2025版高考数学全程一轮复习练习第六章数列第四节数列求和

这是一份2025版高考数学全程一轮复习练习第六章数列第四节数列求和，共12页。试卷主要包含了故选B等内容，欢迎下载使用。

1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式．
2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．
问题思考·夯实技能
【问题1】 使用裂项相消法求和时要注意哪些问题？
【问题2】 推导等比数列的前n项和公式的方法是什么？请你试一试．
关键能力·题型剖析
题型一 分组求和与并项求和
例1 [2024·河南开封模拟]记Sn为正项数列{an}的前n项和，已知a1＝1，Sn＋Sn－1＝(n≥2，n∈N*)．
(1)求数列{an}的前n项和Sn；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
[听课记录]
题后师说
(1)分组转化法求和的常见类型主要有：分段型(如①an＝②an＝2n＋3n－1)，周期型.
(2)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两或几个相结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．
巩固训练1
[2024·广东深圳模拟]已知数列{an}中，a1＝2，nan＋1－(n＋1)an＝1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝求数列{bn}的前100项和．
题型二 裂项相消法求和
例2 [2024·河北秦皇岛模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn，且{Sn＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．
(1)求an；
(2)求证：数列{}的前n项和Tn<.
[听课记录]
题后师说
一般是前面裂几项，后面就裂几项；消项后前边剩几项，后边就剩几项．
巩固训练2
[2024·安徽马鞍山模拟]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且a1，a2，S3成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
题型三 错位相减法求和
例3 [2024·河北衡水模拟]已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝1，Sn＝(n＋t)n(t为常数)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
[听课记录]
题后师说
(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以数列{bn}的公比，然后作差求解．
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．
巩固训练3
[2024·辽宁沈阳模拟]已知各项均不为零的数列{an}满足a1＝，且2an－2an＋1＝3anan＋1，n∈N*.
(1)证明：{}为等差数列，并求{an}的通项公式；
(2)令cn＝，Tn为数列{cn}的前n项和，求Tn.
1．[2024·江西景德镇模拟]在数列{an}中，an＝＋…＋(n∈N＋)，bn＝，则数列{bn}的前n项和S10＝( )
A． B． C． D．
2．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝，则S10＝( )
A．130 B．169 C．200 D．230
3．已知函数y＝f(x)满足f(x)＋f(1－x)＝1，若数列{an}满足an＝f(0)＋f()＋f()＋…＋f()＋f(1)，则数列{an}的前20项的和为( )
A．230 B．115 C．110 D．100
4．[2021·新高考Ⅰ卷]某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为20 dm×12 dm的长方形纸，对折1次共可以得到10 dm×12 dm，20 dm×6 dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240 dm2，对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180 dm2.以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为________；如果对折n次，那么＝________ dm2.
第四节 数列求和
问题思考·夯实技能
【问题1】 提示：(1)使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
(2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，是裂开的两项之差和系数之积与原通项相等．例如：设an为等差数列，公差为d，＝)，＝)．
【问题2】 提示：错位相减求和法. 对于等比数列{an}中，前n项和为Sn，则Sn＝a1＋a2＋…＋an＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1 ①，
qSn＝a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1＋a1qn ②.
①－②得(1－q)Sn＝a1(1－qn)，
∴当q≠1时，Sn＝，当q＝1时，Sn＝na1.
关键能力·题型剖析
例1 解析：(1)当n≥2时，因为an＝Sn－Sn－1，
所以Sn＋Sn－1＝，
即＝1，所以数列}为等差数列，公差为1，首项为＝1，
所以＝n，又{an}为正项数列，则Sn＝.
(2)由(1)可知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝，
a1＝1亦适合上式，所以an＝，
所以bn＝＝(－1)n()，
当n为偶数时，Tn＝－1＋1＋＋…＋＝，
当n为奇数时，Tn＝－1＋1＋＋…－＝－，
综上可知Tn＝
巩固训练1 解析：(1)∵nan＋1－(n＋1)an＝1，
∴＝＝，
∴{}是常数列，即＝＝3，∴an＝3n－1.
(2)由(1)知，{an} 是首项为2，公差为3的等差数列，
由题意得b2n－1＝a2n－1＋1＝6n－3，b2n＝2a2n＋1＝12n＋4，
设数列{b2n－1}，{b2n}的前50项和分别为T1，T2，
∴T1＝＝25×300＝7 500，
T2＝＝25×620＝15 500，
∴{bn}的前100项和为T1＋T2＝7 500＋15 500＝23 000.
例2 解析：(1)∵{Sn＋2}是首项为4，公比为2的等比数列，
∴Sn＋2＝4·2n－1＝2n＋1，∴Sn＝2n＋1－2，
当n≥2时，Sn－1＝2n－2，
∴an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－2)－(2n－2)＝2n，
又∵a1＝S1＝2，∴an＝2n(n∈N*)．
(2)＝＝，
∴Tn＝＋…＋
＝＋…＋
＝，
∵n∈N*，2n＋2－2>0，∴<，
得Tn<.
巩固训练2 解析：(1)若等差数列{an}的公差为d，
由＝a1S3，则(1＋d)2＝1×＝3(1＋d)，
所以d＝－1或d＝2，
当d＝－1时，a2＝0，与a1，a2，S3成等比数列矛盾，排除；
所以d＝2，则an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
(2)由(1)知：Sn＝＝n2，
则bn＝＝＝)，
所以Tn＝(1－＋…＋)＝(1－)＝.
例3 解析：(1)令n＝1，S1＝a1＝(＋t)，可得t＝，
所以Sn＝(n＋)n，
当n≥2时，Sn－1＝[(n－1)＋](n－1)，
可得an＝Sn－Sn－1＝[n2－(n－1)2]＋＝n，
所以an＝n(n≥2，n∈N*)，
又因为a1＝1满足上式，
所以an＝n(n∈N*)．
(2)因为bn＝＝n·()n＋1，
所以Tn＝1×()2＋2×()3＋3×()4＋…＋n×()n＋1，
两边乘得：Tn＝1×()3＋2×()4＋3×()5＋…＋(n－1)×()n＋1＋n×()n＋2，
两式相减得：Tn＝()2＋()3＋()4＋()5＋…＋()n＋1－n×()n＋2，
即Tn＝－n×()n＋2，
所以Tn＝－()×()n.
巩固训练3 解析：(1)由2an－2an＋1＝3anan＋1，得＝3，n∈N*，
又＝5，∴{}是首项为5，公差为3的等差数列．
∴＝5＋3(n－1)＝3n＋2，故an＝，n∈N*.
(2)由(1)知an＝，∴cn＝＝(3n＋2)·2n－1，
所以Tn＝5＋8×2＋11×22＋…＋(3n－1)·2n－2＋(3n＋2)·2n－1 ①，
2Tn＝5×2＋8×22＋11×23＋…＋(3n－1)·2n－1＋(3n＋2)·2n ②，
①－②得：－Tn＝5＋3×2＋3×22＋…＋3×2n－1－(3n＋2)·2n＝5＋－(3n＋2)·2n＝(1－3n)·2n－1，
∴Tn＝(3n－1)·2n＋1.
随堂检测
1．解析：∵an＝＋…＋＝＝＝，∴bn＝＝＝4()，∴S10＝4×(1－＋…＋)＝4×(1－)＝.故选D.
答案：D
2．解析：∵an＝，∴S10＝(a1＋a3＋a5＋a7＋a9)＋(a2＋a4＋a6＋a8＋a10)＝(1＋5＋9＋13＋17)＋(11＋21＋31＋41＋51)＝45＋155＝200.故选C.
答案：C
3．解析：an＝f(0)＋f()＋f()＋…＋f()＋f(1) ①，
an＝f(1)＋f()＋f()＋…＋f()＋f(0) ②，
两式相加，又因为f(x)＋f(1－x)＝1，
故2an＝n＋1，所以an＝，
所以{an}的前20项的和为Sn＝a1＋a2＋…＋a20＝＋…＋，Sn＝20×1＋＝115.故选B.
答案：B
4．解析：(1)由对折2次共可以得到5 dm×12 dm，10 dm×6 dm，20 dm×3 dm三种规格的图形，所以对折三次的结果有：×12，5×6，10×3，20×，共4种不同规格(单位dm2)；
故对折4次可得到如下规格：×12，×6，5×3，10×，20×，共5种不同规格(单位dm2)；
(2)由于每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对折后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120，第n次对折后的图形面积为120×n－1，对于第n次对折后的图形的规格形状种数，根据(1)的过程和结论，猜想为n＋1种(证明从略)，故得猜想Sn＝，
设S＝＝＋…＋，
则S＝＋…＋，
两式作差得：
S＝240＋120
＝240＋
＝360－＝360－，
因此S＝720－＝720－.
答案：5 720－