专题19 利用导数解决函数的恒成立问题(解析版)

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专题19 利用导数解决函数的恒成立问题
【知识总结】
不等式恒成立问题的求解策略
1．已知不等式f(x，λ)≥0(λ为实参数)对任意的x∈D恒成立，求参数λ的取值范围。利用导数解决此类问题可以运用分离参数法。
2．如果无法分离参数，可以考虑对参数或自变量进行分类讨论求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑二次项系数与判别式的方法(a>0，Δ<0或a<0，Δ<0)求解。
【例题讲解】
【例1】已知函数f(x)＝－lnx＋t(x－1)，t为实数。
(1)当t＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若当t＝时，－－f(x)<0在(1，＋∞)上恒成立，求实数k的取值范围。
解　(1)当t＝1时，f(x)＝－lnx＋x－1，x>0，
所以f′(x)＝－＋1＝。
由f′(x)<0可得0 由f′(x)>0可得x>1，
所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，＋∞)。
(2)当t＝时，f(x)＝－lnx＋－，－－f(x)＝－－＝lnx－＋，
当x>1时，－－f(x)<0恒成立，等价于k<－xlnx在(1，＋∞)上恒成立。
令g(x)＝－xlnx，
则g′(x)＝x－(lnx＋1)＝x－1－lnx。
令h(x)＝x－1－lnx，
则h′(x)＝1－＝。
当x>1时，h′(x)>0，函数h(x)＝x－1－lnx在(1，＋∞)上单调递增，故h(x)>h(1)＝0，
从而当x>1时，g′(x)>g′(1)＝0，即函数g(x)在(1，＋∞)上单调递增，故g(x)>g(1)＝，
因此当x>1时，若使k<－xlnx恒成立，必须k≤。
所以实数k的取值范围是。
【变式训练】)已知函数f(x)＝lnx－(a∈R)。
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)求证：不等式(x＋1)lnx>2(x－1)对∀x∈(1,2)恒成立。
解　(1)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝。
①a≤0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上为增函数；
②a>0时，由x>a时，f′(x)>0,0 故f(x)在(a，＋∞)上为增函数，在(0，a)上为减函数。
(2)证明：因为x∈(1,2)，
所以x＋1>0，所以要证原不等式成立，
即证lnx>对∀x∈(1,2)恒成立，
令g(x)＝lnx－，g′(x)＝≥0，
所以g(x)在(0，＋∞)上为增函数，
所以当x∈(1,2)时，g(x)>g(1)＝ln1－＝0，
所以lnx>对∀x∈(1,2)恒成立，
所以(x＋1)lnx>2(x－1)对∀x∈(1,2)恒成立。
【一题多解】
证明：令F(x)＝(x＋1)lnx－2(x－1)，
F′(x)＝lnx＋－2，
＝lnx－。
令φ(x)＝lnx－，由(1)知a＝1时，
φ(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数。
因为x∈(1,2)，则φ(x)在(1,2)为增函数，φ(x)>φ(1)＝0，
即x∈(1,2)，F′(x)>0，所以F(x)在(1,2)上为增函数，
所以F(x)>F(1)＝0，
所以(x＋1)lnx>2(x－1)对∀x∈(1,2)恒成立。
【例题训练】
一、单选题
1．已知，为实数，不等式恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】
不等式恒成立，设，即恒成立，求出，分析得出函数的单调区间，求出函数的最大值，从而可得,即，设，求出的最小值即可得出答案.
【详解】
设，则恒成立等价于成立，
显然时不合题意．当时，，
∴当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，
∴，∴，
令，则，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
∴，∴，，此时，．
故选：B
【点睛】
关键点睛：本题考查利用导数解决范围问题，求解本题的关键有两点：一是对问题进行等价转化，即设，恒成立等价于成立初步判断出的取值范围；二是求出之后，构造函数，利用导数求函数的最小值，进而求得的最小值．属于难题.
2．已知函数，且，当时，恒成立，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由，可得，从而，从而当时，恒成立，构造函数，可得，结合时，取得最大值1，从而的最大值为，只需即可.
【详解】
由题意，，解得，则，
则当时，，即恒成立，
令，则，
当时，，时，，
所以在上是减函数，在是增函数，，
又因为当时，取得最大值1，
所以当时，取得最大值，
所以.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为，进而求出的最大值，令其小于即可.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.
3．已知函数（，且），对任意，不等式恒成立，则实数a的最小值是（ ）
A． B．e C．3 D．2
【答案】A
【分析】
由导数求得在上单调递增，求得函数的最值，把任意，不等式 恒成立，转化为，进而求得的取值范围，得到最小值.
【详解】
由题意，显然，
因为函数，可得，
又由，可得，
故，函数在上单调递增，
故，
对任意，不等式恒成立，
即，
所以，即，解得，
即实数的最小值为.
故选：A.
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
4．对于正数，定义函数：.若对函数，有恒成立，则（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】B
【分析】
利用导数求出函数的最大值，由函数的定义结合恒成立可知，由此可得出的取值范围，进而可得出合适的选项.
【详解】
对于正数，定义函数：，且恒成立，则.
函数的定义域为，且.
当时，，此时，函数单调递增；
当时，，此时，函数单调递减.
所以，，.
因此，的最小值为.
故选：B.
【点睛】
解决导数中的新定义的问题，要紧扣新定义的本质，将问题转化为导数相关的问题，本题将问题转为不等式恒成立，从而将问题转化为求函数的最大值.
5．已知函数，若任意，，且都有，则实数的取值范围（ ）
A．， B．， C．， D．
【答案】A
【分析】
求出函数的导数，通过讨论的范围，得到关于的不等式，解出即可．
【详解】
表示函数在区间上任意两个不同点连线的斜率都大于，
等价于，时恒成立，
时，，不合题意，
时，只需，
即在，恒成立，
故，
故的范围是，，
故选：A
【点睛】
表示函数在区间上任意两个不同点连线的斜率都大于，由此考虑利用导数进行求解.
6．已知函数，，若对，恒成立，则整数的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】
，问题变形为在上恒成立．设，用导数求出它的最大值，对最大值估计其范围后可得的最小整数值．
【详解】
即为，，
因为，所以，即在上恒成立．
设，则，
令，则在上是增函数，，，
所以在上存在唯一零点，即，，
所以时，，递增，时，，递减，
所以，
所以，又，所以的最小整数值为2．
故选：B．
【点睛】
关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题方法用分离参数法变形为求函数最大值，在求函数最大值时，导函数的零点需要定性分析，估计出范围，利用零点求出函数的最大值，再得出最大值的范围，然后得出所求结论．
7．已知，若对任意正实数，都有，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据条件可变形为，构造函数，利用其为增函数即可求解.
【详解】
根据可知，
令
由知为增函数，
所以恒成立，
分离参数得，
而当时，在时有最大值为，
故.
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题由条件恒成立，转化为恒成立是解题的关键，再根据此式知函数为增函数，考查了推理分析能力，属于中档题.
二、解答题
8．已知函数.
（1）若曲线与直线相切，求的值；
（2）若存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）1；（2）.
【分析】
（1）利用切点和切线的斜率列方程，由此求得的值.
（2）将已知条件转化为存在，使成立，构造函数，利用导数研究的单调性和最值，结合对进行分类讨论，由此求得的取值范围.
【详解】
（1）设切点坐标为，
因为，所以，
又，所以，故，所以.
（2）存在，使成立，
等价于：存在，使成立.
令，，
令，，
当时，，故在单调递增，
所以，
①当时，，故在单调递增，
所以，由已知，即.
②当时，
故存在，使得.此时.
若时，；若时，.
所以，
令，，，
所以在单调递增，所以；
所以，故.
令，，故在单调递增，
所以，故
故不存在，使成立.
综合上述：实数的取值范围是.
【点睛】
解决导数与切线的问题，关键把握住切点和斜率，切点既在切线上，也在原函数图象上.
9．已知函数，，其中，均为实数．
（1）试判断过点能做几条直线与的图象相切，并说明理由；
（2）设，若对任意的，（），恒成立，求的最小值．
【答案】（1）2条，理由见解析；（2）.
【分析】
（1）设切线方程为，切点为，根据导数的几何意义和斜率公式，得到方程所以得，根据方程显然有两个不等的实根，即可作出判定；
（2）把不等式转化为，
进而转化为恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】
（1）设过点与图象相切的直线方程为，切点为，
由函数，可得，
则，
所以得，因为，
此方程显然有两个不等的实根，
所以过点能做2条直线与的图像相切．
（2）当时，，，
因为在恒成立，所以在上为增函数，
设，所以在恒成立，
所以在上为增函数，
设，则等价于，
即，
设，则在为减函数，
∴在上恒成立，∴恒成立．
设，
∵，，
∴，∴，为减函数，
∴在上的最大值为，
∴，∴的最小值为．
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
10．已知函数，其中．
（1）求的极值；
（2）设，当时，关于的不等式在区间上恒成立，求的最小值．
【答案】（1）当时，的极大值为，无极小值；当时，的极大值为，极小值为；（2）.
【分析】
（1）对函数求导，通过分类讨论来判断导函数符号，确定函数的单调性，从而求极值；（2）分离参数，构造函数，将恒成立问题转化为最值问题来处理．
【详解】
解：（1）由题意得的定义域为，
，
当，即时，令，得，则在上单调递增；令，得，则在上单调递减．
所以在处取极大值，且极大值为，无极小值．
若，即，当时，，则在，上单调递减；当时，，则在上单调递增．
所以在处取极小值，且极小值为，在处的极大值，且极大值为．
综上所述，当时，的极大值为，无极小值；当时，的极大值为，极小值为．
（2）由，得，
设，，
则，
当时，．
设，则，所以在上单调递增．
又，，所以存在，使，即，
当时，，，
当时，，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以．
因为函数在区间上单调递增，
所以，
又对任意的恒成立，，所以，
所以的最小值是-3．
【点睛】
方法点睛：
（1）求解不等式恒成立问题时，可以构造函数，将问题转化为函数的单调性与最值问题，再结合题意求解参数的取值范围；
（2）函数的零点存在但不可求时，常虚设零点，利用零点存在定理估计所设零点所在的一个小范围，然后利用零点所满足的关系进行代换求解．
此题围绕函数与导数的关系、函数的极值、不等式恒成立问题等设题，综合考查导数的应用，有助于加深考生对数学知识本质的理解，提高考生思维的层次，考查理性思维、数学探索等学科素养．
11．已知函数．
（1）当时，求的值；
（2）当时，关于x的不等式恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）当时， ，代入可得，即可得解；
（2）由，令，有，，求导可得：

，分类讨论即可得解.
【详解】
（1）当时， ，
；
（2），
令，有，，
求导可得：

，
当时，若，，所以为减函数，
由，此时，与恒成立矛盾；
当时，，即，成立；
当时，，
若，，为增函数，此时，
若，，为增函数，此时，
若，，为减函数，此时，
若，，为减函数，此时，
若要，只要，
解得：，
综上可得：实数a的取值范围为.
【点睛】
本题考查了分式函数求值以及解绝对值不等式，考查了分类讨论思想和较高的计算能力，属于难题.绝对值不等式问题有以下几种方法：
（1）分类讨论去绝对值；
（2）利用绝对值三角不等式；
（3）构造函数，利用导数求单调性求最值.
12．已知函数．
（1）求函数在上的最小值；
（2）若，求实数的值．
【答案】（1）0；（2）．
【分析】
（1）求导研究函数的单调性得在上是增函数，进而可得在上的最小值；
（2）将问题转化为，进而构造函数，求导得，再分，，，四种情况讨论即可得答案.
【详解】
解：（1）因为，
当且仅当时，，
所以在上是增函数，
所以在上的最小值为．
（2）根据题意得：，
设，
则．
①当时，当时，由（1）知，
而，所以不恒成立．
②当时，，当时，，当且仅当时，，
所以在上是减函数，
所以，即不恒成立．
③当时，，
当时，，当且仅当时，，
所以在上是增函数，
所以，即不恒成立.
④当时，，，
当时，，在上是增函数；
当时，，在上是减函数．
所以，即恒成立．
综上所述，实数的值为.
【点睛】
本题考查利用导数求函数的最值，研究不等式恒成立问题，考查综合分析能力与分类讨论思想，是难题.
13．函数.
（1）当时，求的单调区间；
（2）当时，恒成立，求整数的最大值.
【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）2.
【分析】
（1）当时，对函数求导，利用导数判断其单调性即可；
（2）对函数求导，可得，分和两种情况，分别讨论函数的单调性，结合当时，恒成立，可求出答案.
【详解】
（1）当时，，所以.
当时，；当时，.
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.
（2）因为，所以.
①当时，由，可得恒成立，所以单调递增，
所以，而，所以恒成立；
②当时，令，可得；由，可得.
所以在单调递减，在单调递增.
因为恒成立，所以，
即，所以.
设，则，
因为，所以，所以，
故在单调递减.
又因为，，，
所以存在，使得，
且当时，；当时，.
又因为且为整数，所以的最大值为2.
【点睛】
方法点睛：由不等式恒成立求参数的取值范围的方法：
（1）讨论最值法：先构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出含参函数的最值，进而得出相应的含参不等式的参数的范围；
（2）分离参数：先分离参数变量，再构造函数，求出函数最值，从而求出参数的取值范围.
14．已知函数，．
（1）若的最大值是0，求的值；
（2）若对其定义域内任意，恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）1；（2）．
【分析】
（1）根据某点上的切线斜率即为函数在该点的导数，列出点斜式方程即可得出答案.
（2）构造函数，对函数求导后，讨论函数单调性，求出的取值范围.
【详解】
解：（1）∵的定义域，．
若，，在定义域内单调递增，无最大值；
若，，单调递增；，单调递减．
∴时，取得最大值，∴．
（2）原式恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立．
设，则，
设，
则，
所以在上单调递增，且
，．
所以有唯一零点，且，
即．
两边同时取对数得，易知是增函数
∴，即．
由知
在上单调递增，在上单调递减．
∴，
∴，∴
故的取值范围是．
【点睛】
本题主要考查导数的几何意义和函数的极值与最值，属于难题.
思路点睛:本题考查用导函数研究原函数性质的方法，是常见题.不等式恒（能）成立求参数范围的一般方法:
①当时，成立，则；
②当时，成立，则
15．已知函数，且恒成立．
（1）求实数的值；
（2）记，若，且当时，不等式恒成立，求的最大值．
【答案】（1）；（2）3．
【分析】
（1）由条件可得是的极大值点，从而，可得答案.
(2)由条件，根据条件可得对任意的恒成立，令，求出的导函数，得出单调区间，利用函数的隐零点，分析得出答案
【详解】
（1）解：的定义域是，
因为，恒成立 ，所以是的极大值点，
所以，
因为，所以，所以．
（2）依题意得，，，
∴，
因为，所以对任意的恒成立，
令，则，
令，则，
所以函数在上单调递增．
因为，，
所以方程在上存在唯一的实数根，且，
则，
所以， ①
当时，，即；
当时，，即，
所以函数在上单调递减，在上单调递增．
所以，
把①代入得，，，
所以，
故整数的最大值是3．
【点睛】
关键点睛：本题考查根据恒成立求参数的最大整数值，考查函数的隐零点的整体然换的应用，解答本题的关键是由函数在上单调递增，得出在上存在唯一的实数根，且，得出单调性，从而得出，然后将代入，得出，属于难题.
16．已知函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）若对任意恒有不等式成立.
①求实数的值；
②证明：.
【答案】（1）；（2）①1；②证明见解析.
【分析】
（1）求出函数的定义域，对函数求导，令，构造，利用导数研究函数的单调性与实根个数，进而得出的单调性和最值；
（2）①当时，单调递增，值域为，不适合题意；当时，构造，求导得出函数的最大值，可得实数的值；
②由①可知，因此只需证：，只需证，即，按和分别证明即可．
【详解】
（1）法一：
的定义域为，
由题意，
令，得，
令，
，
所以在上为增函数，且，
所以有唯一实根，
即有唯一实根，设为，
即，
所以在上为减函数，在上为增函数，
所以.
法二：
.
设，则.
记.故最小值即为最小值.
，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，
所以的最小值为.
（2）①当时，单调递增，值域为，不适合题意，
当时，由（1）可知，
设，
所以，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，即.
由已知，恒成立，所以，
所以，
所以.
②由①可知，因此只需证：
，
又因为，只需证
，即，
当时，结论成立，
当时，设，
，
当时，显然单调递增.
，故单调递减，
，
即.
综上结论成立.
【点睛】
方法点睛：本题考查导数研究函数的最值，导数解决恒成立问题以及导数证明不等式，导数对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法, 一般通过变量分离，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题：
1.恒成立；
2.恒成立.
17．已知函数.
（1）设，求函数的单调区间；
（2）若，且当时，恒成立，试确定的取值范围.
【答案】（1）的单调递增区间为，，单调递减区间为；（2）.
【分析】
（1）求导函数，判断导函数的符号，可得单调区间.
（2）利用导函数研究在时的最小值，恒成立可以等价转化为，解不等式可得解.
【详解】
（1）当时，，则，由，得或.
当时，；当时，；当时，.
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为.
（2）因为，，
所以当时，；当时，.
所以当时，的最小值为.
由在上恒成立得，解得或.
又，所以.即的取值范围为.