新高考数学一轮复习微专题专练23平面向量的概念及其线性运算（含详解）

这是一份新高考数学一轮复习微专题专练23平面向量的概念及其线性运算（含详解），共6页。

一、选择题
1．给出下列四个命题：①若|a|＝|b|，则a＝b；②若A，B，C，D是不共线的四点，则 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(DC,\s\up6(→)) 是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若a＝b，b＝c，则a＝c；④a＝b的充要条件是|a|＝|b|，且a∥b.其中正确命题的序号是( )
A．②③ B．①②
C．③④ D．②④
2．设非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )
A．|a|＝|b| B．a∥b
C．|a|>|b| D．a⊥b
3．[2022·新高考Ⅰ卷，3]在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2DA.记 eq \(CA,\s\up6(→)) ＝m， eq \(CD,\s\up6(→)) ＝n，则 eq \(CB,\s\up6(→)) ＝( )
A．3m－2n B．－2m＋3n
C．3m＋2n D．2m＋3n
4．在等腰梯形ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝－2 eq \(CD,\s\up6(→)) ，M为BC的中点，则 eq \(AM,\s\up6(→)) ＝( )
A． eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)) B． eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→))
C． eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \(AD,\s\up6(→)) D． eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(3,4) eq \(AD,\s\up6(→))
5．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O， eq \(CO,\s\up6(→)) ＝λ( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) )，则实数λ＝( )
A．－ eq \f(1,2) B． eq \f(1,2)
C．2 D．－2
6．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2 eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \(CB,\s\up6(→)) ＝0，则 eq \(OC,\s\up6(→)) 等于( )
A．2 eq \(OA,\s\up6(→)) － eq \(OB,\s\up6(→))
B．－ eq \(OA,\s\up6(→)) ＋2 eq \(OB,\s\up6(→))
C． eq \f(2,3) eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,3) eq \(OB,\s\up6(→))
D．－ eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(OB,\s\up6(→))
7．在四边形ABCD中， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝a＋2b， eq \(BC,\s\up6(→)) ＝－4a－b， eq \(CD,\s\up6(→)) ＝－5a－3b，则四边形ABCD的形状是( )
A．矩形 B．平行四边形
C．梯形 D．以上都不对
8．已知平面内一点P及△ABC，若 eq \(PA,\s\up6(→)) ＋ eq \(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \(PC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ，则点P与△ABC的位置关系是( )
A．点P在线段AB上
B．点P在线段BC上
C．点P在线段AC上
D．点P在△ABC内部
9．[2023·河北省六校联考]已知点O是△ABC内一点，且满足 eq \(OA,\s\up6(→)) ＋2 eq \(OB,\s\up6(→)) ＋m eq \(OC,\s\up6(→)) ＝0， eq \f(S△AOB,S△ABC) ＝ eq \f(4,7) ，则实数m的值为( )
A．－4 B．－2
C．2 D．4
二、填空题
10．已知不共线向量a，b， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ta－b(t∈R)， eq \(AC,\s\up6(→)) ＝2a＋3b，若A，B，C三点共线，则实数t＝________．
11．在△OAB中，点C满足 eq \(AC,\s\up6(→)) ＝－4 eq \(CB,\s\up6(→)) ， eq \(OC,\s\up6(→)) ＝x eq \(OA,\s\up6(→)) ＋y eq \(OB,\s\up6(→)) ，则y－x＝________．
12.
如图所示，已知 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝2 eq \(BC,\s\up6(→)) ， eq \(OA,\s\up6(→)) ＝a， eq \(OB,\s\up6(→)) ＝b， eq \(OC,\s\up6(→)) ＝c，则c＝________(用a，b表示).
[能力提升]
13．已知点P是△ABC所在平面内一点，且满足3 eq \(PA,\s\up6(→)) ＋5 eq \(PB,\s\up6(→)) ＋2 eq \(PC,\s\up6(→)) ＝0，已知△ABC的面积为6，则△PAC的面积为( )
A． eq \f(9,2) B．4 C．3 D． eq \f(12,5)
14．(多选)[2023·湖南省四校摸底调研联考]在△ABC中，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AD，BE，CF交于点G，则( )
A． eq \(EF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(CA,\s\up6(→)) － eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→))
B． eq \(BE,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→))
C． eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(BE,\s\up6(→)) ＝ eq \(FC,\s\up6(→))
D． eq \(GA,\s\up6(→)) ＋ eq \(GB,\s\up6(→)) ＋ eq \(GC,\s\up6(→)) ＝0
15．已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且 eq \(BC,\s\up6(→)) ＝a， eq \(CA,\s\up6(→)) ＝b，给出下列命题：① eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) a－b；② eq \(BE,\s\up6(→)) ＝a＋ eq \f(1,2) b；③ eq \(CF,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) b；④ eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(BE,\s\up6(→)) ＋ eq \(CF,\s\up6(→)) ＝0.其中正确命题的序号为________．
16．在△ABC中， eq \(AN,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,3) eq \(AC,\s\up6(→)) ，P是BN上的一点，若 eq \(AP,\s\up6(→)) ＝m eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,11) eq \(AC,\s\up6(→)) ，则实数m的值为________．
专练23 平面向量的概念及其线性运算
1．A 当|a|＝|b|时，a与b的方向不确定，故①不正确；对于②，∵A，B，C，D是不共线的点为大前提， eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(DC,\s\up6(→)) ⇔ABCD为平行四边形，故②正确；③显然正确；对于④由于当|a|＝|b|且a∥b时a与b的方向可能相反，此时a≠b，故|a|＝|b|且a∥b是a＝b的必要不充分条件，故④不正确．
2．D 由|a＋b|＝|a－b|的几何意义可知，以a、b为邻边的平行四边形为矩形，故a⊥b.
3．B 因为BD＝2DA，所以 eq \(CB,\s\up6(→)) ＝ eq \(CA,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(CA,\s\up6(→)) ＋3 eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(CA,\s\up6(→)) ＋3( eq \(CD,\s\up6(→)) － eq \(CA,\s\up6(→)) )＝－2 eq \(CA,\s\up6(→)) ＋3 eq \(CD,\s\up6(→)) ＝－2m＋3n.故选B.
4．B ∵M为BC的中点，
∴ eq \(AM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \(AB,\s\up6(→)) )
＝ eq \f(1,2) ( eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DC,\s\up6(→)) )＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ，
又 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝－2 eq \(CD,\s\up6(→)) ，∴ eq \(DC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ，
∴ eq \(AM,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\(AB,\s\up6(→)))) ＋ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,4) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(AD,\s\up6(→)) .
5．A 由平行四边形法则可知，
eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) ，
又O为AC与BD的交点，
∴ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝－2 eq \(CO,\s\up6(→)) ，
∴ eq \(CO,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,2) ( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AD,\s\up6(→)) )，∴λ＝－ eq \f(1,2) .
6．A ∵2 eq \(AC,\s\up6(→)) ＋ eq \(CB,\s\up6(→)) ＝0，∴2( eq \(OC,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) )＋( eq \(OB,\s\up6(→)) － eq \(OC,\s\up6(→)) )＝0，得 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝2 eq \(OA,\s\up6(→)) － eq \(OB,\s\up6(→)) ，故选A.
7．C ∵ eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(CD,\s\up6(→)) ＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2 eq \(BC,\s\up6(→)) ，∴ eq \(AD,\s\up6(→)) ∥ eq \(BC,\s\up6(→)) 且| eq \(AD,\s\up6(→)) |＝2| eq \(BC,\s\up6(→)) |，∴四边形ABCD为梯形．
8．C ∵ eq \(PA,\s\up6(→)) ＋ eq \(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \(PC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝ eq \(PB,\s\up6(→)) － eq \(PA,\s\up6(→)) ，∴ eq \(PC,\s\up6(→)) ＝－2 eq \(PA,\s\up6(→)) ，∴点P在线段AC上．
9．D 由 eq \(OA,\s\up6(→)) ＋2 eq \(OB,\s\up6(→)) ＝－m eq \(OC,\s\up6(→)) 得， eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(OB,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(m,3) eq \(OC,\s\up6(→)) ，如图，设－ eq \f(m,3) eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \(OD,\s\up6(→)) ，则 eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(OB,\s\up6(→)) ＝ eq \(OD,\s\up6(→)) ，∴A，B，D三点共线，∴ eq \(OC,\s\up6(→)) 与 eq \(OD,\s\up6(→)) 反向共线，m>0，∴ eq \f(|\(OD,\s\up6(→))|,|\(OC,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(m,3) ，∴ eq \f(|\(OD,\s\up6(→))|,|\(CD,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(\f(m,3),\f(m,3)＋1) ＝ eq \f(m,m＋3) ，∴ eq \f(S△AOB,S△ABC) ＝ eq \f(|\(OD,\s\up6(→))|,|\(CD,\s\up6(→))|) ＝ eq \f(m,m＋3) ＝ eq \f(4,7) ，解得m＝4.故选D.
10．－ eq \f(2,3)
解析：因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使得 eq \(AB,\s\up6(→)) ＝k eq \(AC,\s\up6(→)) ，所以ta－b＝k(2a＋3b)＝2ka＋3kb，即(t－2k)a＝(3k＋1)b，因为a，b不共线，所以t－2k＝0，3k＋1＝0，解得k＝－ eq \f(1,3) ，t＝－ eq \f(2,3) .
11. eq \f(5,3)
解析：根据向量加法的三角形法则得到 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,4) eq \(AC,\s\up6(→)) ＝ eq \(OB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,4) ( eq \(OC,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) )，化简得到 eq \(OC,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,3) eq \(OA,\s\up6(→)) ＋ eq \f(4,3) eq \(OB,\s\up6(→)) ，所以x＝－ eq \f(1,3) ，y＝ eq \f(4,3) ，则y－x＝ eq \f(4,3) ＋ eq \f(1,3) ＝ eq \f(5,3) .
12. eq \f(3,2) b－ eq \f(1,2) a
解析：∵ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝2 eq \(BC,\s\up6(→)) ，∴ eq \(OB,\s\up6(→)) － eq \(OA,\s\up6(→)) ＝2( eq \(OC,\s\up6(→)) － eq \(OB,\s\up6(→)) ).
∴ eq \(OC,\s\up6(→)) ＝ eq \f(3,2) eq \(OB,\s\up6(→)) － eq \f(1,2) eq \(OA,\s\up6(→)) ，
即c＝ eq \f(3,2) b－ eq \f(1,2) a.
13．C ∵3 eq \(PA,\s\up6(→)) ＋5 eq \(PB,\s\up6(→)) ＋2 eq \(PC,\s\up6(→)) ＝0，
∴3( eq \(PA,\s\up6(→)) ＋ eq \(PB,\s\up6(→)) )＋2( eq \(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \(PC,\s\up6(→)) )＝0，
取AB的中点D，BC的中点E，连接PD，PE，则 eq \(PA,\s\up6(→)) ＋ eq \(PB,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PD,\s\up6(→)) ， eq \(PB,\s\up6(→)) ＋ eq \(PC,\s\up6(→)) ＝2 eq \(PE,\s\up6(→)) ，
∴3 eq \(PD,\s\up6(→)) ＋2 eq \(PE,\s\up6(→)) ＝0，
∴D、P、E三点共线，∴P到AC的距离为B到AC的距离h的一半，
∵S△ABC＝ eq \f(1,2) AC·h＝6，
∴S△PAC＝ eq \f(1,2) AC× eq \f(h,2) ＝ eq \f(1,2) ×6＝3.
14.
BCD 如图，因为点D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，所以 eq \(EF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(CB,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→)) ，故A不正确； eq \(BE,\s\up6(→)) ＝ eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(CE,\s\up6(→)) ＝ eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(CA,\s\up6(→)) ＝ eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) ( eq \(CB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BA,\s\up6(→)) )＝ eq \(BC,\s\up6(→)) － eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→)) － eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,2) eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→)) ，故B正确； eq \(FC,\s\up6(→)) ＝ eq \(AC,\s\up6(→)) － eq \(AF,\s\up6(→)) ＝ eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(DC,\s\up6(→)) ＋ eq \(FA,\s\up6(→)) ＝ eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \(FA,\s\up6(→)) ＝ eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(FE,\s\up6(→)) ＋ eq \(FA,\s\up6(→)) ＝ eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(FB,\s\up6(→)) ＋ eq \(BE,\s\up6(→)) ＋ eq \(FA,\s\up6(→)) ＝ eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(BE,\s\up6(→)) ，故C正确；由题意知，点G为△ABC的重心，所以 eq \(AG,\s\up6(→)) ＋ eq \(BG,\s\up6(→)) ＋ eq \(CG,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(BE,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,3) eq \(CF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(2,3) × eq \f(1,2) ( eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) )＋ eq \f(2,3) × eq \f(1,2) ( eq \(BA,\s\up6(→)) ＋ eq \(BC,\s\up6(→)) )＋ eq \f(2,3) × eq \f(1,2) ( eq \(CB,\s\up6(→)) ＋ eq \(CA,\s\up6(→)) )＝0，即 eq \(GA,\s\up6(→)) ＋ eq \(GB,\s\up6(→)) ＋ eq \(GC,\s\up6(→)) ＝0，故D正确．故选BCD.
15．②③④
解析：∵ eq \(BC,\s\up6(→)) ＝a， eq \(CA,\s\up6(→)) ＝b， eq \(AD,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) eq \(CB,\s\up6(→)) ＋ eq \(AC,\s\up6(→)) ＝－ eq \f(1,2) a－b，故①不正确；对于②， eq \(BE,\s\up6(→)) ＝ eq \(BC,\s\up6(→)) ＋ eq \f(1,2) eq \(CA,\s\up6(→)) ＝a＋ eq \f(1,2) b，故②正确；对于③， eq \(CF,\s\up6(→)) ＝ eq \f(1,2) ( eq \(CB,\s\up6(→)) ＋ eq \(CA,\s\up6(→)) )＝ eq \f(1,2) (－a＋b)＝－ eq \f(1,2) a＋ eq \f(1,2) b，故③正确；对于④， eq \(AD,\s\up6(→)) ＋ eq \(BE,\s\up6(→)) ＋ eq \(CF,\s\up6(→)) ＝－b－ eq \f(1,2) a＋a＋ eq \f(1,2) b＋ eq \f(1,2) b－ eq \f(1,2) a＝0，故④正确，故正确的有②③④.
16. eq \f(5,11)
解析：
∵N，P，B三点共线，
∴ eq \(AP,\s\up6(→)) ＝m eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(2,11) eq \(AC,\s\up6(→)) ＝m eq \(AB,\s\up6(→)) ＋ eq \f(6,11) eq \(AN,\s\up6(→)) ，∴m＋ eq \f(6,11) ＝1，∴m＝ eq \f(5,11) .