2024版高考数学微专题专练5函数的单调性与最值理（附解析）

这是一份2024版高考数学微专题专练5函数的单调性与最值理（附解析），共4页。

[基础强化]
一、选择题
1．下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是( )
A．y＝eq \f(1,1－x)B．y＝csx
C．y＝ln (x＋1) D．y＝2－x
2．函数f(x)＝lgeq \f(1,2)(x2－4)的单调递增区间为( )
A.(0，＋∞) B．(－∞，0)
C．(2，＋∞) D．(－∞，－2)
3．已知a＝lg20.2，b＝20.2，c＝0.20.3，则( )
A．aC．c4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝eq \f(a,x＋1)在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是( )
A．(－1，0)∪(0，1) B．(－1，0)∪(0，1]
C．(0，1) D．(0，1]
5．已知y＝f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)A．(－∞，eq \f(2,3)) B．(0，＋∞)
C．(0，eq \f(2,3)) D．(－∞，0)∪(eq \f(2,3)，＋∞)
6．[2022·安徽省江南十校一模]已知函数f(x)＝2|x|，a＝f(lg0.53)，b＝f(lg45)，c＝f(cseq \f(π,3))，则( )
A．a>c>bB．a>b>c
C．b>a>cD．c>a>b
7．[2022·河南省六市三模]函数f(x)是定义在R上的单调函数，f(f(x)－x＋1)＝1，则f(3)＝( )
A.9 B．8
C．3 D．1
8．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋4x，x≥0，,4x－x2，x<0，))若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1，2)
C．(－2，1)
D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
9．[2021·全国乙卷]设a＝2ln1.01，b＝ln1.02，c＝eq \r(1.04)－1，则( )
A．a＜b＜cB．b＜c＜a
C．b＜a＜cD．c＜a＜b
二、填空题
10．[2022·福建省诊断性检测]写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x)＝________．
①定义域为R；②值域为(－∞，1)；③对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，均有eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0.
11．已知函数f(x)＝lga(－x2－2x＋3)(a>0且a≠1)，若f(0)<0，则此函数f(x)的单调递增区间是________．
12．已知函数f(x)＝eq \f(x＋1,x－1)，x∈[2，5]，则f(x)的最大值是________．
[能力提升]
13．[2022·河南省高三质量预测]若函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2，x≤m,x2－2x，x>m))是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，1]∪{2}B．{1}∪[2，＋∞)
C．(－∞，1] D．[2，＋∞)
14．[2022·安徽省高三联考]已知函数f(x)＝lg2(2x＋1)－eq \f(1,2)x，若f(a－2)≥f(2a－1)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．[－1，1]
B．(－∞，－1]
C．[0，＋∞)
D．(－∞，－1]∪[0，＋∞)
15．函数f(x)＝(eq \f(1,3))x－lg2(x＋2)在[－1，1]上的最大值为________．
16．f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax，x<1，,（a－3）x＋4a，x≥1，))满足对任意x1≠x2，都有eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0成立，则a的取值范围是________．
专练5 函数的单调性与最值
1．D A项，x1＝0时，y1＝1，x2＝eq \f(1,2)时，y2＝2>y1，所以y＝eq \f(1,1－x)在区间(－1，1)上不是减函数，故A项不符合题意．B项，由余弦函数的图像与性质可得，y＝csx在(－1，0)上递增，在(0，1)上递减，故B项不符合题意．C项，y＝lnx为增函数，且y＝x＋1为增函数，所以y＝ln (x＋1)为增函数，故C项不符合题意．D项，由指数函数可得y＝2x为增函数，且y＝－x为减函数，所以y＝2－x为减函数，故D项符合题意．
2．D 由x2－4>0得x>2或x<－2，∴f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为(－∞，－2).
3．B ∵a＝lg20.2<0，b＝20.2>1，c＝0.20.3∈(0，1)，
∴a4．D 由于g(x)＝eq \f(a,x＋1)在区间[1，2]上是减函数，所以a>0；由于f(x)＝－x2＋2ax在区间[1，2]上是减函数，且f(x)的对称轴为x＝a，则a≤1.综上有05．C ∵f(x)在定义域(－1，1)上是减函数，且f(1－a)2a－1，))解得06．B 由题意，f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x)，
故函数f(x)＝2|x|为偶函数，
且x>0时，f(x)＝2x，故函数在(0，＋∞)单调递增，
∵lg23>lg45＝lg2eq \r(5)>lg22＝1，cseq \f(π,3)＝eq \f(1,2)，
∴a＝f(lg0.53)＝f(lg23)>b>c.
7．C 因为函数f(x)是定义在R上的单调函数，且f(f(x)－x＋1)＝1，所以f(x)－x＋1为常数，记f(x)－x＋1＝m，则f(x)＝x＋m－1，所以f(m)＝1，即f(m)＝2m－1＝1，故m＝1.
所以f(x)＝x，故f(3)＝3.
8．C f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋4x＝（x＋2）2－4，x≥0，,4x－x2＝－（x－2）2＋4，x<0.))
由f(x)的图像可知f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
由f(2－a2)>f(a)得2－a2>a，
即a2＋a－2<0，解得－29．B b－c＝ln1.02－eq \r(1.04)＋1，设f(x)＝ln (x＋1)－eq \r(1＋2x)＋1，则b－c＝f(0.02)，f′(x)＝eq \f(1,x＋1)－eq \f(2,2\r(1＋2x))＝eq \f(\r(1＋2x)－（x＋1）,\r(1＋2x)·（x＋1）)，当x≥0时，x＋1＝eq \r(（x＋1）2)≥eq \r(1＋2x)，故当x≥0时，f′(x)＝eq \f(\r(1＋2x)－（x＋1）,\r(1＋2x)·（x＋1）)≤0，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递减，所以f(0.02)a－c＝2ln1.01－eq \r(1.04)＋1，设g(x)＝2ln (x＋1)－eq \r(1＋4x)＋1，则a－c＝g(0.01)，g′(x)＝eq \f(2,x＋1)－eq \f(4,2\r(1＋4x))＝eq \f(2[\r(1＋4x)－（x＋1）],（x＋1）\r(1＋4x))，当0≤x<2时，eq \r(4x＋1)≥eq \r(（x＋1）2)＝x＋1，故当0≤x<2时，g′(x)≥0，所以g(x)在[0，2)上单调递增，所以g(0.01)>g(0)＝0，故c10．f(x)＝1－eq \f(1,2x)(答案不唯一)
解析：f(x)＝1－eq \f(1,2x)，定义域为R；eq \f(1,2x)>0，f(x)＝1－eq \f(1,2x)<1，值域为(－∞，1)；是增函数，满足对任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，均有eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0.
11．[－1，1)
解析：∵f(0)＝lga3<0，∴012．3
解析：f(x)＝eq \f(x＋1,x－1)＝eq \f(x－1＋2,x－1)＝1＋eq \f(2,x－1)，显然f(x)在[2，5]上单调递减，∴f(x)max＝f(2)＝1＋eq \f(2,2－1)＝3.
13．B y＝x－2在R上单调递增，y＝x2－2x＝(x－1)2－1在(1，＋∞)上单调递增．
要使函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2，x≤m,x2－2x，x>m))是定义在R上的增函数，
只需eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≥1,m－2≤m2－2m))，解得m＝1或m≥2.
所以实数m的取值范围是{1}∪[2，＋∞).
14．A 因为函数f(x)的定义域为R，所以
f(－x)＝lg2(2－x＋1)＋eq \f(1,2)x＝lg2(2x＋1)－eq \f(1,2)x＝f(x)，即函数f(x)为偶函数．
又当x>0时，f′(x)＝eq \f(2x,2x＋1)－eq \f(1,2)＝eq \f(2x－1,2（2x＋1）)>0，
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
而f(a－2)≥f(2a－1)等价于f(|a－2|)≥f(|2a－1|)，所以|a－2|≥|2a－1|，
化简得，a2≤1，所以－1≤a≤1.
15．3
解析：∵y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)在R上单调递减，y＝lg2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，∴f(x)在[－1，1]上单调递减，∴f(x)max＝f(－1)＝3.
16.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4)))
解析：∵对任意x1≠x2，都有eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0成立，
∴f(x)在定义域R上为单调递减函数，
∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(0∴a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,4))).