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    2024-2025学年河北省衡水二中高二(上)月考数学试卷(9月份)(含答案)
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    2024-2025学年河北省衡水二中高二(上)月考数学试卷(9月份)(含答案)

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    这是一份2024-2025学年河北省衡水二中高二(上)月考数学试卷(9月份)(含答案),共7页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    1.已知两直线l1:3x−4y+4=0和l2:6x+my−2=0,若l1//l2,则m=( )
    A. −8B. 8C. 92D. 2
    2.若方程x2+y2+ax+1=0表示一个圆,则实数a的取值范围为( )
    A. (−∞,−2)∪(2,+∞)B. (−2,2)
    C. (−4,4)D. (2,+∞)
    3.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家,他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.已知在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的面积为2 3π,两焦点与短轴的一个端点构成等边三角形,则椭圆C的标准方程是( )
    A. x24+y23=1B. x23+y24=1C. x22+y2 3=1D. x23+y22=1
    4.已知直线l的斜率的范围为[−1,1],则直线l的倾斜角α的取值范围为( )
    A. 0°≤α≤45°或135°≤α≤180°B. 45°≤α≤135°
    C. 45°<α<135°D. 0°≤α≤45°或135°≤α<180°
    5.已知圆C:(x−4)2+(y−2)2=4,若圆C刚好被直线l:ax+by=1(a>0,b>0)平分,则1a+2b的最小值为( )
    A. 8B. 10C. 16D. 8+4 2
    6.过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点F的直线l:x−y− 3=0交C于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为−12,则椭圆C的方程为( )
    A. x26+y23=1B. x27+y24=1C. x28+y25=1D. x29+y26=1
    7.已知EF是圆C:x2+y2−2x−4y+3=0的一条弦,且CE⊥CF,P是EF的中点,当弦EF在圆C上运动时,直线l:x−y−3=0上存在两点A,B,使得∠APB≥π2恒成立,则线段AB长度的最小值是( )
    A. 3 2+1B. 4 2+2C. 4 3+1D. 4 3+2
    8.已知椭圆C:x225+y216=1的一个焦点为F,点P,Q是C上关于原点对称的两点,则|PF|2+6|QF|的取值范围为( )
    A. [2,26]B. [51,52]C. [51,76]D. [52,76]
    二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
    9.若椭圆x29+y2m+4=1的焦距为2,则实数m的值可为( )
    A. 1B. 4C. 6D. 7
    10.已知直线l1:ax−y+1=0,l2:x+ay+1=0(a∈R),则下列说法正确的是( )
    A. 不论a为何值,l1⊥l2
    B. l1,l2分别过定点(0,1),(−1,0)
    C. 不论a为何值,l1,l2都关于直线x+y=0对称
    D. 如果l1,l2交于点M,则MO的最大值为 2
    11.已知椭圆C:x24+y2=1的左、右两个焦点分别为F1、F2,直线y=kx(k≠0)与C交于A、B两点,AE⊥x轴,垂足为E,直线BE与椭圆C的另一个交点为P,则下列结论正确的是( )
    A. 若∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为 36
    B. 四边形AF1BF2,可能为矩形
    C. 直线BE的斜率为12k
    D. 若P与A、B两点不重合,则直线PA和PB斜率之积为−4
    三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
    12.已知圆C:x2+y2−2x=0内有点M(32,12),则以点M为中点的圆C的弦所在的直线方程为______.
    13.已知x,y∈(0,2),则 x2+y2+ x2+(y−2)2+ (x−2)2+y2+ (x−2)2+(y−2)2的最小值为______.
    14.已知P为椭圆上x24+y2=1的一点,过P作直线l交圆x2+y2=4于A,B两点,则|PA|⋅|PB|的取值范围为______.
    四、解答题:本题共5小题,共60分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    15.(本小题12分)
    已知圆C:(x−1)2+(y−2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0(m∈R).
    (1)求证:直线l恒过定点;
    (2)判断直线l与圆C的位置关系;
    (3)当m=0时,求直线l被圆C截得的弦长.
    16.(本小题12分)
    已知直线l经过点P(−2,−3).
    (1)若原点到直线l的距离为2,求直线l的方程;
    (2)若直线l被两条相交直线2x−y−2=0和x+y−1=0所截得的线段恰被点P平分,求直线l的方程.
    17.(本小题12分)
    已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(1, 32),F1,F2是椭圆C的两个焦点,|F1F2|=2 3,P是椭圆C上的一个动点.
    (1)求椭圆C的标准方程;
    (2)若点P在第一象限,且PF1⋅PF2≤14,求点P的横坐标的取值范围.
    18.(本小题12分)
    已知圆M:x2+y−22=1,点P是直线l:x+2y=0上的一动点,过点P作圆M的切线PA,PB,切点为A,B.
    (1)当切线PA的长度为 3时,求点P的坐标;
    (2)若▵PAM的外接圆为圆N,试问:当P运动时,圆N是否过定点?若存在,求出所有的定点的坐标;若不存在,请说明理由;
    (3)求线段AB长度的最小值.
    19.(本小题12分)
    如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点P(2,4),圆O:x2+y2=4与x轴的正半轴的交点是Q,过点P的直线l与圆O交于不同的两点A,B.
    (1)若直线l与y轴交于D,且DP⋅DQ=16,求直线l的方程;
    (2)设直线QA,QB的斜率分别是k1,k2,求k1+k2的值;
    (3)设AB的中点为M,点N(43,0),若MN= 133OM,求△QAB的面积.
    参考答案
    1.A
    2.A
    3.A
    4.D
    5.C
    6.A
    7.B
    8.C
    9.BC
    10.ABD
    11.BC
    12.x+y−2=0
    13.4 2
    14.[0,3]
    15.解:(1)证明:直线l的方程可化为:
    m(2x+y−7)+(x+y−4)=0,
    令2x+y−7=0x+y−4=0,解得x=3y=1,
    ∴直线l恒过定点A(3,1).
    (2)圆C:(x−1)2+(y−2)2=25的圆心C(1,2),半径r=5,
    点A(3,1)与圆心C(1,2)的距离d= (3−1)2+(1−2)2= 5<5=r,
    ∴A点在圆C内,即直线l与圆C相交.
    (3)当m=0时,直线l的方程为x+y−4=0,
    由圆心C(1,2)到直线l的距离为d′=|1+2−4| 2= 22,
    半径r=5,
    ∴直线l被圆C所截得的弦长为2 r2−d′2=2 52− 222=7 2.
    16.解:(1)当直线l的斜率不存在时,显然成立,直线方程为x=−2,
    当直线斜率存在时,设直线方程为y+3=k(x+2),
    由原点到直线l的距离为2得|2k−3| k2+1=2,解得k=512,
    故直线l的方程为y+3=512(x+2),即y=512x−136,
    综上,所求直线方程为x=−2或y=512x−136.
    (注:若写成一般方程,则为x=−2或5x−12y−26=0)
    (2)设直线l夹在直线l1,l2之间的线段为AB(A在l1上,B在l2上),
    A、B的坐标分别设为(x1,y1)、(x2,y2),
    因为AB被点P平分,所以x1+x2=−4,y1+y2=−6,
    于是x2=−4−x1,y2=−6−y1,
    由于A在l1上,B在l2上,即2x1−y1=2x1+y1=−11,解得x1=−3,y1=−8,
    即A的坐标是(−3,−8),故直线l的斜率是k=−8−(−3)−3−(−2)=5,
    故直线l的方程为:y−(−3)=5[x−(−2)],
    即y=5x+7.
    17.解:(1)∵椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点M(1, 32),F1,F2是椭圆C的两个焦点,|F1F2|=2 3,
    则2c=2 31a2+34b2=1a2=b2+c2,解得a=2,b=1,
    ∴椭圆C的标准方程为x24+y2=1.
    (2)∵c= 3,F1(− 3,0),F2( 3,0),设P(x,y),
    则PF1⋅PF2=(− 3−x,−y)⋅( 3−x,−y)=x2+y2−3,
    ∵x24+y2=1,
    ∴PF1⋅PF2=x2+y2−3=x2+1−x24−3=14(3x2−8)≤14,
    解得−2 63≤x≤2 63,
    ∵点P在第一象限,∴x>0,
    ∴0∴点P的横坐标的取值范围是(0,2 63].
    18.解:(1)由题可知,圆M的半径r=1,设P−2b,b,
    因为PA是圆M的一条切线,所以∠MAP=90∘,
    所以MP= 0+2b2+2−b2= AM2+AP2=2,
    解得b=0或b=45,
    所以点P的坐标为P0,0或P−85,45.
    (2)设P−2b,b,因为∠MAP=90∘,
    所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径,
    其方程为x+b2+y−b+222=4b2+b−224,
    即2x−y+2b+x2+y2−2y=0,
    由2x−y+2=0x2+y2−2y=0,
    解得x=0y=2或x=−45y=25,
    所以圆过定点0,2,−45,25.
    (3)因为圆N方程为x+b2+y−b+222=4b2+b−224,
    即x2+y2+2bx−b+2y+2b=0①,
    又圆M:x2+y2−4y+3=0②,
    ①−②得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为
    2bx−b−2y+2b−3=0.
    点M0,2到直线AB的距离d=1 5b2−4b+4,
    所以相交弦长AB=2 1−d2=2 1−15d2−4b+4
    =2 1−15b−252+165,
    所以当b=25时,AB有最小值 112.

    19.解:(1)显然直线垂直于x轴时不符合题意,故设直线方程为y−4=k(x−2),
    因为直线与圆交于不同两点,所以|−2k+4| k2+1<2,解得k>34.
    令x=0得D(0,4−2k),
    对于x2+y2=4令y=0得Q(2,0),又P(2,4)
    所以DQ=(2,2k−4),DP=(2,2k),所以DP⋅DQ=4+2k(2k−4)=16,解得k=3,或k=−1(舍)
    所以直线l的方程为y=3x−2.
    (2)联立y−4=k(x−2)x2+y2=4得(1+k2)x2−4k(k−2)x+(2k−4)2−4=0
    设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=4k(k−2)1+k2,x1x2=(2k−4)2−41+k2
    ∴k1+k2=y1x1−2+y2x2−2=k(x1−2)+4x1−2+k(x2−2)+4x2−2=2k+4(x1+x2−4)x1x2−2(x1+x2)+4
    =2k+4×(4k(k−2)1+k2−4)(2k−4)2−41+k2−2×4k(k−2)1+k2+4=−1,即k1+k2的值是−1.
    (3)设中点M(x0,y0),由(2)知x0=x1+x22=2k(k−2)1+k2,代入直线l的方程得y0=−2(k−2)1+k2(∗)
    又由MN= 133OM得(x0−43)2+y02=139(x02+y02)
    化简得x02+y02+6x0−4=0将(∗)式代入得k=3.
    因为圆心到直线l的距离d=|−2k+4| 1+k2=2 10
    所以AB=2 4−d2=65 10,Q到直线l的距离ℎ=2 105
    所以S△ABQ=12AB×ℎ=125,即△QAB的面积为125.
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