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人教版七年级数学下册同步精品讲义专题第09课 实数（教师版）-
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这是一份人教版七年级数学下册同步精品讲义专题第09课 实数（教师版）-，共17页。试卷主要包含了313113111……，实数与数轴上的点一一对应，3737737773……等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
注意：
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：
①含类.
②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….
③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
知识点02 实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
知识点03 实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
知识点04 实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
能力拓展
考法01 实数概念
【典例1】把下列各数分别填入相应的集合内：
，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）
…
有理数集合
…
无理数集合
【答案】
有理数有：， ，，，0，
无理数有：，，， ，，， 0.3737737773……
【点睛】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，， ，，.
【即学即练】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由.
(1)无理数都是开方开不尽的数.( )
(2)无理数都是无限小数.( )
(3)无限小数都是无理数.( )
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( )
(5)不带根号的数都是有理数.( )
(6)带根号的数都是无理数.( )
(7)有理数都是有限小数.( )
(8)实数包括有限小数和无限小数.( )
【答案】
(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020 020 002…这类的数也是无理数.
(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.
(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数.
(4)(×)0是有理数.
(5)(×)如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.
(6)(×)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数.
(7)(×)有理数还包括无限循环小数.
(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以 实数可以用有限小数和无限小数表示.
考法02 实数大小的比较
【典例2】比较与的大小．
【分析】根据，，则来比较两个实数的大小．
【答案】
解：因为，．
所以＜
【点睛】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等.
【即学即练】若两个连续整数x、y满足x＜+1＜y，则x+y的值是 ．
【答案】7．
解：∵，
∴，
∵x＜+1＜y，
∴x=3，y=4，
∴x+y=3+4=7．
考法03 实数的运算
【典例3】求的值．
【答案】
解：（1）当≥0时，，，
所以．
（2）当＜0时，，，
所以．
即值为0或2．
【点睛】本题是涉及平方根（算术平方根）和立方根的综合运算，但还应注意本题需要分类讨论．要注意对的讨论，而开立方不需要讨论符号．
【即学即练】若的两个平方根是方程的一组解．
（1）求的值；
（2）求的算术平方根．
【答案】
解：（1）∵ 的平方根是的一组解，则设的平方根为，，
则根据题意得：解得
∴ 为．
（2）∵ ．
∴ 的算术平方根为4．
考法04 实数的综合运用
【典例4】已知，且，求的值．
【答案】
解：∵ ，且，．
∴ ，即，．
解得 ＝3，＝5，得＝64．
∴ ．
【点睛】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由，可求、，又，所以＝64，则可求．
【即学即练】已知，求的值．
【答案】
解：知条件得，
由②得，，∵ ，∴ ，则．
把代入①得，＝1．
∴ ．
【典例5】如图，半径为1个单位的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：圆的周长C=2πr）
（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是 ；
（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：
+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2
①第几次滚动后，Q点距离原点最近？第几次滚动后，Q点距离原点最远？
②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？
【分析】
（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
（2）①利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出Q点移动距离变化；
②利用绝对值得性质以及有理数的加减运算得出移动距离和Q表示的数即可．
【答案】
解：（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是﹣2π；
故答案为：﹣2π；
（2）①第4次滚动后Q点离原点最近，第3次滚动后，Q点离原点最远；
②|﹢2|+|﹣1|+|﹣5|+|+4|+|+3|+|﹣2|=17，
Q点运动的路程共有：17×2π×1=34π；
（+2）+（﹣1）+（﹣5）+（+4 ）+（+3 ）+（﹣2）=1，
1×2π=2π，此时点Q所表示的数是2π．
【点睛】此题主要考查了数轴的应用以及绝对值得性质和圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数是解题关键．
分层提分
题组A 基础过关练
1．的相反数是【 】
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【详解】
相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．因此的相反数是．故选C．
考点：相反数．
2．估计的值在( )
A．2和3之间B．3和4之间
C．4和5之间D．5和6之间
【答案】C
【解析】
【分析】
由可知，再估计的范围即可.
【详解】
解：，.
故选：C.
【点睛】
本题考查了实数的估算，熟练的确定一个无理数介于哪两个整数之间是解题的关键.
3．下列实数中的无理数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【详解】
分析: 分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项.
详解: =1.1， =-2， 是有理数，
是无理数，
故选C.
点睛：此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式.
4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把﹣a，﹣b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．﹣a＜0＜﹣bB．0＜﹣a＜﹣bC．﹣b＜0＜﹣aD．0＜﹣b＜﹣a
【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：根据数轴得出a＜0＜b，求出﹣a＞﹣b，﹣b＜0，﹣a＞0，即可得出答案．
∵从数轴可知：a＜0＜b， ∴﹣a＞﹣b，﹣b＜0，﹣a＞0， ∴﹣b＜0＜﹣a，
考点：(1)、实数大小比较；(2)、实数与数轴
5．如图，在数轴上表示的点可能是（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
【答案】B
【解析】
【分析】
利用无理数的估算得到3＜＜4，然后对各点进行判断即可．
【详解】
解：∵9＜15＜16，
∴3＜＜4，
而3＜OQ＜4，
∴表示的点可能是点Q．
故选：B．
【点睛】
本题考查了实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
6．有下列四个论断：①﹣是有理数；② 是分数；③2.131131113…是无理数；④π是无理数，其中正确的是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据无理数的概念即可判定选择项．
【详解】
解：①﹣是有理数，正确；
②是无理数，故错误；
③2.131131113…是无理数，正确；
④π是无理数，正确；
正确的有3个．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
7．化简的结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先比较与3的大小，然后由绝对值的意义，化简即可得到答案．
【详解】
解：∵<3
∴-3<0
即：；
故选：D．
【点睛】
本题考查了绝对值的意义，解题的关键是掌握负数的绝对值是它的相反数．
8．下列说法：①2的平方根是；②的立方根是±；③－81没有立方根；④实数和数轴上的点一一对应．其中错误的有 （ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据实数、平方根、立方根，数轴的定义和性质分别进行分析，即可得出答案．
【详解】
①2的平方根是，正确，
②的立方根是，故本选项错误，
③-81有立方根，故本选项错误，
④实数和数轴上的点一一对应，正确．
其中错误的有②③；
故选C．
【点睛】
此题考查了实数与数轴，用到的知识点是实数、平方根、立方根，数轴，熟知有关定义和性质是本题的关键．
9．下列语句正确是（ ）
A．无限小数是无理数B．无理数是无限小数
C．实数分为正实数和负实数D．两个无理数的和还是无理数
【答案】B
【解析】
【详解】
解：A．无限不循环小数是无理数，故A错误；
B．无理数是无限小数，正确；
C．实数分为正实数、负实数和0，故C错误；
D．互为相反数的两个无理数的和是0，不是无理数，故D错误．
故选B．
题组B 能力提升练
10．－的相反数为______，|1－|＝_______，绝对值为的数为________．
【答案】 － －1 ±3
【解析】
【分析】
直接利用相反数的定义得出答案;
结合绝对值的定义得出答案;
根据立方根的定义先求出的值,再根据绝对值的性质即可求出.
【详解】
解：(1)－的相反数是：－，
(2) |1－|＝－1;
(3)=3,
∴绝对值为3的数为±3.
故答案为－;－1; ±3.
【点睛】
本题主要考查相反数，绝对值的定义以及立方根,关键在于熟练掌握运用相关的性质定理，认真的进行计算．
11．化简: =________
【答案】1
【解析】
【分析】
因为π≈3.142，所以π-4＜0，3-π＜0，然后根据绝对值定义即可化简|π-4|+|3-π|．
【详解】
∵π≈3.142，
∴π-4＜0，3-π＜0，
∴|π-4|+|3-π|=4-π+π-3=1，
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了实数的绝对值的化简，解题关键是掌握绝对值的规律，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
12．下列各数3.1415926，，1.212212221…，，2﹣π，﹣2020，中，无理数的个数有_____个．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的绝大部分数，找出无理数的个数．
【详解】
解：在所列实数中，无理数有1.212212221…，2﹣π，这3个，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查无理数的定义，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．
13．已知数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，那么数轴上到点B的距离与点A到点B的距离相等的另一点C表示的数是______________．
【答案】
【解析】
【详解】
试题分析：根据数轴上点的对称性，可知AB=|-1-（-）|=，因此可知C点的数值为-1+=.
14．观察下列各式：
，
，
，
……
请利用你所发现的规律，
计算+++…+，其结果为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
【详解】
由题意可得：
+++…+
=+1++1++…+1+
=9+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
=9+
=．
故答案为．
【点睛】
：此题主要考查了数字变化规律，正确将原式变形是解题关键．
题组C 培优拔尖练
15．把下列各数写入相应的集合内：，，，0.26，，0.10，，，.
（1）有理数集合：；
（2）正实数集合：；
（3）无理数集合：；
（4）负实数集合：.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据 进行分类即可．
【详解】
解：（1）有理数集合；
（2）正实数集合；
（3）无理数集合；
（4）负实数集合．
【点睛】
本题考查实数的分类和性质，解答此题应熟知以下概念：实数包括有理数和无理数；实数可分为正数、负数和0．
16．
【答案】－
【解析】
【分析】
先将二次根式化简，再根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】
，
==
=-.
【点睛】
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是二次根式、绝对值等考点的运算．
17．计算： .
【答案】-2.
【解析】
【分析】
根据二次根式、三次根式的化简方法计算，再合并同类项．
【详解】
，
=，
=-2.
【点睛】
本题考查实数的综合运算能力．解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式、三次根式的化简．
18．已知a是最大的负整数，b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，c是单项式﹣2xy2的系数，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C．
（2）若M点在此数轴上运动，请求出M点到AB两点距离之和的最小值；
（3）若动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q能追上点P？
（4）在数轴上找一点N，使点M到A、B、C三点的距离之和等于10，请直接写出所有的N对应的数．（不必说明理由）
【答案】（1）a=﹣1，b=5，c=﹣2，数轴详见解析；（2）6；（3）运动4秒后，点Q可以追上点P；（4）M对应的数为2或﹣2．
【解析】
【分析】
（1）根据题意易得a，b，c的值，然后在数轴上表示出来即可；
（2）当M点在线段AB上时，M点到AB两点距离之和的最小值为AB的长；
（3）用AB的长度除以点Q与点P的速度差即可得解；
（4）分析M点在不同的位置时，所得到的M的值即可.
【详解】
（1）∵a是最大的负整数，
∴a=﹣1，
∵b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，
∴b=3+2=5，
∵c是单项式﹣2xy2的系数，
∴c=﹣2，
如图所示：
（2）当M点在线段AB上时，M点到AB两点距离之和的最小值为5﹣（﹣1）=6；
（3）∵动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，
点Q的速度是每秒2个单位长度，
∴AB=6，两点速度差为：2﹣，
∴6÷（2﹣）=4，
答：运动4秒后，点Q可以追上点P；
（4）存在点M，使P到A、B、C的距离和等于10，
当M在AB之间，则M对应的数是2，
当M在C点左侧，则M对应的数是：﹣2.
综上所述，M对应的数为2或﹣2．
【点睛】
本题主要考查实数与数轴，数轴上两点之间的距离.解此题的关键在于根据题意准确画出数轴上各点所表示的数.课程标准
1. 了解无理数和实数的意义；
2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .
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知识精讲
知识点01 有理数与无理数
有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
注意：
（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.
（2）常见的无理数有三种形式：
①含类.
②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….
③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如.
知识点02 实数
有理数和无理数统称为实数.
1.实数的分类
按定义分：
实数
按与0的大小关系分：
实数
2.实数与数轴上的点一一对应.
数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.
知识点03 实数大小的比较
对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大.
正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.
知识点04 实数的运算
有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.
当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.
能力拓展
考法01 实数概念
【典例1】把下列各数分别填入相应的集合内：
，，，，，，，，，，0，0.3737737773……（相邻两个3之间7的个数逐次增加1）
…
有理数集合
…
无理数集合
【答案】
有理数有：， ，，，0，
无理数有：，，， ，，， 0.3737737773……
【点睛】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数.
常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.3737737773……③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，， ，，.
【即学即练】判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由.
(1)无理数都是开方开不尽的数.( )
(2)无理数都是无限小数.( )
(3)无限小数都是无理数.( )
(4)无理数包括正无理数、零、负无理数.( )
(5)不带根号的数都是有理数.( )
(6)带根号的数都是无理数.( )
(7)有理数都是有限小数.( )
(8)实数包括有限小数和无限小数.( )
【答案】
(1)(×)无理数不只是开方开不尽的数，还有，1.020 020 002…这类的数也是无理数.
(2)(√)无理数是无限不循环小数，是属于无限小数范围内的数.
(3)(×)无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数两类数，其中无限不循环小数才是无理数.
(4)(×)0是有理数.
(5)(×)如，虽然不带根号，但它是无限不循环小数，所以是无理数.
(6)(×)如，虽然带根号，但＝9，这是有理数.
(7)(×)有理数还包括无限循环小数.
(8)(√)有理数可以用有限小数和无限循环小数表示，无理数是无限不循环小数，所以 实数可以用有限小数和无限小数表示.
考法02 实数大小的比较
【典例2】比较与的大小．
【分析】根据，，则来比较两个实数的大小．
【答案】
解：因为，．
所以＜
【点睛】实数的比较有多种方法，除了上述方法外，还有作差法、作商法、同分子法、倒数法等.
【即学即练】若两个连续整数x、y满足x＜+1＜y，则x+y的值是 ．
【答案】7．
解：∵，
∴，
∵x＜+1＜y，
∴x=3，y=4，
∴x+y=3+4=7．
考法03 实数的运算
【典例3】求的值．
【答案】
解：（1）当≥0时，，，
所以．
（2）当＜0时，，，
所以．
即值为0或2．
【点睛】本题是涉及平方根（算术平方根）和立方根的综合运算，但还应注意本题需要分类讨论．要注意对的讨论，而开立方不需要讨论符号．
【即学即练】若的两个平方根是方程的一组解．
（1）求的值；
（2）求的算术平方根．
【答案】
解：（1）∵ 的平方根是的一组解，则设的平方根为，，
则根据题意得：解得
∴ 为．
（2）∵ ．
∴ 的算术平方根为4．
考法04 实数的综合运用
【典例4】已知，且，求的值．
【答案】
解：∵ ，且，．
∴ ，即，．
解得 ＝3，＝5，得＝64．
∴ ．
【点睛】本题考查非负性与立方、立方根的综合运用，由，可求、，又，所以＝64，则可求．
【即学即练】已知，求的值．
【答案】
解：知条件得，
由②得，，∵ ，∴ ，则．
把代入①得，＝1．
∴ ．
【典例5】如图，半径为1个单位的圆片上有一点Q与数轴上的原点重合（提示：圆的周长C=2πr）
（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是 ；
（2）圆片在数轴上向右滚动的周数记为正数，圆片在数轴上向左滚动的周数记为负数，依次运动情况记录如下：
+2，﹣1，﹣5，+4，+3，﹣2
①第几次滚动后，Q点距离原点最近？第几次滚动后，Q点距离原点最远？
②当圆片结束运动时，Q点运动的路程共有多少？此时点Q所表示的数是多少？
【分析】
（1）利用圆的半径以及滚动周数即可得出滚动距离；
（2）①利用滚动的方向以及滚动的周数即可得出Q点移动距离变化；
②利用绝对值得性质以及有理数的加减运算得出移动距离和Q表示的数即可．
【答案】
解：（1）把圆片沿数轴向左滚动1周，点Q到达数轴上点A的位置，点A表示的数是﹣2π；
故答案为：﹣2π；
（2）①第4次滚动后Q点离原点最近，第3次滚动后，Q点离原点最远；
②|﹢2|+|﹣1|+|﹣5|+|+4|+|+3|+|﹣2|=17，
Q点运动的路程共有：17×2π×1=34π；
（+2）+（﹣1）+（﹣5）+（+4 ）+（+3 ）+（﹣2）=1，
1×2π=2π，此时点Q所表示的数是2π．
【点睛】此题主要考查了数轴的应用以及绝对值得性质和圆的周长公式应用，利用数轴得出对应数是解题关键．
分层提分
题组A 基础过关练
1．的相反数是【 】
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【详解】
相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．因此的相反数是．故选C．
考点：相反数．
2．估计的值在( )
A．2和3之间B．3和4之间
C．4和5之间D．5和6之间
【答案】C
【解析】
【分析】
由可知，再估计的范围即可.
【详解】
解：，.
故选：C.
【点睛】
本题考查了实数的估算，熟练的确定一个无理数介于哪两个整数之间是解题的关键.
3．下列实数中的无理数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】
【详解】
分析: 分别根据无理数、有理数的定义即可判定选择项.
详解: =1.1， =-2， 是有理数，
是无理数，
故选C.
点睛：此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式.
4．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把﹣a，﹣b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．﹣a＜0＜﹣bB．0＜﹣a＜﹣bC．﹣b＜0＜﹣aD．0＜﹣b＜﹣a
【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：根据数轴得出a＜0＜b，求出﹣a＞﹣b，﹣b＜0，﹣a＞0，即可得出答案．
∵从数轴可知：a＜0＜b， ∴﹣a＞﹣b，﹣b＜0，﹣a＞0， ∴﹣b＜0＜﹣a，
考点：(1)、实数大小比较；(2)、实数与数轴
5．如图，在数轴上表示的点可能是（ ）
A．点PB．点QC．点MD．点N
【答案】B
【解析】
【分析】
利用无理数的估算得到3＜＜4，然后对各点进行判断即可．
【详解】
解：∵9＜15＜16，
∴3＜＜4，
而3＜OQ＜4，
∴表示的点可能是点Q．
故选：B．
【点睛】
本题考查了实数与数轴：实数与数轴上的点是一一对应关系．任意一个实数都可以用数轴上的点表示；反之，数轴上的任意一个点都表示一个实数．数轴上的任一点表示的数，不是有理数，就是无理数．
6．有下列四个论断：①﹣是有理数；② 是分数；③2.131131113…是无理数；④π是无理数，其中正确的是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据无理数的概念即可判定选择项．
【详解】
解：①﹣是有理数，正确；
②是无理数，故错误；
③2.131131113…是无理数，正确；
④π是无理数，正确；
正确的有3个．
故选B．
【点睛】
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．
7．化简的结果正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】
【分析】
首先比较与3的大小，然后由绝对值的意义，化简即可得到答案．
【详解】
解：∵<3
∴-3<0
即：；
故选：D．
【点睛】
本题考查了绝对值的意义，解题的关键是掌握负数的绝对值是它的相反数．
8．下列说法：①2的平方根是；②的立方根是±；③－81没有立方根；④实数和数轴上的点一一对应．其中错误的有 （ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
【答案】C
【解析】
【分析】
根据实数、平方根、立方根，数轴的定义和性质分别进行分析，即可得出答案．
【详解】
①2的平方根是，正确，
②的立方根是，故本选项错误，
③-81有立方根，故本选项错误，
④实数和数轴上的点一一对应，正确．
其中错误的有②③；
故选C．
【点睛】
此题考查了实数与数轴，用到的知识点是实数、平方根、立方根，数轴，熟知有关定义和性质是本题的关键．
9．下列语句正确是（ ）
A．无限小数是无理数B．无理数是无限小数
C．实数分为正实数和负实数D．两个无理数的和还是无理数
【答案】B
【解析】
【详解】
解：A．无限不循环小数是无理数，故A错误；
B．无理数是无限小数，正确；
C．实数分为正实数、负实数和0，故C错误；
D．互为相反数的两个无理数的和是0，不是无理数，故D错误．
故选B．
题组B 能力提升练
10．－的相反数为______，|1－|＝_______，绝对值为的数为________．
【答案】 － －1 ±3
【解析】
【分析】
直接利用相反数的定义得出答案;
结合绝对值的定义得出答案;
根据立方根的定义先求出的值,再根据绝对值的性质即可求出.
【详解】
解：(1)－的相反数是：－，
(2) |1－|＝－1;
(3)=3,
∴绝对值为3的数为±3.
故答案为－;－1; ±3.
【点睛】
本题主要考查相反数，绝对值的定义以及立方根,关键在于熟练掌握运用相关的性质定理，认真的进行计算．
11．化简: =________
【答案】1
【解析】
【分析】
因为π≈3.142，所以π-4＜0，3-π＜0，然后根据绝对值定义即可化简|π-4|+|3-π|．
【详解】
∵π≈3.142，
∴π-4＜0，3-π＜0，
∴|π-4|+|3-π|=4-π+π-3=1，
故答案为1．
【点睛】
本题主要考查了实数的绝对值的化简，解题关键是掌握绝对值的规律，一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
12．下列各数3.1415926，，1.212212221…，，2﹣π，﹣2020，中，无理数的个数有_____个．
【答案】3
【解析】
【分析】
根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的绝大部分数，找出无理数的个数．
【详解】
解：在所列实数中，无理数有1.212212221…，2﹣π，这3个，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查无理数的定义，熟练掌握无理数的概念是解题的关键．
13．已知数轴上点A表示的数是，点B表示的数是，那么数轴上到点B的距离与点A到点B的距离相等的另一点C表示的数是______________．
【答案】
【解析】
【详解】
试题分析：根据数轴上点的对称性，可知AB=|-1-（-）|=，因此可知C点的数值为-1+=.
14．观察下列各式：
，
，
，
……
请利用你所发现的规律，
计算+++…+，其结果为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．
【详解】
由题意可得：
+++…+
=+1++1++…+1+
=9+（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
=9+
=．
故答案为．
【点睛】
：此题主要考查了数字变化规律，正确将原式变形是解题关键．
题组C 培优拔尖练
15．把下列各数写入相应的集合内：，，，0.26，，0.10，，，.
（1）有理数集合：；
（2）正实数集合：；
（3）无理数集合：；
（4）负实数集合：.
【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据 进行分类即可．
【详解】
解：（1）有理数集合；
（2）正实数集合；
（3）无理数集合；
（4）负实数集合．
【点睛】
本题考查实数的分类和性质，解答此题应熟知以下概念：实数包括有理数和无理数；实数可分为正数、负数和0．
16．
【答案】－
【解析】
【分析】
先将二次根式化简，再根据实数的运算法则求得计算结果．
【详解】
，
==
=-.
【点睛】
本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是二次根式、绝对值等考点的运算．
17．计算： .
【答案】-2.
【解析】
【分析】
根据二次根式、三次根式的化简方法计算，再合并同类项．
【详解】
，
=，
=-2.
【点睛】
本题考查实数的综合运算能力．解决此类题目的关键是熟练掌握二次根式、三次根式的化简．
18．已知a是最大的负整数，b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，c是单项式﹣2xy2的系数，且a、b、c分别是点A、B、C在数轴上对应的数．
（1）求a、b、c的值，并在数轴上标出点A、B、C．
（2）若M点在此数轴上运动，请求出M点到AB两点距离之和的最小值；
（3）若动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，点Q的速度是每秒2个单位长度，求运动几秒后，点Q能追上点P？
（4）在数轴上找一点N，使点M到A、B、C三点的距离之和等于10，请直接写出所有的N对应的数．（不必说明理由）
【答案】（1）a=﹣1，b=5，c=﹣2，数轴详见解析；（2）6；（3）运动4秒后，点Q可以追上点P；（4）M对应的数为2或﹣2．
【解析】
【分析】
（1）根据题意易得a，b，c的值，然后在数轴上表示出来即可；
（2）当M点在线段AB上时，M点到AB两点距离之和的最小值为AB的长；
（3）用AB的长度除以点Q与点P的速度差即可得解；
（4）分析M点在不同的位置时，所得到的M的值即可.
【详解】
（1）∵a是最大的负整数，
∴a=﹣1，
∵b是多项式2m2n﹣m3n2﹣m﹣2的次数，
∴b=3+2=5，
∵c是单项式﹣2xy2的系数，
∴c=﹣2，
如图所示：
（2）当M点在线段AB上时，M点到AB两点距离之和的最小值为5﹣（﹣1）=6；
（3）∵动点P、Q同时从A、B出发沿数轴负方向运动，点P的速度是每秒个单位长度，
点Q的速度是每秒2个单位长度，
∴AB=6，两点速度差为：2﹣，
∴6÷（2﹣）=4，
答：运动4秒后，点Q可以追上点P；
（4）存在点M，使P到A、B、C的距离和等于10，
当M在AB之间，则M对应的数是2，
当M在C点左侧，则M对应的数是：﹣2.
综上所述，M对应的数为2或﹣2．
【点睛】
本题主要考查实数与数轴，数轴上两点之间的距离.解此题的关键在于根据题意准确画出数轴上各点所表示的数.课程标准
1. 了解无理数和实数的意义；
2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .
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