湖北省武汉市东湖高新区2024届九年级下学期中考三模数学试卷(含解析)

这是一份湖北省武汉市东湖高新区2024届九年级下学期中考三模数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了认真阅读答题卡上的注意事项等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷全卷共6页，三大题，满分120分．考试用时 120分钟．
2．答题前，请将你的姓名、准考证号填写在“答题卡”相应位置，并在“答题卡”背面左上角填写姓名和座位号．
3．答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将“答题卡”上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答在“试卷”上无效．
4．答非选择题时，答案用0.5 毫米黑色笔迹签字笔书写在“答题卡”上．答在“试卷”上无效．
5．认真阅读答题卡上的注意事项．
预祝你取得优异成绩！
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答题卡上涂选．
1. 的相反数是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：的相反数是，
故选：D．
2. 中国传统纹样产生于民间，寄寓着花好月圆的愿景，寄托着平安康乐的期盼．如图的四幅传统纹样中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A B. C. D.
答案：D
解析：
详解：解：A中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B中图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D中图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意，
故选：D．
3. 古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中“早有蜻蜓立上头”描述的事件是（ ）
A. 随机事件B. 确定性事件C. 必然事件D. 不可能事件
答案：A
解析：
详解：解：古诗句“小荷才露尖尖角，早有蜻蜓立上头”中“早有蜻蜓立上头”描述的事件是随机事件，
故选：A．
4. 下列几何体都是由6个同样的立方体组成，具有相同左视图的是（ ）
A. ①②B. ②③C. ①④D. ②④
答案：B
解析：
详解：解：A． ①②的左视图不相同，该选项不符合题意；
B． ②③的左视图相同，该选项符合题意；
C． ①④的左视图不相同，该选项不符合题意；
D． ②④的左视图不相同，该选项不符合题意；
故选：B．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
答案：B
解析：
详解：解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算正确，符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意，
故选：B．
6. 将一把含角的直角三角板（其中）和一把直尺按如图所示位置摆放，已知直尺的一顶点与点 B重合，且一边与交于点 F，另一边分别与交于点E，D，若， 则的度数是（ ）
A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：解：由题意知，，，，
∴，
∴，
故选：A．
7. 学校组织春游，安排给九年级三辆车，小明和小慧都可以从这三辆车中任选辆乘坐，小明和小慧乘坐同一辆车的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：
详解：列表如下（三辆车分别用1，2，3表示）：
所有等可能的情况有9种，其中小明和小慧同车的情况有3种，
∴小明和小慧乘坐同一辆车的概率是，
故选：B．
8. 如图1，在中，动点P从A点运动到B点再到C点后停止，速度为2单位/s，其中长与运动时间t（单位：s）的关系如图2，则的长为（ ）

A. B. C. 17D.
答案：C
解析：
详解：解：由图象可知：时，点与点重合，
∴，
∴点从点运动到点所需的时间为；
∴点从点运动到点的时间为，
∴；
在中：；
故选C．
9. 如图，在中，，于， 为的内切圆，设 的半径为，的长为，则的值为（ ）

A. B. C. D.
答案：A
解析：
详解：解：如图所示：为中、、的角平分线交点，过点分别作垂线交、、于点、、，

，
，
，
的长为，
，
，
，
，
故选：A．
10. 在函数图象与性质的拓展课上，小明同学借助几何画板探索函数的图象，请你结合函数解析式的结构，分析他所得到的函数图象是（ ）
A.
B.
C.
D.

答案：A
解析：
详解：解：当时，，即此时是一个开口向上的二次函数，
当时，，即此时是一个开口向下的二次函数，
∴四个选项中只有A选项符合题意，
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，下列各题不需要写出解答过程，请将结果直接填写在答题卡指定的位置）
11. 苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约千米的行星命名为“苏步青星”．将数据用科学记数法表示为______．
答案：
解析：
详解：解：．
故答案为：．
12. 已知反比例函数的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围为________．
答案：
解析：
详解：解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限，
∴，解得，
故答案为：．
13. 计算的结果是__________________．
答案：##
解析：
详解：解：
，
故答案为：．
14. 如图1是武汉某地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角． 当双翼收起时，可以通过闸机物体的最大宽度为_________．（参考数据：）
答案：
解析：
详解：解：如图2，作于，于，
∴，，
∴通过闸机物体的最大宽度为（），
故答案为：．
15. 如图1，在中， (其中)， 四边形， 四边形都是正方形，过C，B两点将正方形分别沿与平行、垂直两个方向分割成四部分，把这四个部分与正方形，一起拼成图2， 点 H在上． 若则的值为________．
答案：
解析：
详解：解：如图，
由题意，，，
∵
∴
设，，则，
∵，，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
解得或，
当时，，不符合要求，舍去，
∴，
∵，
∴，又，
∴四边形是平行四边形，
∴，
过C作于H，则，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 抛物线 （a，b，c是常数，且）经过点和两点，其中，下列结论：①；②；③；其中正确的结论是____________．（填写序号）
答案：①②④
解析：
详解：解：∵抛物线 （a，b，c是常数，且）经过点和两点，其中，
∴抛物线的开口向下，抛物线的对称轴为直线，即对称轴在y轴的右边，
∴，， ，
∴，故①正确；
∵抛物线经过点，,
∴，，
由①得：，，
由得，
∵，
∴，即，
∴，故②正确；
由得，即，故③错误；
由于
，
∵，，，，
∴，，，
∴，即，
∴，
∴，故④正确，
综上，正确的结论是①②④，
故答案为：①②④．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卡指定的位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．
17. 解不等式组 ，将其解集在数轴上表示出来，并写出其整数解．

答案：，其整数解为：，，0，1，2，图见解析
解析：
详解：解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
故不等式组的解集为，
解集表示在数轴上如图所示：其整数解为：，，0，1，2，
．
18. 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点E和点F，且使．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）添加一个条件，使四边形为矩形，不需要说明理由．
答案：（1）见解析 （2）（答案不唯一）
解析：
小问1详解：
证明：连接交于O，如图，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，则，
∴四边形是平行四边形；
小问2详解：
解：添加，
理由：∵四边形是平行四边形，，
∴四边形为矩形．
19. 幸福社区开展“共建节约型社区 活动，鼓励居民自觉减少塑料袋的使用量，以促进环保．志愿者随机抽取社区50名居民，对其2024年5月1日（劳动节）当天使用塑料袋数量进行了调查，并对数据进行了统计整理，以下是部分数据和不完整的统计图表：
信息Ⅰ：使用塑料袋数量频数分布表
信息Ⅱ：使用塑料袋数量扇形统计图
信息Ⅲ： C组包含的数据：10，10，11，11，11，12，12，13，13，13，14．
请结合以上信息完成下列问题：
（1）统计表中的 ， ；
（2）统计图中A组对应扇形的圆心角为 度；
（3）抽取的50名居民2024年5月1日当天塑料袋使用数量的中位数是 ；
（4）已知该社区中2024年5月1日当天有3000名居民参加这次活动，请估计当天使用塑料袋的数量不少于15个的人数．
答案：（1）10，10
（2）36 （3）13.5个
（4）1440名
解析：
小问1详解：
解：根据题意，，，
故答案为：10，10；
小问2详解：
解：A组对应扇形的圆心角为，
故答案为：36；
小问3详解：
解：将50个数据从小到大排列，第25和第26个数据为13和14，
∴当天塑料袋使用数量的中位数是（个），
故答案为：13.5个；
小问4详解：
解：（名），
答：估计当天使用塑料袋的数量不少于15个的人数为1440名．
20. 如图，在中，， 点D在边上，以为直径作交的延长线于点E，且．

（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为3，求的长．
答案：（1）见解析 （2）
解析：
小问1详解：
证明：连接，则，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵是的半径，
∴是的切线；
小问2详解：
解：连接，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，则，
∴，，
∵，
∴由得，
解得（负值已舍去），
∵，,
∴由得，
解得或（舍去），
∴，，
在中，．
21. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．图中A，B，C三点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（画图过程用虚线，画图结果用实线）．
（1）在图1中，点P是与网格线的交点，先将线段绕A点逆时针旋转 得到线段，再在上画点E，使；
（2）在图2中，点Q为格点，先在线段上画点F，使再在线段上画点G，使得
答案：（1）见解析 （2）见解析
解析：
小问1详解：
解：如图1，线段、点E即所求作；
小问2详解：
解：如图2，点F、G点即为所求作．
22. 悬挂过山车是武汉欢乐谷经典项目之一． 如图为该过山车的一部分轨道，轨道和可以各自看成一段抛物线，其形状相同，B，E分别为两段轨道的最低点．建立平面直角坐标系如图，点A在y轴上，B，E两点在x轴上，其中米，米（轨道厚度忽略不计）．

（1）求抛物线的函数表达式；
（2）已知在轨道上有两个位置D和C，且它们到地面的距离相等，轨道抛物线最低点E的坐标为，求点D的坐标；
（3）现需要对轨道下坡段进行安全加固，利用某种材料建造水平和竖直支架、、、，且要求．已知这种材料的价格是5000元/米，请通过计算说明：当多长时，造价最低？并求最低造价为多少元？
答案：（1）
（2）
（3）当米时，造价最低，最低造价为117800元
解析：
小问1详解：
解：由题意，设抛物线的函数表达式为，
将代入，得，
∴抛物线的函数表达式为，
小问2详解：
解：∵米，点E的坐标为
∴米，
∴点C的横坐标为，
将代入中，得，则，
∵抛物线对称轴为直线，且轨道上的点D和C到地面的距离相等，
∴点D坐标为；
小问3详解：
解：设，则，，
由题意，，，
设总长度为l米，
则
，
∵，，
∴当时，l最短，最短值为23.56，此时，造价最低，最低造价为（元），
答：当米时，造价最低，最低造价为117800元
23. 如图1，已知腰等等腰，其中， ，点D在直线上，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，连接，点M为线段中点，点N为线段中点，连接．求证：；
（3）如图3， 若，连接，点M为线段中点，当点D在的延长线上运动时，请直接写出：线段的最小值 ．
答案：（1）见解析 （2）见解析
（3）
解析：
小问1详解：
证明：∵，
∴，，
则，，
∴；
小问2详解：
解：延长到F，使，
∵点N为线段中点，
∴，则，
∴，
∵点M为线段中点，
∴为的中位线，
∴，即；
由（1）知，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴；
小问3详解：
解：如图，
∵，，，
∴和均为等腰直角三角形，
∴，
由（1）知，，
∴，
∴，
则动点E在过A且平行于的定直线上运动，
延长到F，使，连接，
∵点M为线段中点，
∴，
过点F作于H，则，即，
过A作于G，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，即线段的最小值为，
故答案为：．
24. 如图1，经过原点的抛物线，点 A 为其顶点．
（1）若顶点A点的坐标为，请直接写出抛物线的解析式 ；
（2）在（1）的条件下，抛物线交x轴于另一点B，点Q在y轴负半轴上，在抛物线 上找点P，使求点 P的坐标；
（3）如图2，将抛物线平移得到顶点在坐标原点的抛物线，且抛物线 与直线交于D，E两点（点D在点E左侧）， 连接，若求的值．
答案：（1）
（2）或；
（3）6
解析：
小问1详解：
解：将顶点A点的坐标代入中，得，
∴抛物线的解析式为，
故答案为：；
小问2详解：
解：设，
由得或，则，
当点P在第三象限时，如图1，过P作轴于M，过点A作轴于H，
则，，，，
∵
∴，
∴，即，
解得或（舍去），则；
当点P在第一象限时，如图，过P作轴于M，
则，，
∵
∴，
∴，即，
解得或（舍去），则，
综上，符合题意的点P坐标为或；
小问3详解：
解：设，，
设直线的表达式为，
则，解得，
直线的函数表达式为，
直线的表达式为，
∴，，
过点D作交与Q，作交延长线于H，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，则，
∵直线的表达式为，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，，，
∴，，
∵，
∴．
1
2
3
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
组别
使用塑料袋数量(个)
频数
A
5
B
m
C
11
D
14
E
n
合计

50