新高中数学压轴题二轮专题专题2导数与函数的极值、最值试题含解析答案

这是一份新高中数学压轴题二轮专题专题2导数与函数的极值、最值试题含解析答案，共73页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。


一、解答题
1．已知函数.
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若在区间上存在极值点，求的取值范围.
2．已知函数（）.
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)若当时，函数取得极大值，求实数的取值范围.
3．已知函数．
(1)若曲线在处的切线方程为，求的值及的单调区间．
(2)若的极大值为，求的取值范围．
(3)当时，求证：．
4．已知函数.讨论在定义域内的极值；
5．设函数，曲线在点处的切线方程为．
(1)求的值；
(2)设函数，求的单调区间；
(3)求的极值点个数．
6．求解下列问题，
(1)若恒成立，求实数k的最小值；
(2)已知a，b为正实数，，求函数的极值．
7．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）是否存在，使得在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出的所有值；若不存在，说明理由.
8．函数.
(1)函数的单调性；
(2)数在区间上的最小值．
9．定义：如果在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，那么称为A，B两点间的曼哈顿距离．
(1)已知点，分别在直线，上，点与点，的曼哈顿距离分别为，，求和的最小值；
(2)已知点N是直线上的动点，点与点N的曼哈顿距离的最小值记为，求的最大值；
(3)已知点，点（k，m，，e是自然对数的底），当时，的最大值为，求的最小值．
10．已知函数，其中，．
(1)若，有且仅有一个极值点，求实数的取值范围；
(2)是否存在，，，使得是的极值点，且满足，若存在，求出所有这样的，；若不存在，请说明理由．
11．已知函数求函数的极值；
12．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若有两个不同的极值点，，且，求的取值范围.
13．已知函数，．
(1)讨论的极值；
(2)若的极小值为3，且，，，成立，求的取值范围．
14．设函数.
(1)若，求证有极值，求方程的解；
(2)设的极值点为，若对任意正整数都有，其中，，求的最小值.
15．已知函数且.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，求证：；
(3)讨论函数的极值．
16．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由.
(3)若在存在极值，求a的取值范围.
17．已知函数在定义域上不是单调函数．
(1)求实数的取值范围；
(2)若在定义域上的极大值为，极小值为，求的取值范围．
18．已知函数，为的导数.
(1)讨论的单调性；
(2)若是的极大值点，求的取值范围．
19．已知函数．
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)若函数在区间上的最小值为1，求a的值．
20．已知函数．
(1)若，求函数在点处的切线方程；
(2)讨论函数的单调性及极值；
(3)若，任意且，都有成立，求实数m的取值范围．
21．设函数.
(1)若在处有极小值2，求，的值；
(2)若，且在上是增函数，求实数的取值范围；
(3)若，时，函数在上的最小值为0，求实数的取值范围.
22．已知函数．
(1)若是函数的极值点，求的值，并求函数的极值；
(2)若函数在处取得极大值，求的取值范围.
23．已知函数和有相同的最小值，（e为自然对数的底数，且）
(1)求m；
(2)证明：存在直线与函数，恰好共有三个不同的交点；
(3)若（2）中三个交点的横坐标分别为，，，求的值．
24．已知函数．
(1)若在上单调递减，求实数的取值范围；
(2)若的最小值为6，求实数的值．
25．已知函数．
(1)若，求函数的单调性；
(2)若存在极值点，求实数的取值范围；
(3)若在处取得极值，证明：．
26．已知函数.
(1)若为奇函数，求此时在点处的切线方程；
(2)设函数，且存在分别为的极大值点和极小值点.
（i）求函数的极值；
（ii）若，且，求实数的取值范围.
27．已知函数，．
(1)当时，求函数的图像在处的切线方程．
(2)若为函数的一个极小值点，求实数的取值范围．
28．已知函数.
(1)若 ，求 的单调区间；
(2)若，，且 有两个极值点，分别为和，求的最大值.
29．黎曼猜想是解析数论里的一个重要猜想，它被很多数学家视为是最重要的数学猜想之一．它与函数（，s为常数）密切相关，请解决下列问题．
(1)当时，讨论的单调性；
(2)当时；
①证明有唯一极值点；
②记的唯一极值点为，讨论的单调性，并证明你的结论．
30．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)求在区间上的最小值；
(3)若，当时，求证：．
31．已知函数.
(1)当时，求函数在点处的切线方程；
(2)求函数的单调区间和极值；
(3)当时，求函数在上的最大值.
32．已知函数 .
(1)当时，函数满足，求实数的取值范围；
(2)若函数在的最小值为，求的最大值.
33．已知函数．
(1)当时，讨论函数的单调性．
(2)若有两个极值点．
①求实数的取值范围；
②求证：．
34．（1）讨论的单调性；
（2）记，试探究是否存在使在处取得极小值且恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
35．已知函数．
(1)如果1和是的两个极值点，且的极大值为3，求的极小值；
(2)当时，讨论的单调性；
(3)当时，且函数在区间上最大值为2，最小值为．求的值．
36．定义：在平面直角坐标系中，设，，那么称为P，Q两点的“曼哈顿距离”．
(1)若点，求到点O的“曼哈顿距离”为1的点的轨迹；
(2)若点E是直线l：上的动点，点F是圆C：上的动点，求的最小值；
(3)若点M是函数图象上一动点，其中e是自然对数的底数．点是平面中任意一点，的最大值为，求的最小值．
参考答案：
1．（Ⅰ）；（Ⅱ）
【分析】（Ⅰ）根据导数的几何意义求解；（Ⅱ）根据极值点的定义域导函数与原函数的性质求解.
【详解】解：（Ⅰ） 当时，，.
所以，
所以 ，，
曲线在点处的切线方程为，
整理得
（Ⅱ）因为，.
所以，
依题意，在区间上存在变号零点.
因为，设，所以在区间上存在变号零点.
因为，
所以，当时，，，所以，即，
所以在区间上为单调递增函数，
依题意， 即
解得 .
所以，若在区间上存在极值点，的取值范围是.
【点睛】高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围.
2．(1)
(2)
【分析】（1）当时，，对求导，解不等式即可得出答案；
（2）对求导，令，求出，分类讨论，和，求出的单调性和最值即可得出的单调性，即可得出答案.
【详解】（1）当时，，
，
由得，
所以函数的单调递增区间是；
（2），，
依题意，存在实数且，
使得当时，，当时，.
记，则（）.
记.
①当时，，，在区间上单调递减，
存在实数且，使得时，，
即，单调递减，
因此当时，，
当时，，函数在时取得极大值.
②当时，，因此，
即，在区间上单调递增，
当时，，不是函数的极大值点.
③当时，，，函数在区间上单调递增，
当时，，即，函数单调递增，
即当时，，因此，不是函数的极大值点.
综上，实数的取值范围是.
【点睛】关键点睛：本题第二问的关键点在于能够根据极值点的定义，确定函数在左右的单调性，所以对求导，令，求出，分类讨论，和，求出的单调性和最值即可得出在左右的单调性，即可得出答案.
3．(1)，单调递减区间是，单调递增区间是
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）求导，根据点斜式求解切线方程，即可与对比可得，即可利用导数的正负确定函数单调性，
（2）求导得，即可对分类讨论求解导数的正负求解单调性，
（3）将不等式变形为只需要证明，构造函数，利用导数求证，构造函数和，利用导数分别证明，即可求证，进而可求解.
【详解】（1）由题意，得，所以．
因为曲线在处的切线方程为，
又，所以，所以．
所以．
令，得；令，得．
所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是．
（2）由题意得．
当时，令，得；令，得．
所以在上单调递减，在上单调递增，此时只有极小值，不符合题意．
当时，令，得，．
因为的极大值为，所以，解得．
综上，的取值范围为．
（3）当时，．
要证，即证，
只需证．
先证：，．
设，，则．
设，，则．
所以函数在上单调递增，则，即，
所以函数在上单调递增，则，所以．
再证：，，即证．
设，则．
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．所以．
设，，则．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以．所以，即．
综上，得证．
故．
【点睛】方法点睛：利用导数证明或判定不等式问题：
1．通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2．利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3．适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4．构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.
4．答案见解析.
【分析】求出函数的定义域及导数，探讨单调性并分析极值情况作答.
【详解】函数的定义域为，求导得，
当时，恒有成立，因此在上单调递减，无极值；
当时，由，得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
则当时，函数取得极小值，
所以当时，函数无极值；
当时，有极小值，无极大值.
5．(1)
(2)答案见解析
(3)3个
【分析】（1）先对求导，利用导数的几何意义得到，，从而得到关于的方程组，解之即可；
（2）由（1）得的解析式，从而求得，利用数轴穿根法求得与的解，由此求得的单调区间；
（3）结合（2）中结论，利用零点存在定理，依次分类讨论区间，，与上的零点的情况，从而利用导数与函数的极值点的关系求得的极值点个数.
【详解】（1）因为，所以，
因为在处的切线方程为，
所以，，
则，解得，
所以.
（2）由（1）得，
则，
令，解得，不妨设，，则，
易知恒成立，
所以令，解得或；令，解得或；
所以在，上单调递减，在，上单调递增，
即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.
（3）由（1）得，，
由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，
当时，，，即
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，在上单调递减，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
所以在上有一个极大值点；
当时，在上单调递增，
则，故，
所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，
此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；
所以在上有一个极小值点；
当时，，
所以，则单调递增，
所以在上无极值点；
综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.
【点睛】关键点睛：本题第3小题的解题关键是判断与的正负情况，充分利用的单调性，寻找特殊点判断即可得解.
6．(1)1
(2)答案见解析
【分析】（1）求导，然后分和讨论，确定单调性，进而得最值；
（2）先发现，当时，，当，时，取，，求导，研究单调性，进而求出最值得答案.
【详解】（1）记，则需使恒成立，
，
当时，恒成立，则在上单调递减，
且在时，，不符合题意，舍去；
当时．令，解得，
则在上单调递减，在上单调递增，
所以，
要使恒成立，只要即可，
解得，所以k的最小值为1；
（2），，，，易知，
当时，，此时函数无极值；
当，时，，
取，，，，，，，
则，当时，由得，由（1）知，
当时，，
因为，所以，所以，即，当时，，
所以，则，所以，
即在上单调递增，在单调递减．
所以函数，，，
当时，同理有，
由得，即在上单调递增，在上单调递减．
所以函数，，，
综上可知，当时，函数没有极值；当时，函数有唯一的极大值，其中，没有极小值．
【点睛】关键点点睛：取，将两个参数的问题转化为一个参数的问题，进而求导解答问题.
7．(1)见详解；(2) 或.
【分析】(1)先求的导数，再根据的范围分情况讨论函数单调性；(2) 根据的各种范围，利用函数单调性进行最大值和最小值的判断，最终得出,的值.
【详解】(1)对求导得.所以有
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增；
当时，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
(2)若在区间有最大值1和最小值-1，所以
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增；
此时在区间上单调递增，所以，代入解得，，与矛盾，所以不成立.
若，区间上单调递增；在区间.所以，代入解得 .
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为
而，故所以区间上最大值为.
即相减得，即，又因为，所以无解.
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
即在区间单调递减，在区间单调递增，所以区间上最小值为
而，故所以区间上最大值为.
即相减得，解得，又因为，所以无解.
若，区间上单调递增，区间上单调递减，区间上单调递增.
所以有区间上单调递减，所以区间上最大值为，最小值为
即解得.
综上得或.
【点睛】这是一道常规的函数导数不等式和综合题，题目难度比往年降低了不少．考查的函数单调性，最大值最小值这种基本概念的计算．思考量不大，由计算量补充．
8．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出的定义域，对实数a的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间；
（2）对正实数a的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在上的单调性，由此可求得结果.
【详解】（1）因为的定义域为，且，又，
当，即时，当时，当时，
所以函数在上为增函数，在上为减函数；
当时，所以函数在上为增函数；
当时，当时，当时，
所以函数在上为增函数，在上为减函数；
综上所述：
当时，函数在上为增函数，在上为减函数；
当时函数在上为增函数；
当时函数在上为增函数，在上为减函数.
（2）由（1）可知：当时函数在区间上为增函数，
所以，
当，即时，函数在上为增函数，在上为减函数，
所以，
当，即时，函数在上为减函数，
所以，
综上：.
【点睛】方法点睛：用导数解决含参数函数的最值问题，关键是对参数进行分类讨论求出函数的单调区间，利用单调性求其最值.
9．(1)的最小值为；的最小值为
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，由曼哈顿距离的定义，代入计算，即可得到结果；
（2）根据题意，由曼哈顿距离的定义即可得到，从而得到的最大值；
（3）根据题意，令，然后分别构造函数，即可得到，从而得到结果.
【详解】（1），
则，即的最小值为；
，
则，即的最小值为.
（2）当时，，
点为直线上一动点，
则当时，
即；
当时，，
即；
所以，又当时，，
当时，，
所以的最大值为.
（3）令，则，，
，
令，则在区间内成立，
则在区间内单调递增，则，
令，则在区间内成立，
则在区间内单调递减，则，
所以，
所以，
当且时，取最小值，
的最小值
【点睛】关键点睛：本题主要考查了新概念问题，难度较大，解答问题的关键在于理解题中曼哈顿距离的定义，然后转化为所学知识求解问题.
10．(1)
(2)不存在，理由见详解
【分析】（1）先求，构造函数，再求，再分别讨论，和时的的符号，从而判断的符号，进而即可求解；
（2）先假设存在满足题意，结合（1）得到，再构造函数，求得，再根据导数的性质求得，从而得到，且，再结合（1）即可得到结论．
【详解】（1）由，则，
令，则，
设，则，
若，则，不合题意舍去；
若，则当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增，
取，使得的最小值为，
则，在递增，不合题意舍去；
若，则在上递减，
取且，使得，
再取且，使得.
所以在上有唯一的零点，即有且仅有一个极值点，满足题意．
综上的取值范围是．
（2）假设存在满足题意．
由（1）知①，且②，
显然，由①得，将其代入②得，
令，则，
令，则
当时，，当时，
所以在递减，在递增，所以，
又，则，所以，即，，且，
又由（1）知，当时，在递减，在递增，
所以，所以，所以，此时在无极值点，
故不存在这样的，满足题意．
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
11．答案见解析
【分析】分类讨论，利用导数判断单调性，根据极值的概念可求出结果.
【详解】因为，（）
所以（），
则，
令，则或，
①当时，方程在上无解，则当，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，即的极小值为，无极大值，
②当时，由，得（），
随的变化情况如下表：
所以在处取得极大值，的极大值为，
在处取得极小值，则的极小值为，
③当时，由，得，，
随的变化情况如下表
所以 在处取得极大值，则的极大值为，
在处取得极小值，的极小值为，
④当时，，此时在上单调递增，所以函数无极值，
综上，当时，的极小值为，无极大值，
当时，的极大值为，极小值为，
当时，的极小值为，极大值为，
当时，无极值，
12．(1)
(2)
【分析】（1）根据某点处导数的几何意义，求出处的切线斜率，再求出，利用点斜式求出切线方程.
（2）因为有两个不同的极值点，所以导数有两个零点，，再次求导，结合单调性应非单调且有最值，通过计算有最小值，令其小于零，且在极值点的两侧有，初步得到的范围.再结合条件中，通过构造关于的函数，又得到的另一个范围，比较和的大小，最终确定的范围.
【详解】（1）当时，，
所以，所以所求的切线斜率为.
又，所以切点为，
所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）对函数求导，得.
函数有两个不同的极值点，，等价于有两个零点，，且零点两侧的函数值异号，
即有两个零点，，
令，则.
当时，，在上单调递增，不可能有两个零点；
当时，由，得，即在上单调递增.
由，得，即在上单调递减.
要使有两个零点，则，即，解得.
此时，，，.
令，则.因为在上单调递增，所以，
所以在上单调递增，则，即，
所以当时，有两个零点且两个零点，分别位于区间，内.
所以.令，则，所以，即，解得.
令，则.
令，则，
所以在上单调递增，所以，即，
所以在上单调递增，所以，即.
又，令，则，
当时，，所以在区间上单调递增，
所以，即.
令，则.
因为对任意恒成立，
所以在上单调递增，则，
所以，即，
所以，即的取值范围为.
【点睛】易错点点睛：（1）极值点问题即导数零点问题，忽略对参数的讨论，本题导函数应该是非单调函数.
（2）另外易错点是只讨论了极值（最值）的正负，还应讨论极值点两侧函数值的正负，确保原函数有两个极值点.
13．(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论单调性确定极值作答.
（2）由（1）的结论及已知求出a值，再探讨函数在上的单调性，等价变形不等式，转化成函数在上单调递增求解作答.
【详解】（1）函数的定义域是R，求导得，
当时，单调递增，无极值；
当时，由，得，当时，，
函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增，
所以当时，函数取得极小值，无极大值.
（2）由（1）知，，令，
求导得，由，得，
当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，
因此当且仅当时，函数取得最大值3，则由，得，
不妨设，当时，为增函数，
当时，为增函数；
于是，等价于，
则不等式对恒成立，
令，则函数在上单调递增，
因此在上恒成立，
设，显然，求导得，
令，有在上单调递增，
当时，，函数在上单调递增，
于是，函数在上单调递增，
因此，从而在上恒成立；
当时，令，得，当时，，
则当时，函数单调递减，，
即当时，函数单调递减，，
因此当时，，不符合题意，
所以的取值范围是.
【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.
14．(1)见解析；
(2)2
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性和极值；
（2）方法一：求出导数，由导数判断出，，
找到函数的极值点所在区间，从而求出的最小值；
方法二：通过证明，得到，且，
得到恒成立，且存在，使，
也存在，使，所以的最小值为2.
【详解】（1）当，
证明：由题意得，
由，即，解得，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
因此，当时函数有极值.
（2）方法一
由题意得，所以，所以函数单调递增，
由，得.
因为，所以，所以.
当时，单调递增；
当时，单调递减.
因此，函数的极值点.
因为，令，则，得，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以，所以，
而，当时，，当时，，
又，令
，则，可知，
所以为增函数，
所以，当时，，
即对任意正整数，都有，，所以恒成立，
且存在，使，也存在，使，所以的最小值为2.
方法二
由题意得，所以，所以函数单调递增，
由，得.
因为，所以，所以.
当时，单调递增；
当时，单调递减.
因此，函数的极值点.
且，
令，，，…，则，得，
先证：，令，则，
当时，，当时，，
所以，即成立，所以，
又当时，，而，所以，所以，
当时，，且，
所以恒成立，且存在，使，也存在，使.
所以的最小值为2.
15．（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）详见解析.
【分析】（I）求得切点坐标和斜率，由此求得切线方程.（II）将原不等式转化为成立，构造函数，利用导数求得的最大值为零，由此证得不等式成立.（III）对求导后，对分成两类，结合函数的单调区间，讨论得出函数的极值.
【详解】解：（Ⅰ）当时，．所以．
因为，
所以曲线在处的切线方程为．
（Ⅱ）当时，．
函数的定义域为．
不等式成立 成立 成立.
设 ，
则．
当变化时，，变化情况如下表：
所以．
因为，所以，
所以．
（Ⅲ）求导得. 令，因为可得．
当时，的定义域为.当变化时，，变化情况如下表：
此时有极大值，无极小值．
当时，的定义域为，当变化时，，变化情况如下表：
此时有极小值，无极大值．
【点睛】本小题主要考查利用导数求曲线的切线方程，考查利用导数证明不等式，考查利用导数研究函数的极值，考查化归与转化的数学思想方法，综合性较强，属于中档题.
16．(1)；
(2)存在满足题意，理由见解析.
(3).
【分析】(1)由题意首先求得导函数的解析式，然后由导数的几何意义确定切线的斜率和切点坐标，最后求解切线方程即可；
(2)首先求得函数的定义域，由函数的定义域可确定实数的值，进一步结合函数的对称性利用特殊值法可得关于实数的方程，解方程可得实数的值，最后检验所得的是否正确即可；
(3)原问题等价于导函数有变号的零点，据此构造新函数，然后对函数求导，利用切线放缩研究导函数的性质，分类讨论，和三中情况即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）当时，，
则，
据此可得，
函数在处的切线方程为，
即.
（2）令，
函数的定义域满足，即函数的定义域为，
定义域关于直线对称，由题意可得，
由对称性可知，
取可得，
即，则，解得，
经检验满足题意，故.
即存在满足题意.
（3）由函数的解析式可得，
由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点;
令，
则，
令，
在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点，
当时，，在区间上单调递减，
此时，在区间上无零点，不合题意;
当，时，由于，所以在区间上单调递增，
所以，在区间上单调递增，，
所以在区间上无零点，不符合题意；
当时，由可得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的最小值为，
令，则，
函数在定义域内单调递增，，
据此可得恒成立，
则，
由一次函数与对数函数的性质可得，当时，
，
且注意到，
根据零点存在性定理可知:在区间上存在唯一零点.
当时，，单调减，
当时，，单调递增，
所以.
令，则，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，
所以
，
所以函数在区间上存在变号零点，符合题意.
综合上面可知:实数得取值范围是.
【点睛】(1)求切线方程的核心是利用导函数求切线的斜率，求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导，合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.
(2)根据函数的极值(点)求参数的两个要领：①列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解;②验证:求解后验证根的合理性.本题中第二问利用对称性求参数值之后也需要进行验证.
17．(1)
(2)．
【分析】（1）先求得，然后根据二次函数在区间上有正有负列不等式，由此求得的取值范围.
（2）根据（1）将表示为仅含的形式，利用换元法、构造函数法，结合导数来求得的取值范围．
【详解】（1）函数的定义域为，，
由得：，设．
∵函数不是单调函数，∴在有正实根，
又，设的两根为，，
则由可得：有两个不相等的正实根，且．
（2）由（1）可知：
，
．
令，所以，
因为，
所以，
故．
【点睛】方法点睛：利用导数研究含参数的函数在区间上的单调性，首先要注意先求得函数的定义域，求导后，根据参数的位置以及题目所给函数单调性相关的条件，可以直接利用二次函数的性质来列不等式来求解，也可以考虑分离常数法来进行求解.
18．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）令，求出导函数，再分和两种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（2）结合（1）分、、、四种情况讨论，判断的单调性，即可确定极值点，从而得解；
【详解】（1）由题知，
令，则，
当时，在区间单调递增，
当时，令，解得，
当时，，当时，，
∴在区间上单调递减，在区间上单调递增，
综上所述，当时，在区间上单调递增；
当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增．
（2）当时，，
由（1）知，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
∴是函数的极小值点，不符合题意；
当时，，且，
由（1）知，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
∴是函数的极小值点，不符合题意；
当时，，则当时，在上单调递增，
∴无极值点，不合题意；
当时，，且；
当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
∴是函数的极大值点，符合题意；
综上所述，的取值范围是．
19．(1)
(2)．
【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解；
（2）方法一：利用导数与函数的关系，结合题意得到与，利用观察法求得，进而得到，从而得解；方法二：利用必要性先行得到，再分别检验与两种情况，从而得解.
【详解】（1）当时，，，
则，
故，，
所以在点处的切线方程为，即.
（2）方法一：因为，
所以，显然单调递增，
因为在区间上有最小值，则在上存在零点，
即存在唯一的，使得，即．
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
因此的最小值就是,
令，则易知在上单调递减，且，
所以由的最小值为，求得，
代入得，
结合，解得，此时．
方法二：因为在区间上的最小值为1，
所以，即，解得，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，则，当且仅当时，等号成立，
将代换成，得，
则当时，有，即，当且仅当时，等号成立，
所以当时，，
当且仅当时取到等号，符合题意；
当时，，不符合题意；
综上，.
【点睛】结论点睛：两个常见的重要不等式：
（1）；（2）.
20．(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求切线方程；
（2）求导，分和讨论求函数单调性和极值；
（3）代入值，将问题转化为恒成立，构造函数，转化为导函数不小于零恒成立，继续构造函数求最值即可.
【详解】（1）当时，，，
则，又，
所以函数在点处的切线方程为；
（2）由题知
当时，，函数在上单调递减，无极值；
当时，令得或，函数单调递增，
令得，函数单调递减，
此时函数的极大值为，
极小值为；
综上：当时，在上单调递减，无极值；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
极大值为，极小值为；
（3）当时，，由（2）得函数在上单调递减，
不妨设，则，
故由得，
即，
设，则单调递增，
则恒成立，
所以对恒成立，
设，，则，
令，得，单调递增，
令，得，单调递减，
故，
所以.
【点睛】方法点睛：对于恒成立问题要学会转化，其中我们可以构造函数，转化为函数的最值问题来解答.
21．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由，求，的值；
（2）在上是增函数，则在上恒成立，可求实数的取值范围；
（3）依题意，最小值为，利用导数讨论函数单调性，求最小值点满足的条件即可.
【详解】（1）函数，定义域为，，
在处有极小值2，则有，解得.
此时，
解得，解得，
在上单调递减，在上单调递增，在处有极小值.
所以.
（2）若，，，
在上是增函数，则在上恒成立，
函数，图象抛物线开口向上，对称轴，，
当，则在上恒成立，此时在上不恒成立，
不满足在上成立，
当时，则在上恒成立，若在上成立，
则在上恒成立，
由，则有，解得，
所以实数的取值范围的.
（3）时，函数，有，
，由，则，
函数，函数图象抛物线开口向下，，
若，则在上恒成立，在上单调递增，最小值为，
若，则存在，使得，
时，；时，，
则在上单调递增 ，在上单调递减，
综上可知，函数在上的最小值为0，只需，
即，解得，
所以实数的取值范围为.
【点睛】方法点睛：
导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
22．(1)，极大值为，极小值为.
(2)
【分析】（1）由求得，进而求得的极值.
（2）先求得，然后对进行分类讨论，根据在处取得极大值进行分类讨论，由此求得的取值范围.
【详解】（1）定义域为，，
因为是函数的极值点，所以.故有，所以.
当时，，所以，
若，则或，
所以函数的极大值为，极小值为.
（2）定义域为，，
①当时，，令得，
所以：单调递增区间为；
令得，所以单调递减区间为；
所以在取极大值，符合题意.
②当时，由，得：，，
所以：在处取得极大值，所以：符合题意．
③当时，由，得：，，
（i）当即时，，变化情况如下表：
所以：在处取得极小值，不合题意．
（ⅱ）当即时，在上恒成立，
所以：在上单调递增，无极值点．
（iii）当，即时，，变化情况如下表：
所以：在处取得极大值，所以：合题意．
综上可得：的取值范围是．
【点睛】思路点睛：求解函数在闭区间上的极值的步骤（1）确定的定义域；（2）计算导数；（3）求出的根；（4）用的根将的定义域分成若干个区间，考查这若干个区间内的符号，进而确定的单调区间；（5）根据单调区间确定极值点，从而求得极值.
23．(1)0.
(2)见解析；
(3)2.
【分析】（1）根据，单调性求出最小值，两个最小值相等求出m的值.
（2）根据函数单调性与图像判断并证明即可.
（3）根据三个交点处函数值相等，再由函数式的结构得到三个交点的横坐标分别为，，之间的关系，转化为即可求解.
【详解】（1）由，
时，
时
则在单调递减，在单调递增，
所以最小值；
时，，
时，
所以在单调递减，在单调递增，
所以最小值；
，
即
令，
所以在定义域上单调递增，
因为，
所以解得.
（2）由（1）知，即；
因为，
所以当时，考虑与解的个数，
根据，单调性作图如下：

易知时，；时，；
时，；时，；
则在区间与各有一个根，
在区间与各有一个根，
要证：存在直线与函数，恰好共有三个不同的交点，
即证：在上有交点.
当时，
令
，所以在上单调递增，
，，
所以存在，使，
即在上有交点，得证.
所以存在直线与函数，恰好共有三个不同的交点.
（3）

如图与函数，恰好共有三个不同的交点，
三个交点的横坐标分别为，，，，
则有，
因为
而单调递减，所以，
因为，
而单调递增，所以，
又因为.
所以.
【点睛】本题考查了导数的应用，利用导数求函数的单调性，函数的零点，利用同构去解决三个交点横坐标之间的数量关系.
24．(1)
(2)
【分析】（1）根据函数单调性得到恒成立，再令新函数，根据单调性求最值即可.
（2）根据函数单调性构造函数，再根据零点存在定理求出零点，解出方程即可求出的值.
【详解】（1）由题意知，函数的定义域为，，
因为在上单调递减，所以恒成立且不恒为0，
所以，即恒成立．
设，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
所以，
则，
所以实数的取值范围是．
（2）解法一 由（1）知，，
因为的最小值为6，所以，得．
设，则，
所以在上单调递增，
因为，，
所以存在，使得，
当时，，即，在上单调递减；
当时，，即，在上单调递增，
所以．
因为，所以，
解得（舍去）或，
所以．
解法二 由题意知在上恒成立，则在上恒成立．
令，则，
，
由得，由得或，
所以在和上单调递减，在上单调递增．
又，当时，，
所以，故．
因为的最小值为6，所以．
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性问题，其中关键是零点存在定理的应用.在研究函数的单调性时，利用零点存在定理找到导函数的隐零点，即存在，使得，再根据最值求解的值即可.
25．(1)上增函数
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数判断单调性；
（2）由（1）可知，时，不存在极值，当时，利用导数研究极值；
（3）由（2）知，，且，所以 , 故，利用导数可得和，两式相乘即可得证.
【详解】（1）函数的定义域为，
，
∵，则，
∴为上的增函数；
（2）由（1）可知，时，不存在极值；
当时，令，即，得．
令，则，
∴在上单调递增，
又，
所以存在唯一的，使得，
当时，，即单调递减；
当时，，即单调递增；
所以仅在处取得极小值，符合题意．
故当只有一个极值点时，实数的取值范围为．
（3）由（2）知，，且，所以
故，
令，则，
所以单调递减，所以，
由，得．
设，则，
当时，，故在上单调递减，
所以当时，，即，
所以①；
设，则，当时，单调递增，
又，故当时，，
∴②，
①②两式相乘得，
故，
因为，
所以，得证．
【点睛】关键点点睛：第（3）问中关键是得到和，从而得证.
26．(1)
(2)（i）答案见解析；（ii）.
【分析】（1）根据奇函数的定义, 求出 的值, 然后利用导数求切线方程.
（2）( i )对 进行求导, 将 既存在极大值, 又存在极小值转化成 必有两个不等的实数根, 利用导数得到 的单调性和极值, 进而即可求解;
(ii) 对 进行求导, 利用导数分析 的极值, 将 恒成立转化成 , 构造函数, 利用导数分类讨论求解即可.
【详解】（1）为奇函数，有，则，经检验知满足题意，
所以所以，，
所以在点处的切线方程为.
（2）（i），
因为函数既存在极大值，又存在极小值，
则必有两个不等的实根，则，
令可得或，
所以，解得且.
当时，.则有：
极大值，极小值
当时，.则有：
极大值，极小值.
（ii）由，所以，
由题意可得对恒成立，
即
令，其中，
令，则
①当，即时，在上是严格增函数，
所以，即，符合题意；
②当，即或时，
设方程的两根分别为且，
当时，则，
则在上是严格增函数，
所以，即，符合题意；
当时，则，
则，则当时，，
则在上单调递减，，即不合题意.
综上所述，的取值范围是.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究曲线的切线、极值与最值等知识与方法，其中第 (2) 问的 (ii ) 小问, 关键是将 恒成立转化成 , 构造函数,利用导数分类讨论求解即可, 属于难题.
27．(1)
(2)
【分析】（1）结合导数的几何意义计算即可得；
（2）结合极值点的定义，求导后可得，再令，再次求导后，分，及进行讨论即可得.
【详解】（1）当时，，
所以，
所以，，
所以函数的图像在处的切线方程为，
即；
（2）由题意，得，
则，
设，
则，，
又，
所以为偶函数，
当，即时，存在，
使得在上，，单调递减，
而，所以当时，，，单调递增，
当时，，，单调递减，
此时为函数的极大值点，
所以不符合题意，
当，即时，存在，
使得在上，，单调递增．
又，所以当时，，，单调递减，
当时，，，单调递增，
此时为函数的极小值点，
所以符合题意，
当，即时，，
则，
所以在上单调递增，
又，所以当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减．
此时为函数的极小值点，
所以符合题意，
综上所述，实数的取值范围为．
【点睛】关键点点睛：本题中很容易求得0，但是两侧的值的符号需要进一步研究讨论，分三种情况，保证两侧的单调性是左减右增．
28．(1)单调递增区间是和，单调递减区间是；
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，利用导数与函数单调性的关系，即可求解；
（2）首先利用极值点与导数的关系，得到，，并通过变形得到，利用换元构造函数，利用导数判断函数的单调性，并求的最值，即可求解函数的最大值.
【详解】（1）若，，
令，得或，
当或时，，
当时，，
所以函数的单调递增区间是和，单调递减区间是；
（2），
令，可得，
由题意可得，是关于方程的两个实根，
所以，，
由，有，
所以，
将代入上式，得，
同理可得，
所以，
，①，
令,①式化为，
设，即，
，
记，则，
记，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，在上单调递增，所以，
所以，在上单调递减，
又，
，
当时，的最小值为4，即的最小值为2，
因为在上单调递减，的最大值为，
所以的最大值为.
【点睛】思路点睛：本题第二问的关键是
，并利用换元构造函数，转化为利用导数求函数的最值问题，第二个关键是求的最值.
29．(1)在上单调递减；
(2)①证明见解析；②在上单调递增，证明见解析；
【分析】（1）对函数求导，并构造函数利用即可得出恒成立，可得函数在上单调递减，
（2）①易知当时，由可知存在唯一变号零点，即可知有唯一极大值点；
②易知，求得的反函数，利用的单调性即可求得为单调递增；
【详解】（1）由可得
，
令，则；
又，，所以，即恒成立；
即函数在上单调递减，
又，所以，
可得恒成立，因此函数在上单调递减，
即当时，函数在上单调递减；
（2）当时，
①由（1）可知
令，可得,
易知当时，，即函数在上单调递增，
当时，，即函数在上单调递减，
即函数在处取得极大值，也是最大值；
注意到，由单调性可得，可知在大于零，
不妨取，则；
由零点存在定理可知存在唯一变号零点，
所以存在唯一变号零点满足，
由单调性可得，当时，，当时，；
即可得函数在上单调递增，在单调递减；
所以有唯一极大值点；
②记的唯一极值点为，即可得
由可得，
即可得的反函数，
令,，则，
构造函数，则，
显然在恒成立，所以在上单调递增，
因此，即在上恒成立，
而，即，所以在上恒成立，
即可得在上恒成立，因此在单调递增；
易知函数与其反函数有相同的单调性，所以函数在上单调递增；
【点睛】关键点点睛：本题在证明的单调性时，由于的表达式不易得出，因此可利用其反函数的单调性进行证明.
30．(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用导数的意义求出切线的斜率，再求出，最后利用点斜式写出直线方程再整理即可；
（2）含参数的单调性讨论问题，先求导，再分参数，讨论单调性得出结果即可，其中当时又分、、三种情况；
（3）构造函数，结合对数的运算化简，求导再结合基本不等式得到的单调性，即可证明.
【详解】（1）因为，所以，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为.
（2）因为，
当时，在区间上恒成立，
所以在区间上是增函数，此时；
当时，令，解得，
①当，即时，在区间上恒成立，
所以在区间上是增函数，
所以当时，；
②当，即时，与的情况如下：
所以当时，；
③当即时，在区间上恒成立，
所以在区间上是减函数，
所以当时，，
综上
（3）设，
所以，
因为，
由基本不等式可得，当且仅当时取等号，
所以在上单调递增，
所以，
所以.
【点睛】方法点睛：
（1）第一问可用导数的意义求出切线的斜率，再用点斜式求出直线方程；
（2）第二问为带参数的单调性的讨论求极值点问题，可求导分析单调性，进而求极值，在求出最值；
（3）第三问为函数不等式问题，可构造函数求导分析单调性求解.
31．(1)
(2)答案见解析
(3)
【分析】（1）利用导数的几何意义即可得解；
（2）利用导数与函数单调性、极值的关系，分类讨论的取值范围即可得解；
（3）根据的取值范围，结合（2）中结论得到的单调性，从而得到其最值.
【详解】（1）因为，
当时，，则，
所以，，
所以函数在点处的切线方程为，即.
（2）因为，
则，
令得或，
当时，，
令，得或；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
；
当时，，在上单调递增，没有极值；
当时，，
令，得或；令，得；
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，；
综上：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，
，；
当时，的单调递增区间为，没有极值；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，
，；
（3）因为，所以，，
由（2）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为，，
所以.
【点睛】方法点睛：用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：
（1）设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：；
（2）若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．
32．(1)
(2)
【分析】（1）求导并判断导数符号，进一步可得单调区间，然后将不等式转化为，从而可求出实数的取值范围；
（2）求导，对进行分类讨论，根据函数在的最小值为，求得的取值范围，从而得到的最大值．
【详解】（1）当时，，
则，
当时，，，
当时，，，
当时，，
所以恒成立，仅当时取等号，
所以的单调递增区间为 ，
所以由满足，得，
即，解得
所以实数的取值范围为；
（2）
当时，时，，时，，
所以在上递减，在上递增，
所以在取得最小值，符合题意；
当时，时，，时，， 时，，
所以在和上递增，在上递减，
因为最小值为，所以得，即；
当时，由（1）可知单调递增，则当时无最小值，不合题意；
当时，时，，时，， 时，，
所以在和上递增，在上递减，
则有，不合题意；
综上可得，，
所以的最大值 ．
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于根据最小值求参数时，要注意讨论a的取值，结合函数的单调性，得到相应的不等式，确定参数范围.
33．(1)在上单调递增；
(2)①；②证明见解析
【分析】（1）求得，设，得到，再令，求得为上的增函数，且，进而求得单调区间；
（2）①求得，令，解得，设，根据题意转化为直线与函数的图象有两个不同的交点，利用导数求得函数的单调性与极值，作出函数的图象，结合图象，即可求解；
②由函数有两个零点，得到，令，转化为证明，不妨令，只需证明，化简得到，令，转化为证明，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】（1）解：当时，可得，其中，则，
设，则，
令，可得恒成立，
所以为上的增函数，且，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
所以，所以，所以在上单调递增．
（2）解：①因为函数，可得，
令，解得，
设，可得，
因为有两个极值点，则直线与函数的图象有两个不同的交点，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，所以．
又当时，，故可作出的大致图象，如图所示，
结合图象可得，，即实数的取值范围为．
②由函数有两个零点，所以，
令，则等价于关于的方程有两个不相等的实数根，
只需证明，
不妨令，由得，
要证，只需证明，
即证，
即证，即证，
令，则，只需证明，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
综上所述，原不等式成立．
【点睛】方法总结：利用导数证明或判定不等式问题：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值（最值），从而得出不等关系；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；
3、适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；
4、构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．
34．
（1）单调性详见解析；
（2）存在且
【分析】（1）求导后对进行分类讨论即可得；
（2）由恒成立且，可得，解得为必要条件，再在的基础上去证明能否使存在极小值且恒成立即可得.
【详解】（1），
当时，，当时，，
当时，，故在上单调递增，在上单调递减；
当时，令，可得或，
故当，即时，恒成立，
故恒成立，故在上单调递减；
当，即时，在或时小于，
在时大于，故在、上单调递减，
在上单调递增；
当，即时，在或时小于，
在时大于，故在、上单调递减，
在上单调递增；
综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在、上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减；
当时，故在、上单调递减，在上单调递增；
（2），由，，
故，即，
故为必要条件，下证充分性：
当时，，
，
令，则，
当时，，即，
当时，，
故在上单调递增，又，
即有时，，时，，
故在上单调递减，在上单调递增，又，
故时，恒成立，
当时，，
即，，
综上所述，在上恒成立，
由在上单调递增，又，
故是函数的一个极小值点，
即存在，使在处取得极小值且恒成立.
【点睛】关键点睛：第二问关键在于先探究出是必要条件，再在的基础上去证明能否使存在极小值且恒成立.
35．(1)
(2)答案见解析
(3)18
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得和是方程的两根，利用韦达定理求出、的值，再求出函数的单调区间，即可求出函数的极大值，从而求出的值，最后求出极小值；
（2）求出函数的导函数，再分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
（3）依题意，即可求出、的范围，再求出导函数，结合特殊值可得有两个实数根，且，即可得到是的极大值点，是的极小值点，则，，结合韦达定理得到，再由，即可求出、的值，从而得解.
【详解】（1）因为，所以，
因为和是的两个极值点，所以和是方程的两根，
故，解得，即，
所以，
因为时，，当时，，
所以在区间上单调增，在区间上单调减，
所以，解得，
所以．
（2）当时定义域为，
又，令，解得或，
若，则当时，；当时，．
故在区间单调递增，在上单调递减；
若，则恒成立，所以在区间单调递增；
若，则当时，；当时，．
故在区间单调递增，在上单调递减．
综上可得：当时在区间单调递增，在上单调递减；
当时在区间单调递增；
当时在区间单调递增，在上单调递减．
（3）当时，，
由题意得：，即，①
，即，②
由①、②可知，，．③
因为，，
，，
所以有两个实数根，且，
当时，，当时，，
故是的极大值点，是的极小值点．
由题意得，，
即，
两式同向相加得：，④
注意到，，，
代入④得，
由③可知，，则，，
所以，，
所以，
所以，当且仅当，
即，又，所以时成立，
所以，从而．
【点睛】关键点点睛：第三问的关键是首先得到、的取值范围，再结合零点存在性定理得到有两个实数根，且，从而推导出.
36．(1)轨迹是一个以O为中心，以坐标轴为对角线的正方形；
(2)；
(3)．
【分析】（1）由题意得，分，的正负分类讨论，得到轨迹；
（2）在（1）的基础上，转化为直线l：与直线：的距离最值问题，即，直线l上存在一些点到直线上某点之间的“曼哈顿距离”的最小值都相等，值为a．利用圆心到直线的距离等于半径求出，得到答案；
（3）设，，得到，构造函数，求导得到单调性，得到的值域为，同理得到的值域，结合绝对值不等式的性质得到，得到答案.
【详解】（1）设动点P的坐标为，则，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，．
轨迹是一个以O为中心，以坐标轴为对角线的正方形．
（2）对于，易知其轨迹为一个以原点O为中心以坐标轴为对角线的正方形，
并且随着a的增大，这个正方形也在逐渐变大，
同一个正方形上，每一个点与原点的“曼哈顿距离”相等，
直线l：与直线：平行，
直线l上任意一点到上点的“曼哈顿距离”
，
当且仅当时，等号成立，
所以直线l上存在一些点到直线上某点之间的“曼哈顿距离”的最小值都相等，值为a．
令圆心到直线的距离，
解得或，
当时，直线与圆相切，切点在圆心左侧，
当时，直线与圆相切，切点在圆心右侧，
显然小于，舍去，
联立与，解得，，
由得，
此时切点与直线l上当的任意一点的“曼哈顿距离”为，为所求．
（3）设，，则，
，
令，，
令，解得，令，解得，
故在区间上单调递减，在区间上单调递增，
的值域为；
同理，令，则的值域为．
因此
，
当时即可取到等号．（注：取等号的a，b不唯一）
综上，的最小值为．
【点睛】函数新定义问题的方法和技巧：
（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；
（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；
（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；
（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念.
1
0
0
递增
极大值
递减
极小值
递增
1
0
0
递增
极大值
递减
极小值
递增
＋
－
↗
极大值
↘
＋
－
↗
极大值
↘
－
＋
↘
极小值
↗
1
＋
0
－
0
＋
递增
极大值
递减
极小值
递增
0
－
0
+
0
－
减
极小值
增
极大值
减
0
+
0
－
0
+
增
极大值
减
极小值
增
+
－
+
增
极大值
减
极小值
增
0
+
0
-
0
+
极大值
极小值
0
+
0
-
0
+
极大值
极小值
负
0
正
减
极小值
增函数