新高考数学二轮复习导数培优专题12 利用导数研究不等式恒成立问题（含解析）

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专题12 利用导数研究不等式恒成立问题

(1)构造函数分类讨论：遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般采用作差法，构造“左减右”的函数h(x)＝f(x)－g(x) 或“右减左”的函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0，将比较法的思想融入函数中，转化为求解函数最值的问题，适用范围较广，但是往往需要对参数进行分类讨论．
(2)分离函数法：分离参数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式v(x)的不等式后，应用数形结合思想把不等式恒成立问题转化为水平直线y＝a与函数y＝v(x)图象的交点个数问题来解决．　　

(1)∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)＞g(x2)，等价于函数f(x)在D1上的最小值大于g(x)在D2上的最小值
即f(x)min＞g(x)min(这里假设f(x)min，g(x)min存在)．其等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)的任意一个函数值大于函数y＝g(x)的某一个函数值，但并不要求大于函数y＝g(x)的所有函数值．
(2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)＜g(x2)，等价于函数f(x)在D1上的最大值小于函数g(x)在D2上的最大值(这里假设f(x)max，g(x)max存在)．其等价转化的基本思想是：函数y＝f(x)的任意一个函数值小于函数y＝g(x)的某一个函数值，但并不要求小于函数y＝g(x)的所有函数值．　　

典例1.已知函数f(x)＝ax＋ln x＋1，若对任意的x＞0，f(x)≤xe2x恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】法一：构造函数法
设g(x)＝xe2x－ax－ln x－1(x＞0)，对任意的x＞0，f(x)≤xe2x恒成立，
等价于g(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立，则只需g(x)min≥0即可．因为g′(x)＝(2x＋1)e2x－a－，
令h(x)＝(2x＋1)e2x－a－(x＞0)，则h′(x)＝4(x＋1)e2x＋＞0，
所以h(x)＝g′(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为当x―→0时，h(x)―→－∞，当x―→＋∞时，h(x)―→＋∞，
所以h(x)＝g′(x)在(0，＋∞)上存在唯一的零点x0，满足(2x0＋1)e2x0－a－＝0，
所以a＝(2x0＋1)e2x0－，且g(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
所以g(x)min＝g(x0)＝x0e2x0－ax0－ln x0－1＝－2xe2x0－ln x0，
则由g(x)min≥0，得2xe2x0＋ln x0≤0，此时0＜x0＜1，e2x0≤－，
所以2x0＋ln(2x0)≤ln(－ln x0)＋(－ln x0)，设S(x)＝x＋ln x(x＞0)，则S′(x)＝1＋＞0，
所以函数S(x)在(0，＋∞)上单调递增，因为S(2x0)≤S(－ln x0)，所以2x0≤－ln x0即e2x0≤，
所以a＝(2x0＋1)e2x0－≤(2x0＋1)·－＝2，所以实数a的取值范围为(－∞，2]．
法二：分离参数法
因为f(x)＝ax＋ln x＋1，所以对任意的x＞0，f(x)≤xe2x恒成立，
等价于a≤e2x－在(0，＋∞)上恒成立．
令m(x)＝e2x－(x＞0)，则只需a≤m(x)min即可，则m′(x)＝，
再令g(x)＝2x2e2x＋ln x(x＞0)，则g′(x)＝4(x2＋x)e2x＋＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为g＝－2ln 2＜0，g(1)＝2e2＞0，所以g(x)有唯一的零点x0，且＜x0＜1，
所以当0＜x＜x0时，m′(x)＜0，当x＞x0时，m′(x)＞0，
所以m(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，因为2xe2x0＋ln x0＝0，
所以ln 2＋2ln x0＋2x0＝ln(－ln x0)，即ln(2x0)＋2x0＝ln(－ln x0)＋(－ln x0)，
设s(x)＝ln x＋x(x＞0)，则s′(x)＝＋1＞0，所以函数s(x)在(0，＋∞)上单调递增，
因为s(2x0)＝s(－ln x0)，所以2x0＝－ln x0，即e2x0＝，
所以m(x)≥m(x0)＝e2x0－＝－－＝2，则有a≤2，
所以实数a的取值范围为(－∞，2]．
典例2.设函数f(x)＝ln x＋，k∈R.
(1)若曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线与直线x－2＝0垂直，求f(x)的单调性和极小值(其中e为自然对数的底数)；
(2)若对任意的x1＞x2＞0，f(x1)－f(x2)＜x1－x2恒成立，求k的取值范围．
【解析】(1)由条件得f′(x)＝－(x＞0)，∵曲线y＝f(x)在点(e，f(e))处的切线与直线x－2＝0垂直，
∴f′(e)＝0，即－＝0，得k＝e，∴f′(x)＝－＝(x＞0)，
由f′(x)＜0得0＜x＜e，由f′(x)＞0得x＞e，∴f(x)在(0，e)上单调递减，在(e，＋∞)上单调递增．
当x＝e时，f(x)取得极小值，且f(e)＝ln e＋＝2.∴f(x)的极小值为2.
(2)由题意知，对任意的x1＞x2＞0，f(x1)－x1＜f(x2)－x2恒成立，
设h(x)＝f(x)－x＝ln x＋－x(x＞0)，则h(x)在(0，＋∞)上单调递减，
∴h′(x)＝－－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，
即当x＞0时，k≥－x2＋x＝－2＋恒成立，∴k≥.故k的取值范围是.
典例3.已知函数f(x)＝x3＋x2＋ax.
(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上单调递增，求实数a的最小值；
(2)若函数g(x)＝，对∀x1∈，∃x2∈，使f′(x1)≤g(x2)成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)由题设知f′(x)＝x2＋2x＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，
即a≥－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上恒成立，
而函数y＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)单调递减，则ymax＝－3，∴a≥－3，∴a的最小值为－3.
(2)“对∀x1∈，∃x2∈，
使f′(x1)≤g(x2)成立”等价于“当x∈时，f′(x)max≤g(x)max”．
∵f′(x)＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在上单调递增，∴f′(x)max＝f′(2)＝8＋a.
而g′(x)＝，由g′(x)＞0，得x＜1，由g′(x)＜0，得x＞1，
∴g(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
∴当x∈时，g(x)max＝g(1)＝.由8＋a≤，得a≤－8，
∴实数a的取值范围为.
典例4.已知函数f(x)＝，g(x)＝－x3＋(a＋1)x2－3ax－1，其中a为常数．
(1)当a＝1时，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程；
(2)若a＜0，对于任意的x1∈[1,2]，总存在x2∈[1,2]，使得f(x1)＝g(x2)，求实数a的取值范围．
【解析】(1)当a＝1时，g(x)＝－x3＋3x2－3x－1，
所以g′(x)＝－3x2＋6x－3，g′(0)＝－3，又因为g(0)＝－1，
所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y＋1＝－3x，即3x＋y＋1＝0.
(2)f(x)＝＝＝3－，当x∈[1,2]时，∈，
所以－∈[－3，－2]，所以3－∈[0,1]，故f(x)在[1,2]上的值域为[0,1]．
由g(x)＝－x3＋(a＋1)x2－3ax－1，可得g′(x)＝－3x2＋3(a＋1)x－3a＝－3(x－1)(x－a)．
因为a＜0，所以当x∈[1,2]时，g′(x)＜0，所以g(x)在[1,2]上单调递减，
故当x∈[1,2]时，g(x)max＝g(1)＝－1＋(a＋1)－3a－1＝－a－，
g(x)min＝g(2)＝－8＋6(a＋1)－6a－1＝－3，即g(x)在[1,2]上的值域为.
因为对于任意的x1∈[1,2] ，总存在x2∈[1,2]，使得f(x1)＝g(x2)，
所以[0,1]⊆，所以－a－≥1，解得a≤－1，故a的取值范围为(－∞，－1]．
专项突破练
一、单选题
1．若不等式对任意实数x都成立，则实数a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】,
当时，，当时，，
的递减区间是，递增区间是，
所以取得极小值，也是最小值，，
不等式对任意实数x都成立，所以.故选:D.
2．已知函数，对都有成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】函数,对都有,
当时,即,即为，可化为
令,则
当时,,单调递减.因此，所以
故实数的取值范围是，故选B
3．已知函数，，若，恒成立，则实数k的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【解析】，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以在上的最大值是．，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在上的最小值是，
若，，恒成立，则，即，
所以，所以实数k的取值范围是．故选:D．
4．已知不等式对任意恒成立，则实数a的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【解析】设，则，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
，，
不等式对任意恒成立可转化为对任意时，
所以，解得.故选：C.
5．若关于的不等式，对恒成立，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】因为不等式，对恒成立，
当时，显然成立，
当，恒成立，令，则，
令，则在上成立，
所以在上递减，则，所以在上成立，
所以在上递减，所以，所以，故选：A
6．若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【解析】依题意，，
则（*）．
令，则（*）式即为．
又在上恒成立，故只需在上单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立，解得．故选：D.
7．已知函数，若对恒成立，则实数的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【解析】由题意，函数的定义域为，其满足，
所以函数为奇函数，且，所以函数为上的增函数，
若对恒成立，则对恒成立，
即对恒成立，即对恒成立，
设，可得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在单调递减，
所以，所以，即实数的取值范围为.故选：A.
8．已知不等式恒成立，则a的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【解析】由题设，可知：，问题转化为在上恒成立，
令，则，当时，即递增；
当时，即递减；所以，故.故选：B
9．若函数，g(x)=对任意的，不等式恒成立，则整数m的最小值为（       ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
【解析】因为单调递增，，所以，即，
原不等式恒成立可化为恒成立，
即时，恒成立，
即函数在上为增函数，
所以在上恒成立，
即，令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
故当时，函数的最大值为，
即恒成立，由知，整数m的最小值为2.故选：A


二、多选题
10．已知函数，满足对任意的，恒成立，则实数a的取值可以是（       ）
A． B． C． D．
【解析】因为函数，满足对任意的，恒成立，
当时，恒成立，即恒成立，
因为，当且仅当，即时取等号，所以.
当时，恒成立.
当时，恒成立，即恒成立，
设，，
，，为减函数，，，为增函数，
所以，所以，综上所述：.故选：ABC
11．设函数，若恒成立，则实数的可能取值是（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】，令，得，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增.
所以时，函数取得最小值，因为恒成立，
所以恒成立，且，可得实数的所有可能取值1，2，3，故选：ABC.
12．已知函数，，若，不等式恒成立，则正数的取值可以是（       ）
A． B． C． D．
【解析】因为，所以在上单调递增，
所以对，；
，所以 ，
当时， ；当时， ，
函数在上单调递增，在上单调递减，∴；
因为，任意，不等式恒成立，
即，整理得，
解得或，所以正数的取值范围为；
6e与均在区间内，与均不在区间内；故选：AB．
13．已知，若不等式在上恒成立，则a的值可以为（       ）
A． B． C．1 D．
【解析】设，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，∴，∴．
又在上恒成立，所以在上单调递增，
所以对恒成立，即恒成立．
令，当时，，故，
∴，解得或，所以a的值可以为，，故选：AD.
三、填空题
14．已知函数，若恒成立，则的取值范围是________．
【解析】由，得，
又函数的定义域为，令，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增；
故是函数的极小值点，也是最小值点，且，
要使恒成立，需，则.
15．当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______．
【解析】根据题意，当时，分离参数，得恒成立．
令，∴时，恒成立．
令，则，
当时，，∴函数在上是减函数．
则，∴．∴实数的取值范围是．
16．已知函数，，如果对任意的，，都有成立，则实数a的取值范围是_________．
【解析】由，可得，
当，，所以在单调递减，，
，在上单调递增，，
对任意的，都有成立，，
17．已知不等式对一切正数x都成立.则实数m的取值范围是___________.
【解析】设，则，
故对一切正数x都成立，，
故在上单调递增，，恒成立，
由，在上恒大于零，
所以在上单调递增，所以，
在上恒成立，，，.


四、解答题
18．设，其中．
（1）若有极值，求的取值范围；
（2）若当，恒成立，求的取值范围．
【解析】（1）由题意可知：，且有极值，
则有两个不同的实数根，故，
解得：，即．
（2）由于，恒成立，则，即，
由于，则
①当时，在处取得极大值、在处取得极小值，
当时，为增函数，因为，所以恒大于，
当时，，解得：；
②当时，，即在上单调递增，且，
则恒成立；
③当时，在处取得极大值、在处取得极小值，
当时，为增函数，因为，所以恒大于，
当时，，解得，
综上所述，的取值范围是．
19．已知函数，其中.
(1)求函数的单调区间；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.
【解析】(1)函数的定义域为，
①当时，令，可得，此时函数的增区间为，减区间为
②当时，令，可得，此时函数的增区间为，减区间为
综上所述：当时，函数的增区间为，减区间为；
当时，函数的增区间为，减区间为
(2)在恒成立，则在恒成立，
即在恒成立。令，
，令，，，
，，则在上恒成立，
在上单调递增，
在单调递增，
在恒成立，则
的范围是.
20．已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若对一切恒成立，求m的取值范围．
【解析】(1)∵，∴，
由得或，
且当或时，，当时，，
∴的单调增区间为和，单调减区间为
(2)依题意可得在上恒成立，
令，则，
令，易知在上单调递增，
∵，∴，又∵，
∴，使得，即有，
且在上单调递减，在上单调递增，
∴，∴，
即m的取值范围为．
21．已知函数.
(1)求的图象在处的切线方程；
(2)当时，恒成立，求的取值范围.
【解析】(1)函数，切点为，
，∴，
∴的图象在处的切线方程为：，即.
(2)令，.
，设，，
∵，∴，在上单调递增，
即在上单调递增，，
当时，，∴在上单调递增，∴，
∴当时，恒成立.当时，，
∵函数在上存在唯一的零点，
∴函数在区间上单调递减，，不符合题意，舍去.
综上可得：的取值范围是.
22．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若对任意的，都有成立，求的取值范围．
【解析】（1）由已知定义域为，
当，即时，恒成立，则在上单调递增；
当，即时，（舍）或，
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以时，在上单调递增；
时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）可知，当时，在上单调递增，若对任意的恒成立，只需，而恒成立，所以成立；
当时，若，即，则在上单调递增，又，所以成立；
若，则在上单调递减，在上单调递增，又，所以，，不满足对任意的恒成立.
所以综上所述：.
23．已知函数的图像在点处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）当时，证明：对恒成立.
【解析】（1）因为，所以，解得，
则，解得.
（2）证明：因为，所以要证对恒成立，
只需证对恒成立.
设函数（），
则.
因为，所以，所以在上单调递减，从而，
则对恒成立，故当时，对恒成立.
24．已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若在处取得极值，对任意恒成立，求实数的取值范围．
【解析】(1)因为，所以，
当时，，在上单调递减，
当时，由可得，由可得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
综上：当时， 在上单调递减，
当时， 在上单调递减，在上单调递增，
(2)因为在处取得极值，所以结合（1）可得，即，
所以，所以由可得，
令，则，
当时，，即，单调递减，
当时，，即，单调递增，
所以.所以实数的取值范围是.
25．已知函数．
(1)当a＝1时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若，且在上恒成立，求a的取值范围．
【解析】(1)当时，，
∴，，∴切线方程为
即；
(2)函数在恒成立，
当时，恒成立，，
当时，可化为，令，
则，
令，则，
当时，，∴
当时，，
当时，，∴h（x）在上是增函数；
当时，，∴在上是减函数；
∴，∴
即a的取值范围是
26．已知函数．
(1)证明：；
(2)当时，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)令，．
令，令．所以在单增，在单减，
所以的最小值为，所以成立．
(2)由题得在上恒成立，
即，恒成立．因为，
①若，，在上单调递增，，符合题意；
②若，令，，
则，所以在单调递增，且
（i）若，，在上单调递增，，符合题意；
（ii）若，，
当时，，则，
取，则，
则存在，使得当时，，单调递减，
此时，不合题意．综上，．
27．已知函数．
(1)当时，直线与曲线相切，求实数k的值；
(2)当时，，求a的取值范围．
【解析】(1)
设切点为，由得出
令
则函数在上单调递增，且
故方程的根为，
(2)由得出，即
，令，则
，则函数为增函数，，即
令，则
当时，，此时函数单调递减
当，，此时函数单调递增
，即，解得
故a的取值范围为.
28．已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1)当时，，所以，
可知在R上单调递增，且，
所以当时，单调递减；
当时，单调递增．
即的单调递减区间为，单调递增区间为．
(2)由题得对任意恒成立，所以，
当时，则，原不等式成立，则；
当时，则，令，其中，
则，
当时，单调递减；
当时，单调递增；
当时，单调递减；
当时，单调递增．
所以，
所以，所以只需，解得，
综上，实数a的取值范围是．
29．设函数.
(1)时，求在区间上的最大值与最小值.
(2)时，有两个不同的极值点，，且对不等式恒成立，求实数的取值范围？
【解析】(1)时，，
由解得：或，由解得：
所以在区间，上单调递增，在单调递减.
又，，
故在区间上的最大值是，最小值是0
(2)因，故得不等式.
即.
由于.令得方程.
，，，
代入有，
即，化简得，因为，解不等式得.
因此，实数的取值范围是
30．已知函数，，为自然对数的底数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围．
【解析】(1)，
①当时，，在上单调递减．
②当时，令，得，
当时，单调递增；
当时，，单调递减．
(2)当时，恒成立，
即在时恒成立，
令，则，
令，则，
易知在上单调减函数，
∴，∴在上单调递减，∴．
①当，即，，
∴在上单调递减，此时，符合题意；
②当，即时，，时，，
∴使得，则时，，单调递增，
∴，不符合题意．
综上所述，．
31．已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若在上恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】(1)的定义域是，.
当时，恒成立，所以在上单调递增；
当时，令，解得或（舍），
令，解得，令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减.
(2)若在上恒成立，即在上恒成立.
令，，
则.
当时，，，不符合题意；
当时，在上恒成立，所以在上单调递减，又，
所以，不符合题意；
当时，若，即，在上恒成立，所以在上单调递增，又，所以在上恒成立，符合题意.
若，即，令，解得，令，解得，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，不符合题意；
若，即，在上恒成立，所以在上单调递减，又，
所以，不符合题意.综上所述，实数a的取值范围是.
32．已知函数．
(1)若在上仅有一个零点，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围．
【解析】(1) ，，
当时，恒成立，所以在上单调递增．
又，，
所以此时在上仅有一个零点，符合题意；
当时，令，解得；令，解得，
所以在上单调递增，所以在上单调递减．
要使在上仅有一个零点，则必有，解得．
综上，当或时，在上仅有一个零点．
(2)因为，所以对任意的，恒成立，
等价于在上恒成立．
令，则只需即可，则，
再令，则，
所以在上单调递增．
因为，，所以有唯一的零点，且，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增．
因为，所以，
设，则，所以函数在上单调递增．
因为，所以，即．
所以，
则有．所以实数a的取值范围为．
33．已知函数，函数．
(1)求函数的单调区间．
(2)时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【解析】(1)，令，则，当且仅当，时等号成立，∴在上单调递增，即在上单调递增．
∵，∴时，，时，，
∴的单调递增区间为，单调递减区间为．
(2)时，恒成立，
，，
，
时，，∴在上单调递增，
∵，若，时，，∴在上单调递增，
∴时，，∴在上单调递增，
∴时，恒成立；
若，∵，∴，∴，
，，
∴在有唯一解，设为，且，
当时，，∴在上单调递减，
∴时，，∴在上单调递减，
∴与恒成立矛盾，舍去．
综上，实数的取值范围是．
34．已知函数（其中，e为自然对数的底数）．
(1)当时，讨论函数f（x）的单调性；
(2)当时，，求a的取值范围．
【解析】(1)由可得，
由得，，，∵∴，
由可得：或；令可得：
此时f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为；
(2)法1由，
可得对恒成立，
即对任意的恒成立，
令，
则，
令，则，
则在上单调递增，又，，
故在上有唯一的实根，不妨设该实根为，
故当时，，，g（x）单调递增；
当时，，，单调递减，
故，又因为．
所以，，，
所以，故a的取值范围为．
法2由，可得对x>1恒成立，
即对任意的x>1恒成立，
令，则
∵，∴，∴在上单调递增，且
∴对任意的恒成立
令，则令，解得：
故当时，，g（t）单调递增；
当时，，单调递减；
故，故a的取值范围为
35．已知函数．
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若恒成立，求实数m的取值范围．
【解析】(1)当时，，
所以，，．
所以曲线在处的切线方程为，
整理得．
(2)由已知得，在上恒成立，
即在上恒成立．令，，
则，令，则，
所以在上单调递增，又因为，，
所以，使得，
当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
所以，
由得，，
所以，
故，即的取值范围为．