2023-2024学年河北省衡水中学高二（下）第二次月考数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年河北省衡水中学高二（下）第二次月考数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.若函数f(x)=lnx−2x+1，则f′(12)=( )
A. 0B. 12C. 32D. 52
2.设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a的值为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
3.函数f(x)=−x+sinx在R上是( )
A. 偶函数、增函数B. 奇函数、减函数C. 偶函数、减函数D. 奇函数、增函数
4.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象，下列结论正确的是( )
A. y=f(x)在x=−1处取得极大值
B. x=1是函数y=f(x)的极值点
C. x=−2是函数y=f(x)的极小值点
D. 函数y=f(x)在区间(−1,1)上单调递减
5.函数f(x)=2x−tanx−π在区间(−π2,π2)的极大值、极小值分别为( )
A. π2+1，−π2+1B. −π2+1，−3π2+1
C. 3π2−1，−π2+1D. −π2−1，−3π2+1
6.已知直线与抛物线C：x2=2py(p>0)交于A，B两点，O为坐标原点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为(1,1)，则抛物线C的焦点坐标为( )
A. (0,12)B. (0,14)C. (12,0)D. (0,2)
7.若不等式ex+x+ln1x≥mx+lnm对任意x>0恒成立，则正实数m的最大值为( )
A. 2B. eC. 3D. e2
8.某种生命体M在生长一天后会分裂成2个生命体M和1个生命体N，1个生命体N生长一天后可以分裂成2个生命体N和1个生命体M，每个新生命体都可以持续生长并发生分裂.假设从某个生命体M的生长开始计算，记an表示第n天生命体M的个数，bn表示第n天生命体N的个数，则a1=1，b1=0，则下列结论中正确的是( )
A. a4=13 B. 数列{bnan}为速增数列 C. i=15bn=63 D. 若{an+λbn}为等比数列，则λ=1
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数f(x)=ex−ax+1(a∈N∗)，若f(x)>0恒成立，则实数a的可能取值是( )
A. 5B. 4C. 3D. 2
10.已知数列{an}满足：2，−4，6，−8，10，−12，14…的变化规律，记{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是( )
A. an=(−2)n+1B. {a2n−1−a2n}是一个等差数列
C. S17>S19D. S2023=2024
11.已知F1，F2为双曲线Γ：x2a2−y24=1(a>0)的左、右焦点，P为平面上一点，若PF1⋅PF2=0，则( )
A. 当P为双曲线Γ上一点时，△PF1F2的面积为4
B. 当点P坐标为(0,2 2)时，a=2
C. 当P在双曲线Γ上，且点P的横坐标为± 15时，Γ的离心率为 3
D. 当点P在第一象限且在双曲线Γ上时，若△PF1F2的周长为2a+4c，则直线OP的斜率为 3
12.设a>1，b>0，且lna=2−b，则下列关系式可能成立的是( )
A. a=bB. b−a=eC. a=2024bD. ab>e
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2f′(1)lnx+x，则f(e)= ______．
14.已知等差数列{an}中，a2+a7=18，则数列{an}的前8项和S8等于______．
15.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，那么在区间(a,b)内至少存在一点c，使得f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)成立，其中c叫做f(x)在[a,b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，判断函数f(x)=5x3−3x在区间[−1,1]上的“拉格朗日中值点”的个数为______．
16.已知函数f(x)=lnxx，关于x的不等式f2(x)−tf(x)>0有且只有四个整数解，则实数t的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn=32n2+12n(n∈N,n≥1)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn=1anan+1，求数列{bn}的前n项和Tn．
18.(本小题12分)
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=−1和x=3处取得极值．
(1)求a，b的值．
(2)若对任意x∈[1,5]，不等式f(x)2．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=ln(1−x)+asinx，(a∈R)．
(1)当a=0时，求函数y=f(x)在x=0处的切线方程；
(2)讨论f(x)在区间(0,1)上的零点个数．
参考答案
1.A
2.B
3.B
4.C
5.D
6.A
7.B
8.B
9.CD
10.BD
11.ABD
12.AC
13.−2+e
14.72
15.2
16.[ln66,ln55)
17.解：(1)∵n≥1且n∈N，有Sn=32n2+12n，
∴当n∈N，n≥2时，有Sn−1=32(n−1)2+12(n−1)，
两式相减得an=32n2+12n−[32(n−1)2+12(n−1)]=3n−1．
当n=1时，由Sn=32n2+12n⇒a1=2适合an=3n−1，
所以an=3n−1；
(2)由(1)知，bn=1anan+1=1(3n−1)(3n+2)=13(13n−1−13n+2)，
所以Tn=13(12−15+15−18+...+13n−1−13n+2)=13(12−13n+2)=n6n+4．
18.解：(1)由f(x)=x3+ax2+bx+c，可得f′(x)=3x2+2ax+b，
由在x=−1和x=3处取得极值，可得f′(3)=27+6a+b=0，f′(−1)=3−2a+b=0，
解得a=−3，b=−9．
代入f′(x)=3x2+2ax+b检验，可得f′(x)=3x2−6x−9=3(x−3)(x+1)，令f′(x)=0，
解得x=−1，x=3．
所以x∈(−∞,−1)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，
x∈(−1,3)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，
所以x=−1是f(x)的极大值点，x=3是f(x)的极小值点，符合题意．
所以a=−3，b=−9．
(2)由(1)可得，f(x)=x3−3x2−9x+c在(1,3)单调递减，在(3,5)单调递增．
要使对任意x∈[1,5]，不等式f(x)1+ 212或c0)．
当a>0时，∵a+1a>0，∴x∈(0,a+1a)时，f′(x)0，
∴f(x)的减区间为(0,a+1a)，增区间为(a+1a,+∞)；
当−1