[数学][期末]广东省惠州市博罗县2023-2024学年八年级下学期期末试题(解析版)

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一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 下列式子中，是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】A、是二次根式，A符合题意；
B、，不是二次根式，B不符合题意；
C、不是二次根式，C不符合题意；
D、不是二次根式，D不符合题意．
2. 一组数据2、2、3、4、5，则这组数据的中位数是（ ）
A. 4B. 3.5C. 3D. 2
【答案】C
【解析】数据由小到大排序：2、2、3、4、5，∴中位数为3．
3. 下列图象中，y不是x的函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A．此选项中在x＜0的范围中取任意x的值时，y都有2个值与之对应，y不是x的函数；
B．此选项中在全体实数的范围中取任意x的值时，y都有唯一的值与之对应，y是x的函数；
C．此选项中在x≠0的范围中取任意x的值时，y都有唯一的值与之对应，y是x的函数；
D．此选项中在全体实数的范围中取任意x的值时，y都有唯一的值与之对应，y是x的函数；
4. 下面各组数中，是勾股数的是（ ）
A. 9，16，25B. 0.3，0.4，0.5C. 1，3，2D. 7，24，25
【答案】D
【解析】A．，∴不是勾股数，不符合题意；
B．∵0.3，0.4，0.5不是正整数，∴不是勾股数，不符合题意；
C．，∴不是勾股数，不符合题意；
D．，∴是勾股数，符合题意．
5. 如图，在中，，，点、分别是边、的中点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，，
∴，
∵点、分别是边、的中点，
∴，∴．
6. 均匀的向一个容器内注水，在注水过程中，水面高度与时间的函数关系如图所示，则该容器是下列中的（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据图象折线可知是正比例函数和一次函数的函数关系的大致图象；切斜程度（即斜率）可以反映水面升高的速度；
因为D几何体下面的圆柱体的底圆面积比上面圆柱体的底圆面积小,
所以在均匀注水的前提下是先快后慢；
7. 已知函数是关于的正比例函数，则常数的值为（ ）
A. 3或1B. 3C. ±1D. 1
【答案】A
【解析】根据题意得，|m-2|=1，解得m=3或m=1，
8. 菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A. 对角线互相垂直B. 对角线相等C. 对角线互相平分D. 对角相等
【答案】A
【解析】矩形和菱形是平行四边形，
矩形和菱形都具有对角线互相平分，对角相等，
∵菱形的对角线互相垂直，矩形的对角线相等，
∴对角线互相垂直是菱形具有而矩形不一定具有的性质．
9. 沐沐用七巧板拼了一个对角线长为的正方形，再用这副七巧板拼成一个长方形（如图所示），则长方形的对角线长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由图可知，长方形的长等于正方形的对角线长为，长方形的宽是正方形对角线长的一半为，根据勾股定理可得：．
10. 如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】B
【解析】∵正方形和正方形中，点在上，，，
∴，，，
延长交于，连接、，如图：
则，，，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，∴，
在中，，
∵在中，为的中点，∴．
二、填空题：共5小题，每小题3分，共15分．
11. 化简：_____．
【答案】6
【解析】．
12. 在中，，则的度数为_____度．
【答案】
【解析】∵四边形是平行四边形，∴，
∵，∴，∴．
13. 将直线沿轴正方向平移个单位长度，得到的直线的解析式为____．
【答案】
【解析】把直线沿轴正方向平移个单位长度，得到的直线的解析式为．
14. 已知直角三角形两边长分别为4和5，则第三边长为___________．
【答案】3或
【解析】①长为4的边是直角边，长为5的边是斜边时，第三边的长为：；
②长为4、5的边都是直角边时，第三边的长为：；
∴第三边的长为：3或，
15. 如图，边长为4的菱形ABCD中，∠ABC＝30°，P为BC上方一点，且，则PB＋PC的最小值为___________．
【答案】
【解析】过点A作于点E，如图，
∵边长为4菱形ABCD中，，
∴AB=AC=4，
∴在中，
，
∴，
∵，∴，
过点P作于点F，过点P作直线，作点C关于直线MN的对称点H，连接CH交MN于点G，连接BH交直线MN于点K，连接PH，如图，

则，，
∴四边形CGPF是矩形，
∴CG=PF，
∵，
∴，∴PF=1，∴CG=PF=1，
根据抽对称的性质可得，
CG=GH，PH=PC，
∴CH=2CG=2，
根据两点之间线段最短的性质，得，
，
即，
∴PB+PC的最小值为BH的长，
∵，，
∴，
∴在中，
，
∴PB+PC的最小值为．
三、解答题（一）
16. （1）当函数与的函数值相等时，求其自变量的值．
（2）．
解：（1）∵函数与的函数值相等，
∴，
解得：，
∴自变量的值为．
（2） ，
，
．
17. 如图，在▱ABCD中，AE、CF分别平分∠BAD、∠BCD．求证：AE∥CF．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠BAD＝∠BCD，
∴∠ADE＝∠CBF，
，
∴∠DAE＝∠BCF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（ASA），
∴∠AED＝∠CFB，∴AE∥CF．
18. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1．
（1）直接写出线段、的长度；
（2）在图中画线段，使得；
（3）请判断、、三条线段能否构成直角三角形，并说明理由．
解：（1）由网格可知，，；
（2）如图，，即即为所求作；
（3）以、、三条线段能构成直角三角形，理由如下：
，，，且，
，以、、三条线段能构成直角三角形．
四、解答题（二）
19. 某灯泡厂测量一批灯泡的使用寿命，从中随机抽查了只灯泡，它们的使用寿命统计结果如下：
调查结果频数统计表
根据以上图表信息，完成下列问题：
（1）____，_____， （C组占百分比）；
（2）这批灯泡的平均使用寿命是多少？
（3）若灯泡使用寿命大于等于则为“超长照明灯泡”，则这批总数为万只的灯泡里面有多少灯泡属于“超出照明灯泡”？
解：（1），
，
．
（2），
故这批灯泡的平均使用寿命是．
（3）（只），
故这批总数为万只的灯泡里面有只灯泡属于“超出照明灯泡”．
20. 矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、AB上，且DE=BF，∠ECA=∠FCA．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AB=8，BC=4，求菱形AFCE的面积．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，DC=AB，
∵DE=BF，∴EC=AF，
而EC∥AF，∴四边形AFCE是平行四边形，
由DC∥AB可得∠ECA=∠FAC，
∵∠ECA=∠FCA，∴∠FAC=∠FCA，
∴FA=FC，∴平行四边形AFCE是菱形；
（2）解：设DE=x，则AE=EC=8-x，
在Rt△ADE中，由勾股定理得
42+x2=(8-x)2，解得x=3，
∴菱形的边长EC=8-3=5，
∴菱形AFCE的面积为：4×5=20．
21. 如图，连接四边形的对角线，已知．
（1）求证：是直角三角形；
（2）求四边形的面积．
解：（1）∵ ∠ B=90°，∠ BAC=30°，BC=1，
∴ AC=2BC=2，
又CD=2，，
∴ AC2+CD2=8，AD2=8，
∴ AC2+CD2=AD2，
∴ △ ACD是直角三角形．
（2）∵ AC=2，BC=1，
∴ ，
∴ S四边形ABCD=
=．
五、解答题（三）
22. 甲网店对某款水果推出试吃活动：5千克及以内为试吃价：超出5千克的部分恢复原价．邮费都为20元，总价y甲（单位：元）与购买水果质量x（单位：千克）之间的函数图像如图所示．线下乙店的同款水果售价为每千克8元．
（1）甲网店该款水果的试吃价为______元/千克，原价为______元/千克；
（2）购买该款水果的质量在什么范围时，在甲店购买比在乙店购买省钱？
（3）若乙店对该款水果推出降价促销活动，每千克降价a元（a＜8），当a满足什么条件时，在乙店购买始终比在甲店购买省钱？
解：（1）由图像可得：甲网店该款水果的试吃价为（30-20）÷5=2（元/千克），原价为（60-30）÷（8-5）=10（元/千克），
故答案为：2，10；
（2）设购买该款水果x千克，在甲店购买比在乙店购买省钱，
①当x≤5时，20+2x＜8x，
解得x＞，
∴＜x≤5；
②当x＞5时，
30+10（x-5）＜8x，
解得x＜10，
∴5＜x＜10，
答：当＜x＜10时，在甲店购买比在乙店购买省钱；
（3）①当x≤5时，20+2x＞（8-a）x，
即（6-a）x＜20的解集总满足x≤5，
∴6-a＜4，∴a＞2；
②当x＞5时，30+10（x-5）＞（8-a）x，
即（a+2）x＞20的解集总满足x＞5，
∴a+2≥4，∴a≥2，
综上所述，a需满足a＞2，在乙店购买始终比在甲店购买省钱．
23. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5，∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF.
（1）求证：AE=DF；
（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由.
（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由.
解：在中，，，，．
又，．
能，，，．
又，四边形AEFD为平行四边形．
，
．
．
若使▱AEFD为菱形，则需，
即，．
即当时，四边形AEFD为菱形．
时，四边形EBFD为矩形．
在中，，
．
即，．
时，由四边形AEFD为平行四边形知，
．
，
．即，．
时，此种情况不存在．
综上所述，当秒或4秒时，为直角三角形．组别
使用寿命
组中值
频数
A
B
C
D
E