高中数学压轴题小题专项训练专题25数列范围（最值）问题含解析答案

这是一份高中数学压轴题小题专项训练专题25数列范围（最值）问题含解析答案，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知正项数列的前n项积为，且，则使得的最小正整数n的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．已知的通项公式是，则数列的最大项是第（ ）项．
A．12B．13C．12或13D．14
3．已知是各项均为正整数的无穷数列，且，对任意与有且仅有一个成立，则的最小值为（ ）
A．18B．20C．21D．22
4．定义．若数列的前项和为，数列满足，令，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知数列满足，，且（，），设（表示不超过实数的最大整数），又，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
6．已知数列满足，且数列是单调递增的，则首项的取值范围是（ ）.
A．B．C．D．
7．已知正项数列的前项和为，前项积为，且满足，则不等式成立的的最小值为（ ）
A．11B．12C．13D．10
8．对于数列，定义为数列的“加权和”．设数列的“加权和”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
9．设等差数列的前n项和为，首项，公差，若对任意的，总存在，使．则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
10．已知函数．若数列的前n项和为，且满足，，则的最大值为（ ）
A．9B．12C．20D．
11．已知是各项均为正整数的数列，且，，对，与有且仅有一个成立，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
12．已知数列满足，若对任意正实数，总存在和相邻两项，使得成立，则实数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
13．设等差数列满足：，公差.若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
14．已知各项均为正数的数列满足，，则数列（ ）
A．无最小项，无最大项B．无最小项，有最大项
C．有最小项，无最大项D．有最小项，有最大项
15．已知是数列的前项和,且,若，则的最小值（ ）
A．B．C．D．
16．若，且对任意正整数n，均有，则称一个复数数列为“有趣的”．若存在常数C，使得对一切有趣的数列及任意正整数m，均有，则C的最大值为（ ）
A．B．1C．D．
二、填空题
17．若等差数列满足则的最大值为
18．已知数列满足，设，其中表示不超过的最大整数，为数列的前项和，若，则正整数的取值范围为 .
19．已知无穷等差数列中的各项均大于0，且，则的范围为 .
20．已知数列的前项和为，满足，则 ；数列满足，数列的前项和为，则的最大值为 ．
21．已知正项数列的前项和为，若，则的最小值为 ．
22．已知数列满足，且当时恒成立．设的前n项和为，当时，则n的最小值为 ．
23．结绳记事是人类最早跟数列打交道的一种朴素方式，人类所认识并应用于生活､生产的第一个数列便是自然数列.现有数列满足：第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推，记为数列的前项和，则 ；当时，若存在，使得，则的最小值为 .
24．若数列满足，且对任意都有，则的最小值为 .
25．已知等差数列的公差与等比数列的公比相等，且，，，则 ；若数列和的所有项合在一起，从小到大依次排列构成一个数列，数列的前项和为，则使得成立的的最小值为 ．
参考答案：
1．C
【分析】由递推关系可得，取对数并利用累乘法可求得的通项公式，再求出，利用等差数列的前项和公式即可求解.
【详解】由题，，又，
，，两式相除可得，
上式两边取对数，可得，即，，
，
化简得，又，即，故，
而当也符合该式，所以的通项公式为，
，
要使，即，解得，
且，所以满足题意的最小正整数的值为6.
故选：C.
【点睛】关键点睛：本题要由递推关系求出通项公式，再根据前项积求出.
2．C
【分析】的通项公式是令 ，利用导数研究其单调性即可求解．
【详解】解：，显然，
令，则

∴在上递增，在上递减，
∴ 时，函数f(x)取得极大值即最大值.


则数列的最大项是第12或13项.
故选：C.
3．B
【分析】利用列举法，根据递推关系以及“”取最小值，结合分类讨论来求得正确答案.
【详解】当时，若成立，则，
要使最小，则需当时，成立，
且，此时，当时，显然成立，
同理时，当成立，且，此时，
则.
当且成立时，即，要使最小，
则，此时，当时，成立，
同理，当成立，且，此时.
当时，显然成立.当时，成立，
则，若成立，则，
要使最小，则，
此时.
综上所述，的最小值为.
故选：B
【点睛】本题主要考查利用递推关系式研究数列的性质.通过递推关系式，我们可以推导出数列的通项公式，从而了解数列的规律和特征.比如，等差数列的递推公式可以告诉我们数列中任意一项的值，而等比数列的递推公式则可以告诉我们数列中任意一项与前一项的比值.通过这些信息，我们可以更好地理解数列的性质，并对其进行分类和比较.
4．D
【分析】根据题意，求得，，结合，且恒成立，得到或，且，列出不等式组，即可求得的取值范围.
【详解】由数列的前项和为，
当时，可得，
又由当时，，适合上式，
所以数列通项公式为，
由数列满足且，可得，
即，
各式相加可得，
又由，所以，所以，
因为，且恒成立，
当，，，符合题意；
当，则满足且且，即，解得；
综上，实数的取值范围为.
故选：D.
5．C
【分析】由经过因式分解后得到递推关系，从而得到数列的通项公式，进而得到； 可以表示为两点之间的距离的平方，根据和满足的关系式，通过求距离最小值得到的最小值.
【详解】
因为，所以，所以，
左右两边同时减得，即，
左右两边同时除以得， ，
所以，，则，
设是抛物线上的整点，为直线上的任意一点，
则，
点到直线的距离为，
当即时，，
故，当且仅当，时，等号成立，
从而的最小值为.
故选：C.
6．D
【分析】由数列是递增数列，则，此时有或，因此数列从第2项起每一项都大于2．这样可正确地求得的范围．
【详解】，解得或，
当时，，当且仅当时等号成立，
∴数列是递增数列，则从开始必有，
∴，解得或．
故选：D．
【点睛】本题考查数列的单调性，本来只要对任意，成立，数列就是递增数列，但本题中由递推式得出的是或，因此为了使这个不等式始终成立，还必须有，这样才能得出正确的结论．注意通项公式与递推公式的区别．
7．B
【分析】根据题意得到，再利用构造法得到数列为等比数列，从而求得的通项公式，再利用放缩法，结合等比数列的求和公式即可得解.
【详解】，，
，则，
时，，，则，
故，
因此是以为首项，为公比的等比数列.
所以，即.
根据题中条件，
则，，
因此.
当时，；
当时，.
综上，不等式成立的的最小值为12.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用构造法求得，从而利用放缩法即可得解.
8．B
【分析】借助与的关系可计算出数列的解析式，即可得，则分及两种情况分类讨论，当时，为有特殊定义域的二次函数，结合二次函数的性质可得，解出即可得.
【详解】当时，，则，
即，故，
当时，，符合上式，故，
则，故，
因为对任意的恒成立，
当时，有，即，不符合要求，
当时，则有，
解得.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题关键点在得到后，可知当时，为有特殊定义域的二次函数，即可结合二次的函数的性质解题.
9．C
【分析】首先根据等差数列的前项和公式得到，令，化简得到，又因为，所以，得，再利用等差数列前项和公式得到，利用二次函数的性质即可得到答案.
【详解】由题意得
则得，即，
令得，即①，即得.
因为首项，公差，则得，即.
又因为，所以，代入①得.
当时，由得
即，所以
即
因此当或11时，的最小值为.
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题主要考查等差数列前项和公式，根据题意化简得到，从而得到为解决本题的关键，属于中档题.
10．C
【分析】先得到及递推公式，要想最大，则分两种情况，为负数且最小或为正数且最大，进而求出最大值.
【详解】①，当时，，当时，②，所以①－②得：，整理得：，所以，或，
当是公差为2的等差数列，且时，最小，最大，此时，所以，此时；
当且是公差为2的等差数列时，最大，最大，此时，所以，此时
综上：的最大值为20
故选：C
【点睛】方法点睛：数列相关的最值求解，要结合题干条件，使用不等式放缩，函数单调性或导函数等进行求解.
11．B
【分析】令，由题设易知或有一项为1，则，判断各项取值情况，进而求的最小值.
【详解】当满足时，，
令，则或有一项为1，而，
∴，又是各项均为正整数的数列，
∴，，，，
此时的最小值为，
当满足时，，，，，，，时，
，
因为，
所以的最小值为20
故选：B.
12．B
【分析】根据数列的递推关系化简可得，再利用等差数列的通项公式及存在性问题，结合恒成立问题及解不等式即可求解.
【详解】由得，
，即，于是有，所以，即，
所以是首项为，公差为的等差数列，
所以，
由，得，所以，
由于，则，所以，可得，
因为，所以，即，
因为总存在，使得成立，即，
所以，即，所以
又，所以实数的最小值为.
故选：B.
【点睛】解决此题的关键是根据数列的递推关系得出数列为等差数列，利用等差数列的通项公式，结合存在性问题的处理办法及恒成立问题的处理办法即可求解.
13．A
【分析】利用公式对式子化简，再借助函数来处理.
【详解】由，
得，
由积化和差公式，得，
整理，得，
所以 ，因为公差，所以，
则.所以
，
设，其图像的对称轴方程为.
由题意，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，
所以，解得.
则首项的取值范围是.故B，C，D错误.
故选：A.
14．D
【分析】由数学归纳法得数列从第2项开始都大于1，这样是最小项，利用不等式放缩得出，引入函数利用导数证明其在时是减函数，得数列有上界，时，，再引入函数，由零点存在定理说明，从而确定这6项中的最大值是数列的最大项．
【详解】数列各项均为正，
，由得，一般地由数学归纳法知当时，由得（否则若，则，，，矛盾），
所以数列中，时，，是最小项．
又，，所以，，
记，则，两边求导得，即，
时，，是减函数，
所以时，是递减数列，因此有上界，时，，
即，
设，，时，，是增函数，
经过计算，得，而，所以时满足的满足，即，
从而，而这6个数中一定有最大值，此最大值也是数列的最大项．
故选：D．
【点睛】本题考查由数列的递推关系确定最大项和最小项，解题关键一是由数学归纳法证明数列有下界，再利用不等式的性质确定数列每一项满足，难点在于引入函数，利用导数证明在时是单调递减数列，再引入函数利用零点存在定理证明，从而说明有上界并在最大项．对学生的逻辑思维能力，创新意识要求较高，属于困难题．
15．B
【分析】先将化简成的形式,再分奇偶不同的情况,用并项求和法求出的值,和累加法求出的值,代入即可将用表示出来,最后化简得,根据基本不等式或二次函数的最值,求出的最小值是4
【详解】由得,
,
,
,
……
,
由奇数平方和公式得,
.
当n为奇数时,
,,
两式作差得,
则,
,
……
累加得,
,
由自然数平方和公式得,
则
又
,根据基本不等式,
当且仅当,即时,
即的最小值是4,
故选B
【点睛】本题考查了并项求和法、累加法、基本不等式的综合运用,尤其当奇偶项通项公式不同(或者符号不同)时,要分n为奇数和n为偶数的情况去讨论,得到通项公式更简单的形式,再去化简.另外当求取值范围的表达式中含有超过一个未知数时,需通过消元法或者基本不等式针对表达式变形.本题属于难题.
16．C
【分析】根据“有趣的”复数数列的定义可知,可求得,,对参数分奇偶性讨论,结合三角不等式得
利用无穷等比数列求和,即可求得的最小值.
【详解】由题意得，，
所以，从而，所以数列为等比数列，故
进而有
令，
当m为偶数时，设，
则；
当m为奇数时，设，
故
综上可得C的最大值为，
故选:C．
【点睛】关键点点睛:在本题中关键是构造并利用等比数列,
第一次是构造等比数列:由可构造等比数列从而求得,
第二次构造等比数列:利用构造等比数列,
第三次是转化为等比数列求和:由得到等比数列求和.
17．1005
【分析】由题意，，令，，则公差，再由等差数列前项和公式得，则，当取最大值时，直线与圆相切，由点到直线的距离公式求出的最大值，即可求出的最大值.
【详解】由题意，，即，
令，，则等差数列的公差，
则，
，即，
表示以原点为圆心，为半径的圆内（包含圆周），
所以取最大值时，直线与圆相切，
由点到直线的距离公式，，此时的最大值为5，
所以.
故答案为：1005
【点睛】本题主要考查等差数列前项和公式的应用、直线与圆的位置关系，考查学生分析转化能力，综合性较强，属于难题.
18．
【分析】首先根据递推公式求出，再由对数的运算性质和数列的新定义得出，最后由裂项相消求出，得出取值范围.
【详解】因为，
所以，
所以是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以
又因为，其中表示不超过的最大整数，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
解得，
所以，
故答案为：
19．
【分析】根据题意，设等差数列的公差为，分析可得的取值范围，由求出，则有，构造函数，利用导数可求出其最值，从而可得答案.
【详解】根据题意，设等差数列的公差为，
由于无穷等差数列中的各项均大于0，
则，由于，则，
解得或（舍去），
所以，
因为，所以，
令，
则，由，得，得，解得或（舍去）.
当时，，当时，，
所以在上递减，在上递增，
所以当时，取得最小值，
所以，即的范围为.
故答案为：
20．
【分析】借助数列与前项和的关系，由得作差即可得；得到后，结合裂项相消法计算即可得，结合数列的函数特性即可得的最大值.
【详解】将代入，得，
当时，由，得，
化简得，
因此数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
故，
，
则，
故，
易知函数在上单调递增，
在上单调递增，
且当时，，
当时，，
所以当时，取得最大值.
故答案为：；.
21．
【分析】由的关系得，由等差数列求和公式结合对勾函数性质即可得解.
【详解】由题意，因为数列是正项数列，
所以解得，
当时，有，，
两式相减得，
整理得，
因为数列是正项数列，
所以，即数列是首项为2，公差为1的等差数列，
所以，，
，
又在单调递减，在单调递增，
而，
所以当且仅当时，的最小值为.
故答案为：.
【点睛】关键点睛：关键是首先得出，，由此即可顺利得解.
22．21
【分析】根据题意分别得出数列的奇数、偶数项都为为公差为的等差数列，从而利用分组并项求和即可求解.
【详解】由题意知，且当时，恒成立，
所以当为奇数时，，且，
所以得，
因为当时，恒成立，
则，所以可得数列的奇数项成公差为的等差数列；
所以当为偶数时，，且，
所以得，
因为当时，恒成立，
则，所以可得数列的偶数项成公差为的等差数列；
当为偶数时，
；
当为奇数时，
所以，
所以当时，要使的值最小，即得的值需最大，
又因为，所以，所以，
所以，
所以当为偶数时，，即，解得：，即的最小值为；
所以当为奇数时，，即，
解得：，又因为，所以的最小值为.
综上所述：的最小值为.
故答案为：.
23．
【分析】利用得出数列的求和公式，判断出前10项的和为前4组的和，进而求得的值，假设前项的和为前项的和，由已知得，转化为为的整数幂，得到应该被消去，由此可知加上组的部分项，求得满足题意的的最小值，即可求得的最小值，最后利用，求得的最小值，即可求解.
【详解】由数列满足：第一组为，第二组为，，第组为，
则前组中共有项，
令，可得，所以数列前4组中共有10项，
所以，
当时，可得，
若前项的和为前项的和，可得：
，
由已知得，整理得，
由此可得为的整数幂，其中为的整数幂，则应该被消去，
所以若前项和应再加上组的部分项，
设应加上组的前项时，被消去，
即，可得，
则为等式的成立的最小值，此时，
所以
，
所以，所以的最小值为，
则的最小值为.
故答案为：；.
24．8
【分析】根据题意，分析数列的前5项，结合递推公式分析可得在中，最大为，设，分析可得，且，将其变形可得，可以得到数列是首项为﹣2，公比为的等比数列，结合等比数列的通项公式求出数列通项公式，则有，据此分析恒成立可得答案．
【详解】解：根据题意，数列满足
当时，有，则，，
分析可得：在中，最大为，
设，则有，
且，
变形可得：，所以数列是首项为6﹣8＝﹣2，公比为的等比数列，则，
则，
即，又为递增数列，且，
所以若对任意任意都有成立，则，即的最小值为8；
故答案为8
【点睛】本题考查数列的递推公式，注意查找规律，分析局部数列的性质是解题的关键，属于难题.
25．
【分析】设等比数列的公比为，则等差数列的公差为，根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，可得出数列的通项公式；设满足不等式的正整数的最小值为，推导出，设，其中且，根据可得出关于的不等式，求出的最小值，即可得出的值，即为所求.
【详解】设等比数列的公比为，则等差数列的公差为，
则，，，
解得，，，
所以，，，
由，整理可得，
数列的各项分别为：、、、、、、、、、，
其中前若干项中，数列有项，数列有项，
所以，是数列的第项，
所以，
，
所以，，
令，整理可得，
令，则有，解得，
因为，所以，，可得，
所以，满足不等式的正整数的最小值为，
同理可知，满足不等式的正整数的最大值为，
所以满足不等式的正整数的最小值，即，
设，其中且，
则
，
，
由，整理可得，解得，
所以自然数的最小值为，所以.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题考查利用数列不等式求参数的值，解题的关键在于确定满足条件的正整数的最小值所在的区间，并引入合适的参数，求出相应的参数的值，进而得解,