2025届高考数学一轮复习教师用书第八章第五节空间向量的运算及其坐标表示讲义（Word附解析）

第五节　空间向量的运算及其坐标表示【必备知识·逐点夯实】【知识梳理·归纳】1.空间向量有关概念(1)单位向量:模为1的向量.(2)共线向量:如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.(3)共面向量:平行于同一个平面的向量.【微点拨】(1)零向量与任意向量平行;(2)空间中任意两个向量是共面向量,任意三个向量不一定是共面向量.2.空间向量有关定理(1)共线向量定理:对空间中任意两个向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.(2)共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.(3)空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=xa+yb+zc.a,b,c叫做空间的一个基底.3.空间向量有关运算设a=a1,a2,a3,b=(b1,b2,b3),(1)坐标运算:则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R.(2)数量积运算:a·b=a1b1+a2b2+a3b3=|a||b|cos.【微点拨】向量a在向量b方向上的投影向量:acos·bb=a·bb2·b.4.空间向量有关公式(1)空间两点间距离公式已知P1x1,y1,z1,P2x2,y2,z2,则P1P2=x2-x12+y2-y12+z2-z12.(2)空间两点的中点公式设点P(x,y,z)为P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)的中点,则x=x1+x22y=y1+y22z=z1+z22.(3)空间向量共线与垂直公式若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),其中b≠0,则a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2+z1z2=0.a∥b⇔a=λb⇔x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R).(4)空间向量模与夹角公式若a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则|a|=a·a=x12+y12+z12;cosa,b=a·b|a||b|=x1x2+y1y2+z1z2x12+y12+z12x22+y22+z22.【基础小题·自测】1.(多维辨析)(多选题)下列说法正确的是(　　)A.若A,B,C,D是空间任意四点,则AB+BC+CD+DA=0B.|a|-|b|=|a+b|是a,b共线的充要条件C.空间中任意两非零向量a,b共面D.对于空间非零向量a,b,若a·b<0,则a与b的夹角为钝角【解析】选AC.A中由向量的运算可知正确;B中若|a|-|b|=|a+b|,则两向量反向共线,若两向量同向共线时不成立,错误;C正确;D中若a·b<0,则a与b可能反向,夹角等于180°.2.(选择性必修一P6T5·变形式)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若AB=a,AD=b,AA1=c,则下列向量中与BM相等的向量是(　　)A.-12a+12b+c B.12a+12b+cC.-12a-12b+c D.12a-12b+c【解析】选A.BM=BB1+B1M=AA1+12(AD-AB)=c+12(b-a)=-12a+12b+c.3.(选择性必修一P5例1·变形式)若a与b不共线,且m=a+b,n=a-b,p=a,则(　　)A.m,n,p共线 B.m与p共线C.n与p共线 D.m,n,p共面【解析】选D.因为(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p,即p=12m+12n,又m与n不共线,所以m,n,p共面.4.(忘记开方导致错误)正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为______. 【解析】|EF|2=EF2=(EC+CD+DF)2=EC2+CD2+DF2+2(EC·CD+EC·DF+CD·DF)=12+22+12+2(1×2×cos 120°+0+2×1×cos 120°)=2,所以|EF|=2,所以EF的长为2.答案:2【巧记结论·速算】1.对空间任意一点O,若三点P,A,B满足PA=λPB⇔OP=xOA+yOB(x+y=1)⇔P,A,B三点共线.2.证明空间四点共面的方法对空间任意一点O,若四点P,M,A,B满足MP=mMA+nMB⇔OP=xOM+yOA+zOB(x+y+z=1)⇔P,M,A,B四点共面.【即时练】　O为空间中任意一点,A,B,C三点不共线,且OP=34OA+18OB+tOC,若P,A,B,C四点共面,则实数t=________. 【解析】因为P,A,B,C四点共面,所以34+18+t=1,所以t=18.答案:18【核心考点·分类突破】考点一　空间向量的线性运算[例1](1)(2023·武汉模拟)如图,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,且MN=13OM,设OA=a,OB=b,OC=c,则下列向量与AN相等的向量是(　　)A.-a+13b+13c B.a+13b+13cC.-a+16b+16c D.a+16b+16c【解析】选A.因为M是四面体OABC的棱BC的中点,MN=13OM,所以AN=ON-OA=23OM-OA=23×12(OB+OC)-OA=13OB+13OC-OA=-a+13b+13c.(2)在三棱柱A1B1C1-ABC中,D是四边形BB1C1C的中心,且AA1=a,AB=b,AC=c,则A1D等于(　　)A.12a+12b+12cB.12a-12b+12cC.12a+12b-12cD.-12a+12b+12c【解析】选D.A1D=A1A+AB+BD=-AA1+AB+12(BB1+BC)=-AA1+AB+12AA1+12(AC-AB)=-12AA1+12AB+12AC=-12a+12b+12c.【解题技法】用已知向量表示某一向量的三个关键点(1)用已知向量来表示某一向量,一定要结合图形,以图形为指导是解题的关键.(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义,如首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量.(3)在立体几何中,三角形法则、平行四边形法则仍然成立.【对点训练】　如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设AA1=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:(1)AP;(2)A1N;(3)MP+NC1.【解析】(1)因为P是C1D1的中点,所以AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+12D1C1=a+c+12AB=a+c+12b.(2)因为N是BC的中点,所以A1N=A1A+AB+BN=-a+b+12BC=-a+b+12AD=-a+b+12c.(3)因为M是AA1的中点,所以MP=MA+AP=12A1A+AP=-12a+a+c+12b=12a+12b+c.又NC1=NC+CC1=12BC+AA1=12AD+AA1=12c+a,所以MP+NC1=12a+12b+c+a+12c=32a+12b+32c.考点二　共线、共面向量的应用 [例2](1)已知a=(λ+1,0,2),b=(6,2μ-1,2λ),若a∥b,则λ与μ的值可以是(　　)A.2,12 B.-13,12C.-3,2 D.2,2【解析】选A.因为a∥b,所以设b=xa,所以x(λ+1)=62μ-1=02x=2λ,解得μ=12λ=2或μ=12λ=-3.(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心,若点P满足DP=mDA+nDM+kDN,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,则点P可以是正方体表面上__________的点. 【解析】因为点P满足DP=mDA+nDM+kDN,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,所以点A,M,N,P四点共面,又因为M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心,所以CN=B1N,AM=MC,连接MN,AB1,则MN∥AB1,所以△AB1C即为经过A,M,N三点的平面与正方体的截面,故P点可以是正方体表面上线段AB1,B1C,AC上的点.答案:线段AB1(线段B1C或线段AC)上(答案不唯一)(3)如图,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点M,N分别在AC1和BC上,且满足AM=kAC1,BN=kBC(0≤k≤1).①向量MN是否与向量AB,AA1共面?②直线MN是否与平面ABB1A1平行?【解析】①因为AM=kAC1,BN=kBC,所以MN=MA+AB+BN=kC1A+AB+kBC=k(C1A+BC)+AB=k(C1A+B1C1)+AB=kB1A+AB=AB-kAB1=AB-k(AA1+AB)=(1-k)AB-kAA1,所以由共面向量定理知向量MN与向量AB,AA1共面.②当k=0时,点M,A重合,点N,B重合,MN在平面ABB1A1内.当0;②求AC在AB上的投影向量.【解析】(2)①因为A(-1,2,1),B(-1,5,4),C(1,3,4),所以AB=(0,3,3),BC=(2,-2,0).因为AB·BC=0×2+3×(-2)+3×0=-6,|AB|=32,|BC|=22,所以cos=AB·BC|AB||BC|=-632×22=-12,故=2π3.②因为AC=(2,1,3),AB=(0,3,3),所以AC·AB=0+1×3+3×3=12.因为|AB|=32,|AC|=14,所以cos=AC·AB|AC||AB|=1214×32=277,所以AC在AB上的投影向量为|AC|cos·AB|AB|=14×277×AB32=23AB=(0,2,2).【解题技法】空间向量数量积的应用【对点训练】1.已知A(1,0,0),B(0,-1,1),O为坐标原点,OA+λOB与OB的夹角为120°,则λ的值为(　　)A.±66 B.66 C.-66 D.±6【解析】选C.由于OA+λOB=(1,-λ,λ),OB=(0,-1,1),则cos 120°=λ+λ1+2λ2·2=-12,解得λ=±66.经检验λ=66不符合题意,舍去,所以λ=-66.2.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°.(1)求线段AC1的长;(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值;(3)证明:AA1⊥BD.【解析】(1)如图所示,设AB=a,AD=b,AA1=c,则|a|=|b|=1,|c|=2.a·b=0,a·c=b·c=2×1×cos 120°=-1.因为AC1=AB+BC+CC1=a+b+c,所以|AC1|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2a·c+2b·c=1+1+22-2-2=2.所以|AC1|=2.即线段AC1的长为2.(2)因为AC1=a+b+c,A1D=b-c,所以AC1·A1D=(a+b+c)·(b-c)=a·b-a·c+b2-b·c+b·c-c2=1+12-22=-2.又|A1D|2=(b-c)2=b2+c2-2b·c=1+4+2=7,所以|A1D|=7.所以cos=AC1·A1D|AC1||A1D|=-22×7=-147.所以异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为147.(3)因为AA1=c,BD=b-a,所以AA1·BD=c·(b-a)=c·b-c·a=-1-(-1)=0.所以AA1⊥BD,即AA1⊥BD.课程标准1.了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标系刻画点的位置;探索并得出空间两点间的距离公式.2.了解空间向量的概念、空间向量基本定理、空间向量投影的概念及其意义.3.掌握空间向量的线性运算、数量积的运算及其坐标表示.考情分析考点考法:常以空间向量的表示为载体,考查空间向量投影、线性运算、数量积的运算.空间向量数量积的运算是高考热点,在选择题或填空题中体现.核心素养:直观想象、数学运算、逻辑推理.类型辨析改编易错题号12,34