[数学]江苏省南通市2024届中考模拟预测试题(解析版)

这是一份[数学]江苏省南通市2024届中考模拟预测试题(解析版)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，即，所以，
且，则.
故选：A．
2. 某志愿者小组有5人，从中选3人到A、B两个社区开展活动，其中1人到社区，则不同的选法有（ ）
A. 12种B. 24种C. 30种D. 60种
【答案】C
【解析】求不同选法种数需2步，先从5人中选1人去社区，再从余下4人中选2人去社区，
所以不同的选法有（种）.
故选：C．
3. 已知两个非零向量满足，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由，得，
即，整理可得，
所以在方向上的投影向量为.
故选：B. ．
4. 已知球的半径为1，其内接圆锥的高为，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为球的半径，其内接圆锥的高为，
所以圆锥的底面圆半径为，母线长为，
所以侧面积为．
故选：C．
5. 已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】令，则，
因为函数在区间上单调递减，且在定义域内递增，
所以，解得，
故选：B．
6. 下列函数中，以为周期，且其图象关于点对称的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】对于A：的最小正周期为，对称中心为，故A错误；
对于B：的图象是由将轴下方部分关于轴对称上去，轴上方及轴部分不变，
所以的最小正周期为，没有对称中心，故B错误；
对于C：，则最小正周期，
且当时，所以函数图象关于点对称，故C正确；
对于D：，最小正周期，故D错误.
故选：C．
7. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，为过点的弦，为的中点，，，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】设，因为，为的中点，
所以，，
由椭圆定义可得，
所以，
又因为，为的中点，
所以，，
设椭圆的半焦距为，
所以，，
所以，，
所以，
所以，
所以，
所以椭圆C的离心率，
故选：A.
8. 一个正八面体的八个面上分别标以数字1到8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为x1，x2，事件A =“x1 = 3”，事件B =“x2 = 6”，事件C =“x1 + x2 = 9”，则 （ ）
A. AB = CB. A + B = CC. A，B互斥D. B，C相互独立
【答案】D
【解析】对于A:事件发生时，事件不一定发生，所以A错；
对于B: 发生时，不一定发生，所以B错；
对于C: 时，同时发生，所以C错；
对于D: ，所以D正确.
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知，是两条直线，是两个平面，下列结论不正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】ACD
【解析】若，则平行或相交或异面，故A错误；
若，则，故B正确；
若，则平行或相交，故C错误；
若，则平行或相交，故D错误；
故选：ACD．
10. 设抛物线的焦点为，是上的一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A. 点到的距离比到轴的距离大2
B. 点到直线的最小距离为
C. 以为直径的圆与轴相切
D. 记点在的准线上的射影为，则不可能是正三角形
【答案】BC
【解析】由抛物线，可得焦点，准线方程为，设，
因为，因此不正确；
因为，则点到直线的距离为，
当时取等号，可得点到直线的最小距离为，因此正确；
设的中点为，则，于是以为直径的圆与轴相切，
因此正确；
，令，则，，解得，
此时，是正三角形，因此不正确．
故选：BC．
11. 设是直线与曲线的两个交点的横坐标，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】由函数的定义域为，可得，
令，可得，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以，当时，可得函数的极大值为，
对于A中，知，所以，所以A正确；
对于B中，构造函数，可得，
当时，，在单调递增；
所以，可得，可得，所以B错误；
对于C中，由函数的极大值为，
令，可得，
,
结合函数单调性可得图像如图所示.
当且时，，
又因为当时，,
所以，，所以C正确；
对于D中，因为，所以，
所以等价于，
为证，成立，即,
因为,故只需证：，
因为，只需证：且与均大于1，
又因为在上单调递增，
只需证：，即证：，
令，
可得，
所以在上单调递增，且，
所以成立，所以D正确.
故选：ACD．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 复数与分别表示向量与，记表示向量的复数为，则______．
【答案】25
【解析】由题意可知，，
则，所以.
13. 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的增长率约为10%，且每年年底卖出100头牛．设牧场从今年起的十年内每年年初的计划存栏数依次为，则_______，数列的通项公式_______( 1≤n≤10， )．
【答案】
【解析】由题意可知，
，
由得，
所以，得，
所以，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，
所以，
即.
14. 在梯形中，，则该梯形周长的最大值为_______．
【答案】
【解析】设，则，
在中，由余弦定理得
，
所以，
在中，由余弦定理得
，
所以，
则，
因为，所以，所以，
则当时，取得最大值，
所以梯形周长的最大值为.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 设，函数．
（1）当时，求过点且与曲线相切的直线方程：
（2）是函数的两个极值点，证明：为定值．
（1）解：当时，，则导数．
设切点为，则，
所以切线方程为．
又切线过点，则，
整理得，，解得．
所以过点且与曲线相切的直线方程为．
（2）证明：依题意，，令，得．
不妨设，则．
所以为定值．
16. 如图，在四棱台中，，，．
（1）记平面与平面的交线为，证明：；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
解：（1）因为 平面，平面 ，
所以 平面 .
又 平面 ，平面 平面，所以 .
（2）在中，.
由余弦定理得，，则，得.
又，则.因为平面 ，
所以，又，所以平面，
以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设平面 的法向量为，则 ，
令 ，得，所以.
又是平面 的一个法向量.
记平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面的夹角的余弦值为.
17. 某高校统计的连续5天入校参观的人数（单位：千人）如下：
并计算得，．
（1）求关于的回归直线方程，并预测第10天入校参观的人数；
（2）已知该校开放1号，2号门供参观者进出，参观者从这两处门进校的概率相同，且从进校处的门离校的概率为，从另一处门离校的概率为．假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，已知甲、乙两名参观者从1号门离校，求他们从不同门进校的概率．
附：回归直线方程，其中．
解：（1）依题意，，
，所以．
当时，，
答：第10天入校参观的人数约为14.99千人．
（2）记“两名参观者从不同门进校”为事件，“两名参观者都从1号门离校”为事件，即求．
则，
，
所以．
答：他们从不同门进校的概率为．
18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为4，上一点满足，且的面积为．
（1）求的方程；
（2）过的渐近线上一点作直线与相交于点，，求的最小值．
解：（1）在中，
因为，所以．
所以的面积，
解得．
在中，由余弦定理，得
，
所以．
因为在双曲线上，所以，得．
所以的方程为．
（2）法1：设，则，
当直线轴时，设直线与交于点，
所以，即，
所以．
当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，
，利用对称性不妨设在直线上．
联立，得．
联立并消去，得，
所以．
则，
同理，得．
所以
（当且仅当时，取等号，满足），
综上，的最小值为1．
法2：设，则，
当垂直轴时，设的方程为：，
则．
因为两式相减，得，所以．
当的斜率存在时，设的方程为：，
由消去并化简，
得．
所以
则，同理．
所以
．
综上所述，当轴时，的最小值为1．
19. 设有穷数列的项数为，若正整数满足：，则称为数列的“点”．
（1）若，求数列的“点”；
（2）已知有穷等比数列的公比为，前项和为．若数列存在“点”，求正数的取值范围；
（3）若，数列的“点”的个数为，证明：．
解：（1）因为
所以，
所以数列 的 “ 点” 为 3，5 ，
（2）依题意，，
因为数列存在 “点”，
所以存在 ，使得 ，
所以，
即.
因为，所以，所以，
又随的增大而增大，
所以当时，取最大值，
所以，又，所以.
当时，有，
所以数列存在 “点”，
所以的取值范围为，
（3）①若，则数列不存在 “点”，即.
由得，，所以，
②若存，使得. 下证数列有 “点”.
证明: 若，则2是数列 “点”;
若，因为存在，使得，
所以设数列中第1个小于的项为，
则，所以是数列的第1个 “点”.
综上，数列存在 “点”.
不妨设数列的 “点” 由小到大依次为，
则是中第1个小于的项，
故，因为 ，
所以，所以，所以
所以
所以.
综上，，得证.0
0
极大值
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