高考数学二轮复习专题专题8利用导数解决函数恒成立问题试题含解析答案

这是一份高考数学二轮复习专题专题8利用导数解决函数恒成立问题试题含解析答案，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知函数，若∀x≥0，，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数在区间上单调递减，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．0D．e−1
3．已知函数，若恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
4．已知对存在的，不等式恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
5．已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数在区间上单调递减，则的最小值为（ ）
A．e2B．C．D．
8．已知函数，若对，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．已知函数其中，，若对任意，恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数在区间上单调递增，则实数a的最小值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
11．函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且满足，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
12．若对任意的正实数，，当时，恒成立，则的取值范围（ ）
A．B．C．D．
13．已知函数，若对都满足，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
14．已知，对任意的恒成立，则k的最大值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
15．不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．B．C．1D．2
16．，均有成立，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
17．已知，，若，使得成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
18．已知函数若不等式对任意实数x恒成立，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
19．定义在上的函数满足，（若，则，c为常数），则下列说法错误的是（ ）
A．
B．在取得极小值，极小值为
C．只有一个零点
D．若在上恒成立，则
20．若不等式在上恒成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．1D．
二、填空题
21．已知关于的不等式：的解集为，则的最大值是 ．
22．函数.对于，都有，则实数的取值范围是 .
23．已知定义在上的函数关于轴对称，其导函数为，当时，不等式．若对，不等式恒成立，则的取值范围是 .
24．已知函数，，，且，恒有，则实数a的取值范围是 ．
25．已知关于的不等式在上恒成立（其中为自然对数的底数），则实数的取值范围为 .
参考答案：
1．B
【分析】求出f′x，然后对导函数再次求导，通过讨论单调性以及零点来求使不等式恒成立的实数a的取值范围.
【详解】由已知，则，
令，则，
当时，，即f′x在上单调递增，
所以，
当时，f′x≥0，在上单调递增，
所以，即，
当时，，当时，
所以存在使得，
当x∈0,x0时，，单调递增，
当x∈x0,+∞时，，单调递减，
所以，不合题意，
所以则实数a的取值范围是.
故选：B.
2．A
【分析】由题意得到在上恒成立，参变分离，只需，求出在上的值域即可，.
【详解】函数，则，
函数在区间上单调递减，则在上恒成立，
故，即在上恒成立，
令，，
则在上恒成立，故在上单调递增，
故，故，故m的最小值为．
故选：A．
3．B
【分析】等价于，令，求导分析单调性，可得等价于，进而可得，令，只需，利用导数求解最值即可得出答案．
【详解】等价于，
令，则，所以是增函数，
所以等价于，
所以，所以，
令，则，
所以在上，，单调递增，
在上，，单调递减，
所以，故
所以实数的取值范围为．
故选：B．
【点睛】方法点睛：利用导数解决不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
4．C
【分析】把不等式变形为，构造函数证明不等式，根据保值性即可列式求解，逐项判断即可.
【详解】（1）
由，则，
所以当x∈1,+∞时，单调递增，当x∈0,1时，单调递减，
所以，即.
由，则，
所以当x∈1,+∞时，单调递增，当x∈0,1时，单调递减，
所以，即.
故，所以.
由（1）式得，当且仅当，即.
所以，，，.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于，对不等式同构变形，然后利用切线不等式结合加法法则，根据保值性得到，然后逐项求解，即可判断.
5．B
【分析】由题意的值域包含于的值域，再分别求导分析函数的单调性与最值，进而根据值域区间端点满足的不等式列式求解即可.
【详解】，，令f′x>0，解得，
令f′x<0，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，
又，所以的值域为.
当时，，所以在上单调递增，
又，所以的值域为，
又，使得，所以，解得，
即实数的取值范围是．
故选：B．
6．B
【分析】求出函数的导数，由求出的范围即可.
【详解】函数，求导得，
由在上单调递增，得，当时，，
因此，令，求导得，
当时，，当时，，即函数在上递减，在上递增，
于是，则，即，
所以实数的取值范围是.
故选：B
7．B
【分析】由题意可知，对任意的x∈0,1，，由参变量分离法可得，利用导数求出函数在0,1上的值域，即可得出实数的最小值.
【详解】由得，
因为函数在区间0,1上单调递减，则对任意的x∈0,1，，
可得，
令，其中x∈0,1，则对任意的x∈0,1恒成立，
所以，函数在0,1上单调递增，当x∈0,1时，，
即，所以，，故的最小值为.
故选：B.
8．B
【分析】对不等式作等价变形，构造函数并利用函数的单调性建立不等式，再分离参数求解即得.
【详解】函数，，，
令，显然函数在上单调递增，而不等式为，
因此，，
令函数，求导得，当时，，递增，
当时，，递减，因此，于是，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：B
9．D
【分析】由题意不等式成立转化为，利用导数求最值解不等式即可.
【详解】由于，，
，，
，，即，在上单调递增，
由任意的，都有成立，
所以，即，
，
，又，得，
则实数的取值范围为，
故选：D．
10．B
【分析】根据题意，f′x≥0恒成立，分离参数结合二次函数的性质求得答案.
【详解】因为函数在0,2上单调递增，所以对0,2恒成立，
即恒成立，设，x∈0,2，
当时，，所以，则，
所以实数a的最小值为.
故选：B.
11．B
【分析】根据题意构造函数，由条件不等式判断函数在上单调递减，将不等式转化成，利用单调性将问题简化为在上恒成立，求出函数在上的最小值即得.
【详解】由，，可设，，
则，即函数在上为减函数,
因，则，由可得，即，
故得，即在上恒成立.
令，，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则时，取得最小值，故，又，故.
故选：B.
12．A
【分析】由可得，令，则在上为减函数，即在上恒成立，求解即可.
【详解】，又，所以，
所以，
由已知对任意的，，且时，，
设，则在上为减函数，
因为，所以在上恒成立，
所以在上恒成立，所以，所以的取值范围为．
故选：A．
13．D
【分析】将问题转化为，利用导数求出函数的最值即可.
【详解】对都满足，
则，
由，，
可得，
令得，令得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，
又当时，，，
所以，
所以.
故选：D.
【点睛】方法点睛：恒成立问题一般转化为最值问题来求解.
14．B
【分析】问题可转化为在上恒成立，通过构造函数，利用导数求最小值的方法解决.
【详解】对任意的恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立，
设，则，令.
因为，所以函数在上单调递增，
又，，
所以在上存在唯一的一个实数根，满足且hx0=0，
即，所以，
当时， ，此时；当时，，此时，
所以在时单调递减，在上单调递增，.
所以要使对任意恒成立，则，
因为，所以要，即k的最大值为3.
故选：B.
15．B
【分析】先明确函数的定义域，分离参数，利用ex≥x+1进行放缩处理.
【详解】设，，则，因为，所以ex−1>0，
所以在0,+∞上单调递增，所以，即.
所以ex≥x+1在0,+∞恒成立.
由题意：函数的定义域为：0,+∞.
所以原不等式可化为：，问题转化为求（）的最小值.
而（当且仅当时取“=”）
结合图象：
方程在上有唯一解.
所以.
故选：B
16．B
【分析】不妨设，则不等式等价于，令，， 则在区间上单调递减，从而得到对于恒成立，参变分离可得对于恒成立，求出即可得解.
【详解】不妨设， 则x2−x1>0，
由可得，
所以，即，
所以，
令，， 则，
因为， 所以在区间上单调递减，
所以对于恒成立，
所以对于恒成立，可得对于恒成立，
所以，因为在区间上单调递减，
所以，
所以，即的取值范围为.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键是将问题转化为，即在区间上单调递减，从而得到对于恒成立.
17．A
【分析】先利用导数求得，再将不等式化为在上恒成立，参变分离得在上恒成立，即只需求在上的最小值即得.
【详解】由，，求导得，，则当时，，在单调递增；
当时，，在单调递减，则时，
，，使得成立，
而，故须使在上恒成立，即在上恒成立.
不妨设，，则，
再令，，则是减函数，当时，，
即在上为减函数，则，
又，故当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
即时函数取极大值，即最大值，
因，，，故得.
故选:A.
【点睛】本题考查不等式的恒成立与有解问题，属于难题.可按如下规则转化：
一般地，已知函数，
（1）若，，总有成立，故；
（2）若，，有成立，故；
（3）若，，有成立，故；
（4）若，，有，则的值域是值域的子集 ．
18．C
【分析】分，，三种情况讨论，将恒成立问题分参转化为最值问题，借助导数及函数的性质计算即可.
【详解】当时，不等式恒成立；
当时，此时，即，
即对任意恒成立，
令在上单调递减，则，故a≤2.
当时，此时，即，
即，对任意恒成立，
令，其中，则，
令，则，
所以在上单调递减，
又，要使在恒成立，
则在恒成立，
即在恒成立，
令，则在上单调递减，，
所以.
综上所述：的取值范围为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：利用参变分离，再运用函数的思想研究不等式，并结合导数研究函数的单调性与最值.
19．B
【分析】首先构造函数的导数，并求函数的解析式，得，再利用导数判断函数的单调性，即可判断AB；由函数的性质，确定函数的图象，即可判断C；利用参变分离，将不等式恒成立，转化为，利用导数判断函数的单调性，即可求解函数的最大值.
【详解】∵且0,+∞，可得，
则有，故（c为常数），
又f1=0，则，得，故，x∈0,+∞，
，
当，即，解得：00，此时单调递增，
当，即，解得，，
当，即解得：x>e，f′x<0，此时单调递减，
对于A，由于0e，单调递减，
∵，可得，
∵，，∵.
故，故A正确：
∴，取得极大值，，故B错误；
对于C，当，，，，，，
画出草图，如图：
根据图象可知：只有一个零点，故C正确；
对D，要在0,+∞上恒成立
即：在0,+∞上恒成立，
∵，可在上恒成立，
只需，令，，
当，；单调递增，
当时，；单调递减，
，；
则，即，故D正确；
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是根据条件构造函数的导数，即可求解函数的解析式.
20．C
【分析】设，，证明函数单调递减，讨论，确定函数的单调性，结合的最大值小于等于0，求的范围可得结论.
【详解】由，，得
，所以在为减函数，
又函数在也为减函数，，
在上单调递减，
①当时，
当时，单调递减，
，符合题意；
②当时，
存在，使得，
当时，单调递减，，不符合题意，舍去；
③当时，，又在上单调递减，
当时，单调递减，
.
令，则
在上单调递减，
，符合题意.
综上所述，的最小值为1.
故选：C.
【点睛】对于恒成立问题，常用到以下两个结论：
（1）恒成立⇔；
（2）恒成立⇔.
21．/
【分析】由题意可知，原不等式等价为恒成立，即函数的图象恒在函数的上方，然后利用两曲线相切的临界位置，得出的表达式构造函数求最大值即可.
【详解】根据题意可知，关于的不等式的解集为，即对任意恒成立；
令函数，，即函数的图象恒在函数的上方，所以；
设直线与曲线相切，切点为；
由得，
所以，即；
此时切线方程为，即
所以；
根据题意直线须在的上方或重合，所以；
所以，令，则
记，则，
所以当，即函数在上单调递增；
当，即函数在上单调递减；
所以，即，
所以的最大值是.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题关键是将不等式恒成立转化成两函数图象的位置关系的问题，利用导数的几何意义得到切线方程，比较得出在上轴截距的大小，写出的表达式，最后通过构造函数求得其最大值.
22．
【分析】利用导数求出在上的最小值和在上的最大值，由题意，列式求解即可.
【详解】因为，，所以，
所以时，，时，，
即在上单调递减，在上单调递增，所以，
因为，，所以，
所以时，，时，，
即在上单调递减，在上单调递增，又，，
所以，
对于，都有，则，
所以，即.
故答案为：
23．
【分析】构造函数，判断单调性及奇偶性，去掉函数符号，转化为恒成立,分离参数求最值即可求解.
【详解】定义在上的函数关于轴对称，函数为上的偶函数．
令，则g(−x)=−g(x),为奇函数．
．
当时，不等式．
，在单调递增．
函数在上单调递增．
对，不等式恒成立，
,
即
．
当时，，
则，
则；；
故在0,1单调递减，在1,+∞单调递增；
可得时，函数取得极小值即最小值，
．
当时，，则，则
则的取值范围是.
故答案为：.
24．
【分析】设，可得，根据题意，转化为在单调递增，得到在上恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，即可求解.
【详解】因为，设，可得，
因为，且，恒有，
即在上恒成立，
可得函数在单调递增，
即在上恒成立，即在上恒成立，
设，可得，
当时，可得，单调递增；
当时，可得，单调递减，
所以，当时，函数取得最大值，最大值为，
所以，故实数的取值范围.
故答案为：.
25．
【分析】将问题转化为，其中利用导数求解函数的单调性，进而可得，即可求解.
【详解】由于x∈0,+∞，故由得，
记
记，由于均为单调递增且恒为正，
故为单调递增函数，
由于，，
所以存在唯一的，使得，，
当单调递增，当单调递减，
故当时，取极小值也是最小值，
且，
故，
故，
故答案为：