2025版高考数学全程一轮复习学案第一章集合与常用逻辑用语不等式第四节基本不等式

这是一份2025版高考数学全程一轮复习学案第一章集合与常用逻辑用语不等式第四节基本不等式，共3页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

1.基本不等式ab≤a+b2也叫均值不等式
(1)基本不等式成立的条件：______________．
(2)等号成立的条件：当且仅当________时取等号．
(3)其中________称为正数a，b的算术平均数，________称为正数a，b的几何平均数．

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数
2．利用基本不等式求最值
已知x>0，y>0，则
(1)如果积xy是定值P，那么当且仅当________时，x＋y有最小值________．(简记：积定和最小)．
(2)如果和x＋y是定值S，那么当且仅当________时，xy有最大值________．(简记：和定积最大)．
【常用结论】
(5)21a+1b≤ ab≤a+b2≤ a2+b22(a>0，b>0)
(6)柯西不等式： (a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，(a，b，c，d∈R)当且仅当ad＝bc时等号成立
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)不等式a2＋b2≥2ab与a+b2≥ab成立的条件是相同的．( )
(2)函数y＝x＋1x的最小值是2.( )
(3)x>0且y>0是xy+yx≥2的充分不必要条件．( )
(4)函数y＝sin x＋4sinx，x∈(0，π2)的最小值为4.( )
2．(教材改编)已知0A．13 B．12
C．34 D．23
3．(教材改编)若用总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m2.
4．(易错)若函数f(x)＝x＋1x-2(x>2)在x＝a处取最小值，则a＝( )
A．1＋2 B．1＋3
C．3 D．4
5．(易错)y＝2＋x＋5x(x<0)的最大值为______．
第四节 基本不等式
必备知识
1．(1)a>0，b>0 (2)a＝b (3)a+b2 ab
2．(1)x＝y 2P (2)x＝y 14S2
夯实基础
1．答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．解析：因为0答案：B
3．解析：设矩形的一边长为x m，矩形场地的面积为y m2，
则矩形另一边长为12×(20－2x)＝(10－x) m，所以y＝x(10－x)≤[x+10-x2]2＝25(m2)，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.
答案：25
4．解析：f(x)＝x＋1x-2＝x－2＋1x-2＋2≥2x-2×1x-2＋2＝4，当x－2＝1时，即x＝3时等号成立．∴a＝3.故选C.
答案：C
5．解析：∵x<0，∴－x>0，
∴y＝2＋x＋5x＝2－(－x－5x)，
又－x－5x≥2 -x·-5x＝25，
∴y＝2＋x＋5x＝2－(－x－5x)≤2－25，
当且仅当－x＝－5x，且x<0，即x＝－5时等号成立．
答案：2－25