辽宁省锦州市凌海市2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷(含解析)

这是一份辽宁省锦州市凌海市2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试卷(含解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
考试时间90分钟，试卷满分100分
注意事项：考生答题时，必领将答案涂（写）在答题卡（纸）上，答案写在卷纸上无效．
第一部分选择题（20分）
一、选择题（本题共10个小题，每小题2分，共20分．）
1. 一个圆柱的高h为，当圆柱的底面半径r由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变化，在这个变化过程中（）
A. r是因变量，V是自变量B. r是自变量，V是因变量
C. r是自变量，h是因变量D. h是自变量，V是因变量
答案：B
解析：本题主要考查变量的定义：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，函数值为因变量，另一个值为自变量．根据自变量、因变量的定义进行求解即可．
解：圆柱的高h为，因此h是常量不是变量，故排除C、D，圆柱的体积V随底面圆半径r的变化而变化，所以r是自变量，V是因变量．
故选：B．
2. 已知一粒米的质量是，这个数字用科学记数法记为（）
A. B. C. D.
答案：B
解析：先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可．本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，由左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键．
∵，
故选B．
3. 下列等式中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：A
解析：本题考查了整式的运算，根据同底数幂的除法、合并同类项法则、积的乘方、同底数幂的乘法分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键．
解：、，该选项正确，符合题意；
、与不是同类项，不能合并，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
、，该选项错误，不合题意；
故选：．
4. 下列算式能用平方差公式计算的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D
解析：根据平方差公式和完全平方公式的特点逐项判断即可；
解：A、，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
B、，能用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
C、，能用完全平方公式计算，不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意；
D、，能用平方差公式计算，故本选项符合题意；
故选：D.
5. 如图在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（）．把余下的部分前拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）
A. B.
CD.
答案：A
解析：这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；因为拼成的长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积长宽”代入为：，因为面积相等，进而得出结论．
解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；
拼成的长方形的面积：，
所以得出：，
故选：A．
6. 下列说法正确的是（ ）
A. 相等的角是对顶角B. 同位角相等
C. 两直线平行，同旁内角相等D. 同角的补角相等
答案：D
解析：
A、对顶角要符合两直线相交构成的没有公共边的两个相对的角是对顶角，但相等的角不一定是对顶角，故错误B、因为两直线平行，同位角相等，故错误C、因为两直线平行，同旁内角互补，故错误
D、同角的补角相等，正确
故选D
7. 如图，，，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质即可求解，掌握平行线的性质是解题的关键．
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：．
8. 长方形面积是，一边长为，则另一边长是（ ）
A. B. C. D.
答案：C
解析：本题考查了多项式除以单项式，根据题意，列出算式，根据多项式除以单项式的运算法则进行计算即可求解，掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键．
解：另一边长为，
故选：．
9. 计算（）
A. B. 1C. D. 9
答案：A
解析：根据整式的乘法计算即可，本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
，
故选A．
10. 如图，把长方形沿对折，若，则等于（）
A. B. C. D.
答案：D
解析：根据长方形，得到，得到，结合折叠的性质，得，结合，计算即可．
本题考查了长方形的性质，平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，熟练掌握长方形的性质，折叠性质是解题的关键．
∵矩形，
∴，
∴，
根据折叠的性质，得，
∵，
∴，
∴．
故选D．
第二部分非选择题（80分）
二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 若，，则______．
答案：30
解析：根据，结合，，计算即可，本题考查了同底数幂的乘法的逆应用，熟练掌握公式是解题的关键．
，
∵，，
∴，
故答案为：30．
12. 某电影院第x排的座位数为y个，y与x的关系如表格所示，第10排的座位数为___．
答案：41
解析：根据表格可以发现，当x每增加1时，y增加2，由此求解即可得到答案.
解：第1排，有23个座位
第2排，有25个座位
第3排，有27个座位
第4排，有29个座位
由此可以发现，当x每增加1时，y增加2
∴y=2（x-1）+23
把x=10代入上式中得y=2×（10-1）+23=41
故答案为：41.
13. 若是一个完全平方式，则k=_________．
答案：
解析：这里首末两项是2x和5这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x和5的积的2倍，故，可求出答案．
因为是一个完全平方式，
所以=，
所以．
故答案为：．
14. 如图，已知A1BAnC，则∠A1＋∠A2＋…＋∠An等于__________(用含n的式子表示)．
答案：
解析：过点向右作，过点向右作，得到，根据两直线平行同旁内角互补即可得出答案．
解：如图，过点向右作，过点向右作
,
故答案为：．
15. 如图1，在矩形中，，动点从点出发，沿运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则_____，y的最大值是_____．
答案： ①. 6 ②. 15
解析：本题考查了动点问题的函数图象．注意解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，找到面积不变的开始与结束，得到，的具体值．
首先结合题意可得当点运动到点，之间时，的面积不变，则可得，继而求得答案．
解：动点从点出发，沿、、运动至点停止，
当点运动到点，之间时，面积不变．函数图象上横轴表示点运动的路程，
时，开始不变，当时，又开始变化，说明．
∴y的最大值为的面积：．
故答案为：6，15．
16. 小明将一副三角板中的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，当且点E在直线的上方时，他发现若______，则三角板有一条边与斜边平行（写出所有可能情况）．
答案：或或
解析：本题考查了平行线的性质，三角板中角度计算，三角形内角和定理等知识．根据题意分情况求解是解题的关键．
由题意知，分，，三种情况求解即可．
解：由题意知，分，，三种情况求解；
当时，如图1，
图1
∴，
∴；
当时，如图2，
图2
∴，
∴，
∴；
当时，如图3，延长交于，
∴，，
∴，
∴；
综上所述，当或或，三角板有一条边与斜边平行；
故答案为：或或．
三、解答题（本题共9道题，共62分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
答案：
解析：本题主要考查了零指数幂、负整数指数幂和含乘方的有理数混合计算，先计算零指数幂，负整数指数幂，再计算乘方，乘法，最后计算加减法即可．
解：
．
18. 计算：．
答案：
解析：先计算积的乘方和幂的乘方，再计算单项式的乘除即可．
解：原式
．
19. 计算：．
答案：
解析：构造平方差公式计算，本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．
．
20. 先化简再求值：
，其中，．
答案：，4
解析：本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算是解题的关键．化简，合并同类项计算，后代入求值即可．
解：
．
将，代入上式有：
原式．
21. 请把下面证明过程补充完整．
如图，，，，求证：．
证明：∵（已知）
∴__________（__________）
∵（已知）
∴（__________）
∴__________（__________）
∴__________（__________）
∵（已知）
∴__________（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
答案：；两直线平行，同旁内角互补；等量代换；；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；
解析：已知，可以得出，结合可以得出，可以得出，由已知，即可得到结论．
证明：∵（已知）
∴（两直线平行，同旁内角互补）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵（已知）
∴（等量代换）
∴（内错角相等，两直线平行）
22. 甲、乙两辆汽车分别从两地同时出发，沿同一条公路相向而行，匀速（甲车的速度大于乙车的速度）前往地和地，在途中的服务区两车相遇，休整了2h后，又各自以原速度继续前往目的地，两车之间的距离（km）和所用时间（h）之间的关系图象如图所示，请根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）图中的自变量是，因变量是；
（2）两地相距距离；
（3）求图中的值以及甲车的速度．
答案：（1）时间；两车之间的距离
（2）900（3）；甲车速度
解析：本题考查一次函数图象与实际问题．
（1）根据图象的横坐标、纵坐标即可得知自变量与因变量；
（2）根据图象的纵坐标可得；
（3）根据甲乙再在服务区相遇可求得甲乙的速度和，再根据图中的数值可求得的值及甲的速度，具体见．
【小问1】
解：由图知，图中的自变量是时间，因变量是两车之间的距离，
故答案为：时间，两车之间的距离；
【小问2】
由图可知，两地相距距离为，
故答案为：900；
【小问3】
，
，
解得，
，
所以，甲车速度为．
23. 我们学完完全平方公式后，知道完全平方公式是进行代数运算与变形的重要的知识基础，完全平方公式：经过适当的变形，可以解决很多数学问题．例如：
若，，求的值．
解：因为，所以，即：，
又因为，所以．
根据上面的解题思路与方法，
解决下列问题：
（1）若，，求的值；
（2）若，求的值．
答案：（1）
（2）
解析：本题考查了完全平方公式变形求值，正确完全平方公式是解题的关键．
（1）根据完全平方公式变形即可求解；
（2）根据完全平方公式得出的值，根据完全平方公式变形得出，将代入即可求解．
小问1】
解：若，则，即，
∵，
∴；
【小问2】
解：由
，
即，
若，
∴．
24. 已知AB∥CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A，∠C的数量关系，
（1）在图1中，小明发现：∠APC=∠A+∠C．
小明是这样证明的：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ＝∠A
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（_______）
∴∠CPQ＝∠C
∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C
即∠APC＝∠A+∠C
（2）应用：在图2中，若∠A=120°，∠C=140°，则∠APC的度数为_______；
（3）拓展：在图3中，探索∠APC与∠A，∠C的数量关系，并说明理由．
答案：（1）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2）100°；（3）∠C=∠A+∠APC或∠APC=∠A+∠C．
解析：（1）根据平行公理的推论解答；
（2）过点P作PE∥AB，得到EP∥CD∥AB，证得∠A+∠APE=180°，∠EPC+∠C=180°，求出∠APE=60°，∠EPC=40°，由此得到∠APC=∠APE+∠EPC=100°；
（3）根据平行线的性质得到∠C、∠A、∠APC的关系．
【小问1】
解：过点P作PQ∥AB
∴∠APQ＝∠A
∵PQ∥AB，AB∥CD．
∴PQ∥CD（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）
∴∠CPQ＝∠C
∴∠APQ+∠CPQ＝∠A+∠C
即∠APC＝∠A+∠C，
故答案为：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
【小问2】
过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴EP∥CD∥AB，
∴∠A+∠APE=180°，∠EPC+∠C=180°
∵∠A=120°，∠C=140°，
∴∠APE=60°，∠EPC=40°，
∴∠APC=∠APE+∠EPC=100°，
故答案：100°；
【小问3】
∵AB∥CD，
∴∠1=∠C，
∵∠1=∠A+∠P，
∴∠C=∠A+∠P，
即∠C=∠A+∠APC．
如图，过点P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥CD∥AB，
∴∠A=∠APQ，∠QPC=∠C，
∴∠APC=∠APQ+∠QPC=∠A+∠C
综上，∠C=∠A+∠APC或∠APC=∠A+∠C．
25. 很多代数原理都能用几何模型来解释．如果用来表示边长为a的正方形，其面积为．用来表示长和宽分别为b和a的长方形，其面积为ab，用来表示边长为b的正方形，其面积为，（b大于a）
那么，可以用如下图形解释：
（1）你能用几何模型解释吗？______（请将几何模型画出来）；
（2）试用几何模型分析并填空：______（请将几何模型画出来）．
答案：（1），见解析
（2），见解析
解析：（1）根据完全平方公式展开计算即可，画几何图形解释即可；
（2）根据，画几何图形解释即可．
本题考查了完全平方公式，多项式乘以多项式的应用，熟练掌握公式是解题的关键．
【小问1】
根据题意，得，
故答案为：．
画图如下：
，
【小问2】
根据，
故答案为：，
画图如下：
．x
1
2
3
4
5
……
y
23
25
27
29
31
……