[数学][期末]广东省惠州市博罗县2023-2024学年七年级下学期期末试题(解析版)

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一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 下列各数中，是无理数的是（ ）
A. B. C. 0.9D. 3.14159265
【答案】B
【解析】A. 是分数，不是无理数；
B. 是无理数；
C. 0.9，是有限小数，不是无理数；
D. 3.14159265是有限小数，不是无理数；
故选：B．
2. 如果，则下列变形中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A、如果，则，故变形错误；
B、如果，则，故变形错误；
C、如果，则的大小无法确定，故变形错误；
D、如果，则，故变形正确；
故选：D．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A、＝3，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、|a|﹣a＝0(a≥0)，故此选项错误；
D、4a﹣a＝3a，故此选项错误；
故选：B．
4. 如图，三条直线交于点O，且，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】，，
，
；
故选：C．
5. 以下调查中，适宜采用抽样调查的是（ ）
A. 调查某批次汽车的抗撞击能力
B. 了解七（2）班学生的视力情况
C. 学校招聘，对应聘人员进行面试
D. 机场对乘客的安检
【答案】A
【解析】A、调查某批次汽车的抗撞击能力，适合使用抽样调查方式，符合题意；
B、了解七（2）班学生的视力情况，适合使用全面调查方式，不符合题意；
C、学校招聘，对应聘人员进行面试，适合使用全面调查方式，不符合题意；
D、机场对乘客的安检，适合使用全面调查方式，不符合题意；
故选：A．
6. 若，，且点在第三象限，则点M的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】，，
，
点在第三象限，
，
，
，
故选：D．
7. 如图所示，点E在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】A、根据，得不到，故选项错误；
B、根据，可以得到，故选项正确；
C、根据，可以得到，故选项错误；
D、根据，可以得到，故选项错误；
故选：B.
8. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】解： ，
∵解不等式①得：x≥1，
解不等式②得：x<2，
∴不等式组的解集为：,1≤x＜2，
在数轴上表示不等式组的解集为：．
故选：D．
9. 下列语句中，是真命题的是（ ）
A. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B. 有理数和无理数统称实数
C. 垂直于同一条直线的两条直线互相平行D. 同旁内角相等，两直线平行
【答案】B
【解析】A、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该选项是假命题；
B、有理数和无理数统称实数，故该选项是真命题；
C、同一平面，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故该选项是假命题；
D、同旁内角互补，两直线平行，故该选项是假命题；
故选：B.
10. 如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次平移，每次移动一个单位，得到点，，，，…，那么点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】，
则的坐标是，
即的坐标是．
故选：A．
二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分．）
11. 计算：______．
【答案】
【解析】

故答案：
12. 如图，计划把河水引到水池中，先作，垂足为，然后沿开渠，能使所开的渠道最短，这样设计的依据是______.
【答案】连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短
【解析】根据垂线段定理，连接直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短，
∴沿开渠，能使所开的渠道最短．
故答案为：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
13. 若点在轴上，则___________．
【答案】
【解析】轴上
故答案为：．
14. 将一副三角板和一个直尺按如图所示的位置摆放，则的度数为____________度．
【答案】75
【解析】∵，，
∴，
∵a∥b，
∴，
故答案为：75．
15. 如图，两个全等的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到C的方向平移到的位置，，，平移距离为6，则阴影部分面积为_______．

【答案】48
【解析】由平移的性质知，，，
，
，
，
，
故答案为48
三、解答题（一）：（本大题共3小题，第16题10分，第17、18题各7分，共24分．）
16. （1）计算：
（2）解方程组：．
解：（1）
；
（2），
①+②，得，
解得：．
将代入②，得，
解得．
∴方程组的解是．
17. 完成下面的证明：
如图，已知：，垂足分别为D、G，且，求证：．

证明：∵（已知），
∴（垂直的定义），
∴（等量代换），
∴（____________________），
∴______（____________________）．
又∵（已知），
∴______（____________________），
∴（____________________），
∴（____________________）．
解：证明：∵（已知），
∴（垂直的定义），
∴（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等）．
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；等量代换；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．
18. 为更好的开展劳动教育，某校想了解学生现阶段每月的劳动时间．学校随机抽取一部分学生，对学生每月的劳动时间x（单位：小时）进行分组整理，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）调查学生的人数为 ，扇形统计图中A组对应的圆心角为 度；
（2）补全频数分布直方图：
（3）请估计该校2000名学生中每月的劳动时间不少于6小时的人数．
解：（1）调查学生的人数为：，
扇形统计图中A组对应的圆心角为：，
故答案为：100，；
（2）D组的频数为：，
补全的频数分布直方图如图所示；
（3）（人），
答：估计该校2000名学生中每月的劳动时间不少于6小时有580人．
四、解答题（二）：（本大题共3小题，每小题9分，共27分．）
19. 如图，用两个边长为的小正方形剪拼成一个大的正方形，

（1）大正方形的边长是 ；
（2）若沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长宽之比为且面积为，若能，试求出剪出的长方形纸片的长宽；若不能，试说明理由．
解：（1）大正方形的边长是；
故答案为：4；
（2）设长方形纸片的长为，宽为，
则，
解得：，
，
所以沿此大正方形边的方向剪出一个长方形，不能使剪出的长方形纸片的长宽之比为，且面积为．
20. 书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买40支毛笔和100张宣纸需要280元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元．
（1）求毛笔和宣纸的单价；
（2）计划用不多于360元的资金购买毛笔，宣纸的数量共计200，则学校最多可以购买多少支毛笔？
解：（1）设毛笔单价x元，宣纸单价y元，根据题意，得
，
解得
，
∴毛笔单价6元，宣纸单价0.4元；
（2）设可以购进毛笔m支，则购进宣纸张，依题意，得
解得：，
∴学校最多可以购买50支毛笔．
21. 如图，在中，平分交于点F，D，E分别在的延长线上，．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
解：（1）∵
∴．
∵平分，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴；
（2）∵平分，
∴．
由（1）得，
∴．
∵，
∴
∴，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
五、解答题（三）：（本大题共2小题，每小题12分，共24分．）
22. 我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，如果两个不等式的解集相同，则称不等式A与B为同解不等式．
（1）若关于x的不等式A：，不等式B：是同解不等式，求a的值；
（2）若关于x的不等式C：，不等式D：是同解不等式，其中m，n是整数，试求m，n的值．
解：（1）解不等式A，得：，
解不等式B，得：．
∵不等式A与不等式B是同解不等式，
∴，
解得：；
（2）解不等式C，得：，
解不等式D，得：．
∵不等式C与不等式D是同解不等式，
∴，
∴．
∵m，n是整数，
∴，或，或，或，．
23. 在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则我们称点N为“健康点”；若点的坐标满足，则我们称Q为“快乐点”．

（1）若点既是“健康点”又是“快乐点”，则点A的坐标为________．
（2）在（1）的条件下，若点B是x轴上的“健康点”，点C是y轴上的“快乐点”，如果P为x轴上一点，且三角形与三角形面积相等，求点P的坐标．
（3）在上述条件下，直线与x轴所夹的锐角为，直线与y轴所夹的锐角为，试探究与和之间的数量关系，并说明理由．
解：（1）由题意得：，
解得：，
∴点A的坐标为，
故答案为：
（2）∵B是x轴上的“健康点”，
在中，令得，
∴B，
∵C是y轴上的“快乐点”，
在中，令得，
∴C，
设点P，
∴，
∴或，
∴点P的坐标为：或；
（3）过A作轴交于M，过C作轴，

则
∵轴，
∴，
∴．
A：
B：
C：
D：
E：