2025版高考数学全程一轮复习学案第五章平面向量与复数第一节平面向量的概念及线性运算

这是一份2025版高考数学全程一轮复习学案第五章平面向量与复数第一节平面向量的概念及线性运算，共5页。学案主要包含了常用结论等内容，欢迎下载使用。

1.向量的有关概念
(1)向量：既有________又有________的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向．向量AB的大小就是向量的长度(或称________)，记作______．
(2)零向量：长度为____________的向量，记作____________．
(3)单位向量：长度等于________长度的向量．
(4)平行向量：方向________或________的非零向量，也叫做共线向量，规定：零向量与任意向量________．
(5)相等向量：长度相等且方向________的向量．
(6)相反向量：长度相等且方向________的向量．
2．向量的线性运算
3.共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使得________．不能漏掉这一条件
【常用结论】
1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量，即A1A2+A2A3+A3A4+…+An-1An＝A1An(n≥2，n∈N*)．特别地，一个封闭图形首尾顺次连接而成的向量和为零向量．
2．若F为线段AB的中点，O为平面内任意一点，则OF＝12(OA+OB)．
3．若A，B，C是平面内不共线的三点，则PA+PB+PC＝0⇔P为△ABC的重心，AP＝13(AB+AC).
4．若OA＝λOB＋μOC(λ，μ为常数)，则A，B，C三点共线的充要条件是λ＋μ＝1.
5．对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.
夯 实 基 础
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量就是有向线段．( )
(2)零向量没有方向．( )
(3)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( )
(4)若a∥b，b∥c，则a∥c.( )
2．(教材改编)如图，▱ABCD的对角线交于M，若AB＝a，AD＝b，用a，b表示MD为( )
A. 12a＋12b B．12a－12b
C．－12a－12b D．－12a＋12b
3．(教材改编)设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与2a－b共线，则λ＝________．
4．(易错)下列说法正确的是( )
A．若|a|>|b|，则a>b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若a＝b，则a、b共线
D．若a≠b，则a、b不共线
5．若四边形ABCD满足AD∥BC且|AB|＝|DC|，则四边形ABCD的形状是________．
第一节 平面向量的概念及线性运算
必备知识
1．(1)大小 方向 模 |AB| (2)0 0 (3)1个单位 (4)相同
相反 平行 (5)相同 (6)相反
2．b＋a a＋(b＋c) |λ||a| 相同 相反 (λμ)a λa＋μa λa＋λb
3．b＝λa
夯实基础
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
2．解析：MD＝12BD＝12(AD-AB)＝12(b－a)＝－12a＋12b.
故选D.
答案：D
3．解析：依题意知向量a＋λb与2a－b共线，设a＋λb＝k(2a－b)，则有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0，所以1-2k=0，k+λ=0，解得k＝12，λ＝－12.
答案：－12
4．解析：对于A，向量是矢量，不能比较大小，故A错误；对于B，向量相等时，模长相等且方向相同，故B错误；对于C，若a＝b时，a与b方向相同，则a、b共线，故C正确；对于D，若a≠b时，也可能a与b方向相同或相反，即a、b可能共线，故D错误．故选C.
答案：C
5．解析：当|AD|＝|BC|时，四边形ABCD是平行四边形；当|AD|≠|BC|时，四边形ABCD是等腰梯形．
答案：等腰梯形或平行四边形向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算，叫做向量的加法
三角形法则
适用于任意两个非零向量求和
平行四边形法则
只能用于两个不共线向量求和
(1)交换律：a＋b＝________
(2)结合律：(a＋b)＋c＝________
减法
向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差．求两个向量差的运算叫做向量的减法
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算叫做向量的数乘
(1)|λa|＝____；
(2)当λ>0时，λa的方向与a的方向______；当λ<0时，λa的方向与a的方向________；当λ＝0时，λa＝0
λ(μa)＝________；
(λ＋μ)a＝________；
λ(a＋b)＝________
(λ，μ为实数)