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人教版七年级数学下册同步精品讲义专题第07课 算数平方根与平方根（教师版）-
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这是一份人教版七年级数学下册同步精品讲义专题第07课 算数平方根与平方根（教师版）-，共28页。试卷主要包含了算术平方根的定义，平方根的定义等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作 ，读作“a的算术平方根”，叫做被开方数.
注意：
（1）当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
（2）负数没有算数平方根；
（3）算数平方根等于本身的数有：0和1；
（4）算数平方根平方等于原来的数；
（5）注意运算结果的非负性；
2.平方根的定义
如果，那么x叫做a的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
注意：
（1）非负数才有平方根；
（2）负数没有平方根；
（3）平方根等于本身的数是：0；
（4）一个正数有2个平方根，他们互为相反数；
（5）平方根平方等于原来的数；
知识点02 平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
注意：
知识点03 平方根的性质
（1）
（2）
知识点04 平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右（左）每移动两位，算术平方根的小数点向右（左）移动一位。
例如：，，，.
能力拓展
考法01 算数平方根与平方根的计算
【典例1】16的算术平方根是___________．
【答案】4
【解析】
【详解】
正数的正的平方根叫算术平方根，0的算术平方根还是0；负数没有平方根也没有算术平方根
∵
∴16的平方根为4和-4
∴16的算术平方根为4
【典例2】9的平方根是_________．
【答案】±3
【解析】
【详解】
分析：根据平方根的定义解答即可．
详解：∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3．
故答案为±3．
点睛：本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
【典例3】的平方根是____．
【答案】±3
【解析】
【详解】
∵=9，
∴9的平方根是.
故答案为3.
【即学即练】的平方根是 ．
【答案】±2．
【解析】
【详解】
解：∵
∴的平方根是±2．
故答案为±2．
考法02 利用平方根解方程
【典例4】求下列各式中的x值：
(1)169x2＝144；
(2)(x－2)2－36＝0.
【答案】（1）x＝±；（2）x＝8或x＝－4.
【解析】
【分析】
（1）移项后，根据平方根定义求解；
（2）移项后，根据平方根定义求解．
【详解】
解：(1)169x2＝144，
移项得：x2＝，
解得：x＝±.
(2)(x－2)2－36＝0，
移项得：(x－2)2＝36，
开方得：x-2=6或x-2=-6
解得：x＝8或x＝－4.
故答案为（1）x＝±；（2）x＝8或x＝－4.
【点睛】
本题考查利用平方根解方程，解答此题的关键是掌握平方根的概念.
【即学即练】利用平方根求下列x的值：
(1)（x+1）2=16.
(2)3(x+2)2=27
(3)64（x+1）2﹣25=0．
【答案】(1) x=3或x=﹣5；(2)x=1或-5；(3) x1=﹣，x1=﹣．
【解析】
【分析】
(1)先根据平方根的定义求出x+1的值，然后再求解即可；(2) 先求得（x+2）2的值，然后依据平方根的定义求解即可；(3) 先化简并根据立方根的定义求出x+1的值，然后再进行计算即可．
【详解】
(1)开方，得x+1=±4，则x=3或x=﹣5．
(2)(x+2)²=,x+2=±,x=1或-5；
(3)方程整理得：（x+1）2=，开方得：x+1=±，解得：x1=﹣，x1=﹣．
【点睛】
本题考查了利用平方根的定义解方程，整体思想的利用是解题的关键．
考法03 平方根和算数平方根的逆运算
【典例5】已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．
【答案】±3
【解析】
【分析】
先根据2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4求出ab的值，再求出a+2b的值，由平方根的定义进行解答即可．
【详解】
解：∵2a﹣1的平方根为±3，
∴2a﹣1＝9，解得，2a＝10，
a＝5；
∵3a+b﹣1的算术平方根为4，
∴3a+b﹣1＝16，即15+b﹣1＝16，
解得b＝2，
∴a+2b＝5+4＝9，
∴a+2b的平方根为：±3．
【点睛】
本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知一个数的平方根有两个，这两个数互为相反数是解答此题的关键．
【即学即练】已知2a+1的平方根是±3，5a+2b-2的算术平方根是4，求：3a-4b的平方根．
【答案】
【解析】
【详解】
试题分析：根据已知得出2a+1=9，5a+2b-2=16，求出a b，代入求出即可．
试题解析
根据题意得：2a+1=32=9，5a+2b-2=16，
即a=4，b=-1，
∴3a-4b=16，
∴3a-4b的平方根是±.
【即学即练】如果一个正数m的两个平方根分别是2a－3和a－9，求2m－2的值．
【答案】48
【解析】
【分析】
根据一个正数的两个平方根互为相反数求出a的值，利用平方根和平方的关系求出m，再求出2m-2的值．
【详解】
解：∵一个正数的两个平方根分别是2a－3和a－9，
∴(2a－3)+(a－9)=0，解得a= 4，
∴这个正数为(2a－3) 2=52=25，∴2m－2=2×25－2= 48；
故答案为48.
【点睛】
本题考查平方根.
【即学即练】已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.
【答案】13.
【解析】
【分析】
根据开方与平方是互逆运算，求出2m+2的值，与3m+n+1的值，然后两式联立求出m、n的值，再代入进行计算即可求解．
【详解】
解：∵2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，
∴2m+2=16，3m+n+1=25，
联立解得，m=7，n=3，
∴m+2n=7+2×3=13．
考法04 算数平方根结果的非负性
【典例6】已知与互为相反数．
（1）求2a－3b的平方根；
（2）解关于x的方程．
【答案】（1）的平方根为；（2）．
【解析】
【分析】
（1）先由相反数的定义列出等式，再根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性求出a、b的值，然后代入，根据平方根的定义求解即可；
（2）先将a、b的值代入，再利用平方根的性质求解即可．
【详解】
（1）由相反数的定义得：
由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得：
解得
则
故的平方根为；
（2）方程可化为
整理得
解得．
【点睛】
本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性、算术平方根的非负性、平方根的定义等知识点，利用绝对值的非负性、算术平方根的非负性求解是常考知识点，需重点掌握．
【即学即练】已知+|y-17|=0，求x+y的算术平方根.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】
根据题意得：，
解得： ，
则x+y=25，算术平方根是：.
故答案是：5.
【点睛】
本题考查非负数的性质：算术平方根，非负数的性质：绝对值.
考法05 算数平方根小数点移动规律
【典例7】观察下表，按你发现的规律填空
已知，则的值为_______．
【答案】387.3
【解析】
【详解】
试题分析：观察表格得：被开方数扩大或缩小102n倍，非负数的算术平方根就相应的扩大或缩小10n倍；
或者说成被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就向左或向右移动n位；
被开方数15到150000小数点向右移动4位，所以其算术平方根的小数点向右移动2位，
即=387.3；
【即学即练】若≈6.172，≈19.517，则≈__．
【答案】617.2
【解析】
【分析】
利用被开方数的小数点向左或向右移动两位，则算术平方根的小数点向左或向右移动一位直接回答即可．
【详解】
解：∵≈6.172，
∴≈617.2，
故答案为：617.2．
【点睛】
本题考查了算术平方根的知识，解题的关键是了解被开方数的小数点向左或向右移动两位，则算术平方根的小数点向左或向右移动一位．
【即学即练】若则_______.
【答案】44.72
【解析】
【分析】
被开方数2000是把20的小数点向右移动2位后得到的，则的值是把的小数点向右运动1位.
【详解】
因为，所以44.72.
故答案为44.72.
【点睛】
本题考查了算术平方根的概念，关键是理解算术平方根每向左(或右)移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根每向相同的方向移动一位．
【即学即练】已知，则=________.
【答案】
【解析】
【详解】
试题解析：
考法06 平方根的性质应用
【典例8】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是_________________
【答案】
【解析】
【分析】
先根据数轴的定义得出，再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减即可得．
【详解】
由数轴的定义得：，
则，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了数轴的定义、绝对值运算、算术平方根、整式的加减，根据数轴的定义判断出是解题关键．
【即学即练】实数、在数轴上的位置，化简______．
【答案】
【解析】
【分析】
由数轴得：，，，根据二次根式的性质化简即可.
【详解】
解：由数轴得：，，
故答案为：.
【点睛】
本小题主要考查利用数轴判断实数取值范围、二次根式的化简、代数式的恒等变形等基础知识，考查基本的代数运算能力．观察数轴确定a、b及a-b的符号是解答本题的关键，本题巧用数轴给出了每个数的符号，渗透了数形结合的思想，这也是中考时常考的知识点．
【即学即练】已知实数a在数轴上的位置如图，则化简|1﹣a|+的结果为_____．
【答案】1-2a
【解析】
【详解】
由图可知：，
∴，
∴.
故答案为.
考法07 算数平方根的估算
【典例9】的小数部分是__________.
【答案】-3
【解析】
【详解】
∵9<13<16,
∴3<<4,
∴的整数部分是3，小数部分是-3.
故答案为-3.
【即学即练】若的整数部分为，小数部分为，则．
【答案】【答题空1】3
【答题空2】
【解析】
【详解】
∵9＜10＜16
∴3＜＜4，
∴a=3，b=-3，
故答案为3，﹣3．
【即学即练】已知a，b为两个连续的整数，且a<【答案】11
【解析】
【详解】
∵ ，
∴5<<6，
∴a=5，b=6，
∴a+b=11，
故答案为11.
【即学即练】已知a，b为两个连续的整数，且a<【答案】15
【解析】
【分析】
估算出在哪两个相邻的整数之间，即可求出a与b的值，然后代入a＋b计算即可.
【详解】
∵72<57<82,
∴7<<8,
∴a=7,b=8,
∴a＋b＝7+8=15.
故答案为15.
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
考法08 找规律
【典例10】请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值__________．
【答案】351
【解析】
【分析】
先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．
【详解】
=1
=3
=6
=10
发现规律：1+2+3+
∴1+2+3=351
故答案为：351
【点睛】
本题考查找规律，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．
【即学即练】观察下列各式：，，，……请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来__________________．
【答案】
【解析】
【分析】
观察分析可得，，，则将此规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
【详解】
由分析可知，发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
故答案为：
【点睛】
本题主要考查二次根式，找出题中的规律是解题的关键，观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出用n表示的等式即可．
【即学即练】归纳并猜想:
(1)的整数部分为____;
(2)的整数部分为____;
(3)的整数部分为____;
(4)猜想:当n为正整数时,的整数部分为____,并把小数部分表示出来为____.
【答案】 l 2 3 n
【解析】
【详解】
试题解析：(1)因为＝，1＜＜2，所以的整数部分为1；
(2)因为＝，2＜＜3，所以的整数部分为2；
(3)因为＝，3＜＜4，所以的整数部分为3；
(4)猜想：当n为正整数时，的整数部分为n，小数部分为：.
【即学即练】观察分析下列数据，并寻找规律：，，，，，，…，根据规律可知第n个数据应是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定数中被开方数的变化找出变化规律“第n个数据中被开方数为：3n-1”，依此即可得出结论．
【详解】
∵被开方数为：2=3×1-1，5=3×2-1，8=3×3-1，11=3×4-1，14=3×5-1，17=3×6-1，…，
∴第n个数据中被开方数为：3n-1，
故答案为．
【点睛】
本题考查了算术平方根以及规律型中数的变化类，根据被开方数的变化找出变化规律是解题的关键．
分层提分
题组A 基础过关练
1．的算术平方根为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【详解】
分析：先求得的值，再继续求所求数的算术平方根即可．
详解：∵=2，
而2的算术平方根是，
∴的算术平方根是，
故选B．
点睛：此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否则容易出现选A的错误．
2．下列说法中错误的是（ ）
A．是0.25的一个平方根B．正数a的两个平方根的和为0
C．的平方根是D．当时，没有平方根
【答案】C
【解析】
【详解】
A选项中，因为“”，所以A中说法正确；
B选项中，因为“正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两数和为0”，所以B中说法正确；
C选项中，因为“的平方根是”，所以C中说法错误；
D选项中，因为“当时，的值是负数，而负数没有平方根”，所以D中说法正确；
故选C.
3．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ）
A．2a+bB．-2a+bC．bD．2a-b
【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可：
∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|，
∴.
故选C．
考点：1.绝对值；2.二次根式的性质与化简；3.实数与数轴．
4．已知，那么的值为（ ）
A．-1B．1C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据算术平方根和绝对值的非负性，确定a、b的值，再代入代数式求值即可.
【详解】
解：由题意得：a+2=0，b-1=0，即a=-2，b=1
所以，
故答案为A.
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质，利用非负数的性质确定待定的字母的值是解答的关键
5．若则的值是（ ）
A．2B．1C．0D．
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故选B．
考点：1．非负数的性质：算术平方根；2．非负数的性质：绝对值．
6．下列计算正确的是（ ）
A．＝±3B．＝﹣2C．＝﹣3D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据算术平方根与立方根的定义即可求出答案．
【详解】
解：（A）原式＝3，故A错误；
（B）原式＝﹣2，故B正确；
（C）原式＝＝3，故C错误；
（D）与不能相加，故D错误；
故选B．
【点睛】
本题考查算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键.
7．的平方根是,用式子表示正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
依据一个正数有两个平方根解答即可．
【详解】
的平方根是, 用式子表示正确的是.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
8．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ）
A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间
【答案】B
【解析】
【详解】
解：∵一个正方形的面积是15，
∴该正方形的边长为，
∵9＜15＜16，
∴3＜＜4．
故选B．
9．一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则这个正数a的值是（ ）
A．25B．49C．64D．81
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一个正数的两个平方根互为相反数可得（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，可求得x，再由平方根的定义即可解答．
【详解】
解：由正数的两个平方根互为相反数可得
（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，
解得x＝﹣2，
所以5﹣x＝5﹣（﹣2）＝7，
所以a＝72＝49．
故答案为B．
【点睛】
本题考查了平方根的性质,理解平方根与算术平方根的区别及联系是解答本题的关键．
10．若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，则m的值是（ ）
A．－3B．－1C．1D．－3或1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平方根的性质列方程求解即可；
【详解】
当时，；
当时，；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查平方根的性质，易错点是容易忽略相等的情况，做好分类讨论是解决本题的关键.
题组B 能力提升练
11．16的平方根是 ．
【答案】±4．
【解析】
【详解】
由（±4）2=16，可得16的平方根是±4．
12．已知a、b满足（a﹣1）2+=0，则a+b=_____．
【答案】﹣1
【解析】
【分析】
利用非负数的性质可得a-1=0，b+2=0，解方程即可求得a，b的值，进而得出答案．
【详解】
∵（a﹣1）2+=0，
∴a=1，b=﹣2，
∴a+b=﹣1，
故答案为﹣1．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，熟知几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0是解题的关键.
13．一个正数的平方根分别是和，则__．
【答案】2．
【解析】
【分析】
根据正数的两个平方根互为相反数可得关于x的方程，解方程即可得．
【详解】
根据题意可得：x+1+x﹣5=0，
解得：x=2，
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．
14．如果的小数部分为，的整数部分为，则=______
【答案】1
【解析】
【详解】
15．若(x﹣1)2=4，则x=_____．
【答案】x＝3或-1
【解析】
【详解】
根据题意，或，
解得或．
故答案为：3或−1．
16．若，，则__________________.
【答案】1.01
【解析】
【详解】
【分析】由于1.0201比102.01小数点向左移动了二位，那么则它的平方根就向左移动一位，根据此规律即可解题．
【详解】∵，
∴1.01，
故答案为1.01.
【点睛】本题主要考查了平方根的定义，解题关键是小数点的位置，要会从条件中找到规律：所求数的小数点向左移动了二位，则它的平方根就向左移动一位．
17．代数式－3－的最大值为_______，这时a与b的关系是_______．
【答案】 －3 互为相反数
【解析】
【分析】
根据非负数的性质，≥0，则－3－的最大值为－3，此时a＋b＝0．
【详解】
∵≥0，∴－3－≤－3
∴－3－的最大值为－3，此时a＋b＝0，因此a，b互为相反数．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，解题关键是熟记一个数的相反数的性质，两个数的和为0．
18．观察下列等式：＝；＝；＝；……，则第n（n为正整数）个等式是__．
【答案】
【解析】
【分析】
根据算术平方根和数字变化的规律，即可解答．
【详解】
归纳类推得：第n（n为正整数）个等式是
故答案为：．
【点睛】
本题考查了算术平方根和数字变化的规律，根据观察前3个等式，归纳类推出一般规律是解题关键．
题组C 培优拔尖练
19．解方程．
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2），；（3），．
【解析】
【分析】
（1）系数化为1后开方，得到两个一元一次方程求解即可；
（2）系数化为1后开方，得到两个一元一次方程求解即可；
（3）先移项，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
【详解】
解：（1）系数化为1得：，
两边同时开平方得：；
（2）系数化为1得：，
两边同时开平方得：；
即或，
解得，；
（3）移项得：
两边同时开平方得：；
即或，
解得，．
【点睛】
本题考查利用平方根解方程．解题思想是两边同时开平方，降次，将二次降为一次求解．
20．已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b-c的平方根．
【答案】a+2b－c的平方根为.
【解析】
【详解】
试题分析：先根据算术平方根及平方根的定义得出关于的方程组，求出的值，再估算出的取值范围求出c的值，代入所求代数式进行计算即可．
试题解析：∵2a−1的算术平方根是3，3a+b−1的平方根是±4，
∴
解得
∵9<13<16，
∴
∴的整数部分是3，即c=3，
∴原式
6的平方根是
21．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；（2）求的平方根．
【答案】（1）a=5，b=2，c=3 ；（2）±4.
【解析】
【分析】
(1)利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值.
(2)将a、b、c的值代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【详解】
(1)∵5a+2的立方根是3，3a+b-1的算术平方根是4，
∴5a+2=27，3a+b-1=16，
∴a=5，b=2，
∵c是的整数部分，
∴c=3，
（2）∵a=5,b=2,c=3,
∴3a-b+c=16，
3a-b+c的平方根是±4．
【点睛】
考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
22．实数.在数轴上的位置如图所示，请化简： .
【答案】
【解析】
【分析】
根据a、b在数轴的位置可知a、b的大小关系，进而根据绝对值和二次根式的性质化简即可.
【详解】
由图知a＜0＜b，且|a|＜|b|，
则原式=b﹣a+a﹣（a+b）
=b﹣a+a﹣a﹣b
=﹣a．
【点睛】
本题考查绝对值和二次根式的性质，负数的绝对值是它的相反数，熟练掌握绝对值的性质是解题关键.
23．有两个十分喜欢探究的同学小明和小芳，他们善于将所做的题目进行归类，下面是他们的探究过程．
(1)解题与归纳
①小明摘选了以下各题，请你帮他完成填空．
＝ ；＝ ；＝ ；＝ ；＝ ；＝ ；
②归纳：对于任意数a,有＝
③小芳摘选了以下各题，请你帮她完成填空．
＝ ；＝ ；＝ ；＝ ；＝ ； ＝ ；
④归纳：对于任意非负数a,有＝
(2)应用
根据他们归纳得出的结论，解答问题．
数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：-
【答案】（1）①2，5，6，0，3，6，②（或或其他答案），③4，9，25，36，49，0，④a
（2）-a-b
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据要求填空即可；
（2）先根据数轴上点的位置确定：a＜0，b＞0，b＞a，再根据（1）中的公式代入计算即可．
试题解析：（1）=2； =5； =6；=0； =|﹣3|=3； =|﹣6|=6；
故答案为2，5，6，0，3，6；
②对于任意数a，有=|a|=，
故答案为|a|=；
③=4； =9； =25；=36；=49； =0；
故答案为4，9，25，36，49，0
④对于任意非负数a，有=a，
故答案为a；
（2）由数轴得：a＜0，b＞0，b＞a，
∴b﹣a＞0
化简：．
=|a|﹣|b|+|a﹣b|﹣（b﹣a）
=﹣a﹣b+b﹣a﹣b+a
=﹣a﹣b．
24．观察下列式子变形过程，完成下列任务：
（1）类比上述变形过程的基本思路，猜想的结果并验证；
（2）算：.
【答案】（1），验证见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题目给出的规律直接得出结果，再类比题目的变形过程验证；
（2）根据题目的规律进行计算即可．
【详解】
（1），
验证：
，
，
（2），
，
．
故答案为（1），验证见解析；（2）
【点睛】
本题考查算术平方根，根据题目给出的规律得出算术平方根的运算结果是解题的关键，运用了类比的思想方法．
课程标准
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
算术平方根
平方根
定义
若正数x，，正数x叫做a的算术平方根，
若数x，，数x叫做a的平方根，
a的范围
表示
正数有一个算术平方根，是正数
正数有两个平方根，它们互为相反数
0的算术平方根是0
0的平方根是0
负数没有算术平方根
负数没有平方根
目标导航
知识精讲
知识点01 平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作 ，读作“a的算术平方根”，叫做被开方数.
注意：
（1）当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
（2）负数没有算数平方根；
（3）算数平方根等于本身的数有：0和1；
（4）算数平方根平方等于原来的数；
（5）注意运算结果的非负性；
2.平方根的定义
如果，那么x叫做a的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
注意：
（1）非负数才有平方根；
（2）负数没有平方根；
（3）平方根等于本身的数是：0；
（4）一个正数有2个平方根，他们互为相反数；
（5）平方根平方等于原来的数；
知识点02 平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
注意：
知识点03 平方根的性质
（1）
（2）
知识点04 平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右（左）每移动两位，算术平方根的小数点向右（左）移动一位。
例如：，，，.
能力拓展
考法01 算数平方根与平方根的计算
【典例1】16的算术平方根是___________．
【答案】4
【解析】
【详解】
正数的正的平方根叫算术平方根，0的算术平方根还是0；负数没有平方根也没有算术平方根
∵
∴16的平方根为4和-4
∴16的算术平方根为4
【典例2】9的平方根是_________．
【答案】±3
【解析】
【详解】
分析：根据平方根的定义解答即可．
详解：∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3．
故答案为±3．
点睛：本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
【典例3】的平方根是____．
【答案】±3
【解析】
【详解】
∵=9，
∴9的平方根是.
故答案为3.
【即学即练】的平方根是 ．
【答案】±2．
【解析】
【详解】
解：∵
∴的平方根是±2．
故答案为±2．
考法02 利用平方根解方程
【典例4】求下列各式中的x值：
(1)169x2＝144；
(2)(x－2)2－36＝0.
【答案】（1）x＝±；（2）x＝8或x＝－4.
【解析】
【分析】
（1）移项后，根据平方根定义求解；
（2）移项后，根据平方根定义求解．
【详解】
解：(1)169x2＝144，
移项得：x2＝，
解得：x＝±.
(2)(x－2)2－36＝0，
移项得：(x－2)2＝36，
开方得：x-2=6或x-2=-6
解得：x＝8或x＝－4.
故答案为（1）x＝±；（2）x＝8或x＝－4.
【点睛】
本题考查利用平方根解方程，解答此题的关键是掌握平方根的概念.
【即学即练】利用平方根求下列x的值：
(1)（x+1）2=16.
(2)3(x+2)2=27
(3)64（x+1）2﹣25=0．
【答案】(1) x=3或x=﹣5；(2)x=1或-5；(3) x1=﹣，x1=﹣．
【解析】
【分析】
(1)先根据平方根的定义求出x+1的值，然后再求解即可；(2) 先求得（x+2）2的值，然后依据平方根的定义求解即可；(3) 先化简并根据立方根的定义求出x+1的值，然后再进行计算即可．
【详解】
(1)开方，得x+1=±4，则x=3或x=﹣5．
(2)(x+2)²=,x+2=±,x=1或-5；
(3)方程整理得：（x+1）2=，开方得：x+1=±，解得：x1=﹣，x1=﹣．
【点睛】
本题考查了利用平方根的定义解方程，整体思想的利用是解题的关键．
考法03 平方根和算数平方根的逆运算
【典例5】已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．
【答案】±3
【解析】
【分析】
先根据2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4求出ab的值，再求出a+2b的值，由平方根的定义进行解答即可．
【详解】
解：∵2a﹣1的平方根为±3，
∴2a﹣1＝9，解得，2a＝10，
a＝5；
∵3a+b﹣1的算术平方根为4，
∴3a+b﹣1＝16，即15+b﹣1＝16，
解得b＝2，
∴a+2b＝5+4＝9，
∴a+2b的平方根为：±3．
【点睛】
本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知一个数的平方根有两个，这两个数互为相反数是解答此题的关键．
【即学即练】已知2a+1的平方根是±3，5a+2b-2的算术平方根是4，求：3a-4b的平方根．
【答案】
【解析】
【详解】
试题分析：根据已知得出2a+1=9，5a+2b-2=16，求出a b，代入求出即可．
试题解析
根据题意得：2a+1=32=9，5a+2b-2=16，
即a=4，b=-1，
∴3a-4b=16，
∴3a-4b的平方根是±.
【即学即练】如果一个正数m的两个平方根分别是2a－3和a－9，求2m－2的值．
【答案】48
【解析】
【分析】
根据一个正数的两个平方根互为相反数求出a的值，利用平方根和平方的关系求出m，再求出2m-2的值．
【详解】
解：∵一个正数的两个平方根分别是2a－3和a－9，
∴(2a－3)+(a－9)=0，解得a= 4，
∴这个正数为(2a－3) 2=52=25，∴2m－2=2×25－2= 48；
故答案为48.
【点睛】
本题考查平方根.
【即学即练】已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.
【答案】13.
【解析】
【分析】
根据开方与平方是互逆运算，求出2m+2的值，与3m+n+1的值，然后两式联立求出m、n的值，再代入进行计算即可求解．
【详解】
解：∵2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，
∴2m+2=16，3m+n+1=25，
联立解得，m=7，n=3，
∴m+2n=7+2×3=13．
考法04 算数平方根结果的非负性
【典例6】已知与互为相反数．
（1）求2a－3b的平方根；
（2）解关于x的方程．
【答案】（1）的平方根为；（2）．
【解析】
【分析】
（1）先由相反数的定义列出等式，再根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性求出a、b的值，然后代入，根据平方根的定义求解即可；
（2）先将a、b的值代入，再利用平方根的性质求解即可．
【详解】
（1）由相反数的定义得：
由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得：
解得
则
故的平方根为；
（2）方程可化为
整理得
解得．
【点睛】
本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性、算术平方根的非负性、平方根的定义等知识点，利用绝对值的非负性、算术平方根的非负性求解是常考知识点，需重点掌握．
【即学即练】已知+|y-17|=0，求x+y的算术平方根.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】
根据题意得：，
解得： ，
则x+y=25，算术平方根是：.
故答案是：5.
【点睛】
本题考查非负数的性质：算术平方根，非负数的性质：绝对值.
考法05 算数平方根小数点移动规律
【典例7】观察下表，按你发现的规律填空
已知，则的值为_______．
【答案】387.3
【解析】
【详解】
试题分析：观察表格得：被开方数扩大或缩小102n倍，非负数的算术平方根就相应的扩大或缩小10n倍；
或者说成被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就向左或向右移动n位；
被开方数15到150000小数点向右移动4位，所以其算术平方根的小数点向右移动2位，
即=387.3；
【即学即练】若≈6.172，≈19.517，则≈__．
【答案】617.2
【解析】
【分析】
利用被开方数的小数点向左或向右移动两位，则算术平方根的小数点向左或向右移动一位直接回答即可．
【详解】
解：∵≈6.172，
∴≈617.2，
故答案为：617.2．
【点睛】
本题考查了算术平方根的知识，解题的关键是了解被开方数的小数点向左或向右移动两位，则算术平方根的小数点向左或向右移动一位．
【即学即练】若则_______.
【答案】44.72
【解析】
【分析】
被开方数2000是把20的小数点向右移动2位后得到的，则的值是把的小数点向右运动1位.
【详解】
因为，所以44.72.
故答案为44.72.
【点睛】
本题考查了算术平方根的概念，关键是理解算术平方根每向左(或右)移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根每向相同的方向移动一位．
【即学即练】已知，则=________.
【答案】
【解析】
【详解】
试题解析：
考法06 平方根的性质应用
【典例8】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是_________________
【答案】
【解析】
【分析】
先根据数轴的定义得出，再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减即可得．
【详解】
由数轴的定义得：，
则，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了数轴的定义、绝对值运算、算术平方根、整式的加减，根据数轴的定义判断出是解题关键．
【即学即练】实数、在数轴上的位置，化简______．
【答案】
【解析】
【分析】
由数轴得：，，，根据二次根式的性质化简即可.
【详解】
解：由数轴得：，，
故答案为：.
【点睛】
本小题主要考查利用数轴判断实数取值范围、二次根式的化简、代数式的恒等变形等基础知识，考查基本的代数运算能力．观察数轴确定a、b及a-b的符号是解答本题的关键，本题巧用数轴给出了每个数的符号，渗透了数形结合的思想，这也是中考时常考的知识点．
【即学即练】已知实数a在数轴上的位置如图，则化简|1﹣a|+的结果为_____．
【答案】1-2a
【解析】
【详解】
由图可知：，
∴，
∴.
故答案为.
考法07 算数平方根的估算
【典例9】的小数部分是__________.
【答案】-3
【解析】
【详解】
∵9<13<16,
∴3<<4,
∴的整数部分是3，小数部分是-3.
故答案为-3.
【即学即练】若的整数部分为，小数部分为，则．
【答案】【答题空1】3
【答题空2】
【解析】
【详解】
∵9＜10＜16
∴3＜＜4，
∴a=3，b=-3，
故答案为3，﹣3．
【即学即练】已知a，b为两个连续的整数，且a<
【解析】
【详解】
∵ ，
∴5<<6，
∴a=5，b=6，
∴a+b=11，
故答案为11.
【即学即练】已知a，b为两个连续的整数，且a<
【解析】
【分析】
估算出在哪两个相邻的整数之间，即可求出a与b的值，然后代入a＋b计算即可.
【详解】
∵72<57<82,
∴7<<8,
∴a=7,b=8,
∴a＋b＝7+8=15.
故答案为15.
【点睛】
此题主要考查了估算无理数的大小，注意首先估算被开方数在哪两个相邻的平方数之间，再估算该无理数在哪两个相邻的整数之间．现实生活中经常需要估算，估算应是我们具备的数学能力，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．
考法08 找规律
【典例10】请先在草稿纸上计算下列四个式子的值：①；②；③；④，观察你计算的结果，用你发现的规律直接写出下面式子的值__________．
【答案】351
【解析】
【分析】
先计算题干中四个简单式子，算出结果，找出规律，根据规律得出最后式子的的值．
【详解】
=1
=3
=6
=10
发现规律：1+2+3+
∴1+2+3=351
故答案为：351
【点睛】
本题考查找规律，解题关键是先计算题干中的4个简单算式，得出规律后再进行复杂算式的求解．
【即学即练】观察下列各式：，，，……请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来__________________．
【答案】
【解析】
【分析】
观察分析可得，，，则将此规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
【详解】
由分析可知，发现的规律用含自然数n(n≥1)的等式表示出来是
故答案为：
【点睛】
本题主要考查二次根式，找出题中的规律是解题的关键，观察各式，归纳总结得到一般性规律，写出用n表示的等式即可．
【即学即练】归纳并猜想:
(1)的整数部分为____;
(2)的整数部分为____;
(3)的整数部分为____;
(4)猜想:当n为正整数时,的整数部分为____,并把小数部分表示出来为____.
【答案】 l 2 3 n
【解析】
【详解】
试题解析：(1)因为＝，1＜＜2，所以的整数部分为1；
(2)因为＝，2＜＜3，所以的整数部分为2；
(3)因为＝，3＜＜4，所以的整数部分为3；
(4)猜想：当n为正整数时，的整数部分为n，小数部分为：.
【即学即练】观察分析下列数据，并寻找规律：，，，，，，…，根据规律可知第n个数据应是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据给定数中被开方数的变化找出变化规律“第n个数据中被开方数为：3n-1”，依此即可得出结论．
【详解】
∵被开方数为：2=3×1-1，5=3×2-1，8=3×3-1，11=3×4-1，14=3×5-1，17=3×6-1，…，
∴第n个数据中被开方数为：3n-1，
故答案为．
【点睛】
本题考查了算术平方根以及规律型中数的变化类，根据被开方数的变化找出变化规律是解题的关键．
分层提分
题组A 基础过关练
1．的算术平方根为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【详解】
分析：先求得的值，再继续求所求数的算术平方根即可．
详解：∵=2，
而2的算术平方根是，
∴的算术平方根是，
故选B．
点睛：此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否则容易出现选A的错误．
2．下列说法中错误的是（ ）
A．是0.25的一个平方根B．正数a的两个平方根的和为0
C．的平方根是D．当时，没有平方根
【答案】C
【解析】
【详解】
A选项中，因为“”，所以A中说法正确；
B选项中，因为“正数的两个平方根互为相反数，而互为相反数的两数和为0”，所以B中说法正确；
C选项中，因为“的平方根是”，所以C中说法错误；
D选项中，因为“当时，的值是负数，而负数没有平方根”，所以D中说法正确；
故选C.
3．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简的结果为（ ）
A．2a+bB．-2a+bC．bD．2a-b
【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：利用数轴得出a+b的符号，进而利用绝对值和二次根式的性质得出即可：
∵由数轴可知，b＞0＞a，且 |a|＞|b|，
∴.
故选C．
考点：1.绝对值；2.二次根式的性质与化简；3.实数与数轴．
4．已知，那么的值为（ ）
A．-1B．1C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据算术平方根和绝对值的非负性，确定a、b的值，再代入代数式求值即可.
【详解】
解：由题意得：a+2=0，b-1=0，即a=-2，b=1
所以，
故答案为A.
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质，利用非负数的性质确定待定的字母的值是解答的关键
5．若则的值是（ ）
A．2B．1C．0D．
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：由题意得，3﹣a=0，2+b=0，解得，a=3，b=﹣2，a+b=1，故选B．
考点：1．非负数的性质：算术平方根；2．非负数的性质：绝对值．
6．下列计算正确的是（ ）
A．＝±3B．＝﹣2C．＝﹣3D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据算术平方根与立方根的定义即可求出答案．
【详解】
解：（A）原式＝3，故A错误；
（B）原式＝﹣2，故B正确；
（C）原式＝＝3，故C错误；
（D）与不能相加，故D错误；
故选B．
【点睛】
本题考查算术平方根与立方根，熟练掌握算术平方根与立方根的性质是解题关键.
7．的平方根是,用式子表示正确的是( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
依据一个正数有两个平方根解答即可．
【详解】
的平方根是, 用式子表示正确的是.
故选:B.
【点睛】
本题主要考查的是平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键．
8．一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在（ ）
A．2与3之间B．3与4之间C．4与5之间D．5与6之间
【答案】B
【解析】
【详解】
解：∵一个正方形的面积是15，
∴该正方形的边长为，
∵9＜15＜16，
∴3＜＜4．
故选B．
9．一个正数a的平方根是2x﹣3与5﹣x，则这个正数a的值是（ ）
A．25B．49C．64D．81
【答案】B
【解析】
【分析】
根据一个正数的两个平方根互为相反数可得（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，可求得x，再由平方根的定义即可解答．
【详解】
解：由正数的两个平方根互为相反数可得
（2x﹣3）+（5﹣x）＝0，
解得x＝﹣2，
所以5﹣x＝5﹣（﹣2）＝7，
所以a＝72＝49．
故答案为B．
【点睛】
本题考查了平方根的性质,理解平方根与算术平方根的区别及联系是解答本题的关键．
10．若2m－4与3m－1是同一个数的平方根，则m的值是（ ）
A．－3B．－1C．1D．－3或1
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平方根的性质列方程求解即可；
【详解】
当时，；
当时，；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查平方根的性质，易错点是容易忽略相等的情况，做好分类讨论是解决本题的关键.
题组B 能力提升练
11．16的平方根是 ．
【答案】±4．
【解析】
【详解】
由（±4）2=16，可得16的平方根是±4．
12．已知a、b满足（a﹣1）2+=0，则a+b=_____．
【答案】﹣1
【解析】
【分析】
利用非负数的性质可得a-1=0，b+2=0，解方程即可求得a，b的值，进而得出答案．
【详解】
∵（a﹣1）2+=0，
∴a=1，b=﹣2，
∴a+b=﹣1，
故答案为﹣1．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，熟知几个非负数的和为0，那么每个非负数都为0是解题的关键.
13．一个正数的平方根分别是和，则__．
【答案】2．
【解析】
【分析】
根据正数的两个平方根互为相反数可得关于x的方程，解方程即可得．
【详解】
根据题意可得：x+1+x﹣5=0，
解得：x=2，
故答案为2．
【点睛】
本题主要考查了平方根的定义和性质，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键．
14．如果的小数部分为，的整数部分为，则=______
【答案】1
【解析】
【详解】
15．若(x﹣1)2=4，则x=_____．
【答案】x＝3或-1
【解析】
【详解】
根据题意，或，
解得或．
故答案为：3或−1．
16．若，，则__________________.
【答案】1.01
【解析】
【详解】
【分析】由于1.0201比102.01小数点向左移动了二位，那么则它的平方根就向左移动一位，根据此规律即可解题．
【详解】∵，
∴1.01，
故答案为1.01.
【点睛】本题主要考查了平方根的定义，解题关键是小数点的位置，要会从条件中找到规律：所求数的小数点向左移动了二位，则它的平方根就向左移动一位．
17．代数式－3－的最大值为_______，这时a与b的关系是_______．
【答案】 －3 互为相反数
【解析】
【分析】
根据非负数的性质，≥0，则－3－的最大值为－3，此时a＋b＝0．
【详解】
∵≥0，∴－3－≤－3
∴－3－的最大值为－3，此时a＋b＝0，因此a，b互为相反数．
【点睛】
本题考查了非负数的性质，解题关键是熟记一个数的相反数的性质，两个数的和为0．
18．观察下列等式：＝；＝；＝；……，则第n（n为正整数）个等式是__．
【答案】
【解析】
【分析】
根据算术平方根和数字变化的规律，即可解答．
【详解】
归纳类推得：第n（n为正整数）个等式是
故答案为：．
【点睛】
本题考查了算术平方根和数字变化的规律，根据观察前3个等式，归纳类推出一般规律是解题关键．
题组C 培优拔尖练
19．解方程．
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；（2），；（3），．
【解析】
【分析】
（1）系数化为1后开方，得到两个一元一次方程求解即可；
（2）系数化为1后开方，得到两个一元一次方程求解即可；
（3）先移项，再开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
【详解】
解：（1）系数化为1得：，
两边同时开平方得：；
（2）系数化为1得：，
两边同时开平方得：；
即或，
解得，；
（3）移项得：
两边同时开平方得：；
即或，
解得，．
【点睛】
本题考查利用平方根解方程．解题思想是两边同时开平方，降次，将二次降为一次求解．
20．已知2a-1的算术平方根是3，3a+b-1的平方根是±4，c是的整数部分，求a+2b-c的平方根．
【答案】a+2b－c的平方根为.
【解析】
【详解】
试题分析：先根据算术平方根及平方根的定义得出关于的方程组，求出的值，再估算出的取值范围求出c的值，代入所求代数式进行计算即可．
试题解析：∵2a−1的算术平方根是3，3a+b−1的平方根是±4，
∴
解得
∵9<13<16，
∴
∴的整数部分是3，即c=3，
∴原式
6的平方根是
21．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；（2）求的平方根．
【答案】（1）a=5，b=2，c=3 ；（2）±4.
【解析】
【分析】
(1)利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出a、b、c的值.
(2)将a、b、c的值代数式求出值后，进一步求得平方根即可．
【详解】
(1)∵5a+2的立方根是3，3a+b-1的算术平方根是4，
∴5a+2=27，3a+b-1=16，
∴a=5，b=2，
∵c是的整数部分，
∴c=3，
（2）∵a=5,b=2,c=3,
∴3a-b+c=16，
3a-b+c的平方根是±4．
【点睛】
考查立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法、平方根的意义、代数式求值等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算即可．
22．实数.在数轴上的位置如图所示，请化简： .
【答案】
【解析】
【分析】
根据a、b在数轴的位置可知a、b的大小关系，进而根据绝对值和二次根式的性质化简即可.
【详解】
由图知a＜0＜b，且|a|＜|b|，
则原式=b﹣a+a﹣（a+b）
=b﹣a+a﹣a﹣b
=﹣a．
【点睛】
本题考查绝对值和二次根式的性质，负数的绝对值是它的相反数，熟练掌握绝对值的性质是解题关键.
23．有两个十分喜欢探究的同学小明和小芳，他们善于将所做的题目进行归类，下面是他们的探究过程．
(1)解题与归纳
①小明摘选了以下各题，请你帮他完成填空．
＝ ；＝ ；＝ ；＝ ；＝ ；＝ ；
②归纳：对于任意数a,有＝
③小芳摘选了以下各题，请你帮她完成填空．
＝ ；＝ ；＝ ；＝ ；＝ ； ＝ ；
④归纳：对于任意非负数a,有＝
(2)应用
根据他们归纳得出的结论，解答问题．
数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：-
【答案】（1）①2，5，6，0，3，6，②（或或其他答案），③4，9，25，36，49，0，④a
（2）-a-b
【解析】
【详解】
试题分析：（1）根据要求填空即可；
（2）先根据数轴上点的位置确定：a＜0，b＞0，b＞a，再根据（1）中的公式代入计算即可．
试题解析：（1）=2； =5； =6；=0； =|﹣3|=3； =|﹣6|=6；
故答案为2，5，6，0，3，6；
②对于任意数a，有=|a|=，
故答案为|a|=；
③=4； =9； =25；=36；=49； =0；
故答案为4，9，25，36，49，0
④对于任意非负数a，有=a，
故答案为a；
（2）由数轴得：a＜0，b＞0，b＞a，
∴b﹣a＞0
化简：．
=|a|﹣|b|+|a﹣b|﹣（b﹣a）
=﹣a﹣b+b﹣a﹣b+a
=﹣a﹣b．
24．观察下列式子变形过程，完成下列任务：
（1）类比上述变形过程的基本思路，猜想的结果并验证；
（2）算：.
【答案】（1），验证见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据题目给出的规律直接得出结果，再类比题目的变形过程验证；
（2）根据题目的规律进行计算即可．
【详解】
（1），
验证：
，
，
（2），
，
．
故答案为（1），验证见解析；（2）
【点睛】
本题考查算术平方根，根据题目给出的规律得出算术平方根的运算结果是解题的关键，运用了类比的思想方法．
课程标准
1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根．
2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方根．
算术平方根
平方根
定义
若正数x，，正数x叫做a的算术平方根，
若数x，，数x叫做a的平方根，
a的范围
表示
正数有一个算术平方根，是正数
正数有两个平方根，它们互为相反数
0的算术平方根是0
0的平方根是0
负数没有算术平方根
负数没有平方根
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