高考数学二轮复习专题专题10二项式定理与杨辉三角问题试题含解析答案

这是一份高考数学二轮复习专题专题10二项式定理与杨辉三角问题试题含解析答案，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知，则下列描述正确的是（ ）
A．
B．除以5所得的余数是1
C．
D．
2．已知，则被3除的余数为（ ）
A．3B．2C．1D．0
3．在的展开式中含项的系数为15，则展开式中二项式系数最大项是第（ ）
A．4项B．5项C．6项D．3项
4．的展开式中常数项为（ ）
A．24B．25C．48D．49
5．在的展开式中，下面关于各项的描述不正确的是（ ）
A．常数项为240B．含的项的二项式系数为15
C．各项的二项式系数和为64D．第四项为60
6．已知，则（ ）
A．
B．此二项展开式系数最大的项为第4项
C．此二项展开式的二项式系数和为32
D．
7．令，则当时，a除以15所得余数为（ ）
A．4B．1C．2D．0
8．在的展开式中，下列说法错误的是（ ）
A．二项式系数之和为64B．各项系数之和为
C．二项式系数最大的项为D．常数项为
9．已知，则（ ）
A．B．14C．D．7
10．的展开式中项的系数为（ ）
A．112B．136C．184D．256
11．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，法国数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律.“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示.则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．
B．在第2022行中第1011个数最大
C．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于9行的第8个数
D．第34行中第15个数与第16个数之比为2：3
12．已知为满足能被整除的正整数的最小值，则的展开式中，系数最大的项为（ ）
A．第6项B．第7项C．第11项D．第6项和第7项
二、多选题
13．在的展开式中，各奇数项的二项式系数之和为32，则（ ）
A．常数项为B．
C．项的系数为40D．项的系数为
14．已知(，a为正常数)的展开式中各项系数的和为729，二项式系数的和为64，则（ ）
A．B．展开式中无理项有3项
C．展开式中系数最大的项是第4项D．展开式中常数项为第5项
15．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现．如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题中正确的是（ ）
A．由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和”猜想
B．由“第n行所有数之和为2n”猜想：
C．第20行中，第10个数最大
D．第15行中，第7个数与第8个数的比为7：8
16．已知的展开式中共有7项，则下列选项正确的有（ ）
A．所有项的二项式系数和为64B．所有项的系数和为1
C．系数最大的项为第4项D．有理项共4项
17．在二项式的展开式中，下列说法正确的是（ ）
A．奇数项的二项式系数和为64B．第6项和第7项二项式系数相等
C．第4项系数为280D．系数最大的是第6项
18．若,则下列正确的是（ ）
A．B．
C．D．
19．若，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
20．对于式子，以下判断正确的有（ ）
A．存在，使得展开式中没有常数项B．对任意，展开式中有常数项
C．存在，使得展开式中有的一次项D．对任意，展开式中没有的一次项
21．下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．精确到0.01的近似值为0.85
D．除以15的余数为3
22．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列．从第1行开始，第行从左至右的数字之和记为，如的前项和记为，则下列说法正确的有（ ）

A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数字是84
B．在“杨辉三角”中，从第1行起到第12行，每一行从左到右的第2个数字之和为78
C．
D．的前项和为
三、填空题
23．已知的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，且常数项与展开式中的常数项相等，则 ， .
24．在的展开式中常数项等于 .
25．组合数被9除的余数是 ．
26．杨辉三角是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一. 如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，则在第11条斜线上，最大的数是 .
27．已知的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，以下结论，正确结论的序号为
①展开式中奇数项的二项式系数和为256
②展开式中第6项的系数最大
③展开式中存在常数项
④展开式中含项的系数为45
参考答案：
1．B
【分析】利用赋值法即可判断ACD，根据二项式展开式的通项即可求解B.
【详解】，
令，可得，再令，可得，
,故A错误．
由于，即展开式各项系数和系数和，
故，，故C错误．
由题意，，
显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故B正确．
因为，
所以，
所以，故D错误．
故选：B．
2．D
【分析】先对二项展开式中的进行赋值，得出，再将看作进行展开，再利用二项展开式特点分析即得.
【详解】令，得，令，得，
两式相减，，
因为，
其中被3整除，所以被3除的余数为1，
综上，能被3整除．
故选：D.
3．A
【分析】分与讨论，都可求得，再根据二项式定理即可求解.
【详解】由可得，
当，,则，
其展开式的通项为，
令,得,解得；
当,,则，
其展开式的通项为，
令，得，解得.
综上所述：，
所以展开式共有7项，所以展开式中二项式系数最大项是第4项.
故选:A.
4．D
【分析】利用二项式定理连续展开两次，然后令，从而满足题意的数组可以是：，将这些数组回代入通项公式即可运算求解.
【详解】的展开式通项为
，
令，得满足题意的数组可以是：，
规定，
故所求为.
故选：D.
5．D
【分析】根据二项展开式的通项公式逐个选项分析即可.
【详解】由题可知二项展开式的通项为.
对A，当，即时取得常数项，故A正确；
对B，当，即时取得的项，其二项式系数为，故B正确；
对C，二项式系数和为，故C正确；
对D，第四项为，故D错误.
故选：D
6．D
【分析】对A：借助二项式的展开式的通项公式计算即可得；对B：计算出第4项的系数可得其小于0，再计算出第1项的系数可得其大于0，可得其错误；对C：借助二项式系数和为计算即可得；对D：借助赋值法，令代入计算后结合即可得.
【详解】对A：，则，故A错误；
对B：，即第4项的系数为，
令，有，故B错误；
对C：，故此二项展开式的二项式系数和为，故C错误；
对D：令，则，又，
故，故D正确.
故选：D.
7．D
【分析】当，利用二项式定理化简得，结合二项式的展开式公式即可求解.
【详解】，
当时，
故a除以15所得余数为0.
故选：D.
8．C
【分析】对于A：根据二项式系数之和为运算求解；对于B：令即可得各项系数之和；对于C：根据二项式系数的性质结合二项展开式的通项公式分析求解；对于D：根据，令运算求解即可.
【详解】对于选项A：因为，所以二项式系数之和为，故A正确；
对于选项B：令，可得各项系数之和为，故B正确；
因为的展开式为，
对于选项C：因为，可知二项式系数最大的项为第4项，故C错误；
对于选项D：令，解得，
所以常数项为，故D正确；
故选：C.
9．A
【分析】根据所求式子中的各项系数与题干中展开式中指数相同，联想到幂函数求导公式，因此对题干中展开式两边同时求导，再结合二项式定理中求各项系数和的方法，取值求解.
【详解】等式两边同时求导可得，令，得，
故选：A.
10．B
【分析】先求出的展开式的通项，则要得到项，必有，得到r=0，或，然后分别求出r=0时展开式中项和时展开式中常数项即可得答案.
【详解】的展开式的通项为，
要得到项，必有，所以，
所以r=0，或.
当r=0时，，而展开式中的项为，
故中项的系数为；
当时，，而中的常数项为1，
故中项的系数为，
所以所求项的系数为.
故选：B.
11．C
【分析】A选项由及即可判断；B选项由二项式系数的增减性即可判断；C选项由及即可判断；D选项直接计算比值即可判断.
【详解】由可得
，故A错误；
第2022行中第1011个数为，故B错误；
，故C正确；
第34行中第15个数与第16个数之比为
，故D错误.
故选：C.
12．B
【分析】根据二项式系数和的特征得到，写出的展开式，即可得到能被整除，从而求出的取值，即可确定的值，再根据二项式系数的特征及展开式的通项分析可得.
【详解】因为，
所以，
所以，
则
，
显然为正整数，
所以能被整除，
又n≥3且能被整除，所以能被整除，
所以，则，
所以，
所以，
所以在的展开式中，二项式系数最大的项为第项和第项，
又的展开式的通项公式为，
因为第项的系数为负数，第项的系数为正数，
所以第项的系数最小，第项的系数最大.
故选：B．
13．BD
【分析】利用二项式系数的性质求出，利用二项式定理逐项判断得解.
【详解】由展开式中各奇数项的二项式系数之和为32，得，解得，B正确；
的展开式的常数项为，A错误；
展开式项的项的系数为，C错误，D正确.
故选：BD
14．BD
【分析】根据题意得，求出，再由各项系数的和为729，利用赋值法可求出，然后结合二项式的性质逐个分析判断即可.
【详解】依题意得，所以，
因为展开式中各项系数的和为729，令，得，
所以（负值舍去），
对于A，，故A错误;
对于B，展开式的通项，当时，展开式的对应项为无理项，故B正确;
对于C，展开式中每一项的系数，由，得，
所以，即展开式中第5项的系数最大，故C错误;
对于D，令6−3r2=0，得，所以展开式中常数项为第5项，故D正确．
故选：BD
15．AB
【分析】对于A选项，根据“杨辉三角”的规律进行判断即可；对于B选项，根据二项式系数之和的性质进行计算即可；对于C选项，第20行的数为，进而求解其最大项即可；对于D选项，根据规律找到第7、8个数，直接计算即可.
【详解】对于A选项，由“杨辉三角”的规律可得A正确；
对于B选项，由二项式系数的性质知，故B正确；
第20行的数是，最大的是第11个数，故C错误；
第15行中，第7个数与第8个数分别是和，，故D错误.
故选：AB.
16．AD
【分析】由展开式有7项，可知，再由二项式定理的应用依次求解即可.
【详解】解：由展开式有7项，可知，
则所有项的二项式系数和为，故A项正确；
令，则所有项的系数和为，故B项错误；
展开式第项为，
则第4项为负值，故系数最大的项为第4项是错误的；
当时为有理项，则D项正确.
故选：AD
17．ACD
【分析】利用二项式定理展开式的性质判断AB，根据二项展开式的通项公式求解可判断C；列不等式求最大项的系数，判断D.
【详解】
对于A：由二项式的展开式可得展开式奇数项二项式系数之和为，故A正确；
对于B：由二项式系数的性质，第6项和第7项二项式系数分别为,不相等，故B错误；
对于C：第4项为，所以第4项的系数为，故C正确；
对于D：二项展开式的通项为，
由，解得，所以，即第6项系数最大，故D正确.
.故选：ACD.
18．ABD
【分析】根据二项式定理,通项公式写出来,后结合赋值得解.
【详解】,令,得,A正确.
令,得,即得.B正确.
令,得,
令,得,
两式相加得,得,C错误.
,两边求导, ,
令,得,D正确.
故选:ABD.
19．BD
【分析】写出展开式的通项，即可得到，从而判断A，令即可判断B，令，求出导函数，再利用赋值判断C、D.
【详解】因为展开式的通项为（且），
又，
所以，故A错误；
令，得，
所以，故B正确；
令，
则，
又，
则，
所以，故C错误；
，故D正确.
故选：BD
20．BD
【分析】利用二项式的展开式逐项判断即可求解.
【详解】的展开式通项为
，
其中，
A、B：当时，存在常数项，故A错误，故B正确，
C、D：为偶数，不存在一次项，故C错误，D正确．
故选：BD.
21．AC
【分析】赋值法可判断A；由求出，由二项式系数和可判断B；，由二项式定理展开，取展开式前3项可判断C；，由二项式定理展开可判断D.
【详解】在中，
令，则，故A正确；
因为，所以，
所以，故B错误；
，
取展开式前3项，则精确到0.01的近似值为．故C正确；
，其中，
所以能被15整除，
所以除以15的余数为1，故D错误．
故选：AC．
22．ABD
【分析】对于A：根据题意结合组合数运算求解；对于B：根据题意结合等差数列求和分析判断；对于CD：根据题意结合等比数列以及裂项相消法分析判断.
【详解】对于选项A：在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数字是，故A正确；
对于选项B：从第1行起到第12行，每一行从左到右的第2个数字之和为
，故B正确；
对于选项CD：由题意可知：，
则，，可知数列an是以首项为2，公比为2的等比数列，
可得，则，故C错误；
因为，
所以的前项和为
，故D正确；
故选：ABD.
23． 4 3
【分析】首先利用第二项与第四项二项式系数相等得；利用通项公式计算出中常数项的值为24. 在中根据多项式乘法的规律，从组合的角度出发得到常数项为，解得.
【详解】中第二项和第四项的二项式系数分别为和，所以，根据组合数的性质可得.
对于，易得通项公式为，其中令得，所以常数项为.
在中，取得常数的项情况有两种：选2个，1个，0个；或者选0个，0个，3个.
所以常数项为，解得.
故答案为：4；3.
24．16
【分析】根据二项式展开式结合其常数项组成形式即可得到答案.
【详解】因为展开式的通项为，，
的展开式中常数项由两项构成，
即与，
所以的展开式中常数项为.
故答案为：16.
25．8
【分析】先求出，再利用二项式定理得到，求出组合数被除的余数是.
【详解】∵，
∴
，其中k∈N；
∴该组合数被除的余数是8．
故答案为：8．
26．35
【分析】根据杨辉三角的规律再向下写出3行，找出第11条斜线上的数，比较大小可得答案.
【详解】杨辉三角第8行的数据为：1 7 21 35 35 21 7 1，
第9行的数据为：1 8 28 56 70 56 28 8 1，
第10行的数据为：1 9 36 84 126 126 84 36 9 1，
第11条斜线上的数为：1 9 28 35 15 1，所以最大的数是35.
故答案为：35
27．②③④
【分析】由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知，由展开式的各项系数之和为1024可得，则二项式为，易得该二项式展开式的二项式系数与系数相同，利用二项式系数的对称性判断①②；根据通项判断③④即可.
【详解】对①，由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知，
又展开式的各项系数之和为1024，即当时，，又a>0，所以，
所以二项式为，
则二项式系数和为，则奇数项的二项式系数和为，故①错误；
对②，由可知展开式共有11项，中间项的二项式系数最大，
即第6项的二项式系数最大，因为与的系数均为1，
则该二项式展开式的二项式系数与系数相同，所以第6项的系数最大，故②正确；
对③，若展开式中存在常数项，由通项可得，解得，故③正确；
对④，由通项可得，解得，所以系数为，故④正确.
故答案为：②③④.