甘肃省兰州市榆中县多校联考2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

这是一份甘肃省兰州市榆中县多校联考2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)，共26页。

注意事项：
1．全卷共120分，考试时间120分钟．
2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填（涂）写在答题卡上．
3．考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．
一、选择题：本大题12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（ ）
A. 运出30吨粮食B. 亏损30吨粮食C. 卖掉30吨粮食D. 吃掉30吨粮食
答案：A
解析：解：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示运出30吨粮食．
故选：A
2. 杆秤是中国最古老也是现今人们仍然使用的衡量工具，由秤杆、秤砣、秤盘三个部分组成.秤砣、秤杆分别叫做“权”和“衡”，指的是做任何事都要权衡轻重.如图是常见的一种秤砣，则它的主视图是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：这个常见的一种秤砣的主视图是
故选A．
3. 下列式子运算正确的是（ ）
A. x5÷x5＝0B. x2•x3＝x6C. （2x）2＝4x2D. （x3）4＝x7
答案：C
解析：解：A、x5÷x5＝1，故此选项不符合题意；
B、x2•x3＝x5，故此选项不符合题意；
C、（2x）2＝4x2，故此选项符合题意；
D、（x3）4＝x12，故此选项不符合题意；
故选：C．
4. 某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中，都与地面l平行，，．当为（ ）度时，与平行．

A. 16B. 60C. 66D. 114
答案：C
解析：解：∵，都与地面l平行，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴当时，．
故选：C．
5. 一次函数的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：∵一次函数的函数值y随x的增大而减小，
∴，
解得．
故选：D
6. 若，是方程两个根，则（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：∵是方程两个根，
∴．
故选：B
7. 如图，线段上的点满足关系式：，且，则 的长为（ ）
A. 或B. C. D.
答案：C
解析：解：设，则，
∵，
∴，
整理得 ，，
解得，或（不符合题意，舍去）
∴，
故选：C．
8. 如图，是一个底部呈球形的蒸馏瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：解：由题意得：，
∴，，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴．
∴截面圆中弦AB的长为．
故选：C．
9. 2024年国家统计局公布《中华人民共和国2023年国民经济和社会发展统计公报》．下图为国家统计局发布的全国2019-2023年快递业务量及其增长速度的统计图．根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（ ）
A. 与2021年相比，2022年的快递业务量的年增长率虽然下降，但快递业务量仍然上升B. 从2019年至2023年快递业务量持续上升
C. 从2020年至2023年快递业务量的年增长率持续下降D. 2023年的快递业务量比2022年增加了亿件
答案：C
解析：解：由统计图可知：
与2021年相比，2022年的快递业务量的年增长率虽然下降，但快递业务量仍然上升，故选项A说法正确，不符合题意；
从2019年至2023年快递业务量持续上升，故选项B说法正确，不符合题意；
从2020年至2022年快递业务量的年增长率持续下降，从2022年至2023年快递业务量的年增长率有所上升，故选项C说法错误，符合题意；
（亿件），即2023年的快递业务量比2022年增加了214.9亿件，故选项D说法正确，不符合题意．
故选：C
10. 《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位．其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，亩道醇醨酒二盆．醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人．共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺．欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有升，薄酒有升，根据题意列方程组为（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：解：根据好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，列出方程组得：
故选：A．
11. 如图，把含30°的直角三角板PMN放置在正方形ABCD中，，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则的度数为（ ）
A. 60°B. 65°C. 75°D. 80°
答案：C
解析：解：∵四边形ABCD是正方形中，
∴∠MBO=∠NDO=45°，
∵点O为MN的中点
∴OM=ON，
∵∠MPN=90°，
∴OM=OP，
∴∠PMN=∠MPO=30°，
∴∠MOB=∠MPO+∠PMN =60°，
∴∠BMO=180°-60°-45°=75°，
，
故选：C．
12. 如图，等边的边长为，点从点出发，以的速度沿向点运动，到达点停止；同时点从点出发，以的速度沿向点运动，到达点停止，设的面积为，运动时间为，则下列最能反映与之间函数关系的图象是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：解：由题得，点Q移动的路程为，点P移动的路程为x，
，
①如图，当点Q在上运动时，过点Q作于D，
则，
∴的面积，
即当时，函数图象为开口向上的抛物线的一部分，故A、B排除；
②如图，当点Q在上运动时，过点Q作于E，
则，
∴的面积，
即当时，函数图象为开口向下的抛物线的一部分，故C排除，而D正确；
故选：D．
二、填空题：本大题4小题，每小题3分，共12分．
13. 今年春季以来，甘肃天水麻辣烫成为美食界和旅游圈的“顶流”，持续火爆“出圈”，不仅吸引了无数游客和美食博主前往打卡，也带动了当地的消费．各大短视频平台上，“甘肃麻辣烫”相关话题累计播放量已超过3260000000次，数据3260000000用科学记数法可表示为________．
答案：
解析：解：，
故答案为：．
14. 因式分解：a2﹣16b2＝__．
答案：（a+4b）（a-4b）
解析：解：原式=（a+4b）（a-4b）．
故答案为：（a+4b）（a-4b）．
15. 为了培养同学们的创新精神和实践能力，某校组织学生开展了为期一周的社会实践活动．学校开设了A．“皮影戏”，B．“香包绣制”，C．“甘肃勇纸”，D．“洮砚制作技艺”四门实践课程供学生选择，且每人只能参加一门实践课程．甲、乙两位同学各自从这四门实践课程中随机选一门，他们选择的实践课程相同的概率为________．
答案：
解析：解：列表如下：
由表格可知，一共有16种等可能性的结果数，其中他们选择的实践课程相同的结果数有4种，
∴他们选择的实践课程相同的概率为，
故答案为：．
16. 在平面直角坐标系中，矩形的边BC在x轴上，O为线段的中点，矩形的顶点，连接，按照下列方法作图：
（1）以点C为圆心，适当的长度为半径画弧分别交于点E、F；
（2）分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧交于点；
（3）作射线交于H，则线段的长为_______．
答案：##1.5
解析：解：如图，过点H作于点M，
由作法可知，为的平分线，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，即，
解得，
故答案为：．
三、解答题（共72分）
17. 解不等式：．
答案：
解析：解：，
去分母，得，
移项，得，
合并同类项，得，
不等式的两边都除以，得．
18. 计算：．
答案：
解析：解：
3
23
．
19. 化简：．
答案：
解析：
20. 作图题：
（1）画图并思考：（不写作法，说明知识原理）
如图，某村庄计划把河中的水引到水池中，怎样开渠线路最短，画出图形；其数学原理是_______________________________.
（2）尺规作图：（不写作法，保留作图痕迹）
已知：和如下图所示，画出．
答案：（1）垂线段最短；（2）见解析．
解析：解：（1）直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短或“垂线段最短”．
∴如图，即为所求的最短线路．
（2）如图所示：∠AOB即为所求．
．
21. 一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（2，1），B（﹣1，n）两点．
（1）求反比例函数的解析式及一次函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
答案：（1）y＝；y＝x﹣1；（2）△AOB的面积为．
解析：解：（1）将点（2，1）代入，得：，
解得：m＝2，
则反比例函数解析式为：；
将点B（﹣1，n）代入，得：n＝﹣2，
将点A、B的坐标代入一次函数解析式，得：，
解得：，
故一次函数解析式为：．
（2）一次函数解析式为：，
令y＝0，则x＝1，
∴点C的坐标为（1，0），
∴OC＝1，
∴．
22. “逐梦寰宇问苍穹——中国载人航天工程三十年成就展”的成功举办，标志着我国载人航天工程正式进入空间站应用与发展阶段．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取m名学生进行测试，并对成绩(满分：100分)进行整理、描述和分析，将成绩划分为A(90≤x≤100)，B(80≤x<90)，C(70≤x<80)，D(60≤x<70)四个等级，并绘制出下列不完整的统计图．

其中 B 等级的成绩数据(单位∶分)∶80，86，80，82，85，88，86，89，81，86．
根据以上信息，回答下列问题．
（1）抽取的总人数m= ，并补全条形统计图．
（2）在所抽取的m名学生的测试成绩中，中位数是 分，B等级的众数是 分．
（3）若该中学共有 3000名学生，且全部参加这次测试，请估计学生的测试成绩不低于 80分的总人数．
答案：（1），
（2），
（3）名
小问1解析：
解：人，
等级的人数：(人)，
补全条形统计图如图：

故答案为: ，；
小问2解析：
把B 等级数据按从小到大排列为，
中间两个数是、，
∴中位数是 ；
在这组数据里分的最多，
∴众数为，
故答案为:，；
小问3解析：
解：名，
答：估计学生的测试成绩不低于 80分的总人数为名．
23. 如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点．
（1）求证：四边形OMPN是矩形；
（2）连接AP，若，，求AP的长．
答案：（1）见解析 （2）
小问1解析：
∵P，M，N分别为CD，OD，OC的中点．
∴，．
∴四边形OMPN是平行四边形．
∵在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，
∴．
∴四边形ONPN是矩形．
小问2解析：
∵四边形OMPN是矩形，
∴．
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，AC平分∠BAD．
∵，，
∴△ABD是等边三角形．
∴BD=4．
∴，由勾股定理得：．
∴，．
∴．
∴在中,由勾股定理得:．
24. 古树名木是中华民族悠久历史与文化的象征．据悉，在兰州树龄1000年以上古树仅有4棵，分别为七里河区工人文化宫两棵唐槐（树龄约1320年），红古区张家寺村寺庙旁文成槐（树龄约1300年），榆中县定远镇矿湾村龙泉寺旁圆柏（树龄约1000年）．某数学兴趣小组开展测量工人文化宫其中一棵唐槐高度的“数学综合与实践”活动，测量实践报告如下表：
根据以上表中的测量方案及其数据，计算唐槐的高度（结果保留整数）．
答案：唐槐的高度约为．
解析：解：由题意得，，，，，
设，
在中，，
，
，
在中，，
解得，
经检验，是原方程的解且符合题意，
．
唐槐的高度约为．
25. 掷实心球是中考体育考试项目之一，明明发现实心球从出手到落地的过程中，实心球竖直高度与水平距离一直在相应的发生变化．明明利用先进的鹰眼系统记录了实心球在空中运动时的水平距离x（单位：米）与竖直高度y（单位：米）的数据如表：

根据表中的数据建立如图所示的平面直角坐标系，根据图中点的分布情况，明明发现其图象是二次函数的一部分．
（1）求满足条件的抛物线的解析式；
（2）根据中考体育考试评分标准（男生版），在投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于或等于9.7米时，即可得满分10分，明明在此次考试中是否得到满分，请说明理由．
答案：（1）
（2）明明在此次考试中能得到满分,理由见解析
小问1解析：
由题意，根据表格的数据可得对称轴是直线，
∴顶点为．
故可设抛物线的解析式为，
把代入，
得，
∴．
∴抛物线的解析式为．
小问2解析：
明明在此次考试中能得到满分，理由如下：
把代入，
得，
解得或（不符合题意，舍去），
∵，
∴明明在此次考试中能得到满分．
26. 如图，是的直径，垂直与过点C的切线，交与于D，连接．
（1）求证：平分；
（2）若的半径为2，，求劣弧的长度．
答案：（1）详见解析
（2）
小问1解析：
证明：连接，
∵与相切于点C，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴平分；
小问2解析：
连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或（舍去），
在中， ，
∴，
∴，
∵，
∴等边三角形，
∴，
∴劣弧的长度π，
∴劣弧的长度为．
27. 综合探究
综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究．
背景在菱形中，，作，，分别交边，于点P，Q．
（1）感知如图1，若点P是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________．
（2）探究如图2，当点P为上任意一点时，请说明（1）中结论是否仍然成立，并写出理由．
（3）应用若菱形纸片中，，，在边上取一点P，连接，在菱形内部作，交于点Q，当时，请直接写出线段的长．
答案：（1）
（2）成立；理由见解析
（3）线段的长为或
小问1解析：
解：线段与之间的数量关系：．
理由：如图，连接，
四边形是菱形，且，
，，
和都等边三角形，
，，
点是边的中点，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
故答案为：．
小问2解析：
证明：成立．理由：
如图，连接，
四边形是菱形，且，
，，
和都是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
．
小问3解析：
解：如图，过点作于，连接，
四边形是菱形，且，，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
当点在点的左侧时，，
当点在点的右侧（图中处）时，，
或，
由（2）知：，
，
或．
线段的长为或．
28. 对于平面直角坐标系中的点P和（半径为r），给出如下定义：若点P关于点M的对称点为Q，且，则称点P为的称心点．

（1）当⊙O的半径为2时，
①如图1，在点中，的称心点是 ；
②如图2，点D在直线上，若点D是的称心点，求点的横坐标m的取值范围；
（2）的圆心为，半径为2，直线与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段上的所有点都是的称心点，直接写出t的取值范围．
答案：（1）①点A，B；②点D的横坐标m的取值范围是或
（2）或
小问1解析：
解：①∵，
∴点A关于点O的对称点为，
∴，
∵的半径为2，
∴点A是的称心点，
∵，
∴点B关于点O的对称点为，
∴，
∵的半径为2，
∴，
∴点B是的称心点，
∵，
∴点C关于点O的对称点为，
∴，
∴点C不是的称心点，
故答案为：点A，B；
②∵点D在直线上，且点D的横坐标为m，
∴D的坐标为，
∴点D关于点O的对称点的坐标为，
∴，
∵点D是的称心点，且的半径为2，
∴，
∴或，
∴点D的横坐标m的取值范围是或；
小问2解析：
如图，
对于直线，令，
∴，
∴，
∴，
令，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
过y轴上一点H作直线的垂线交线段于G，

∵线段上的所有点都是的称心点，且的半径为2，
∴，
在中，，
∴，
∴，
当点T从H向下移动时，越来越长，直到点G和E重合，取最大值，
∵线段上的所有点都是的称心点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当点T从点H向上移动时，点T在上时，T到的距离小于2，此种情况不符合题意，
当点T从点F向上移动时，，
即：，
∵线段上的所有点都是的称心点，
∴，
∴，
∴，
且t的取值范围是或．


活动课题
测量唐槐（）高度（唐槐有围栏保护，测量小组无法到达其底部）
活动目的
运用三角函数知识解决实际问题
测量工具
自制测倾器、皮尺等
方案示意图
测量步骤
（1）利用测倾器站在F处，测得唐槐最高点A的仰角为；
（2）前进6米到达D处，测得A点的仰角为．
说明
、为测倾器的支杆，在测量过程中、、唐槐均与水平面垂直，且D、F、B共线．
测量数据
，，米，米
参考数据
，，
水平距离x/m
0
2
4
5
6
8
竖直高度y/m
2
3.2
36
3.5
3.2
2