资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩8页未读，
继续阅读
所属成套资源：【同步学与练】最新七年级数学上册同步学与练（浙教版）
成套系列资料，整套一键下载
初中数学浙教版七年级上册第3章 实数3.1 平方根优秀练习
展开
这是一份初中数学浙教版七年级上册第3章 实数3.1 平方根优秀练习，文件包含第01讲平方根12类题型原卷版docx、第01讲平方根12类题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共43页， 欢迎下载使用。
知识点01：平方根、算术平方根
1. （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做 a 的平方根，也叫做 a 的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
2. 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“﹣a”．
正数 a 的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．
3.算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
【即学即练1】
1．（2023秋·浙江温州·八年级温州市第十二中学校考开学考试）实数的平方根为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【分析】先计算平方根，然后根据平方根的定义，即可求解．
【详解】解：
∴的平方根是，
故选：A．
【点睛】本题考查了求算术平方根，平方根，熟练掌握算术平方根，平方根的概念是解题的关键．
【即学即练2】
2．（2023秋·浙江·七年级专题练习）下列各式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据算术平方根定义求解即可；
【详解】解：∵，
∴四个选项中，只有A选项，符合题意，
故选A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的计算，准确计算是解题的关键．
题型01 求一个数的算术平方根
1．（2023春·云南保山·七年级统考期末）的算术平方根是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】利用算术平方根计算方法解题即可.
【详解】解：，的算术平方根为，
故选C.
【点睛】本题考查算术平方根，掌握算术平方根是非负的平方根是解题的关键.
2．（2023春·江苏·七年级统考期中）已知x，y为实数，其中，则的算术平方根是 ．
【答案】4
【分析】根据算术平方根的非负性即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
则的算术平方根是4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查算术平方根的非负性及求一个数的算术平方根．掌握相关结论即可．
3．（2023春·福建莆田·七年级校考期中）若，c是64的算术平方根，求的值．
【答案】64
【分析】根据负数没有算术平方根，即被开平方数是非负数，求出a，进而求出b，根据算术平方根的含义求出c，即可作答．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，
∴，
∵c是64的算术平方根，
∴，
则．
【点睛】本题考查了被开平方数是非负数、求解算术平方根，根据求出a是解答本题的关键．
题型02 利用算术平方根的非负性求值
1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）已知实数m，n满足，则的值为（ ）
A．3B．﹣3C．0D．1
【答案】A
【分析】根据绝对值与二次根式的非负性即可求解．
【详解】解：依题意得，，
解得，，
∴，
故选：A．
【点睛】此题主要考查二次根式和绝对值的性质，解题的关键是熟知二次根式的非负性．
2．（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）若x，y为实数，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据算术平方根非负，绝对值非负求出x、y的值，问题随之得解．
【详解】∵，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根非负，绝对值非负的知识，根据非负性求出，，是解答本题的关键．
3．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知实数a，b满足关系式．
(1)求a，b的值；
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据非负数的性质即可求解；
（2）根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】（1）由题意，，
可得，，
解得，．
（2）的算术平方根是．
【点睛】本题考查了非负数的性质和算术平方根的定义，注意：几个非负数的和为0时，则每个数都是0．
题型03 估计算术平方根的取值范围
1．（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习）面积为20的正方形的边长为m，则m的值在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
【答案】C
【分析】根据题意可得，然后估算，即可求解．
【详解】解：∵面积为的正方形的边长为，
∴，
∵，
∴，
即，
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根的估算是解题的关键．
2．（2023春·天津静海·七年级校考阶段练习）的值介于整数4和5之间，则整数的值可以是 ．
【答案】18（答案不唯一）
【分析】由可得，再确定整数即可．
【详解】解：根据题意知：，
∴，
∵是整数，
∴可以取18（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了算术平方根，求出的取值范围是解答本题的关键．
3．（2023春·吉林白山·七年级校联考期中）有一张面积为的正方形贺卡，另有一个面积为的长方形信封，已知长方形信封的长宽之比为4：3，能否将这张贺卡不折叠地放入此信封中？请作出判断并说明理由．
【答案】不能，理由见解析
【分析】设长方形信封的长为，宽为．根据长方形的面积列出关于x的方程，解之求得x的值，再由其宽与12的大小可得答案．
【详解】解：不能，理由如下：
设长方形信封的长为，宽为，
由题意，得，
∴，
∴，
∴长方形信封的宽为，
∵，
∴，
而正方形贺卡的边长为，
∴不能将这张贺卡不折叠地放入此信封中．
【点睛】本题考查算术平方根；能够通过正方形和长方形的面积求正方形和长方形的边长，并能比较无理数的大小是解题的关键．
题型04 求算术平方根的整数部分与小数部分
1．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知．若为整数且，则的值为（ ）
A．43B．44C．45D．46
【答案】B
【分析】由题意可直接进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键．
2．（2023春·黑龙江黑河·七年级校考阶段练习）定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ．
【答案】35
【分析】根据题意可知，然后利用平方运算进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的最大整数为35．
故答案为：35．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，根据题目得出是解此题的关键．
3．（2023·浙江·七年级假期作业）如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形．
（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；
（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；
（3）为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值．
【答案】（1）13，；（2）不大于的所有正整数为：1，2，3；（3）
【分析】（1）由大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得到阴影部分面积，根据算术平方根的定义即可求出边长；
（2）对进行估值，即可解答；
（3）对，估值，分别求出a，b的值即可．
【详解】解：（1）阴影部分面积为：，
∵阴影部分是一个正方形，
∴边长为：，
故答案为：13，．
（2）不大于的所有正整数为：1，2，3．
（3）∵，
∴，
∵
∴
∴．
【点睛】本题考查了无理数的估值及运算，解题的关键是掌握无理数的估值方法．
题型05 与算术平方根有关的规律题
1．（2023春·安徽合肥·七年级统考期中）已知，.则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据算术平方根的小数点的移动规律可知进而即可解答．
【详解】解：∵是向右移动位得到的，
∴，
∵，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了算术平方根的小数点的移动规律，掌握算术平方根的小数点的移动规律是解题的关键．
2．（2023春·山东滨州·七年级统考期中）计算下列各式的值：；；；．观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得= ．
【答案】
【分析】直接利用已知数据计算得出结果的变化规律进而得出答案．
【详解】解：；
；
；
；
由上可得．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出结果变化规律是解题关键．
3．（2023春·江西南昌·七年级南昌二中校考期末）观察表格，回答问题：
(1)表格中 ， ； ；
(2)从表格中探究a与数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，则 ；
②已知，若，用含m的代数式表示b，则b＝ ；
(3)试比较与a的大小．
当 时，；当 时，；当 时，．
【答案】(1)0.1；10；100
(2)①31.6；②
(3)；或0；
【分析】（1）由表格得出规律，求出x，y和z的值即可；
（2）根据得出的规律确定出所求即可；
（3）根据表格中的数据，分类讨论a的范围，比较大小即可．
【详解】（1），，．
故答案为：0.1；10，100；
（2）①∵，
∴．
②∵结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍，
∴．
故答案为：31.6；；
（3）由表格中数据可知：
当时，；
当或0时，；
当时，，
故答案为：；或0；．
【点睛】此题考查了算术平方根的规律问题，弄清题中的规律是解本题的关键．
题型06 算术平方根的实际应用
1．（2023秋·广西南宁·九年级南宁三中校考开学考试）制作一个表面积为的正方体纸盒，则这个正方体的棱长是（ ）
A．B．3C．2D．
【答案】D
【分析】设这个正方体的棱长是，得到，由算术平方根的定义求出的值即可．
【详解】解：设这个正方体的棱长是，
由题意得：，
．
这个正方体的棱长是．
故选：D．
【点睛】本题考查算术平方根，正方体的表面积，关键是掌握算术平方根的定义．
2．（2023春·青海西宁·七年级统考期末）将图中的长方形分成，两部分，恰与正方形拼接成如图的大正方形．如果正方形的面积为，拼接后的大正方形的面积是，则图中原长方形的长是 ．
【答案】/
【分析】设的长为，宽为，则的长为，宽为，的边长为，根据小正方形面积和大正方形面积利用算术平方根找到，之间的关系式即可求出最后结果．
【详解】解：设的长为，宽为，则的长为，宽为，的边长为，
的面积为，
，
，
拼接后的大正方形的面积是，
，
，
则图中原长方形的长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查算术平方根的实际应用，本题设出未知数利用算术平方根表示出未知数之间的数量关系是解题关键．
3．（2023春·湖北恩施·七年级校考期中）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片．
(1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；
(2)若使长方形的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)能，详见解析
【分析】（1）直接利用算术平方根的定义求出正方形纸片的边长，进而得出答案；
（2）直接利用算术平方根的定义求出长方形纸片的长与宽，进而得出答案．
【详解】（1）解：设面积为的正方形纸片的边长为，
，
又，
，
又要裁出的长方形面积为，
若以原正方形纸片的边长为长方形的长，
则长方形的宽为：，
可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形；
（2）长方形纸片的长宽之比为，
设长方形纸片的长为，则宽为，
，
，
又，
，
长方形纸片的长为，
又，
即：，
小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确开平方是解题关键．
题型07 平方根概念理解
1．（2023秋·河南郑州·八年级郑州市扶轮外国语学校校考开学考试）下列说法中，正确的是（ ）
A．是的平方根之一B．是的算术平方根
C．的平方根是的算术平方根D．的平方是
【答案】B
【分析】利用平方根、算术平方根和有理数的乘方逐项判断即可．
【详解】、的平方根为，即有是的平方根之一，故此选项说法错误；
、的算术平方根是，即有是的算术平方根，故此选项说法正确；
、的平方根是，的算术平方根是，故此选项说法错误；
、，故此选项说法错误；
故选：．
【点睛】此题考查了平方根、算术平方根和有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握实数的有关概念和运算法则．
2．（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期末）如果一个正数的平方根是m，那么这个数的另一个平方根是 ，这个数的算术平方根是 ，两个平方根的和是 ．
【答案】 0
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求得另一个平方根，再根据算术平方根的非负性可得这个数的算术平方根，最后根据相反数的性质即可解答．
【详解】解：∵一个正数的平方根是m，
∴那么这个数的另一个平方根是；
根据算术平方根的非负性可知，这个正数的算术平方根是；
根据一个正数的两个平方根互为相反数可知，这个正数的0．
故答案为，，0．
【点睛】本题主考查了平方根、算术平方根的意义，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解答本题的关键．
3．（2023春·陕西安康·七年级统考阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是6，求的平方根．
【答案】的平方根是
【分析】利用平方与开平方的关系可得，，再求出，，最后求出的值和平方根．
【详解】解：∵的平方根是，的算术平方根是6，
∴，
解得，
∴．
∴的平方根是．
【点睛】本题考查了平方根与算术平方根的概念，掌握平方与开平方的关系是解题的关键．
题型08 求一个数的平方根
1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）若，则（ ）
A．B．C．0.7D．0.49
【答案】B
【分析】先根据乘方的运算法则计算出，再根据平方根的意义即可求出0.49的平方根．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方根及乘方的知识，熟练掌握这些基础概念是解题的关键．
2．（2023春·西藏日喀则·七年级校考期中）若，则的平方根是 ．
【答案】
【分析】先把式子左右两边同时平方求出，进而得到，再根据平方根的定义即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵的平方根是，
∴的平方根是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求一个数的平方根，正确求出x的值是解题的关键，注意一个正数的平方根有两个．
3．（2023春·河南新乡·七年级统考期中）根据下表回答下列问题：
(1)在 和 之间．（填表中相邻的两个数）
(2) ，
(3)338.56的平方根是 ．
【答案】(1)18.6,18.8
(2)18.7，1.89
(3)
【分析】（1）结合表格中数据可得，，即可求解；
（2）先根据表中数据得出在18.6和18.7之间，再利用四舍五入求解即可，再根据算术平方根的定义求解即可；
（3）根据平方根的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，，，
∴在18.7和18.8之间，
故答案为：18.7,18.8；
（2）解：∵，，
∴在18.6和18.7之间，
∴，
∵，
∴，
故答案为：18.7，1.89；
（3）解：∵,
∴338.56的平方根是，
故答案为：．
【点睛】本题考查平方根和算术平方根的定义，正确利用平方根和算术平方根的定义是解题的关键．
题型09 求代数式的平方根
1．（2023春·全国·七年级专题练习）若，则的平方根为（ ）
A．±2B．4C．2D．±4
【答案】D
【分析】根据绝对值，平方，二次根式的非负性求出x，y，z，算出代数式的值计算即可；
【详解】∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方根的求解，结合绝对值、二次根式的非负性计算是解题的关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）若实数a，b满足，则a﹣b的平方根是 ．
【答案】±3
【分析】根据 和有意义得出a＝5，b＝﹣4，再代入求解即可．
【详解】∵ 和有意义，则a＝5，
故b＝﹣4，
则，
∴a﹣b的平方根是：±3．
故答案为：±3．
【点睛】本题考查了求平方根的问题，掌握平方根的性质以及解法是解题的关键．
3．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
(1)求的值；
(2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋6|与互为相反数，求2c+3d 的平方跟．
【答案】(1)2
(2)和
【分析】（1）利用两点间的距离公式计算即可；（2）利用非负数的性质，得到c，d的值，代入求值即可．
【详解】（1）解：∵AB＝2，
∴，
∴，
∴
；
（2）∵|2c＋6|与互为相反数，
∴，
∵，，
∴2c＋6＝0，d−4＝0，
∴c＝−3，d＝4，
∴，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离公式、平方根、非负数的性质及绝对值的计算，解题的关键是求得m的值及非负数性质的应用，注意平方根有两个．
题型10 已知一个数的平方根，求这个数
1．（2023春·湖北襄阳·七年级校考阶段练习）某数的两个不同的平方根为与，则这个数是（ ）
A．B．3C．D．9
【答案】D
【分析】直接利用平方根的定义得出a的值，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
故，
则这个数是：．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键．
2．（2023春·海南省直辖县级单位·七年级统考期中）若某个正数的两个平方根是和，则这个正数为 ．
【答案】25
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可得，求出a即可解决问题．
【详解】解：∵某个正数的两个平方根是和，
∴，
解得：，
∴这个正数为；
故答案为：25．
【点睛】本题考查了平方根的定义，熟知正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
3．（2023春·陕西咸阳·七年级校考阶段练习）已知的平方根为的算术平方根为2．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）运用平方根和算术平方根的定义求解即可；
（2）先将、的值代入求值，然后再根据平方根的定义即可解答．
【详解】（1）解：∵的平方根为，
∴，
∵的算术平方根为，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，，
∴
∴的平方根为
【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根，根据平方根、算术平方根的定义求得、的值是解答本题的关键．
题型11 利用平方根解方程
1．（2023春·湖北黄冈·七年级统考期末）若，则的值是（ ）
A．B．5C．5或D．5或1
【答案】C
【分析】根据平方根的性质求解即可．
【详解】∵
∴
∴或．
故选：C．
【点睛】此题考查了平方根的性质，解题的关键是熟练掌握平方根的性质．
2．（2023春·辽宁盘锦·七年级校考期中）方程的解为 ．
【答案】或
【分析】先移项，再开方，进而求出答案．
【详解】移项，得，
整理，得，
开方，得，
即或，
所以或．
【点睛】本题主要考查了应用开方解方程，理解开方的含义是解题的关键．
3．（2023春·海南省直辖县级单位·七年级校考期中）求下列各式中的：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先移项，再根据平方根的含义解方程即可；
（2）根据平方根的含义解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：
，
所以或．
【点睛】本题考查利用平方根分段含义解方程．掌握平方根的含义是解题关键．
题型12 平方根的应用
1．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知，与是同一个数的平方根，则m的值是（ ）
A．B．1C．或1D．
【答案】C
【分析】依据平方根的性质列方程求解即可．
【详解】解：当时，；
当时，；
综上分析可得：或，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方根的性质，明确与相等或互为相反数是解题的关键．
2．（2023·浙江·七年级假期作业）如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为4，则a的值是 ．
【答案】
【分析】观察图形可知，两个正方形的面积之和减去空白部分的面积等于重叠部分面积的2倍，由此列式可解．
【详解】解：由题意知，
解得或（舍去）．
故答案为：．
【点睛】本题考查平方根的应用，解理的关键是看懂重叠部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系．
3．（2023秋·云南·七年级校考期末）勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他先做了一张边长为的正方形桌子，结果涛涛说桌子太大，想让爷爷做成面积为的桌子，于是爷爷在原有桌子的基础上，在两边等距消去宽为的阴影部分，于是空白部分成为了涛涛想要的为的桌子，请问的长度为多少？
【答案】
【分析】根据题意列方程，再解方程即可得出结果．
【详解】解：根据题意，得，
解得（不符合题意，舍去）．
故的长度为．
【点睛】本题考查了平方根的应用及方程的思想，本题的关键是，用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义．
A夯实基础
1．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）16的平方根是（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【详解】解：，
的平方根是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方根，解题的关键是掌握正数的平方根有两个，互为相反数．
2．（2023春·云南昭通·七年级统考阶段练习）若x是4的平方根，则x是（ ）
A．2B．C．4D．16
【答案】B
【分析】根据平方根的定义，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：；
故选B．
【点睛】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的定义，是解题的关键．
3．（2023春·河北石家庄·七年级校考期中）下列说法：①25的平方根是；②的算术平方根是7；③若a的平方根是，则．其中正确的说法是( )
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】D
【分析】根据平方根和立方根的定义作出判断即可．
【详解】解：①、25的平方根是，即，故说法①正确；
②、，的算术平方根是7，故说法②正确；
③、由于a的平方根是，故，故说法③正确．
故正确的有：①②③．
故选：D．
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解答本题的关键．
4．（2023春·河南周口·七年级期中）若是的算术平方根，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义，即可解答．
【详解】解：是的算术平方根，则，即，
故选：A．
【点睛】本题考查了算数平方根，熟练掌握算数平方根的意义是解题的关键．
5．（2023春·安徽淮南·七年级校联考阶段练习）若x是的算术平方根，则 ．
【答案】3
【分析】先化简，再求解9的算术平方根即可．
【详解】解：∵，
∴x是9的算术平方根，
∴，
故答案为：3
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，熟练的求解一个数的算术平方根是解本题的关键．
6．（2023春·四川凉山·七年级校考阶段练习）已知一个正数的平方根是和，则 ．
【答案】/
【分析】运用正数有两个平方根，它们互为相反数进行求解．
【详解】解：由题意得，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平方根性质的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
7．（2023秋·四川绵阳·八年级校联考开学考试）若，则 ．
【答案】
【分析】根据平方根的定义求解．
【详解】解：若，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查求平方根，解题的关键是掌握平方根的定义．
8．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）如图是由五个边长为1的小正方形组成的十字形，小明说只剪两刀就可以拼成一个没有缝隙的大正方形，则剪完后拼成的大正方形的边长是 ．
【答案】
【分析】利用无缝拼接前后面积不变即可作答．
【详解】由题意知，五个边长为1的小正方形组成的十字形的面积为，
∵小明只剪两刀就可以将其拼成一个没有缝隙的大正方形，
∴拼成的大正方形的面积为5，
∴拼成的大正方形的边长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，理解图形无缝拼接前后面积不变，是解答本题的关键．
9．（2023秋·河北保定·八年级校考阶段练习）化简：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用算术平方根的性质化简即可；
（2）被开方数化成假分数，再利用算术平方根的性质化简即可；
（3）利用算术平方根的性质化简即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
【点睛】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的性质是解题的关键．
10．（2023秋·浙江·七年级专题练习）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）系数化为1，根据平方根的定义即可求解；
（2）将看作整体，根据平方根的定义即可求解.
【详解】（1），
，
解得：；
（2），
，
，
解得：或.
【点睛】本题考查了利用平方根的概念解方程，需注意一个正数的平方根有两个.
B能力提升
1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·七年级统考期末）9的平方根是（ ）
A．B．C．±D．
【答案】D
【分析】根据平方根的定义求出即可．
【详解】解：∵，
∴9的平方根是，
故选：D．
【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握若一个数x的平方等于正数a，那么x叫正数a的平方根，记作，特别地，0的平方根是0是解答本题的关键．
2．（2023秋·陕西榆林·八年级校考阶段练习）一个正数的两个平方根分别是和，则这个数是（ ）
A．49B．25C．16D．7
【答案】A
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，求出，得到两个平方根，即可得到答案
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
解得，
∴，，
∴这个数是，
故选：A
【点睛】本题考查平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数．解题关键是互为相反数的两个数相加为0．
3．（2023秋·四川宜宾·八年级校考阶段练习）在下列结论中，正确的有（ ）个
A．B．的算术平方根是
C．一定没有平方根D．的算术平方根是
【答案】B
【分析】根据算术平方根的意义，平方根的意义进行判断即可．
【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意；
B、的算术平方根是，故此选项正确，符合题意；
C、当时，的平方根等于，故此选项错误，不符合题意；
D、的算术平方根是，故此选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平方根以及算术平方根，熟练掌握平方根以及算术平方根的定义是解本题的关键．
4．（2023春·甘肃陇南·七年级校考阶段练习）若、为实数，且，则的值是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据算术平方根的非负性以及绝对值的非负性，可得的值，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性以及绝对值的非负性，根据题意得出的值是解题的关键．
5．（2023秋·河北保定·八年级校考阶段练习）81的算术平方根是 ，81的平方根是 ，的算术平方根是 ．
【答案】 9 3
【分析】根据算术平方根的定义，立方根的定义，开平方计算与平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：81的算术平方根是9，
81的平方根是，
，9的算术平方根是3．
故答案为：9，，3．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，立方根的定义，开平方计算与平方根的定义，理解定义是解题的关键．
6．（2023春·云南昆明·七年级校考阶段练习）已知，则的平方根是 ．
【答案】
【分析】根据非负性，求出的值，再进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的平方根是；
故答案为：．
【点睛】本题考查求一个数的平方根．解题的关键是掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，求出的值．
7．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）已知等腰三角形的两边a，b满足，则等腰三角形的周长为 ．
【答案】
【分析】根据非负式子和为0，它们分别等于0直接求解，再结合三边关系得到腰底即可得到答案；
【详解】解：∵，，，
∴，，
解得：，，
∵，
∴为腰，4为底，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题考查非负式子和为0，它们分别等于0，三角形的三边关系，解题的关键是注意三角形三边关系．
8．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知，则 ．
【答案】1.01
【分析】根据算术平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行填空即可．
【详解】解：，
；
故答案为：1.01．
【点睛】本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键．
9．（2023春·湖南长沙·七年级校考期中）求下列各式中的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）原式变形后利用平方根的定义求解；
（2）利用平方根的定义求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
或
【点睛】本题考查平方根解方程，掌握平方根的定义是解题的关键．
10．（2023春·陕西咸阳·七年级校考阶段练习）已知的平方根为的算术平方根为2．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）运用平方根和算术平方根的定义求解即可；
（2）先将、的值代入求值，然后再根据平方根的定义即可解答．
【详解】（1）解：∵的平方根为，
∴，
∵的算术平方根为，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，，
∴
∴的平方根为
【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根，根据平方根、算术平方根的定义求得、的值是解答本题的关键．
C综合素养
1．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）关于代数式的说法正确的是（ ）
A．时最大B．时最小
C．时最大D．时最小
【答案】C
【分析】根据算术平方根的非负性解答即可．
【详解】解：，
当时，的值最大为3．
故选：C．
【点睛】本题考查非负数的性质，掌握算术平方根的非负性是解题关键．
2．（2023春·山东聊城·八年级校考阶段练习）已知和是某正数a的平方根，则a的值是（ ）
A．3B．64C．3或D．64或
【答案】D
【分析】与相等或者互为相反数，分别求出的值，再求出的值，最后求出的值．
【详解】解：I．当和相等时， ，
解得：，
，
；
II．当和互为相反数时，，解得：，
，
；
综上所述：a的值是64或．
故选：D．
【点睛】本题考查了平方根的定义，体现了分类讨论的数学思想，解题时不要漏解．
3．（2023春·辽宁抚顺·七年级统考期末）如图1，将两块边长均为2cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形，则大正方形边长的值在两个相邻的整数（ ）
A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间
【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．
【详解】解：所拼成的大正方形的面积为，其边长为，
，，而，
，
故选：A．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
4．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知是正整数，则实数的最大值为（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【答案】A
【分析】由题意可得，要使要使是正整数，即可得出当n最大取2022时，是正整数．
【详解】解：∵，
∴，
要使是正整数，
即当时，．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键．
5．（2023春·云南昭通·七年级统考阶段练习）已知的算术平方根为3，的平方根为±5，的平方根是 ．
【答案】±1
【分析】运用算术平方根和平方根的意义列出方程，解出未知数，再求的平方根即可求解．
【详解】解：由题意得，
，
解得，
∴
，
，
的平方根是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了运用平方根进行有关运算的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
6．（2023春·云南昭通·七年级统考阶段练习）用大小完全相同的块正方形地砖，铺一间面积为的会议室的地面，每块地砖的边长是 m．
【答案】
【分析】运用平方根的知识进行列式、求解．
【详解】解：由题意得，每块地砖的面积为，
，
∴每块地砖的边长是，
故答案为：0.6．
【点睛】此题考查了运用平方根进行有关运算的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
7．（2023春·青海西宁·七年级统考期末）将图中的长方形分成，两部分，恰与正方形拼接成如图的大正方形．如果正方形的面积为，拼接后的大正方形的面积是，则图中原长方形的长是 ．
【答案】/
【分析】设的长为，宽为，则的长为，宽为，的边长为，根据小正方形面积和大正方形面积利用算术平方根找到，之间的关系式即可求出最后结果．
【详解】解：设的长为，宽为，则的长为，宽为，的边长为，
的面积为，
，
，
拼接后的大正方形的面积是，
，
，
则图中原长方形的长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查算术平方根的实际应用，本题设出未知数利用算术平方根表示出未知数之间的数量关系是解题关键．
8．（2023·江苏·八年级假期作业）将按下列方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则表示的数的相反数是 ．
【答案】
【分析】析】从题中数据的排列规律得到第n排有n个数，再计算出前面19排数据的个数，而数据的排列为4个一循环，从而确定所表示的数为，即可求出答案．
【详解】解：从题中数据的排列规律得到第n排有n个数，数据的排列为4个一循环，
∵19排共有数字的个数为，
而，
∴所表示的数为，
∴的相反数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．
9．（2023春·湖北襄阳·七年级校考阶段练习）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分，求的平方根．
【答案】
【分析】根据平方根、立方根、算术平方根，即可解答．
【详解】解：∵的算术平方根是3，
∴，
∴，
∵的立方根是2，
∴，
∴，
∵c是的整数部分， ，
∴，
∴，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根、算术平方根的定义．
10．（2023春·河南新乡·七年级统考期中）根据下表回答下列问题：
(1)在 和 之间．（填表中相邻的两个数）
(2) ，
(3)338.56的平方根是 ．
【答案】(1)18.6,18.8
(2)18.7，1.89
(3)
【分析】（1）结合表格中数据可得，，即可求解；
（2）先根据表中数据得出在18.6和18.7之间，再利用四舍五入求解即可，再根据算术平方根的定义求解即可；
（3）根据平方根的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，，，
∴在18.7和18.8之间，
故答案为：18.7,18.8；
（2）解：∵，，
∴在18.6和18.7之间，
∴，
∵，
∴，
故答案为：18.7，1.89；
（3）解：∵,
∴338.56的平方根是，
故答案为：．
【点睛】本题考查平方根和算术平方根的定义，正确利用平方根和算术平方根的定义是解题的关键．
课程标准
学习目标
1.掌握平方根的概念；
2.掌握算术平方根的概念与性质；
3.掌握平方根、算术平方根的实际应用；
1.掌握平方根、算术平方根的概念；
2.掌握算术平方根的非负性；
3、学会运用平方根解方程；
a
…
0.0001
0.01
1
100
10000
…
…
0.01
x
1
y
z
…
x
18.3
18.4
18.5
18.6
18.7
18.8
18.9
19
x²
334.89
338.56
342.25
345.96
349.69
353.44
357.21
361
x
18.3
18.4
18.5
18.6
18.7
18.8
18.9
19
x²
334.89
338.56
342.25
345.96
349.69
353.44
357.21
361
知识点01：平方根、算术平方根
1. （1）定义：如果一个数的平方等于a，这个数就叫做 a 的平方根，也叫做 a 的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根．
2. 求一个数a的平方根的运算，叫做开平方．
一个正数a的正的平方根表示为“a”，负的平方根表示为“﹣a”．
正数 a 的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作a．零的算术平方根仍旧是零．
3.算术平方根
正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
【即学即练1】
1．（2023秋·浙江温州·八年级温州市第十二中学校考开学考试）实数的平方根为（ ）
A．B．C．3D．
【答案】A
【分析】先计算平方根，然后根据平方根的定义，即可求解．
【详解】解：
∴的平方根是，
故选：A．
【点睛】本题考查了求算术平方根，平方根，熟练掌握算术平方根，平方根的概念是解题的关键．
【即学即练2】
2．（2023秋·浙江·七年级专题练习）下列各式中，正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据算术平方根定义求解即可；
【详解】解：∵，
∴四个选项中，只有A选项，符合题意，
故选A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的计算，准确计算是解题的关键．
题型01 求一个数的算术平方根
1．（2023春·云南保山·七年级统考期末）的算术平方根是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】C
【分析】利用算术平方根计算方法解题即可.
【详解】解：，的算术平方根为，
故选C.
【点睛】本题考查算术平方根，掌握算术平方根是非负的平方根是解题的关键.
2．（2023春·江苏·七年级统考期中）已知x，y为实数，其中，则的算术平方根是 ．
【答案】4
【分析】根据算术平方根的非负性即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：，
∴，
则的算术平方根是4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查算术平方根的非负性及求一个数的算术平方根．掌握相关结论即可．
3．（2023春·福建莆田·七年级校考期中）若，c是64的算术平方根，求的值．
【答案】64
【分析】根据负数没有算术平方根，即被开平方数是非负数，求出a，进而求出b，根据算术平方根的含义求出c，即可作答．
【详解】解：由题意得：，，
解得：，
∴，
∵c是64的算术平方根，
∴，
则．
【点睛】本题考查了被开平方数是非负数、求解算术平方根，根据求出a是解答本题的关键．
题型02 利用算术平方根的非负性求值
1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）已知实数m，n满足，则的值为（ ）
A．3B．﹣3C．0D．1
【答案】A
【分析】根据绝对值与二次根式的非负性即可求解．
【详解】解：依题意得，，
解得，，
∴，
故选：A．
【点睛】此题主要考查二次根式和绝对值的性质，解题的关键是熟知二次根式的非负性．
2．（2023春·黑龙江绥化·八年级校考阶段练习）若x，y为实数，且，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据算术平方根非负，绝对值非负求出x、y的值，问题随之得解．
【详解】∵，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根非负，绝对值非负的知识，根据非负性求出，，是解答本题的关键．
3．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知实数a，b满足关系式．
(1)求a，b的值；
(2)求的算术平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据非负数的性质即可求解；
（2）根据算术平方根的定义求解即可．
【详解】（1）由题意，，
可得，，
解得，．
（2）的算术平方根是．
【点睛】本题考查了非负数的性质和算术平方根的定义，注意：几个非负数的和为0时，则每个数都是0．
题型03 估计算术平方根的取值范围
1．（2023春·山东德州·七年级校考阶段练习）面积为20的正方形的边长为m，则m的值在（ ）
A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间
【答案】C
【分析】根据题意可得，然后估算，即可求解．
【详解】解：∵面积为的正方形的边长为，
∴，
∵，
∴，
即，
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根的应用，熟练掌握算术平方根的估算是解题的关键．
2．（2023春·天津静海·七年级校考阶段练习）的值介于整数4和5之间，则整数的值可以是 ．
【答案】18（答案不唯一）
【分析】由可得，再确定整数即可．
【详解】解：根据题意知：，
∴，
∵是整数，
∴可以取18（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了算术平方根，求出的取值范围是解答本题的关键．
3．（2023春·吉林白山·七年级校联考期中）有一张面积为的正方形贺卡，另有一个面积为的长方形信封，已知长方形信封的长宽之比为4：3，能否将这张贺卡不折叠地放入此信封中？请作出判断并说明理由．
【答案】不能，理由见解析
【分析】设长方形信封的长为，宽为．根据长方形的面积列出关于x的方程，解之求得x的值，再由其宽与12的大小可得答案．
【详解】解：不能，理由如下：
设长方形信封的长为，宽为，
由题意，得，
∴，
∴，
∴长方形信封的宽为，
∵，
∴，
而正方形贺卡的边长为，
∴不能将这张贺卡不折叠地放入此信封中．
【点睛】本题考查算术平方根；能够通过正方形和长方形的面积求正方形和长方形的边长，并能比较无理数的大小是解题的关键．
题型04 求算术平方根的整数部分与小数部分
1．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知．若为整数且，则的值为（ ）
A．43B．44C．45D．46
【答案】B
【分析】由题意可直接进行求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故选B．
【点睛】本题主要考查算术平方根，熟练掌握算术平方根是解题的关键．
2．（2023春·黑龙江黑河·七年级校考阶段练习）定义为不大于x的最大整数，如，，，则满足，则的最大整数为 ．
【答案】35
【分析】根据题意可知，然后利用平方运算进行计算即可解答．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的最大整数为35．
故答案为：35．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，根据题目得出是解此题的关键．
3．（2023·浙江·七年级假期作业）如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形．
（1）阴影部分的面积是__________，边长是____________；
（2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数；
（3）为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值．
【答案】（1）13，；（2）不大于的所有正整数为：1，2，3；（3）
【分析】（1）由大正方形的面积减去四个小三角形的面积即可得到阴影部分面积，根据算术平方根的定义即可求出边长；
（2）对进行估值，即可解答；
（3）对，估值，分别求出a，b的值即可．
【详解】解：（1）阴影部分面积为：，
∵阴影部分是一个正方形，
∴边长为：，
故答案为：13，．
（2）不大于的所有正整数为：1，2，3．
（3）∵，
∴，
∵
∴
∴．
【点睛】本题考查了无理数的估值及运算，解题的关键是掌握无理数的估值方法．
题型05 与算术平方根有关的规律题
1．（2023春·安徽合肥·七年级统考期中）已知，.则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据算术平方根的小数点的移动规律可知进而即可解答．
【详解】解：∵是向右移动位得到的，
∴，
∵，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了算术平方根的小数点的移动规律，掌握算术平方根的小数点的移动规律是解题的关键．
2．（2023春·山东滨州·七年级统考期中）计算下列各式的值：；；；．观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得= ．
【答案】
【分析】直接利用已知数据计算得出结果的变化规律进而得出答案．
【详解】解：；
；
；
；
由上可得．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出结果变化规律是解题关键．
3．（2023春·江西南昌·七年级南昌二中校考期末）观察表格，回答问题：
(1)表格中 ， ； ；
(2)从表格中探究a与数位的规律，利用这个规律解决下面两个问题：
①已知，则 ；
②已知，若，用含m的代数式表示b，则b＝ ；
(3)试比较与a的大小．
当 时，；当 时，；当 时，．
【答案】(1)0.1；10；100
(2)①31.6；②
(3)；或0；
【分析】（1）由表格得出规律，求出x，y和z的值即可；
（2）根据得出的规律确定出所求即可；
（3）根据表格中的数据，分类讨论a的范围，比较大小即可．
【详解】（1），，．
故答案为：0.1；10，100；
（2）①∵，
∴．
②∵结果扩大100倍，则被开方数扩大10000倍，
∴．
故答案为：31.6；；
（3）由表格中数据可知：
当时，；
当或0时，；
当时，，
故答案为：；或0；．
【点睛】此题考查了算术平方根的规律问题，弄清题中的规律是解本题的关键．
题型06 算术平方根的实际应用
1．（2023秋·广西南宁·九年级南宁三中校考开学考试）制作一个表面积为的正方体纸盒，则这个正方体的棱长是（ ）
A．B．3C．2D．
【答案】D
【分析】设这个正方体的棱长是，得到，由算术平方根的定义求出的值即可．
【详解】解：设这个正方体的棱长是，
由题意得：，
．
这个正方体的棱长是．
故选：D．
【点睛】本题考查算术平方根，正方体的表面积，关键是掌握算术平方根的定义．
2．（2023春·青海西宁·七年级统考期末）将图中的长方形分成，两部分，恰与正方形拼接成如图的大正方形．如果正方形的面积为，拼接后的大正方形的面积是，则图中原长方形的长是 ．
【答案】/
【分析】设的长为，宽为，则的长为，宽为，的边长为，根据小正方形面积和大正方形面积利用算术平方根找到，之间的关系式即可求出最后结果．
【详解】解：设的长为，宽为，则的长为，宽为，的边长为，
的面积为，
，
，
拼接后的大正方形的面积是，
，
，
则图中原长方形的长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查算术平方根的实际应用，本题设出未知数利用算术平方根表示出未知数之间的数量关系是解题关键．
3．（2023春·湖北恩施·七年级校考期中）小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片．
(1)请帮小丽设计一种可行的裁剪方案；
(2)若使长方形的长宽之比为，小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？若能，请帮小丽设计一种裁剪方案；若不能，请简要说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)能，详见解析
【分析】（1）直接利用算术平方根的定义求出正方形纸片的边长，进而得出答案；
（2）直接利用算术平方根的定义求出长方形纸片的长与宽，进而得出答案．
【详解】（1）解：设面积为的正方形纸片的边长为，
，
又，
，
又要裁出的长方形面积为，
若以原正方形纸片的边长为长方形的长，
则长方形的宽为：，
可以以正方形一边为长方形的长，在其邻边上截取长为的线段作为宽即可裁出符合要求的长方形；
（2）长方形纸片的长宽之比为，
设长方形纸片的长为，则宽为，
，
，
又，
，
长方形纸片的长为，
又，
即：，
小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片．
【点睛】此题主要考查了算术平方根，正确开平方是解题关键．
题型07 平方根概念理解
1．（2023秋·河南郑州·八年级郑州市扶轮外国语学校校考开学考试）下列说法中，正确的是（ ）
A．是的平方根之一B．是的算术平方根
C．的平方根是的算术平方根D．的平方是
【答案】B
【分析】利用平方根、算术平方根和有理数的乘方逐项判断即可．
【详解】、的平方根为，即有是的平方根之一，故此选项说法错误；
、的算术平方根是，即有是的算术平方根，故此选项说法正确；
、的平方根是，的算术平方根是，故此选项说法错误；
、，故此选项说法错误；
故选：．
【点睛】此题考查了平方根、算术平方根和有理数的乘方，解题的关键是熟练掌握实数的有关概念和运算法则．
2．（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期末）如果一个正数的平方根是m，那么这个数的另一个平方根是 ，这个数的算术平方根是 ，两个平方根的和是 ．
【答案】 0
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求得另一个平方根，再根据算术平方根的非负性可得这个数的算术平方根，最后根据相反数的性质即可解答．
【详解】解：∵一个正数的平方根是m，
∴那么这个数的另一个平方根是；
根据算术平方根的非负性可知，这个正数的算术平方根是；
根据一个正数的两个平方根互为相反数可知，这个正数的0．
故答案为，，0．
【点睛】本题主考查了平方根、算术平方根的意义，掌握一个正数的两个平方根互为相反数是解答本题的关键．
3．（2023春·陕西安康·七年级统考阶段练习）已知的平方根是，的算术平方根是6，求的平方根．
【答案】的平方根是
【分析】利用平方与开平方的关系可得，，再求出，，最后求出的值和平方根．
【详解】解：∵的平方根是，的算术平方根是6，
∴，
解得，
∴．
∴的平方根是．
【点睛】本题考查了平方根与算术平方根的概念，掌握平方与开平方的关系是解题的关键．
题型08 求一个数的平方根
1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）若，则（ ）
A．B．C．0.7D．0.49
【答案】B
【分析】先根据乘方的运算法则计算出，再根据平方根的意义即可求出0.49的平方根．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了平方根及乘方的知识，熟练掌握这些基础概念是解题的关键．
2．（2023春·西藏日喀则·七年级校考期中）若，则的平方根是 ．
【答案】
【分析】先把式子左右两边同时平方求出，进而得到，再根据平方根的定义即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵的平方根是，
∴的平方根是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求一个数的平方根，正确求出x的值是解题的关键，注意一个正数的平方根有两个．
3．（2023春·河南新乡·七年级统考期中）根据下表回答下列问题：
(1)在 和 之间．（填表中相邻的两个数）
(2) ，
(3)338.56的平方根是 ．
【答案】(1)18.6,18.8
(2)18.7，1.89
(3)
【分析】（1）结合表格中数据可得，，即可求解；
（2）先根据表中数据得出在18.6和18.7之间，再利用四舍五入求解即可，再根据算术平方根的定义求解即可；
（3）根据平方根的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，，，
∴在18.7和18.8之间，
故答案为：18.7,18.8；
（2）解：∵，，
∴在18.6和18.7之间，
∴，
∵，
∴，
故答案为：18.7，1.89；
（3）解：∵,
∴338.56的平方根是，
故答案为：．
【点睛】本题考查平方根和算术平方根的定义，正确利用平方根和算术平方根的定义是解题的关键．
题型09 求代数式的平方根
1．（2023春·全国·七年级专题练习）若，则的平方根为（ ）
A．±2B．4C．2D．±4
【答案】D
【分析】根据绝对值，平方，二次根式的非负性求出x，y，z，算出代数式的值计算即可；
【详解】∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平方根的求解，结合绝对值、二次根式的非负性计算是解题的关键．
2．（2023·全国·九年级专题练习）若实数a，b满足，则a﹣b的平方根是 ．
【答案】±3
【分析】根据 和有意义得出a＝5，b＝﹣4，再代入求解即可．
【详解】∵ 和有意义，则a＝5，
故b＝﹣4，
则，
∴a﹣b的平方根是：±3．
故答案为：±3．
【点睛】本题考查了求平方根的问题，掌握平方根的性质以及解法是解题的关键．
3．（2023秋·全国·八年级专题练习）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
(1)求的值；
(2)在数轴上还有C、D两点分别表示实数c和d，且有|2c＋6|与互为相反数，求2c+3d 的平方跟．
【答案】(1)2
(2)和
【分析】（1）利用两点间的距离公式计算即可；（2）利用非负数的性质，得到c，d的值，代入求值即可．
【详解】（1）解：∵AB＝2，
∴，
∴，
∴
；
（2）∵|2c＋6|与互为相反数，
∴，
∵，，
∴2c＋6＝0，d−4＝0，
∴c＝−3，d＝4，
∴，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离公式、平方根、非负数的性质及绝对值的计算，解题的关键是求得m的值及非负数性质的应用，注意平方根有两个．
题型10 已知一个数的平方根，求这个数
1．（2023春·湖北襄阳·七年级校考阶段练习）某数的两个不同的平方根为与，则这个数是（ ）
A．B．3C．D．9
【答案】D
【分析】直接利用平方根的定义得出a的值，进而得出答案．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
故，
则这个数是：．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了平方根，正确把握平方根的定义是解题关键．
2．（2023春·海南省直辖县级单位·七年级统考期中）若某个正数的两个平方根是和，则这个正数为 ．
【答案】25
【分析】根据正数的两个平方根互为相反数可得，求出a即可解决问题．
【详解】解：∵某个正数的两个平方根是和，
∴，
解得：，
∴这个正数为；
故答案为：25．
【点睛】本题考查了平方根的定义，熟知正数的两个平方根互为相反数是解题的关键．
3．（2023春·陕西咸阳·七年级校考阶段练习）已知的平方根为的算术平方根为2．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）运用平方根和算术平方根的定义求解即可；
（2）先将、的值代入求值，然后再根据平方根的定义即可解答．
【详解】（1）解：∵的平方根为，
∴，
∵的算术平方根为，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，，
∴
∴的平方根为
【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根，根据平方根、算术平方根的定义求得、的值是解答本题的关键．
题型11 利用平方根解方程
1．（2023春·湖北黄冈·七年级统考期末）若，则的值是（ ）
A．B．5C．5或D．5或1
【答案】C
【分析】根据平方根的性质求解即可．
【详解】∵
∴
∴或．
故选：C．
【点睛】此题考查了平方根的性质，解题的关键是熟练掌握平方根的性质．
2．（2023春·辽宁盘锦·七年级校考期中）方程的解为 ．
【答案】或
【分析】先移项，再开方，进而求出答案．
【详解】移项，得，
整理，得，
开方，得，
即或，
所以或．
【点睛】本题主要考查了应用开方解方程，理解开方的含义是解题的关键．
3．（2023春·海南省直辖县级单位·七年级校考期中）求下列各式中的：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）先移项，再根据平方根的含义解方程即可；
（2）根据平方根的含义解方程即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：
，
所以或．
【点睛】本题考查利用平方根分段含义解方程．掌握平方根的含义是解题关键．
题型12 平方根的应用
1．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知，与是同一个数的平方根，则m的值是（ ）
A．B．1C．或1D．
【答案】C
【分析】依据平方根的性质列方程求解即可．
【详解】解：当时，；
当时，；
综上分析可得：或，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方根的性质，明确与相等或互为相反数是解题的关键．
2．（2023·浙江·七年级假期作业）如图所示，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为4，则a的值是 ．
【答案】
【分析】观察图形可知，两个正方形的面积之和减去空白部分的面积等于重叠部分面积的2倍，由此列式可解．
【详解】解：由题意知，
解得或（舍去）．
故答案为：．
【点睛】本题考查平方根的应用，解理的关键是看懂重叠部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系．
3．（2023秋·云南·七年级校考期末）勤俭节约是中国人民的传统美德，涛涛的爷爷是能工巧匠，他先做了一张边长为的正方形桌子，结果涛涛说桌子太大，想让爷爷做成面积为的桌子，于是爷爷在原有桌子的基础上，在两边等距消去宽为的阴影部分，于是空白部分成为了涛涛想要的为的桌子，请问的长度为多少？
【答案】
【分析】根据题意列方程，再解方程即可得出结果．
【详解】解：根据题意，得，
解得（不符合题意，舍去）．
故的长度为．
【点睛】本题考查了平方根的应用及方程的思想，本题的关键是，用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合问题的实际意义．
A夯实基础
1．（2023秋·河北石家庄·八年级统考期末）16的平方根是（ ）
A．4B．C．D．
【答案】C
【分析】根据平方根的定义即可求解．
【详解】解：，
的平方根是，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了平方根，解题的关键是掌握正数的平方根有两个，互为相反数．
2．（2023春·云南昭通·七年级统考阶段练习）若x是4的平方根，则x是（ ）
A．2B．C．4D．16
【答案】B
【分析】根据平方根的定义，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：；
故选B．
【点睛】本题考查求一个数的平方根．熟练掌握平方根的定义，是解题的关键．
3．（2023春·河北石家庄·七年级校考期中）下列说法：①25的平方根是；②的算术平方根是7；③若a的平方根是，则．其中正确的说法是( )
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】D
【分析】根据平方根和立方根的定义作出判断即可．
【详解】解：①、25的平方根是，即，故说法①正确；
②、，的算术平方根是7，故说法②正确；
③、由于a的平方根是，故，故说法③正确．
故正确的有：①②③．
故选：D．
【点睛】本题考查了平方根和算术平方根的定义，熟练掌握平方根和算术平方根的定义是解答本题的关键．
4．（2023春·河南周口·七年级期中）若是的算术平方根，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义，即可解答．
【详解】解：是的算术平方根，则，即，
故选：A．
【点睛】本题考查了算数平方根，熟练掌握算数平方根的意义是解题的关键．
5．（2023春·安徽淮南·七年级校联考阶段练习）若x是的算术平方根，则 ．
【答案】3
【分析】先化简，再求解9的算术平方根即可．
【详解】解：∵，
∴x是9的算术平方根，
∴，
故答案为：3
【点睛】本题考查的是算术平方根的含义，熟练的求解一个数的算术平方根是解本题的关键．
6．（2023春·四川凉山·七年级校考阶段练习）已知一个正数的平方根是和，则 ．
【答案】/
【分析】运用正数有两个平方根，它们互为相反数进行求解．
【详解】解：由题意得，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了平方根性质的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
7．（2023秋·四川绵阳·八年级校联考开学考试）若，则 ．
【答案】
【分析】根据平方根的定义求解．
【详解】解：若，则，
故答案为：．
【点睛】本题考查求平方根，解题的关键是掌握平方根的定义．
8．（2023秋·四川成都·八年级统考期末）如图是由五个边长为1的小正方形组成的十字形，小明说只剪两刀就可以拼成一个没有缝隙的大正方形，则剪完后拼成的大正方形的边长是 ．
【答案】
【分析】利用无缝拼接前后面积不变即可作答．
【详解】由题意知，五个边长为1的小正方形组成的十字形的面积为，
∵小明只剪两刀就可以将其拼成一个没有缝隙的大正方形，
∴拼成的大正方形的面积为5，
∴拼成的大正方形的边长为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了算术平方根的应用，理解图形无缝拼接前后面积不变，是解答本题的关键．
9．（2023秋·河北保定·八年级校考阶段练习）化简：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用算术平方根的性质化简即可；
（2）被开方数化成假分数，再利用算术平方根的性质化简即可；
（3）利用算术平方根的性质化简即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
【点睛】本题考查了算术平方根，掌握算术平方根的性质是解题的关键．
10．（2023秋·浙江·七年级专题练习）求下列各式中x的值：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）系数化为1，根据平方根的定义即可求解；
（2）将看作整体，根据平方根的定义即可求解.
【详解】（1），
，
解得：；
（2），
，
，
解得：或.
【点睛】本题考查了利用平方根的概念解方程，需注意一个正数的平方根有两个.
B能力提升
1．（2023春·内蒙古呼伦贝尔·七年级统考期末）9的平方根是（ ）
A．B．C．±D．
【答案】D
【分析】根据平方根的定义求出即可．
【详解】解：∵，
∴9的平方根是，
故选：D．
【点睛】本题考查了平方根，熟练掌握若一个数x的平方等于正数a，那么x叫正数a的平方根，记作，特别地，0的平方根是0是解答本题的关键．
2．（2023秋·陕西榆林·八年级校考阶段练习）一个正数的两个平方根分别是和，则这个数是（ ）
A．49B．25C．16D．7
【答案】A
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，求出，得到两个平方根，即可得到答案
【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别是和，
∴，
解得，
∴，，
∴这个数是，
故选：A
【点睛】本题考查平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数．解题关键是互为相反数的两个数相加为0．
3．（2023秋·四川宜宾·八年级校考阶段练习）在下列结论中，正确的有（ ）个
A．B．的算术平方根是
C．一定没有平方根D．的算术平方根是
【答案】B
【分析】根据算术平方根的意义，平方根的意义进行判断即可．
【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意；
B、的算术平方根是，故此选项正确，符合题意；
C、当时，的平方根等于，故此选项错误，不符合题意；
D、的算术平方根是，故此选项错误，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了平方根以及算术平方根，熟练掌握平方根以及算术平方根的定义是解本题的关键．
4．（2023春·甘肃陇南·七年级校考阶段练习）若、为实数，且，则的值是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据算术平方根的非负性以及绝对值的非负性，可得的值，进而即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，
解得：，，
∴．
故选：C．
【点睛】本题考查了算术平方根的非负性以及绝对值的非负性，根据题意得出的值是解题的关键．
5．（2023秋·河北保定·八年级校考阶段练习）81的算术平方根是 ，81的平方根是 ，的算术平方根是 ．
【答案】 9 3
【分析】根据算术平方根的定义，立方根的定义，开平方计算与平方根的定义进行计算即可．
【详解】解：81的算术平方根是9，
81的平方根是，
，9的算术平方根是3．
故答案为：9，，3．
【点睛】本题考查了算术平方根的定义，立方根的定义，开平方计算与平方根的定义，理解定义是解题的关键．
6．（2023春·云南昆明·七年级校考阶段练习）已知，则的平方根是 ．
【答案】
【分析】根据非负性，求出的值，再进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴的平方根是；
故答案为：．
【点睛】本题考查求一个数的平方根．解题的关键是掌握非负数的和为0，每一个非负数均为0，求出的值．
7．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考二模）已知等腰三角形的两边a，b满足，则等腰三角形的周长为 ．
【答案】
【分析】根据非负式子和为0，它们分别等于0直接求解，再结合三边关系得到腰底即可得到答案；
【详解】解：∵，，，
∴，，
解得：，，
∵，
∴为腰，4为底，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题考查非负式子和为0，它们分别等于0，三角形的三边关系，解题的关键是注意三角形三边关系．
8．（2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）已知，则 ．
【答案】1.01
【分析】根据算术平方根的移动规律，把被开方数的小数点每移动两位，结果移动一位，进行填空即可．
【详解】解：，
；
故答案为：1.01．
【点睛】本题考查了算术平方根的移动规律的应用，能根据移动规律填空是解此题的关键．
9．（2023春·湖南长沙·七年级校考期中）求下列各式中的值．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）原式变形后利用平方根的定义求解；
（2）利用平方根的定义求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
或
【点睛】本题考查平方根解方程，掌握平方根的定义是解题的关键．
10．（2023春·陕西咸阳·七年级校考阶段练习）已知的平方根为的算术平方根为2．
(1)求的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）运用平方根和算术平方根的定义求解即可；
（2）先将、的值代入求值，然后再根据平方根的定义即可解答．
【详解】（1）解：∵的平方根为，
∴，
∵的算术平方根为，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，，
∴
∴的平方根为
【点睛】本题主要考查了平方根、算术平方根，根据平方根、算术平方根的定义求得、的值是解答本题的关键．
C综合素养
1．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·七年级校考阶段练习）关于代数式的说法正确的是（ ）
A．时最大B．时最小
C．时最大D．时最小
【答案】C
【分析】根据算术平方根的非负性解答即可．
【详解】解：，
当时，的值最大为3．
故选：C．
【点睛】本题考查非负数的性质，掌握算术平方根的非负性是解题关键．
2．（2023春·山东聊城·八年级校考阶段练习）已知和是某正数a的平方根，则a的值是（ ）
A．3B．64C．3或D．64或
【答案】D
【分析】与相等或者互为相反数，分别求出的值，再求出的值，最后求出的值．
【详解】解：I．当和相等时， ，
解得：，
，
；
II．当和互为相反数时，，解得：，
，
；
综上所述：a的值是64或．
故选：D．
【点睛】本题考查了平方根的定义，体现了分类讨论的数学思想，解题时不要漏解．
3．（2023春·辽宁抚顺·七年级统考期末）如图1，将两块边长均为2cm的正方形纸板沿对角线剪开，拼成如图2所示的一个大正方形，则大正方形边长的值在两个相邻的整数（ ）
A．2到3之间B．3到4之间C．4到5之间D．5到6之间
【答案】A
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数的大小即可．
【详解】解：所拼成的大正方形的面积为，其边长为，
，，而，
，
故选：A．
【点睛】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
4．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知是正整数，则实数的最大值为（ ）
A．2022B．2023C．2024D．2025
【答案】A
【分析】由题意可得，要使要使是正整数，即可得出当n最大取2022时，是正整数．
【详解】解：∵，
∴，
要使是正整数，
即当时，．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键．
5．（2023春·云南昭通·七年级统考阶段练习）已知的算术平方根为3，的平方根为±5，的平方根是 ．
【答案】±1
【分析】运用算术平方根和平方根的意义列出方程，解出未知数，再求的平方根即可求解．
【详解】解：由题意得，
，
解得，
∴
，
，
的平方根是，
故答案为：．
【点睛】此题考查了运用平方根进行有关运算的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
6．（2023春·云南昭通·七年级统考阶段练习）用大小完全相同的块正方形地砖，铺一间面积为的会议室的地面，每块地砖的边长是 m．
【答案】
【分析】运用平方根的知识进行列式、求解．
【详解】解：由题意得，每块地砖的面积为，
，
∴每块地砖的边长是，
故答案为：0.6．
【点睛】此题考查了运用平方根进行有关运算的能力，关键是能准确理解并运用以上知识．
7．（2023春·青海西宁·七年级统考期末）将图中的长方形分成，两部分，恰与正方形拼接成如图的大正方形．如果正方形的面积为，拼接后的大正方形的面积是，则图中原长方形的长是 ．
【答案】/
【分析】设的长为，宽为，则的长为，宽为，的边长为，根据小正方形面积和大正方形面积利用算术平方根找到，之间的关系式即可求出最后结果．
【详解】解：设的长为，宽为，则的长为，宽为，的边长为，
的面积为，
，
，
拼接后的大正方形的面积是，
，
，
则图中原长方形的长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查算术平方根的实际应用，本题设出未知数利用算术平方根表示出未知数之间的数量关系是解题关键．
8．（2023·江苏·八年级假期作业）将按下列方式排列，若规定表示第排从左向右第个数，则表示的数的相反数是 ．
【答案】
【分析】析】从题中数据的排列规律得到第n排有n个数，再计算出前面19排数据的个数，而数据的排列为4个一循环，从而确定所表示的数为，即可求出答案．
【详解】解：从题中数据的排列规律得到第n排有n个数，数据的排列为4个一循环，
∵19排共有数字的个数为，
而，
∴所表示的数为，
∴的相反数为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了规律型：数字的变化类：探寻数列规律：认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的方法．
9．（2023春·湖北襄阳·七年级校考阶段练习）已知的算术平方根是3，的立方根是2，c是的整数部分，求的平方根．
【答案】
【分析】根据平方根、立方根、算术平方根，即可解答．
【详解】解：∵的算术平方根是3，
∴，
∴，
∵的立方根是2，
∴，
∴，
∵c是的整数部分， ，
∴，
∴，
∴的平方根是．
【点睛】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，解决本题的关键是熟记平方根、立方根、算术平方根的定义．
10．（2023春·河南新乡·七年级统考期中）根据下表回答下列问题：
(1)在 和 之间．（填表中相邻的两个数）
(2) ，
(3)338.56的平方根是 ．
【答案】(1)18.6,18.8
(2)18.7，1.89
(3)
【分析】（1）结合表格中数据可得，，即可求解；
（2）先根据表中数据得出在18.6和18.7之间，再利用四舍五入求解即可，再根据算术平方根的定义求解即可；
（3）根据平方根的定义即可求解．
【详解】（1）解：∵ ，，，
∴在18.7和18.8之间，
故答案为：18.7,18.8；
（2）解：∵，，
∴在18.6和18.7之间，
∴，
∵，
∴，
故答案为：18.7，1.89；
（3）解：∵,
∴338.56的平方根是，
故答案为：．
【点睛】本题考查平方根和算术平方根的定义，正确利用平方根和算术平方根的定义是解题的关键．
课程标准
学习目标
1.掌握平方根的概念；
2.掌握算术平方根的概念与性质；
3.掌握平方根、算术平方根的实际应用；
1.掌握平方根、算术平方根的概念；
2.掌握算术平方根的非负性；
3、学会运用平方根解方程；
a
…
0.0001
0.01
1
100
10000
…
…
0.01
x
1
y
z
…
x
18.3
18.4
18.5
18.6
18.7
18.8
18.9
19
x²
334.89
338.56
342.25
345.96
349.69
353.44
357.21
361
x
18.3
18.4
18.5
18.6
18.7
18.8
18.9
19
x²
334.89
338.56
342.25
345.96
349.69
353.44
357.21
361
相关试卷
初中数学2.5 有理数的乘方精品同步达标检测题： 这是一份初中数学<a href="/sx/tb_c11907_t7/?tag_id=28" target="_blank">2.5 有理数的乘方精品同步达标检测题</a>，文件包含第05讲有理数的乘方5类题型原卷版docx、第05讲有理数的乘方5类题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共36页， 欢迎下载使用。
初中数学浙教版七年级上册2.3 有理数的乘法优秀课后测评： 这是一份初中数学浙教版七年级上册<a href="/sx/tb_c11909_t7/?tag_id=28" target="_blank">2.3 有理数的乘法优秀课后测评</a>，文件包含第03讲有理数的乘法5类题型原卷版docx、第03讲有理数的乘法5类题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共37页， 欢迎下载使用。
初中数学浙教版七年级上册2.2 有理数的减法精品当堂达标检测题： 这是一份初中数学浙教版七年级上册<a href="/sx/tb_c11910_t7/?tag_id=28" target="_blank">2.2 有理数的减法精品当堂达标检测题</a>，文件包含第02讲有理数的减法5类题型原卷版docx、第02讲有理数的减法5类题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共41页， 欢迎下载使用。
