江苏省苏州市吴江区2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

这是一份江苏省苏州市吴江区2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)，共21页。

A．0B．1.66C．﹣D．
解析：解：0是整数，1.66，﹣是分数，它们都不是无理数；
是无限不循环小数，它是无理数；
故选：D．
2．（3分）若∠1＝43°，则∠1的余角是（ ）
A．43°B．47°C．57°D．137°
解析：解：∵∠1＝43°，
∴∠1的余角为：90°﹣∠1＝47°．
故选：B．
3．（3分）下列正多边形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的为（ ）
A．B．C．D．
解析：解：A、即是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项正确；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项错误；
D、既是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项错误．
故选：B．
4．（3分）下面运算正确的是（ ）
A．3x2+2x3＝5x5B．x6÷x2＝x4
C．（x3）2＝x9D．（x﹣1）2＝x2﹣1
解析：解：3x2与2x3不是同类项，无法合并，则A不符合题意；
x6÷x2＝x4，则B符合题意；
（x3）2＝x6，则C不符合题意；
（x﹣1）2＝x2﹣2x+1，则D不符合题意；
故选：B．
5．（3分）若不论x取何值时，分式总有意义，则m的取值范围为（ ）
A．m≥1B．m＜1C．m＞1D．m≤1
解析：解：由题意得x2﹣2x+m≠0，
（x﹣1）2+（m﹣1）≠0，
∵（x﹣1）2≥0，
∴m﹣1＞0，
∴m＞1时，分式总有意义，
故选：C．
6．（3分）如图，有7张扑克牌，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌上，若从中随机抽取一张，抽到方块的概率是（ ）
A．B．C．D．
解析：解：∵一共有7张扑克牌，每张牌被抽到的概率相同，抽到方片牌有2张，
∴抽到的花色是方片的概率为，
故选：B．
7．（3分）圆周率是指圆的周长与圆的直径的比值，我国南北朝时期的数学家祖冲之用“割圆术”将圆周率算到了小数后面第七位，成为当时世界上最先进的成就，“割圆术”是指用圆的内接正多边形的周长来近似替代圆的周长，如图所示，从正六边形起算，并依次倍增，使误差逐渐减小．当圆的内接正多边形的边数为360时，由“割圆术”可得圆周率的近似值可用代数式表示为（ ）
A．360sin1°B．360sin0.125°
C．360sin0.25°D．360sin0.5°
解析：解：如图：圆内接正360边形被半径分成360个全等的等腰三角形AOB，其顶角∠AOB＝1°，过点O作OC⊥AB，垂足为C，
设OA＝OB＝r，
∵OA＝OB，OC⊥AB，
∴∠AOC＝∠AOB＝0.5°，AB＝2AC，
在Rt△AOC中，AC＝OA•sin0.5°＝rsin0.5°，
∴AB＝2AC＝2rsin0.5°，
∴由“割圆术”可得圆周率的近似值＝＝＝360sin0.5°，
故选：D．
8．（3分）如图，P为等边△ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为6，8，10，则△ABC的面积为（ ）
A．B．C．D．
解析：解：∵△ABC是等边三角形，
∴把△ABP绕点A逆时针旋转60°到△ACP1，把△ACP绕点C逆时针旋转60°到△CBP2，把△CBP绕点B逆时针旋转60°到△ABP3，连接PP1，PP2，PP3，
∴AP＝AP1＝6，BP＝CP1＝8
∴△APP1为等边三角形，且面积为：×6×6×＝9，
∴PP1＝AP＝6，
∵+＝PC2，
∴△PCP1为直角三角形，且面积为：＝24，
∴四边形APCP1的面积为：24+9，
同理得：四边形APBP3的面积为：24+16，
四边形BPCP2的面积为：24+25，
∴△ABC的面积为：×（24+9+24+16+24+25）＝36+25，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）
9．（3分）中央财政在2023年四季度增发2023年国债10000亿元，增发的国债全部通过转移支付方式安排给地方，将10000亿元用科学记数法表示为 1×1012 元．
解析：解：10000亿元＝1000000000000元＝1×1012元．
故答案为：1×1012．
10．（3分）若分式方程的解是x＝3，则a＝ ﹣1 ．
解析：解：分式方程去分母得：x+1＝2x+2a，
由分式方程的解为x＝3，
代入整式方程得：3+1＝2×3+2a，
解得：a＝﹣1，
故答案为：﹣1．
11．（3分）因式分解：2﹣8x2＝ 2（1+2x）（1﹣2x） ．
解析：解：原式＝﹣2（4x2﹣1）
＝2（1+2x）（﹣12x）．
故答案为：2（1+2x）（1﹣2x）．
12．（3分）如图，△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，以斜边OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，再以OA3为直角边作等腰Rt△OA3A4，…，按此规律作下去便得到了一个海螺图案，则OAn的长度为 ．（用含n的式子表示）
解析：解：∵△OA1A2为等腰直角三角形，OA1＝1，
∴，
同理可得：，，……；
综上所述：；
故答案为：．
13．（3分）在九年级的一次考试中，某道单项选择题的作答情况如图所示，由统计图可得选C的人数是 28人 ．
解析：解：10÷20%×（1﹣8%﹣16%﹣20%）
＝50×0.66
＝28（人），
即由统计图可得选C的人数是28人，
故答案为：28人．
14．（3分）如果将直线沿x轴向左平移4个单位，那么所得直线的表达式是 y＝﹣ ．
解析：解：将直线沿x轴向左平移4个单位，那么所得直线的表达式是：y＝﹣（x+4）+2，即y＝﹣．
故答案为：y＝﹣．
15．（3分）某商店销售A，B两款商品，利润（单位：元）分别为和y2＝4x，其中x为销量（单位：袋），若本周销售两款商品一共20袋，则能获得的最大利润为 170元 ．
解析：解：设某商店销售A款商品x袋，则销售B款商品（20﹣x）袋，
∴总利润y＝y1+y2＝﹣x2+23x+4（20﹣x）＝﹣x2+19x+80＝﹣（x﹣）2+，
∵﹣1＜0，0≤x≤20，x为正整数，
∴当x＝9或10时，y有最大值＝170，
即能获得的最大利润为170元，
故答案为：170元．
16．（3分）如图，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝6，将三角形纸片折叠，使点B的对应点B′落在AC上，折痕与BC，AB分别相交于点E、F，当△AFB′为等腰三角形时，BE的长为 3或6或 ．
解析：解：∵∠C＝90°，∠B＝60°，BC＝6，
∴∠A＝30°，AB＝2BC＝12，
如图1：B′F＝AF时，
由折叠的性质知，BF＝FB′＝AF，
∴F是直角三角形ABC的斜边上的中点，
∴BF＝FB′＝AF＝6，
此时点B′与C重合，
∵折叠，
∴；
如图2：B′F＝AB′时，
由折叠的性质知，BF＝FB′，BE＝B′E，∠FB′E＝∠FBE＝60°，
∵∠A＝30°，B′F＝AB′，
∴∠AFB′＝30°，∠FB′C＝60°，
∵∠FB′E＝∠FB′C＝60°，
∴此时点E与点C重合，
即BE＝BC＝6；
如图3：AF＝AB′时，
∵∠A＝30°，AF＝AB′，
∴，
由折叠的性质知，EB＝EB′，∠FB′E＝∠FBE＝60°，
则∠EB′C＝180°﹣75°﹣60°＝45°，
∵∠C＝90°，
∴△ECB′是等腰直角三角形，
∴CE＝B′C，
∵，
∴，
B′E+CE＝BE+CE＝6，
即，
解得，
综上：当△AFB′为等腰三角形时，BE的长为3或6或，
故答案为：3或6或．
三、解答题（本大题共11小题，共82分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（5分）计算：．
解析：解：
＝3×﹣1+
＝﹣1+
＝﹣1．
18．（5分）解不等式组：．
解析：解：，
由①得：x＞﹣1，
由②得：x＜2，
故不等式组的解集为：﹣1＜x＜2．
19．（6分）已知点P（2a﹣2，a+5）回答下列问题：
（1）点P在y轴上，求出点P的坐标；
（2）点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求a2024+2024的值
解析：解：（1）∵P在y轴上，
∴2a﹣2＝0，
解得：a＝1，
∴a+5＝6，
∴P（0，6）；
（2）∵点P到x轴和y轴距离相等，
∴|2a﹣2|＝|a+5|，
∵P在第二象限，
∴2a﹣2＜0，a+5＞0，
∴|2a﹣2|＝2﹣2a，|a+5|＝a+5，
∴2﹣2a＝a+5，
解得：a＝﹣1，
∴a2024+2024＝（﹣1）2024+2024＝2025．
20．（6分）计算图中阴影部分的面积（用字母a，b表示）．
解析：解：（3a+2b）（2a+b）﹣（2b+a）（a+b）
＝6a2+3ab+4ab+2b2﹣2ab﹣2b2﹣a2﹣ab
＝5a2+4ab．
21．（6分）已知某可变电阻两端的电压为定值，使用该可变电阻时，电流I（A）与电阻R（Ω）是反比例函数关系，函数图象如图所示．
（1）求I关于R的函数表达式．
（2）若要求电流I不超过4A，则该可变电阻R应控制在什么范围？
解析：解：（1）设I＝，
图象经过（8，3），
k＝3×8＝24，
∴I＝；
（3）∵I≤4，I＝，
∴≤4
∴R≥6．
∴用电器可变电阻应控制在6Ω以上．
22．（8分）某校甲乙两班联合举办了“爱眼知识”竞赛，从甲班和乙班各随机抽取10名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，并对数据（成绩）进行了收集、整理、分析，下面给出了部分信息．
（一）收集数据
若将80分作为标准记为0，超出80分记为正，不足80分记为负，则
甲班10名学生竞赛成绩：+5，﹣2，+6，﹣1，﹣8，+11，﹣1，﹣9，﹣10，+9
乙班10名学生竞赛成绩：+8，+3，0，+8，+3，﹣4，+13，﹣3，﹣2，+4
（二）分析数据
（三）解决问题
根据以上信息，回答下列问题；
（1）填空：a＝ 80 ，b＝ 79 ，c＝ 83 ．
（2）甲乙两班各有学生45人，按竞赛规定，83分及83分以上的学生可以获得奖品，估计这两个班可以获奖的总人数是多少？
解析：解：（1）甲班10名学生竞赛成绩：85，78，86，79，72，91，79，71，70，89，
∴平均数a＝×（85+78+86+79+72+91+79+71+70+89）＝80．
众数b＝79，
乙班成绩从低到高排列为：76、77、78、80、83、83、84、88、88、93，
∴中位数c＝＝83；
故答案为：80，79，83；
（2）45×+45×＝45（人），
答：估计这两个班可以获奖的总人数是45人．
23．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形．
（2）若AB＝5，BD＝6，求OE的长．
解析：（1）证明：∵AB∥CD，
∴∠CAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠CAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∵AB＝AD，
∴AB＝CD，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝，OB＝OD＝，
∴OB＝＝3，
在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，
∴OA＝，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC＝90°，
在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，O为AC中点，
∴＝4．
24．（8分）西安城墙是中国现存规模最大、保存最完整的古代城垣．李华和张明相约去城墙游玩并打算用学过的知识测量城墙的高度．如图，CD是城墙外的一棵树，李华首先在城墙上从A处观察树顶C，测得树顶C的俯角为14°；然后，张明在城墙外，阳光下，某一时刻，当他走到点F处时，他的影子顶端与树的影子顶端恰好在G处重合．张明的身高EF＝1.5米，GF＝1.2米，FD＝6.4米，BG＝2.4米，已知点B、G、F、D在一条水平线上，图中所有的点都在同一平面内，AB⊥BD，EF⊥BD，CD⊥BD，请求出城墙的高度AB．（参考数据：sin14°≈0.24，cs14°≈0.97，tan14°≈0.25）
解析：解：过点C作CH⊥AB于H，
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴四边形BDCH是矩形，
∴BH＝CD，CH＝BD＝BG+GF+FD＝2.4+1.2+6.4＝10（米），
在Rt△ACH中，∠ACH＝14°，tan∠ACH＝，
∴AH＝CH•，tan14°≈10×0.25＝2.5（米），
∵EF⊥BD，
∴EF∥CD，
∴△EGF∽△CGD，
∴＝，
∴＝＝，
∴CD＝9.5，
∴BH＝9.5（米），
∴AB＝AH+BH＝12米．
答：城墙的高度AB约为12米．
25．（10分）如图，矩形ABCD中，AB＝4厘米，BC＝3厘米，点E从A出发沿AB﹣BC匀速运动，速度为1厘米/秒；同时，点F从C出发沿对角线CA向A匀速运动，速度为1厘米/秒，连接DE、DF、EF，设运动时间为t秒．请解答以下问题：
（1）当0＜t＜2.5时
①t为何值时，EF∥AD；
②设△DEF的面积为y，求y关于t的函数；
（2）当0＜t＜5时，满足条件DF⊥FE，t的值为 ．
解析：解：（1）当0＜t＜2.5时，点E在AB边上，AE＝t厘米，CF＝t厘米，
∵矩形ABCD中，AB＝4厘米，BC＝3厘米，
∴CD＝AB，AD＝BC，∠ADC＝∠BAD＝∠B＝90°，
∴AC＝＝＝5（厘米），
∴AF＝AC﹣CF＝（5﹣t）厘米，
①如图1，
∵EF∥AD，
∴△AEF∽△ABC，
∴＝，即＝，
解得：t＝，
∴当t＝时，EF∥AD；
②当D、E、F在同一条直线上时，如图2，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴＝，即＝，
解得：t1＝﹣2+2，t2＝﹣2﹣2（负值舍去），
∵﹣2+2＞2.5，
∴当0＜t＜2.5时，如图3，过点F作FG⊥AB于G，交CD于H，
则∠CHF＝∠DHF＝∠AGF＝∠BGF＝90°，
∴FH∥AD，
∴△CFH∽△CAD，
∴＝＝，即＝＝，
∴FH＝t厘米，CH＝t厘米，
∵四边形BCHG是矩形，
∴GH＝BC＝3厘米，BG＝CH＝t厘米，
∴FG＝GH﹣FH＝（5﹣t）厘米，EG＝AB﹣AE﹣BG＝4﹣t﹣t＝（4﹣t）厘米，DH＝（4﹣t）厘米，
∴y＝S矩形ADHG﹣S△ADE﹣S△DFH﹣S△EFG＝3（4﹣t）﹣×3t﹣×t（4﹣t）﹣（4﹣t）（5﹣t）＝﹣t2+t+2；
∴y关于t的函数关系式为y＝﹣t2+t+2（0＜t＜2.5）；
（2）∵DF⊥EF，
∴∠DFE＝90°，
当四边形ADFE是圆内接四边形时，则∠DEF+∠DAE＝180°，
如图4，过点F作FM⊥CD于M，
则∠FDE＝∠FAE，
∴△FDE∽△BAC，
∴＝＝，即＝＝，
∴FD＝DE厘米，EF＝DE厘米，
在Rt△ADE中，DE＝＝厘米，
∴FD＝厘米，
∵FD＝＝厘米，
∴＝，
整理得：9t2﹣160t+256＝0，
解得：t＝或t＝16（舍去）；
当四边形CDFE是圆内接四边形时，则∠DEF+∠DCE＝180°，
如图5，过点F作FH⊥CD于H，连接DE，
则AB+BE＝CF＝t，CE＝7﹣t，
∴DE＝＝，
∠DEF＝∠ACD，∠DFE＝∠ADC，
∴△DEF∽△ACD，
∴＝＝，即＝＝，
∴DF＝DE＝，
∵FH∥AD，
∴△CFH∽△CAD，
∴＝＝，即＝＝，
∴FH＝t，CH＝t，
∴DH＝CD﹣CH＝4﹣t，
∴DF＝＝，
∴＝，
整理得：16t2﹣34t﹣185＝0，
解得：t1＝，t2＝﹣（舍去），
故答案为：或．
26．（10分）如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝30°，点O为边BC上一点，以O为圆心的圆经过点A，B．
（1）求作圆O（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）求证：AC是⊙O的切线；
（3）若点P为圆O上一点，且弧PA＝弧PB，连接PC，求线段PC的长．
解析：解：（1）如图，圆O即为所求；
（2）证明：连接OA，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠B＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠B＝30°，
∴∠BAC＝120°，
∴∠CAO＝∠BAC﹣∠OAB＝90°，
∴OA⊥AC，OA是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（3）∵弧PA＝弧PB，
∴符合条件的点P有两个，P′和P″，连接P′C和P″C，
作P′E⊥BC于点E，
∵OP′⊥AB，
根据垂径定理，得
AF＝BF＝AB＝，
∵∠B＝30，
∴∠P′OB＝60°，
∴OB＝＝2，
∴P′E＝BF＝，
BE＝OB＝1，
∵AB＝AC＝2，
作AD⊥BC于点D，则AD＝，DC＝3，
∴BC＝2DC＝6，
∴CE＝BC﹣BE＝6﹣1＝5，
∴P′C＝＝2；
连接P″C，
∵OA＝OP″，∠AOC＝∠COP″＝60°，OC＝OC，
∴△AOC≌△P″OC（SAS），
∴P″C＝AC＝2．
综上所述：线段PC的长为2或2．
27．（10分）定义：对于函数，当自变量x＝x0，函数值y＝x0时，则x0叫做这个函数的平衡值．
（1）直接写出反比例函数的平衡值是 ±1 ．
（2）如图，若二次函数y＝ax2+bx有两个平衡值，分别是0与3，且该二次函数图象的顶点P的坐标为（2，4）．
①求该二次函数的表达式；
②连接OP，M是线段OP上的动点（点M不与点O，P重合），N是该二次函数图象上的点，在x轴正半轴上是否存在点Q（m，0）满足∠MOQ＝∠MPN＝∠NMQ，若存在，求m的最大值；若不存在，请说明理由．
解析：解：（1）令y＝x，则x＝，
解得：x＝±1，
即反比例函数的平衡值是±1；
故答案为：±1；
（2）①根据二次函数的平衡值为3得：3＝9a+3b，
根据二次函数顶点为（2，4）得：4＝4a+2b，
联立解得：a＝﹣1，b＝4，
∴y＝﹣x2+4x；
②存在，
延长PN交x轴于C，过C作CD⊥OP于D，如图：
∵P（2，4），O（0，0），
∴tan∠POC＝2，OP＝2，
∵∠POQ＝∠MPN，
∴OC＝PC，
∴OD＝OP＝，
∴OC＝5，
∴C（5，0），
设直线PC的表达式为：y＝kx+n，
∴，
∴k＝﹣，n＝，
联立抛物线表达式得：﹣x+＝﹣x2+4x，
解得：x1＝2，x2＝，
∴N（，），
∴PN＝＝，
∵∠OMN＝∠MPN+∠PNM＝∠QMN+∠OMQ，∠QMN＝∠MPN，
∴∠OMQ＝∠PNM，
∴△NPM∽△MOQ，
∴＝，
设PM＝t，
∴OM＝2﹣t，
∵Q（m，0），
∴OQ＝m，
∴＝，
∴m＝t（2﹣t）＝[﹣（t﹣）2+5]，
∴当t＝时，m最大，最大值为．班级
平均数
中位数
众数
方差
甲班
a
80
b
51.4
乙班
83
c
83，88
27