专题04 利用导数解决恒成立、能成立问题-2022年高考数学高分突破冲刺练（全国通用）

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专题04  利用导数解决恒成立、能成立问题一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”.已知在上为“凸函数”，则实数p的取值范围是（    ）A． B． C． D．【解析】∵，∴，∴，∵在上为“凸函数”，∴在上恒成立，即在上恒成立，令，，∴，∴在上单调递增，∴，∴，即，故选：C.2．已知为自然对数的底数，不等式对任意的恒成立，则的最大值为（    ）A． B． C． D．【解析】由题得对任意的恒成立，设，所以，当时，，所以函数在R上单调递增，此时函数没有最小值，不符合题意.当时，函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，所以，所以，所以函数在单调递增，在单调递减.所以，所以的最大值为.故选：B3．已知函数，若时，，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【解析】当，时，有在上恒成立，令，则令，则在上恒成立，由，所以在上有一根，设，即，则在上成立，在上成立，所以函数在上递增，在上递减，故，又由可得，即，则，所以，所以.故选：B.4．设、，若关于的不等式在上恒成立，则的最小值是（    ）A． B． C． D．【解析】令，则对任意的恒成立，所以，.①     当时，，函数在上单调递增，函数无最大值，不合乎题意；②当时，令，可得.当时，，此时函数单调递增，当时，，此时函数单调递减，所以，，即，，设，令，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增.所以，，因此，的最小值是.故选：C.5．已知函数，当时，恒有成立，则实数的取值范围（    ）A． B． C． D．【解析】由解析式可得是奇函数，，在R上为减函数，由得，，即在恒成立，令，则，设，则，在单调递减，，，即.故选：A.6．已知两个实数、满足，在上均恒成立，记、的最大值分别为、，那么（    ）A． B． C． D．【解析】设，该函数的定义域为，则.当时，，此时，函数单调递减；当时，，此时，函数单调递增.所以，，即，令，则函数在上为增函数，且，，所以，存在使得，令，其中，.当时，，此时函数单调递减；当时，，此时函数单调递增.所以，，又，所以，存在使得.，当且仅当时，等号成立；，当且仅当时，等号成立.所以，，即．故选：B.7．设函数.若不等式对恒成立，则的最大值为（     ）A． B． C． D．【解析】由不等式对恒成立，即为，即对恒成立，设，由，可得在上递增，且，当时，；，，作出的图象，再设，可得表示过，斜率为的一条射线（不含端点），要求的最大值，且满足不等式恒成立，可得的最大值，由于点在轴上移动，只需找到合适的，且切于点，如图所示：此时，即的最大值为.故选：D8．设函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【解析】当时，由，，令，.当或时，；当时，.所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.函数的极大值为，极小值为，且，，，如下图所示：设，若存在唯一的正整数使得，即，可得，即，解得.因此，实数的取值范围是.故选：C.9．设函数，其中，若有且仅有一个整数n，使得，则m的取值范围是（    ）A． B． C． D．【解析】函数，其中，设，，∵有且仅有一个整数n，使得，∴有且仅有一个整数n，使得在直线的下方，∵，∴当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增；∴当时，，当时，，当时，，直线恒过，斜率为，故，且，解得，∴的取值范围是：，故选：D.10．设是正实数，若存在，使成立，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．【解析】据题意 即，，，，令 即当 时单调递增，当时 单调递减,若即时，在上单调递减。 所以 满足题意，若当 即时，在上先减后增。。令得，即,即满足题意。综上所述，的取值范围为，故选：A.11．已知函数，若对于，恒成立，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【解析】因为对于，恒成立，所以当时，恒成立，令，则，当时，，当时，，所以当时，取得最大值，所以，当时，恒成立，因为时，，所以，当时，恒成立，所以，当时，等价于恒成立，所以综上：k的取值范围是，故选：A12．设，已知函数，对于任意，都有，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．【解析】设，则，当或时，递增；当时，递减；当时，，所以在上递减；所以在上递减；所以因为任意，都有，所以，即，即，解得或，又，所以实数的取值范围为，故选：B二．填空题13．已知函数，若恒成立，则正实数的取值范围是______.【解析】∵，∴在时，，在时，，，若，则，单调递减，成立，，，∴，若，则当时，，递减，时，，递增，因此时，，所以，显然成立，∴．综上的取值范围是．14．若存在一个实数t，使得成立，则称t为函数的一个不动点.设函数(，e为自然对数的底数)，定义在R上的连续函数满足，且当时，.若存在，且为函数的一个不动点，则实数a的取值范围为___________.【解析】由，知，令，则，即为奇函数，当时，，故，所以在上单调递减，所以由奇函数的对称性可知，在上单调递减.因为存在，即，则 故，则，即.因为为函数一个不动点，所以在时有解，令，因为当时，，所以函数在时单调递减，且时，，所以只需，得.15．已知函数，若对任意两个不同的，，都有成立，则实数的取值范围是________________【解析】,当时，，所以，所以在单调递减，不妨设，则，，所以等价于，即，设，则，所以在单调递增，对于恒成立，所以，可得对于恒成立，设，只需，，当时，单调递增，当时，，单调递减，所以，所以，故答案为：16．设函数，若曲线上存在点，使得成立，则实数a的取值范围是___________.【解析】因为在曲线上，，∴.由于在定义域内是增函数，所以若，则，与矛盾，若，则，与矛盾，所以，则问题转化为在内有解，即方程在内有解，得方程在内有解，令，则，∴时，，即在上单调递增，所以.故答案为：三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知函数，．（1）求函数的单调区间．（2）若，对都有成立，求实数的取值范围．【解析】（1），所以，当时，，在上单调递增．当时，由得；由得；由得．综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）若，则．对都有成立，等价于对都 ，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，所以的最大值为，，，函数在上是增函数，，所以，解得，又，所以 .18．已知函数，其中e是自然对数的底数．（1）设直线是曲线的一条切线，求的值；（2）若，使得对恒成立，求实数的取值范围．【解析】（1）设切点为，其中，有，且得，所以，易解得：，则；（2）记，有，当，恒成立，则函数在上递增，无最小值，不符合题意；当时，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以在处取得最小值，，则有，记，有，易知在单调递增，在单调递减，则，所以，得.19．已知函数.（1）当时，函数的极小值为5，求正数b的值；（2）若，，且当时，不等式在区间上有解，求实数a的取值范围.【解析】（1）函数的定义域为.当时，，则，，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以函数的极小值为，∴.（2）当时，，，则.①当，即时，，所以在上单调递增，所以；②当，即时，设的两根分别为，，则，，∴，，所以在区间上，，所以在上单调递增，所以.综上，当时，在区间上的最大值为，∴，所以实数a的取值范围是.20．已知函数.（1）若恒成立，求实数的值；（2）若关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围.【解析】（1），， 又，故是的极大值点，所以，；另一方面，当时，，，在区间单调递减，故在单调递增，单调递减，所以，恒成立（2）当时，，，  当时，，在区间单调递减，又，故在区间有唯一实根，① 若，， 当时，，在区间单调递减，故在区间至多有一个实根，不符合题意，② 若，令，（）是方程的两不同实根，则，则故在区间，上单调递减，在区间上单调递增. （），，，，同理可证.取，.取，，.故在，，各存在一个零点，实数的取值范围是.21．已知函数．（1）讨论函数在区间上的最小值；（2）当时，求证：对任意，恒有成立．【解析】（1）解：函数的定义域是，． ①当时，，则，则函数在上单调递减，即函数在区间上单调递减，故函数在区间上的最小值为． ②当时，令，得；令，得；故函数在上单调递减，在上单调递增．（i）当，即时，函数在区间上单调递增，故函数在区间上的最小值为； （ii）当，即时，函数在区间上单调递减，故函数在区间上的最小值为； （iii）当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，此时函数在区间上的最小值为． 综上，当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为． （2）证明：当时，，要证，即证，因为，所以两边同时乘x，得，即证． 当时，，而，所以成立，即成立．当时，令，则． 设，，则因为．因为，所以，所以当时，单调递增， 所以，即，所以在上单调递增，所以，即成立． 综上，对任意，恒有成立．22．已知函数，其中.（1）若在区间上单调递减，求的取值范围；（2）若不等式对恒成立，证明：.【解析】（1）函数，其中，，.令得.令，解得.（2）函数，其中，，.令得，当时，，是增函数：当时，，是减函数，.所以当时，既是极大值也是最大值，.令，所以成立.记，，，当时，是增函数，，，所以存在使.当时，，是减函数：当时，，是增函数，所以当时，既是极小值也是最小值，.又，所以，则成立，当时，是减函数，所以，则，所以.