2023年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区中考数学二模试卷（含解析）

2023年江苏省苏州市吴中区、吴江区、相城区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列数中，是无理数的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  截至年月，中国已建设开通了万个基站，建成全球技术领先、规模最大、用户最多的网络数据万用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

3.  已知抛物线顶点坐标为，则抛物线的解析式可能为(    )

A.  B.
C.  D.

4.  已知，下列运算正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积接缝忽略不计是(    )

A.
B.
C.
D.

6.  某排球队名队员的年龄如表所示：该队队员年龄的众数与中位数分别是(    )

A. 岁，岁 B. 岁，岁 C. 岁，岁 D. 岁，岁

7.  下列说法错误的是(    )

A. 三角形的三个顶点一定在同一个圆上 B. 平行四边形的四个顶点一定在同一个圆上
C. 矩形的四个顶点一定在同一个圆上 D. 正边形的各个顶点一定在同一个圆上

8.  如图，已知正方形的边长为，是边中点，在边上，且，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

9.  不等式的解集是          ．

10.  分解因式：______．

11.  如图，正六边形内接于，的半径为，过作垂直，交于点，则的长为______ ．

12.  点关于点的中心对称点的坐标是______ ．

13.  已知如图，在中，，且，根据图中的尺规作图痕迹，计算       

14.  如图，在平面直角坐标系中，，，的中点的坐标为若一次函数的图象经过点，且将分成的两个部分面积之比为：，则的值为______ ．

15.  如图，在四边形中，平分，，，，则的长为______．

16.  如图，在直径为的中，两条弦，分别位于圆心的异侧，，且，若，则的长为______ ．

三、解答题（本大题共11小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
计算：．

18.  本小题分
先化简，再求值：，其中．

19.  本小题分
如图，菱形中，点，分别在边，上，，求证：．

20.  本小题分
在一个不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的红、白、黑三种颜色的球其中红球个，白球个，黑球若干个，若从中任意摸出一个白球的概率是．
求任意摸出一个球是黑球的概率；
能否通过只改变盒子中白球的数量，使得任意摸出一个球是红球的概率，若能，请写出如何调整白球数量；若不能，请说明理由．

21.  本小题分
年春节假期，苏州文旅全面复苏，接待人次、旅游收入双创新高：重点景区人气爆棚，持续高位运行据统计，年月日到月日期间，苏州共接待游客约万人次其中著名打卡景区有，：穹窿山景区，：虎丘景区，：灵岩山景区，：西山景区，：东山景区，：其他小志为了解哪个景区最受欢迎，随机调查了自己学校的部分同学，并根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图．

请你根据统计图中的信息，解决下列问题：
这次调查一共抽取了______ 名同学：扇形统计图中，旅游地点所对应的扇形圆心角的度数______ ，并补全条形统计图．
若小志所在学校共有名学生，请你根据调查结果估计该校最喜爱“穹窿山景区”与“灵岩山景区”的学生总人数．

22.  本小题分
如图，矩形的两个顶点，都在反比例函数的图象上，经过原点，对角线垂直于轴垂足为，已知点的坐标为．
求直线和反比例函数的解析式；
求矩形的面积．

23.  本小题分
如图，中，，点在边上，以点为圆心，为半径的交于，交于，若．
求证：为的切线；
若，，求的长．

24.  本小题分
某种落地灯如图所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度，支杆与悬杆之间的夹角为．
如图，当、、三点共线且时，求灯泡悬挂点距离地面的高度；
在图所示的状态下，将支杆绕点顺时针旋转，同时调节的长如图，此时测得灯泡悬挂点到地面的距离为，求的长．结果精确到，参考数据：，，，，，
 

25.  本小题分
如图，已知抛物线交轴于与两点，交轴于点，点在抛物线上运动．
求出抛物线的解析式；
是否存在点在上方，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

26.  本小题分
如图，在矩形中，，，点是的中点，点是折线段上一点含端点．

沿所在直线折叠矩形，已知点的对应点为，若点恰好落在矩形的边上，求出的长；
如图，以为直径，在的右侧作半圆当半圆与边相切时，设切点为，求的值．

27.  本小题分
定义：若存在实数对坐标同时满足一次函数和反比例函数，则二次函数为一次函数和反比例函数的“生成”函数．
试判断需要写出判断过程：一次函数和反比例函数是否存在“生成”函数，若存在，写出它们的“生成”函数和实数对坐标．
已知：整数，，满足条件，并且一次函数与反比例函数存在“生成”函数，求的值．
若同时存在两组实数对坐标和使一次函数和反比例函数为“生成”函数，其中，实数，，设，求的取值范围注：一元二次方程的求根公式为

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：．是无理数，故本选项符合题意；
B.是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
C.是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D.是整数，属于有理数，故本选项不合题意．
故选：．
无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
此题考查了无理数的定义．解题的关键是掌握无理数的定义，注意初中范围内学习的无理数有：，等；开方开不尽的数；以及像每两个之间的个数依次加，等有这样规律的数．
 

2.【答案】 

【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

3.【答案】 

【解析】解：，顶点坐标为，
故不符合题意；
B.；顶点坐标为，
故不符合题意；
C.，顶点坐标为，
故不符合题意；
D.，顶点坐标为，
故符合题意；
故选D．
根据顶点式的定点坐标为，逐一判断即可．
本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标，熟悉顶点式的特征是解题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
，
故A不符合题意；
，
故B符合题意；
，
故C不符合题意；
，
故D不符合题意，
故选：．
根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，完全平方公式分别判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】解：由图知，底面直径为，则底面周长为，母线长为，所以侧面展开图的面积．
故选：．
圆锥的侧面积底面周长母线长．
本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解．
 

6.【答案】 

【解析】解：出现了次，出现的次数最多，
该队队员年龄的众数是岁；
共有名队员，
中位数是第、个数的平均数，
中位数是；
故选：．
根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．
此题考查了众数和中位数，中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
 

7.【答案】 

【解析】解：根据三点共圆可知三角形的三个顶点一定在同一个圆上，故A选项不符合题意；
B.平行四边形的对角线互相平分但不一定相等，可知平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，平行四边形的四个顶点到对角线交点的距离不一定相等，知平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，故B选项符合题意；
C.矩形的对角线互相平分，所以矩形的四个顶点到对角线交点的距离相等，可知矩形的四个顶点一定在同一个圆上，故C选项不符合题意；
D.正边形的对角线互相平分，所以正边形的各个顶点到对角线交点的距离相等，可知正边形的各个顶点一定在同一个圆上，故D选项不符合题意；
故选：．
根据三点共圆可知三角形的三个顶点一定在同一个圆上；根据矩形和正边形的对角线互相平分可知矩形的四个顶点和正边形的各个顶点一定在同一个圆上，根据平行四边形的对角线互相平分但不一定相等，可知平行四边形的四个顶点不一定在同一个圆上，即可得出答案．
本题主要考查三角形的外接圆，圆的认识，三角形、平行四边形、矩形及正多边形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，交的延长线于，

是的中点，，
，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
≌，
，，
，
≌，
，
设，则，，
在中，，
，
，
．
故选：．
如图，过点作于，交的延长线于，证明≌和≌，设，则，，根据勾股定理列方程可得结论．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查解一元一次不等式．
移项后合并同类项得出，不等式的两边都除以即可求出答案．
【解答】
解：，
移项得：，
合并同类项得：，
不等式的两边都除以得：，
故答案为：．  

10.【答案】 

【解析】解：原式，
故答案为：．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
 

11.【答案】 

【解析】解：如图，连接、．

六边形是正六边形，
，，
是等边三角形，
，
，
，
在中，，
故答案为：．
连接、先证明是等边三角形，求出、，再根据勾股定理求出即可．
本题考查正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握正六边形的性质和等边三角形的判定与性质是解题的关键，属于中考常考题型．
 

12.【答案】 

【解析】解：设点的坐标为，
点关于点的中心对称点为，
，
解得：，
点的坐标为．
故答案为：．
由、关于点成中心对称，得出点为的中点，再根据中点坐标公式求出点的坐标即可．
本题主要考查的是坐标与图形变化旋转，中心对称的性质，中点坐标公式，解题的关键是熟练掌握关于中心对称的两个点，到对称中心的距离相等．
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，，且，
，，
如图：

由作图痕迹可知：是的角平分线，
，为线段的中垂线，
，
，
；
故答案为：．
根据等边对等角，以及三角形内角和定理，求出，的度数，根据作图可知，两条线分别为的角平分线，的中垂线，根据角平分线平分角，中垂线的性质进行角的转化，求解即可．
本题考查基本作图，三角形内角和定理，中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义．熟练掌握角平分线和垂线的作图方法，是解题的关键．
 

14.【答案】或 

【解析】解：连接，
，点为的中点，
，

设满足条件的直线与的另一边边交于点，由题意分两种情况：
当点在边上，且：：时，可得，
可得：，
，
，
，
将，代入，
得出：，
解得：；
当点在边上，可得，，如图，则有：：，

连接，作于点，于点，
则，，，
∽，
：：，
，，
点的坐标是，
把、代入，
得出：，
解得：；
故答案为：或．
连接，先求出，再根据条件得出，由题意分两种情况讨论：当点在边上，求出点，然后利用待定系数法即可求出；当点在边上，作辅助线如图，则有：：，易证∽，然后根据相似三角形的性质求出，，进而可得点坐标，再利用待定系数法即可求出结果．
本题考查待定系数法求一次函数解析式、相似三角形的判定和性质等知识，正确得出点坐标是解题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：平分，
把沿翻折得，如图，

，．
作于点．
．
在或中，由勾股定理得．
在中，由勾股定理得．
故答案为：．
把沿翻折得，作于点根据轴对称的性质和线段垂直平分线的性质，分别求得和的长，根据勾股定理求得的长即可．
此题要巧妙构造辅助线，综合运用了轴对称的性质、线段垂直平分线的性质以及勾股定理．
 

16.【答案】 

【解析】解：过作于，交于，反向延长交于，交于，
则，
连接，，，
则为的直径，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
为的直径，
，
，
，
故答案为：．
过作于，交于，反向延长交于，交于，则，连接，，，则为的直径，根据平行线的性质得到，推出，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了勾股定理，垂径定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
 

17.【答案】解：原式

． 

【解析】直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
 

18.【答案】解：原式

，
当时，原式． 

【解析】先将原式的分子、分母进行因式分解，再将除法化乘法，化简后代值求解即可．
本题主要考查了分式化简求值，将原式进行因式分解化简是解题关键．
 

19.【答案】证明：解法一：
四边形是菱形，

，
又，
，
，
在和中，
，
≌，
．
解法二：
连接，
四边形是菱形，

，
，
在和中，
，
≌，
． 

【解析】解法一：由菱形的性质和已知可得，，再证明≌即可；
解法二：连接，由菱形的性质可得，根据等边对等角得出，再证明≌即可．
本题考查菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等边对等角，运用了一题多解的思路．灵活运用菱形的性质和三角形全等的判定是解题的关键．
 

20.【答案】解：红球个，白球个，黑球若干个，从中任意摸出一个白球的概率是，
盒子中球的总数为：个，
故盒子中黑球的个数为：个；
任意摸出一个球是黑球的概率为：；
任意摸出一个球是红球的概率为，
盒子中球的总量为：，
可以将盒子中的白球拿出个． 

【解析】直接利用概率公式计算得出盒子中黑球的个数，再利用概率公式计算即可；
利用概率公式计算得出符合题意的方法．
此题主要考查了概率公式，正确掌握概率求法是解题关键．
 

21.【答案】   

【解析】解：一共抽取的学生数为名，
扇形统计图中，旅游地点所对应的扇形圆心角的度数为，
景点人数为名，

故答案为：，；
名，
答：估计最喜爱“穹窿山景区”与“灵岩山景区”的学生大约有名．
由景点人数及其所占百分比可得总人数，用乘以景点人数所占比例即可；根据六个景点人数和等于总人数求得景点人数即可补全图形；
用总人数乘以样本中、景点人数所占比例即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．从两个统计图中获取数量和数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
 

22.【答案】解：设直线的解析式为，
把点的坐标代入得，
直线的解析式为；
把代入得，
，
反比例函数的解析式为；
点的坐标为，
根据中心对称可得，
，
对角线垂直于轴，
∽，
，
，
，
矩形的面积为． 

【解析】设直线的解析式为，把点的坐标把代入，即可得到结论；根据中心对称的性质，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质和矩形的面积公式即可得到结论．
本题考查了待定系数法求函数的解析式，矩形的面积的计算，中心对称图形的性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键．
 

23.【答案】证明：如图，连接，

，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
为的切线；
解：过点作于点，

在中，由勾股定理得，
，
，
，，
，，
． 

【解析】连接，由等腰三角形的性质可证，，根据，可证，进而得，根据切线的判定可知是切线；
利用勾股定理求出的长，根据求出，进而可求出的长．
本题考查了切线的判定，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形三线合一，解题的关键是作出辅助线，构造直角三角形解答．
 

24.【答案】解：过点作于点．

在中，，，
，
解得，
灯泡悬挂点距离地面的高度为．
过点向地面作垂线，垂足为，过点作于点，延长交于点．

在中，，，
，
解得，
，
，
在中，，
，
解得，
的长为． 

【解析】过点作于点，在中，，即可得出．
过点向地面作垂线，垂足为，过点作于点，延长交于点，在中，，解得，则，，在中，，，即可得．
本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
 

25.【答案】解：设抛物线的表达式为：，
则，则，
则抛物线的表达式为：；

存在，理由：
如图，设交轴于点，过点作于点，

在中，，，，
故设，则，
则，
则点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
联立得：，
解得：，
则点的坐标为： 

【解析】用待定系数法即可求解；
在中，，，，用解直角三角形的方法求出点的坐标，即可求解．
本题为二次函数综合题，涉及到一次函数和二次函数的基本性质、解直角三角形等，有一定的综合性，难度适中．
 

26.【答案】解：情况一：如图当点在上时，，

在中，，
解得：；
情况二：如图，当点在边上时，连接、，

可得，，
，
，
，
，
，
．
综上所述，或；
情况一：如图，当点在线段上时，连接，延长交于点，

与半圆相切于点，
，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
在中，设，
，
，
解得，
，
，
，
情况二：如图，当点在边上时，点与点重合，

，
四边形是矩形，
，，
，
综上所述，的值为或． 

【解析】分当点在上时和当点在边上时，利用勾股定理和等腰三角形与矩形的性质可求解；
根据题意分情况作图，利用矩形的性质、勾股定理解直角三角形的应用分别求解．
此题考查的是圆的综合题目，熟练掌握矩形性质、圆的性质、勾股定理及解三角形是解决此题的关键．
 

27.【答案】解：联立，
解得或．
则一次函数和反比例函数存在“生成”函数，
它们的“生成”函数为，实数对坐标为，；

根据题意得：
，
解得：．
，
，
解得，
，
，
．
是整数，
；

，，
，，，，
，，
方程有两个不相等的实根．
由题意可知：、是方程的两个不等实根，
，，





，
，
． 

【解析】只需将与组成方程组，并求出该方程组的解即可解决问题；
根据题意得，解得然后根据求出的取值范围，进而求出的取值范围，就可求出整数的值；
由，可得，，，，即可得到，，由题可得，，从而得到，利用二次函数的增减性并结合即可得到的取值范围．
本题属于二次函数综合题，主要考查解方程组、解不等式组、根与系数的关系、完全平方公式等知识，有一定的难度，运用配方法及二次函数的增减性是解决第小题的关键．