2025届高考数学一轮复习专练51 两条直线的位置关系（Word版附解析）

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【基础落实练】
1.(5分)(2024·潍坊模拟)已知三角形的三个顶点A(2,4),B(3,-6),C(5,2),则BC边上中线的长为( )
A.210 B.10 C.112 D.310
【解析】选A.设BC的中点为D(x,y),由中点坐标公式得x=3+52=4y=-6+22=-2,所以D(4,-2),
所以AD=(4-2)2+(-2)-42=40=210.
2.(5分)已知直线l1:2x-y+1=0,l2:x+ay-1=0,且l1⊥l2,则点P(1,2)到直线l2的距离d等于( )
A.55 B.255 C.355 D.455
【解析】选D.由l1⊥l2可得2×1-1·a=0,即a=2,故d=|1+2×2-1|12+22=455.
【加练备选】
(2024·深圳模拟)直线l1:mx-y+1=0,l2:(3m-2)x+my-2=0,若l1⊥l2,则实数m的值为( )
A.0 B.1
C.0或1 D.13或1
【解析】选C.l1⊥l2⇔m(3m-2)-m=0,
即m2-m=0,解得m=0或m=1.
3.(5分)(2024·南昌模拟)已知直线l1:x+ay-2=0,l2:(a+1)x-ay+1=0,若p:l1∥l2;q:a=-2,则p是q的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】选B.若l1∥l2,则1×(-a)-a(a+1)=0,解得a=0或a=-2,经检验,符合题意.
所以pq,q⇒p,所以p是q的必要不充分条件.
4.(5分)直线ax+y+3a-1=0恒过定点N,则直线2x+3y-6=0关于点N对称的直线方程为( )
A.2x+3y-12=0B.2x+3y+12=0
C.2x-3y+12=0D.2x-3y-12=0
【解析】选B.由ax+y+3a-1=0可得a(x+3)+y-1=0.
令x+3=0,y-1=0,可得x=-3,y=1,
所以N(-3,1).
设直线2x+3y-6=0关于点N对称的直线方程为2x+3y+c=0(c≠-6),
则|-6+3-6|4+9=|-6+3+c|4+9,
解得c=12或c=-6(舍去).
故所求直线方程为2x+3y+12=0.
5.(5分)(多选题)已知A(2,4)与B(3,3)到直线l的距离相等,则直线l的方程为( )
A.x+y=0 B.x-y=0
C.x+y-6=0 D.x-y+1=0
【解析】选ACD.因为A(2,4)与B(3,3)的中点为(52,72),且kAB=4-32-3=-1,所以使得点A(2,4)与B(3,3)到直线l的距离相等的直线有两类,
一类是过A,B的中点的直线,另一类是与AB平行的直线,显然x+y-6=0、x-y+1=0过点(52,72),故C,D正确;
直线x+y=0的斜率为-1与AB平行,故A正确;
直线x-y=0的斜率为1与AB垂直,且不过点(52,72),故B错误.
6.(5分)(多选题)已知直线l1:4x-3y+4=0,l2:(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0(m∈R),则( )
A.直线l2过定点(-3,-1)
B.当m=1时,l1⊥l2
C.当m=2时,l1∥l2
D.当l1∥l2时,两直线l1,l2之间的距离为1
【解析】选ACD.因为(m+2)x-(m+1)y+2m+5=0,
所以2x-y+5+m(x-y+2)=0,
所以2x-y+5=0,x-y+2=0,解得x=-3,y=-1,
所以直线l2过定点(-3,-1),选项A正确;
当m=1时,直线l2:3x-2y+7=0,k2=32,
又因为l1:4x-3y+4=0,
所以k1=43,k1k2=2,所以两直线不垂直,选项B错误;
当m=2时,直线l2:4x-3y+9=0,而l1:4x-3y+4=0,
所以两直线斜率相等,在y轴上的截距不等,
所以两直线平行,此时两直线之间的距离d=|9-4|32+42=1,选项C,D正确.
7.(5分)已知两条直线2x+3y-k=0和x-6y+12=0的交点在y轴上,那么k的值是6.
【解析】由x-6y+12=0可得直线与y轴的交点坐标为(0,2),将点(0,2)代入2x+3y-k=0可得k=6.
8.(5分)(2024·扬州模拟)唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在如图所示的直角坐标系xOy中,设军营所在平面区域为{(x,y)|x2+y2≤1},河岸线所在直线方程为2x+2y-5=0,假定将军从点P(1,12)处出发,只要到达军营所在区域即回到军营,当将军选择最短路程时,饮马点A的纵坐标为1514,最短总路程为32.
【解析】设点P(1,12)关于直线2x+2y-5=0的对称点P'(a,b),
则b-12a-1=12×a+12+2×b+122-5=0,解得a=2b=32,
所以P'2,32,将军从P出发到达直线上点A再到营区,因为PA=P'A,所以本题问题转化为求点P'2,32到营区的最短距离,根据圆的几何特征可知最短距离为|P'O|-1= 22+322-1=32.A点为直线OP'与直线2x+2y-5=0的交点,直线OP'的方程为3x-4y=0,
由3x-4y=02x+2y-5=0,解得y=1514,
故A点的纵坐标为1514.
9.(10分)已知直线l经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点.
(1)点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程.
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.
【解析】(1)经过两条已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,
即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0.
所以|10+5λ-5|(2+λ)2+(1-2λ)2=3.
即2λ2-5λ+2=0,所以λ=2或12.
所以l的方程为x=2或4x-3y-5=0.
(2)由2x+y-5=0,x-2y=0解得交点P(2,1),如图,过P作任意直线l,
设d为点A到l的距离,则d≤|PA|(当l⊥PA时等号成立,其余距离d与PA构成直角三角形,PA为它们的斜边),所以dmax=|PA|=10.
【能力提升练】
10.(5分)(2024·福州模拟)已知过点A(-2,m)和点B(m,4)的直线为l1,l2:y=-2x+1,l3:y=-1nx-1n. 若l1∥l2,l2⊥l3,则m+n的值为( )
A.-10 B.-2 C.0 D.8
【解析】选A.因为l1∥l2,所以kAB=4-mm+2=-2,解得m=-8,又l2⊥l3,所以(-1n)×(-2)=-1,
解得n=-2.所以m+n=-10.
11.(5分)美术绘图中常采用“三庭五眼”作图法.三庭:将整个脸部按照发际线至眉骨,眉骨至鼻底,鼻底至下颏的范围分为上庭、中庭、下庭,各占脸长的13,五眼:指脸的宽度比例,以眼形长度为单位,把脸的宽度自左至右分成第一眼、第二眼、第三眼、第四眼、第五眼五等份.如图,假设三庭中一庭的高度为2 cm,五眼中一眼的宽度为1 cm,若图中提供的直线AB近似记为该人像的刘海边缘,且该人像的鼻尖位于中庭下边界和第三眼的中点,则该人像鼻尖到刘海边缘的距离约为( )
A.524 cmB.724 cm
C.924 cmD.1124 cm
【解析】选B.如图,以鼻尖所在位置为原点O,中庭下边界为x轴,垂直中庭下边界且过鼻尖的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(12,4),B(-32,2),
直线AB的方程:y-42-4=x-12-32-12,
整理为x-y+72=0,
原点O到直线距离为721+1=724(cm).
12.(5分)数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A(2,0),B(0,1),且|AC|=|BC|,则△ABC的欧拉线的方程为( )
A.2x+4y-3=0 B.x-2y-3=0
C.2x-y-3=0 D.4x-2y-3=0
【解析】选D.由|AC|=|BC|及题意可知△ABC的欧拉线即为线段AB的垂直平分线,因为AB的中点为M(1,12),斜率kAB=-12,所以AB垂直平分线的斜率k=2.
因此△ABC的欧拉线的方程为y-12=2(x-1),即4x-2y-3=0.
13.(5分)在△ABC中,点A(2,-1),AB边上中线所在的直线方程为x+3y-6=0,∠ABC的内角平分线所在的直线方程为x-y+1=0,则点B的坐标为(52,72),△ABC的边BC所在直线的方程为x-9y+29=0.
【解析】设点B(x,y),
则x-y+1=0,x+22+3×y-12-6=0,解得x=52,y=72,所以点B的坐标为(52,72).
设点A(2,-1)关于x-y+1=0的对称点A'(m,n),
则AA'的中点坐标为(m+22,n-12),kAA'=n+1m-2,
于是n+1m-2=-1,m+22-n-12+1=0⇒m=-2,n=3,
则A'(-2,3),所以kA'B=72-352+2=19,
所以直线BC的方程为y-72=19(x-52),
即x-9y+29=0.
14.(10分)(2024·宁波模拟)已知两条直线l1:ax+y+a+1=0,l2:2x+(a-1)y+3=0.
(1)若l1,l2不重合,且垂直于同一条直线,求a的值.
(2)从①直线l过坐标原点,②直线l在y轴上的截距为2,③直线l与坐标轴形成的三角形的面积为1.这三个条件中选择一个补充在下面问题中,并作答.
若a=0,直线l与l2垂直,且__________,求直线l的方程.
【解析】(1)因为l1,l2不重合,且垂直于同一条直线,所以l1∥l2,
所以a(a-1)=2×1a×3≠2×(a+1),解得a=-1.
(2)因为a=0,直线l2:2x-y+3=0,其斜率为2,
又直线l与l2垂直,所以直线l的斜率为-12.
选条件①.
由直线l过坐标原点,则直线l的方程为
y=-12x,即x+2y=0.
选条件②.
由题意设直线l的方程为x+2y+c=0,令x=0,则y=-c2,则-c2=2,即c=-4,
所以直线l的方程为x+2y-4=0.
选条件③.
由题意设直线l的方程为x+2y+c=0,令x=0,则y=-c2,令y=0,则x=-c,
所以12×|-c2|×-c=1,解得c=±2,直线l的方程为x+2y±2=0.
15.(10分)已知A(4,-3),B(2,-1)和直线l:4x+3y-2=0,若坐标平面内存在一点P,使|PA|=|PB|,且点P到直线l的距离为2,求点P的坐标.
【解析】设点P的坐标为(a,b),
因为A(4,-3),B(2,-1),
所以线段AB的中点M的坐标为(3,-2).
而AB所在直线的斜率kAB=-3+14-2=-1,所以线段AB的垂直平分线方程为y+2=x-3,
即x-y-5=0.
因为点P(a,b)在直线x-y-5=0上,
所以a-b-5=0①;
又点P(a,b)到直线4x+3y-2=0的距离为2,所以|4a+3b-2|42+32=2,
即4a+3b-2=±10②.
联立①②,解得a=1,b=-4或a=277,b=-87.
故所求点P的坐标为(1,-4)或(277,-87).
【素养创新练】
16.(5分)已知M(-1,3),N(2,1),点P在x轴上,且使PM+PN取得最小值,则最小值为5,此时点P的坐标为(54,0).
【解析】如图所示:
点N关于x轴的对称点为Q(2,-1),由对称性可知PN=PQ,
所以,PM+PN=PM+PQ≥MQ=(-1-2)2+(3+1)2=5,
当且仅当M,P,Q三点共线时,等号成立,
直线MQ的斜率为kMQ=3+1-1-2=-43,直线MQ的方程为y+1=-43(x-2),即4x+3y-5=0,
联立4x+3y-5=0y=0,可得x=54y=0,
即点P(54,0),
故当点P的坐标为(54,0)时,PM+PN取得最小值5.