2≤2,即m≤4,所以m的取值范围是(-∞,4].答案:(-∞,4]课程标准1.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质.2.了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念.3.会画出具体指数函数的图象,理解指数函数的单调性与特殊点.考情分析考点考法:高考命题以考查指数幂的运算性质、指数函数的单调性与特殊点、指数幂的大小比较为主,常以选择题或填空题的形式出现.核心素养:数学抽象、逻辑推理、数学运算.项目01图象性质定义域:R值域:(0,+∞)过定点(0,1)当x>0时,01当x>0时,y>1;当x<0时,00,且a≠1),故y=2x-1不是指数函数.×Cm与n的大小关系与a的取值有关.×D由于x2+1≥1,又a>1,所以ax2+1≥a.故y=ax2+1(a>1)的值域是[a,+∞)√题型求解策略比较幂值的大小(1)能化成同底数幂的先化成同底数幂再利用单调性比较大小(2)不能化成同底数幂的,一般引入“1”等中间量比较大小解简单指数不等式先利用幂的运算性质化为同底数幂,再利用单调性转化为一般不等式求解探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致