2024年江苏省南通市海安市九年级数学模拟预测题（原卷版+解析版）

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1. 2022的相反数是（ ）
A. 2022B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据相反数的定义直接求解．
【详解】解：实数2022的相反数是，
故选：B．
【点睛】本题主要考查相反数的定义，解题的关键是熟练掌握相反数的定义．
2. 整式去括号应为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据去括号法则，先去小括号，再去中括号，有时可简化计算．
【详解】解：根据去括号法则：-[a-（b-c）]=-（a-b+c）=-a+b-c．
故选A．
【点睛】本题考查去括号的方法：去括号时，运用乘法的分配律，先把括号前的数字与括号里各项相乘，再运用括号前是“+”，去括号后，括号里的各项都不改变符号；括号前是“-”，去括号后，括号里的各项都改变符号计算．
3. 近日，南通市发布2022年全市经济运行情况．初步核算，全年地区生产总值亿元，按不变价格计算，比上年增长．2022年南通市居民人均可支配收入49000元，比上年增长．数据49000用科学记数法可表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：用科学记数法可将49000表示为，
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．
4. 如图所示的手提水果篮，其俯视图是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】俯视图是从物体的上面看得到的视图，找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中．
【详解】解：从上面看，是一个圆，圆的中间有一条横向的线段．
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图的知识，解题的关键在于会观察各部分在哪个方向能被看到．
5. 下列图形中，能折叠成正方体的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方体的展开图，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、不能折叠成正方体，不符合题意；
B、能折叠成正方体，符合题意；
C、不能折叠成正方体，不符合题意；
D、不能折叠成正方体，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查正方体的展开图．熟练掌握正方体的种展开图，是解题的关键．
6. 我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清醑酒各几何？”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒，醑酒各几斗？如果设清酒斗，那么可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程；
根据共换了5斗酒，其中清酒斗，则可得到醑酒斗，再根据拿30斗谷子，共换了5斗酒，即可列出相应的方程．
【详解】解：设清酒斗，则醑酒斗，
由题意可得：，
故选：A．
7. 如图，B、C两点分别在函数 和（）的图象上，线段轴，点A在x轴上，则的面积为（ ）
A. 9B. 6C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的意义，三角形等积求解；连接、，由等底同高的三角形面积相等得，再由反比例函数的意义得，即可求解；理解“过反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线，连接此点与坐标原点，所围成的三角形面积为．”是解题的关键．
【详解】解：如图，连接、，
轴，
轴，
，
，
；
故选：C．
8. 如果一个函数同时满足条件：①图象经过点；②图象经过第四象限；③当时，y随x的增大而减小，那么这个函数解析式可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质判断即可；
详解】解：①图象经过点；②图象经过第四象限；可排除B；
③当时，y随x的增大而减小，可直接排除A；
对于，其对称轴为：，
∴在，y随x的增大而增大，故排除C；
对于，其对称轴为：，
∴当时，y随x的增大而减小，故D都符合；
故选：D．
【点睛】本题主要考查一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，掌握相关函数的性质是解本题的关键．
9. 如图，中，，，，点在折线上运动，过点作的垂线，垂足为．设，，则关于的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分点在上，分别求得与的函数关系式，进而根据二次函数的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，过点作于点，
∵中，，，，
∴，
∴，
∵
∴
∵，
∴，
当点在上时，即时，
∵，，
∴，
当点在上时，即时，
如图所示，连接，
∵，
∴
∴,
综上所述，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下，
故选：A．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象与性质是解题的关键．
10. 如图，将矩形纸片沿对角线所在直线折叠，点落在点处．过中点作交于点．若 ，，则的长为( )
A. B. 4C. D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】设交于点，，交于点，证明，得出，，进而证明，得出，，设，则，，在中，，勾股定理求得，进而根据，求得，即可求解．
【详解】解：如图所示，设交于点，，交于点，
∵，四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，，
∵折叠，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，，
设，则，，
在中，，
即，
解得：，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，正切的定义，矩形与折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．
二、填空题（本大题共有8小题．第11~12题每题3分，第13~18题每题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直按写在答题纸相应位置上）
11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】解：∵在实数范围内有意义，
∴x-1≥0，
解得x≥1．
故答案为：x≥1．
【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
12. 分解因式：______．
【答案】
【解析】
【分析】直接提取公因式3，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用公式法分解因式是解题关键．
13. 中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，考查学生归纳推理的能力，属于初中基础题．
根据题意以人数为等量关系列出方程即可．
【详解】解：由题意，设有x辆车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，所以有人，
若每2人共乘一车，余9个人无车可乘，所以有人，
所以方程为，
故答案为：．
14. 如图，无人机的探测器显示，从无人机看树顶的仰角为，看树底部的俯角为，无人机与树的水平距离为，则树高为______（结果保留根号）．

【答案】
【解析】
【分析】过点作，垂足为，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：过点作，垂足为，

在中，，，
，
在中，，
，
，
树高为，
故答案为：
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15. 如图1，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车盛水筒的运行轨迹是以为圆心的一个圆，可简化为图2．若被水面所截的弦长米，的半径为米，则筒车最低点距水面____________米．
【答案】
【解析】
【分析】过点作于点，并延长与相交于点，连接，可得点为筒车最低点，筒车最低点距水面的距离为的长，再根据垂径定理，得出米，再根据勾股定理，得出米，再根据线段之间的数量关系，计算即可得出答案．
【详解】解：过点作于点，并延长与相交于点，连接，
∴点为筒车最低点，筒车最低点距水面的距离为的长，
∵米，，
∴米，
又∵的半径为米，即米，
∴米，
又∵米，
∴米，
∴筒车最低点距水面米．
故答案为：
【点睛】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理的应用，解本题的关键在熟练掌握垂径定理、勾股定理．
16. 如图，学校有一旗杆．为了测量旗杆高度，小明采用如下方案：在点C处测得旗杆顶B的仰角为，从与点C相距的E处测得旗杆顶B的仰角为．若，则旗杆AB的高度为_______米．（结果保留小数点后一位，，）．
【答案】
【解析】
【分析】延长交于点G，由题意易得，，然后代入求解即可．
【详解】解：如图：延长交于点G，
由题意可知，即，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键．
17. 如图，点是函数图象上一点，连接并延长，交函数的图象于点，作轴，垂足为，连接，则的面积为_______(用含的式子表示)．
【答案】
【解析】
【分析】过点作轴于点，根据的几何意义得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解．
【详解】解：如图所示，
过点作轴于点，
∵点是函数图象上一点，连接并延长，交函数的图象于点，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴，
∵
∴的面积为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，得出是解题的关键．
18. 如图，等边三角形中，P，Q两点分别在边上，，D是的中点．若，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】建立直角坐标系，过点Q作轴，设，则，分别求得，，再求出，从而得出点D在直线上运动，当直线时，最小，据此求解即可．
【详解】解：建立如图的直角坐标系，过点Q作轴，
设，则，
∵等边三角形中，，
∴
∴，
∴，
∵D是的中点．
∴，
令
∴，
即点D在直线上运动，
当直线时，最小，此时
故答案为：
【点睛】本题考查了等边三角形的性质及图形运动中的最值问题，解决本题的关键是会用建系法解决图形运动中的最值问题．
三、解答题（本大题共有8小题，共90分．请在答题纸指定区域内作答．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. （1）求值：，其中；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先计算单项式乘以多项式，再计算整式的加减，最后把相应的值代入计算即可；
（2）方程两边同乘以，化成整式方程，再解一元一次方程即可得解．
【详解】解：（1）原式
，
当时，原式；
（2），
方程两边同乘以，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是原分式方程的解，
所以方程的解为．
【点睛】本题考查了解分式方程、整式乘法的求值，熟练掌握整式的运算法则和分式方程的解法是解题关键．
20. 不透明的袋子中装有个完全相同的小球，把他们分别标号为，，．
（1）从袋子中随机摸出一个球，标号是奇数的概率是______ ；
（2）从袋子中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球，求两次摸到球的标号的积为偶数的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据两个奇数，一个偶数，结合即可得到答案；
（2）列出树状图，找到所有情况及满足情况即可得到答案；
【小问1详解】
解：由题意可得，
从袋子中随机摸出一个球，标号是奇数的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：画树状图如下：

共有种等可能的结果，其中两次摸到球的标号的积为偶数的结果有种，
∴两次摸到球的标号的积为偶数的概率为．
【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
21. 年月，在北京顺利召开了第十四届全国人民代表大会和中国人民政治协商会议某校组织全体学生开展了“学习两会精神，争做好少年”的主题阅读活动，为了解同学们的阅读篇数情况，七、八年级分别随机抽查了名学生，根据抽查结果绘制了如下的统计图表：
（1）若该校七年级共有名学生，估计该校七年级学生参加主题阅读活动的阅读篇数不少于篇的学生约为______ 名；
（2）请判断该校七、八年级中，哪个年级学生参加本次主题阅读活动情况较好，并说明理由．
【答案】（1）
（2）八年级学生参加本次主题阅读活动情况较好，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据扇形统计图中的数据，可以计算出该校七年级学生参加主题阅读活动的阅读篇数不少于篇的学生人数；
（2）根据统计表中的数据，可以写出哪个年级学生参加本次主题阅读活动情况较好．
【小问1详解】
解：，
，
（名），
即估计该校七年级学生参加主题阅读活动的阅读篇数不少于篇的学生约为名，
故答案为：；
【小问2详解】
八年级学生参加本次主题阅读活动情况较好，
理由：由统计表可知，八年级的平均数和中位数都高于七年级，故八年级学生参加本次主题阅读活动情况较好．
【点睛】本题考查众数、中位数、平均数，用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
22. 某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取甲、乙两个班（每个班均为40人）的学生进行测试，并对成绩进行整理（成绩为整数，满分100分）．
a．甲班成绩统计表
b．乙班良好这一组学生的成绩：；；；；；；；；；
c．乙班成绩统计图：
（1）已知甲班没有人的成绩相同，成绩是分的学生，在 班的名次更好些；
（2）从两个不同的角度推断哪个班的整体成绩更好．
【答案】（1）乙 （2）甲班，见解析
【解析】
【分析】（1）分别确定成绩是分的学生在两个班级中的名次即可得出答案；
（2）求出（1）成绩的中位数和优秀率，然后与（1）的中位数和优秀率比较得出答案．
【小问1详解】
成绩是分的学生，在乙班的名次更好，理由如下：
∵甲班成绩的中位数是，甲班没有人的成绩相同，
∴甲班成绩是分的学生，名次最好可能是名，
∵乙班成绩是分的学生，名次是名，
∴成绩是分的学生，在乙班的名次更好；
故答案为：乙；
【小问2详解】
乙班成绩的中位数是第、个数据的平均数，
所以乙班成绩的中位数，
乙班的优秀率，
，，
∴甲班成绩的中位数大于乙班成绩的中位数，甲班的优秀率大于乙班的优秀率，
∴甲班整体成绩更好．
【点睛】本题主要考查了统计表，条形统计图，中位数的意义，解题的关键是根据表格和统计图得出解题所需的数据，以及对中位数意义的运用．
23. 如图，为的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，
（1）求证：平分；
（2）若，求图中阴影部分面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了切线的性质、求扇形面积等知识点，熟练掌握切线的性质，扇形面积公式是解题的关键．
（1）连接，可证明，推出，由可得，即可证明，从而证明结论．
（2）如图：过点O作于点E，则，在中，勾股定理求得，进而求得，然后根据扇形面积公式求解即可．
【小问1详解】
证明：如图：连接
∵为切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分．
【小问2详解】
解∶如图：过点O作于点E，则，
∵，平分，
∴，，
在中，，
∴， ，
∴，
∴
24. 某商场销售一种成本为元的商品，市场调研反映：在某个月的第天（）的销售价格为（）元，日销售量（）与的函数关系如图所示．
（1）求与的函数解析式；
（2）销售该商品第几天时，日销售利润最大？
（3）结合函数图象回答，在当月有多少天的日销售利润大于元？
【答案】（1）与的函数解析式为；
（2）销售该商品第天时，日销售利润最大
（3）当月有天的日销售利润大于元
【解析】
【分析】（1）待定系数求一次函数解析式即可求解；
（2）设日销售利润为，根据题意得，，根据二次函数的性质即可求解；
（3）根据题意，解不等式，根据二次函数图象的性质求得的取值范围，即可求解．
【小问1详解】
解：设与的函数解析式为，
将点代入解析式，得，
，
解得：，
∴与的函数解析式为；
【小问2详解】
解：设日销售利润为，根据题意得，
∵，
当时，取得最大值，
即销售该商品第天时，日销售利润最大；
【小问3详解】
解：当时，，
解得：，
∵，抛物线开口向上，
∴当时，或，
∵，
∴，
答：当月有天的日销售利润大于元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25. 如图，等边三角形中，是边上的一个动点（不与，点重合），连接，将绕点顺时针旋转至，过点作，交的延长线于点．
（1）探究的形状；
（2）求证：；
（3）若延长交于点，，求的正切值．
【答案】（1）等边三角形
（2）见详解 （3）
【解析】
【分析】（1）根据等边三角形及旋转的性质即可判断；
（2）可证四边形是平行四边形，从而可证，进而可得证；
（3）过作，交于，设，可证，从而可求，，即可求解．
【小问1详解】
解：是等边三角形．
理由：是等边三角形，
，
由旋转得：，，
是等边三角形．
【小问2详解】
证明：和是等边三角形，
，
，，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
即：，
在和中
，
（）
【小问3详解】
解：如图，过作，交于，
设，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
在中：
，
，
在中：
，
，
，
，，
．
故的正切值为．
【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质，三角形相似的判定及性质，平行四边形的判定及性质，特殊角的三角函数值，求角的三角函数值等，掌握相关判定方法及性质是解题的关键．
26. 定义：若函数的图象上至少存在一个点，该点关于x轴的对称点落在函数的图象上，则称函数，为关联函数，这两个点称为函数，的一对关联点．例如，函数与函数为关联函数，点和点是这两个函数的一对关联点．
（1）判断函数与函数是否为关联函数？若是，请直接写出一对关联点；若不是，请简要说明理由；
（2）若对于任意实数，函数与始终为关联函数，求的值；
（3）若函数与函数(，为常数)为关联函数，且只存在一对关联点，求的取值范围．
【答案】（1）函数与函数是关联函数，和或和是这两个函数的一对关联点
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据新定义，设和是这两个函数的一对关联点，分别代入解析式，列出方程组，解方程组即可求解．
（2）跟将新定义得出，根据与值无关得出，即可求解；
（3）设和是这对函数的关联点，只存在一对关联点，根据题意得出，则关于的方程，有两个相等的实数根，得出，代入代数式，根据二次函数的性质即可求解．
【小问1详解】
解：函数与函数是关联函数
依题意，设和是与函数这两个函数的一对关联点，
∴，
解得：或，
∴和或和是这两个函数的一对关联点；
【小问2详解】
解：∵对于任意实数，函数与始终为关联函数，
∴，
，
即，
∴，，
∴；
【小问3详解】
解：与函数(，为常数)为关联函数，且只存在一对关联点，
设和是这对函数的关联点，
∴，
即关于的方程，有两个相等的实数根，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了新定义，反比例函数与一次函数交点问题，轴对称的性质，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
七、八两个年级的统计表
平均数
众数
中位数
七年级
八年级
平均数
众 数
中位数
优秀率