高中数学压轴题小题专项训练专题55概率统计中的范围与最值问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题55概率统计中的范围与最值问题含解析答案，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．足球运动是深受学生喜爱的一项体育运动，为了研究是否喜爱足球运动与学生性别的关系，从某高校男女生中各随机抽取80名学生进行调查问卷，得到如下数据（）：
若有90%以上的把握认为是否喜爱足球运动与学生性别有关，则m的最小值为（ ）
附：．其中．
A．17B．15C．13D．11
2．甲、乙、丙三个地区分别有、、人患了流感，且、、构成以为公差的等差数列．已知这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取一人，在此人患了流感的条件下，此人来自甲地区的概率最大，则的可能取值为（ ）
A．B．C．D．
3．某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生、女生人数均为，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的．若有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，则的最小值为（ ）
A．18B．20C．22D．24
4．某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为，已知他比赛两局得分的数学期望为2，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．因学校政治老师比较紧缺，高一年级为了了解学生选科中包含“政治”这一科目的学生人数便于安排教学.从高一年级中随机抽取了五个班，把每个班选科中包含“政治”的人数作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据各不相同，则样本数据中的最大值为（ ）
A．8B．9C．10D．11
6．已知变量x与y的一组样本数据满足，，对各样本数据求对数，再利用线性回归分析的方法得．若变量，则当z的预测值最大时，变量x的取值约为（ ）
A．5.4B．10.9C．14.8D．29.6
7．电信网络诈骗作为一种新型犯罪手段，己成为社会稳定和人民安全的重大威胁．2023年11月17日外交部发言人毛宁表示，一段时间以来，中缅持续加强打击电信诈骗等跨境违法犯罪合作，取得显著成效．此前公安部通过技术手段分析电信诈骗严重的地区，在排查过程，若某地区有10人接到诈骗电话，则对这10人随机进行核查，只要有一人被骗取钱财，则将该地区确定为“诈骗高发区”．假设每人被骗取钱财的概率为且相互独立，若当时，至少排查了9人才确定该地区为“诈骗高发区”的概率取得最大值，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．随机事件A，B，C满足，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．假设变量与变量的对观测数据为，两个变量满足一元线性回归模型.要利用成对样本数据求参数的最小二乘估计，即求使取最小值时的的值，则（ ）
A．B．
C．D．
10．现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结果的误差，则为使的概率控制在0.0456以下，至少要测量的次数为（ ）
A．32B．64C．128D．256
11．某蓝莓基地种植蓝莓，按1个蓝莓果重量Z克）分为4级：的为A级，的为B级，的为C级，的为D级，的为废果．将A级与B级果称为优等果．已知蓝莓果重量Z可近似服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出1个蓝莓果、记每次抽到优等果的概率为P（精确到0.1）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过n次，若抽查次数X的期望值不超过3，n的最大值为（ ）附：
A．4B．5C．6D．7
12．设随机变量（且），最大时，（ ）
A．1.98B．1.99C．2.00D．2.01
13．已知，则，，.今有一批数量庞大的零件.假设这批零件的某项质量指标引单位：毫米）服从正态分布，现从中随机抽取N个，这N个零件中恰有K个的质量指标ξ位于区间.若，试以使得最大的N值作为N的估计值，则N为（ ）
A．45B．53C．54D．90
二、填空题
14．已知随机变量，若对，都有，则的取值范围是 ．
15．某蓝莓基地种植蓝莓，按个蓝莓果重量（克）分为级：的为级，的为级，的为级，的为级，的为废果．将级与级果称为优等果．已知蓝莓果重量服从正态分布．对该蓝莓基地的蓝莓进行随机抽查，每次抽出个蓝莓果．记每次抽到优等果的概率为（可精确到）．若为优等果，则抽查终止，否则继续抽查直到抽出优等果，但抽查次数最多不超过次，若抽查次数的期望值不超过，的最大值为 ．
附：，，
16．已知实数的平均数为4，则这四个数的中位数的取值范围是 ．
17．一个袋子中有100个大小相同的球，其中有40个黄球，60个白球．采取不放回摸球，从中随机摸出22个球作为样本，用X表示样本中黄球的个数．当最大时， ．
18．某单位举办演讲比赛，最终来自四个部门共12人进入决赛，把四个部门进入决赛的人数作为样本数据.已知样本方差为2.5，且样本数据互不相同，则样本数据中的最大值为 .
19．已知a，b，c是正整数，且，，，当a，b，c方差最小时，写出满足条件的一组a，b，c的值 ．
20．已知某人每次投篮的命中率为，投进一球得1分，投不进得0分，记投篮一次的得分为X，则的最大值为 ．
21．甲乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每一局比赛都没有平局（必须分出胜负），且每一局甲赢的概率都是p，随机变量X表示最终的比赛局数，若，则的最大值是 ；的取值范围是 ．
22．现生产一款产品，其利润y（单位：万元）和投资x（单位：万元）的关系可以近似用函数表示.若投资4万元时，利润为5万元；投资9万元时，利润为7万元，则时投资x的范围是 .随机抽取6年的数据，已知这六年的投资都不亏本，若利润的平均数为3万元，则利润的方差的最大值为 .（单位：万元）
23．已知a，b，c，d，e为5个实数，若a，b，c，d、a，b，c，e、a，b，d，e的方差均为1，则b，c，d，e方差的最大值是 .
喜爱
不喜爱
男生
女生
0.25
0.10
0.05
0.001
k
2.072
2.706
3.841
6.635
参考答案：
1．B
【分析】由列联表计算观测值，根据有90%以上的把握认为是否喜爱足球运动与学生性别有关列出不等式，求出m的最小值.
【详解】因为有90%以上的把握认为是否喜爱足球运动与学生性别有关，
所以，
即，因为在，时单调递增，
且，，
所以m的最小值为15.
故选：B.
2．D
【分析】设事件、、分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”，事件为“此人患了流感”．利用条件概率公式计算出，根据题中条件可得出关于的不等式组，即可解得的取值范围，即可得解.
【详解】设事件、、分别为“此人来自甲、乙、丙三个地区”，
事件、、分别为“此人患了流感，且分别来自甲、乙、丙地区”，
事件为“此人患了流感”．
由题可知，，，，
，
由条件概率公式可得，
，，
由题意可得，即，解得.
故选：D.
3．B
【分析】由已知数据计算，根据独立性检验的结论，列不等式求的m取值范围得最小值.
【详解】根据题意，写出列联表如下：
则．
因为有的把握认为喜欢短视频和性别相关联，
所以，解得，所以的最小值为20
故选：B
4．B
【分析】分析两局得分的可能取值，求出相应的概率，由数学期望公式和已知数学期望得，通过基本不等式求的最大值.
【详解】比赛两局的得分可能的取值为0，1，2，3，4，6，
，，，，，，
则，
则有，得，当且仅当，即时等号成立，
所以的最大值为.
故选：B.
5．C
【分析】分析题意，利用均值和方差的定义列方程求解即可.
【详解】设五个班级参加的人数分别为，由题意得，,分析得必定为，故，解得，或，，解得或，显然人数从低到高为，故最大值为.
故选：C
6．D
【分析】先求样本中心点，再由样本中心点求回归直线的参数，最后结合二次函数即可求出最值时变量值.
【详解】由已知可得，
所以，
同理，代入，得，
所以，所以，则，
令，则，
当时，z取最大值，此时．
故选:D.
7．B
【分析】根据相互独立事件同时发生的概率写出概率公式，再用导数的方法确定的值.
【详解】设至少排查了9人才确定该地区为“诈骗高发区”的概率为，
则.
因为：.
由，得：.
所以在上递增，在上递减.
所以当时，取得最大值.即.
故选：B
8．D
【分析】根据概率性质结合条件概率以及互斥事件的定义分析判断.
【详解】由题意可知：，，
因为,
所以，
又，
所以，
又，
即的取值范围包含，结合选项可知D正确.
故选：D.
9．A
【分析】化简为二次函数形式，根据二次函数性质得到最值.
【详解】因为
，
上式是关于的二次函数，
因此要使取得最小值，当且仅当的取值为.
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是化简为二次函数形式，利用其性质得到最值时的.
10．C
【分析】先由题设条件得到，再转化得，从而利用正态分布原则可得，由此可得结果.
【详解】依题意，得，
所以，即，
而，所以且，
又因为，所以，，
所以且，即，解得，
故至少要测量的次数为.
故选：C.
11．A
【分析】依题意可得，设，利用错位相减法求出，即可得到，从而得到，再根据指数函数的性质及所给数据判断即可.
【详解】因为蓝莓果重量服从正态分布，其中，
，
设第次抽到优等果的概率（），
恰好抽取次的概率，所以，
设，则，
两式相减得：，
所以，
由，即，
又
所以的最大值为．
故选：A．
【点睛】关键点睛：本题的关键点在于设，利用错位相减法求出，进而求出，利用指数函数的单调性解不等式即可.
12．C
【分析】根据给定条件，求出最大时的M值，再利用超几何分布的期望公式计算作答.
【详解】随机变量，则，
因最大，则有，
即，，
整理得，解得，
而，则，所以.
故选：C
【点睛】关键点睛：熟练掌握组合数公式，这是正确计算的关键．
13．B
【分析】由已知可推得，，根据已知以及正态分布的对称性，可求得.则，，设，求出函数的最大整数值，即可得出答案.
【详解】由已知可得，.
又，
所以，，.
设，
则，
所以，，所以.
，
所以，，所以.
所以，以使得最大的N值作为N的估计值，则N为.
故选：B.
【点睛】思路点睛：由正态分布求出概率，然后根据已知，可得，得出，利用函数求出的最大值.
14．
【分析】利用二项分布的概率公式探讨取最大时的，再利用二项分布的期望公式求解即得.
【详解】由，得，
当，即时，；
当，即时，，
而，即，则当时，；
当时，，因此，
则，
所以的取值范围是．
故答案为：
15．4
【分析】依题意可得，设，利用错位相减法求出，即可得到，从而得到，再根据指数函数的性质及所给数据判断即可.
【详解】因为蓝莓果重量服从正态分布其中，
，
设第次抽到优等果的概率（），
恰好抽取次的概率，所以，
设，则，
两式相减得：，
所以，
由，即，的最大值为．
故答案为：．
【点睛】关键点睛：本题的关键点在于设，利用错位相减法求出，进而求出，利用指数函数的单调性解不等式即可.
16．
【分析】利用平均数及中位数的概念计算即可.
【详解】由题意可知，
若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，此时中位数是；
若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，此时，不符合题意；
若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，同上，不符合题意；
若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，则有；
若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，同上；
若该四个数按大小排列，位于中间，则位于两侧，可知；
此时中位数是；
综上所述这四个数的中位数的取值范围是.
故答案为：.
17．17.8/
【分析】首先分析超几何分布最大项确定的值，再通过超几何分布的期望公式求出的值，即可求出.
【详解】不放回的摸球，每次实验结果不独立，为超几何分布
，
最大时，即最大，
超几何分布最大项问题，利用比值求最大项
设
则
令
故当时，严格增加，
当时，严格下降，
即时取最大值，
此题中，
根据超几何分布的期望公式可得，
故答案为：17.8
18．5
【分析】设样本数据为，由样本方差列出等式，根据数据特征分类讨论满足条件的解.
【详解】设样本数据为， ，且.
样本平均数为3，样本方差为，
则，所以，解得.
当时，，因为样本数据互不相同，所以不存在使得等式成立.
当时，，存在，使得等式成立.
当时，因为样本数据互不相同，所以不存在使得等式成立.
所以样本数据中的最大值为5.
故答案为：5.
19．或（其中一组即可）
【分析】根据方差定义计算方差，再由方差最小，确定后转化为关于的二次函数，利用二次函数求最小值即可得解.
【详解】设，
则
，
要使方差最小，三个数据应尽量靠近，故，，
则，
关于的二次函数的对称轴为，又且为正整数，
所以当或时，方差最小，最小值为.
故满足条件的为或.
故答案为：或（其中一组即可）
20．/
【分析】结合两点分布的期望与方差公式以及基本不等式计算即可得.
【详解】由题意可知，X服从两点分布，可得，，
，则
，
当且仅当，即时，等号成立，
故最大值为．
故答案为：.
21． ； ；
【分析】结合二项分布可计算随机变量的分布列，再利用公式可求、，最后利用二次函数的性质可求其范围.
【详解】随机变量可能的取值为.
.
，
故的分布列为：
故
因为，故，故.
而，
令，因为，
故，此时，
故答案为：，.
22． 8
【分析】由题先求出a、b，然后分类讨论解根式不等式；先求出利润的范围，在求出利润减平均数平方的范围，即可得出答案.
【详解】由题得，所以，
即，
当时，显然成立，当时，两边平方的，
所以，综上，所以时投资x的范围是；
由答空1得，要不亏本，，则，
所以
，所以方差为
，
所以利润的方差的最大值为8万元.
故答案为：；8.
23．
【分析】先证明一个引理：当“是常数”时，，从而问题可转化为已知的方差均为，求的方差的最大值，分类讨论后可求方差的最大值.
【详解】解：先证明一个引理：当“是常数”时，.
证明：因为.
设，由引理可得原题即：
已知的方差均为，求的方差的最大值.
由题设可得：，
方程组里的前两个等式相减可得，
故，同理.
若互异，则，相减得，前后矛盾！里至少有两个相等.
（1）若，
则问题转化为由求的最大值.
而即，
故，故.
（2）若，则，即.
将代入三个方差等式化简均得：
将代入的表达式得：
当时，.
设. 将之代入得：
，
可得，故.
（3）若“”（由对称性知，“”与“”相同），则
当时，.
故设. 将之代入得：
,
可得，故.
综上，所求方差最大值是.
故答案为：.
【点睛】思路点睛：对于多变量的方差问题的讨论，应根据方差的性质将复杂方程转化为简单方程来处理，注意判别式法在范围计算中的应用.
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不喜欢
合计
男
3m
3m
6m
女
4m
2m
6m
合计
7m
5m
12m
2
3