人教版七年级数学下册同步精品讲义专题第07课 算数平方根与平方根（教师版）-

这是一份人教版七年级数学下册同步精品讲义专题第07课 算数平方根与平方根（教师版）-，共28页。试卷主要包含了算术平方根的定义，平方根的定义等内容，欢迎下载使用。
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知识精讲
知识点01 平方根和算术平方根的概念
1.算术平方根的定义
如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数x叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作 ，读作“a的算术平方根”，叫做被开方数.
注意：
（1）当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
（2）负数没有算数平方根；
（3）算数平方根等于本身的数有：0和1；
（4）算数平方根平方等于原来的数；
（5）注意运算结果的非负性；
2.平方根的定义
如果，那么x叫做a的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根.
注意：
（1）非负数才有平方根；
（2）负数没有平方根；
（3）平方根等于本身的数是：0；
（4）一个正数有2个平方根，他们互为相反数；
（5）平方根平方等于原来的数；
知识点02 平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和
2．联系：（1）平方根包含算术平方根；
（2）被开方数都是非负数；
（3）0的平方根和算术平方根均为0．
注意：
知识点03 平方根的性质
（1）
（2）
知识点04 平方根小数点位数移动规律
被开方数的小数点向右（左）每移动两位，算术平方根的小数点向右（左）移动一位。
例如：，，，.
能力拓展
考法01 算数平方根与平方根的计算
【典例1】16的算术平方根是___________．
【答案】4
【解析】
【详解】
正数的正的平方根叫算术平方根，0的算术平方根还是0；负数没有平方根也没有算术平方根
∵
∴16的平方根为4和-4
∴16的算术平方根为4
【典例2】9的平方根是_________．
【答案】±3
【解析】
【详解】
分析：根据平方根的定义解答即可．
详解：∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3．
故答案为±3．
点睛：本题考查了平方根的定义，注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．
【典例3】的平方根是____．
【答案】±3
【解析】
【详解】
∵=9，
∴9的平方根是.
故答案为3.
【即学即练】的平方根是 ．
【答案】±2．
【解析】
【详解】
解：∵
∴的平方根是±2．
故答案为±2．
考法02 利用平方根解方程
【典例4】求下列各式中的x值：
(1)169x2＝144；
(2)(x－2)2－36＝0.
【答案】（1）x＝±；（2）x＝8或x＝－4.
【解析】
【分析】
（1）移项后，根据平方根定义求解；
（2）移项后，根据平方根定义求解．
【详解】
解：(1)169x2＝144，
移项得：x2＝，
解得：x＝±.
(2)(x－2)2－36＝0，
移项得：(x－2)2＝36，
开方得：x-2=6或x-2=-6
解得：x＝8或x＝－4.
故答案为（1）x＝±；（2）x＝8或x＝－4.
【点睛】
本题考查利用平方根解方程，解答此题的关键是掌握平方根的概念.
【即学即练】利用平方根求下列x的值：
(1)（x+1）2=16.
(2)3(x+2)2=27
(3)64（x+1）2﹣25=0．
【答案】(1) x=3或x=﹣5；(2)x=1或-5；(3) x1=﹣，x1=﹣．
【解析】
【分析】
(1)先根据平方根的定义求出x+1的值，然后再求解即可；(2) 先求得（x+2）2的值，然后依据平方根的定义求解即可；(3) 先化简并根据立方根的定义求出x+1的值，然后再进行计算即可．
【详解】
(1)开方，得x+1=±4，则x=3或x=﹣5．
(2)(x+2)²=,x+2=±,x=1或-5；
(3)方程整理得：（x+1）2=，开方得：x+1=±，解得：x1=﹣，x1=﹣．
【点睛】
本题考查了利用平方根的定义解方程，整体思想的利用是解题的关键．
考法03 平方根和算数平方根的逆运算
【典例5】已知2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．
【答案】±3
【解析】
【分析】
先根据2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4求出ab的值，再求出a+2b的值，由平方根的定义进行解答即可．
【详解】
解：∵2a﹣1的平方根为±3，
∴2a﹣1＝9，解得，2a＝10，
a＝5；
∵3a+b﹣1的算术平方根为4，
∴3a+b﹣1＝16，即15+b﹣1＝16，
解得b＝2，
∴a+2b＝5+4＝9，
∴a+2b的平方根为：±3．
【点睛】
本题考查的是平方根及算术平方根的定义，熟知一个数的平方根有两个，这两个数互为相反数是解答此题的关键．
【即学即练】已知2a+1的平方根是±3，5a+2b-2的算术平方根是4，求：3a-4b的平方根．
【答案】
【解析】
【详解】
试题分析：根据已知得出2a+1=9，5a+2b-2=16，求出a b，代入求出即可．
试题解析
根据题意得：2a+1=32=9，5a+2b-2=16，
即a=4，b=-1，
∴3a-4b=16，
∴3a-4b的平方根是±.
【即学即练】如果一个正数m的两个平方根分别是2a－3和a－9，求2m－2的值．
【答案】48
【解析】
【分析】
根据一个正数的两个平方根互为相反数求出a的值，利用平方根和平方的关系求出m，再求出2m-2的值．
【详解】
解：∵一个正数的两个平方根分别是2a－3和a－9，
∴(2a－3)+(a－9)=0，解得a= 4，
∴这个正数为(2a－3) 2=52=25，∴2m－2=2×25－2= 48；
故答案为48.
【点睛】
本题考查平方根.
【即学即练】已知2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，求m+2n的值.
【答案】13.
【解析】
【分析】
根据开方与平方是互逆运算，求出2m+2的值，与3m+n+1的值，然后两式联立求出m、n的值，再代入进行计算即可求解．
【详解】
解：∵2m+2的平方根是±4，3m+n+1的平方根是±5，
∴2m+2=16，3m+n+1=25，
联立解得，m=7，n=3，
∴m+2n=7+2×3=13．
考法04 算数平方根结果的非负性
【典例6】已知与互为相反数．
（1）求2a－3b的平方根；
（2）解关于x的方程．
【答案】（1）的平方根为；（2）．
【解析】
【分析】
（1）先由相反数的定义列出等式，再根据绝对值的非负性、算术平方根的非负性求出a、b的值，然后代入，根据平方根的定义求解即可；
（2）先将a、b的值代入，再利用平方根的性质求解即可．
【详解】
（1）由相反数的定义得：
由绝对值的非负性、算术平方根的非负性得：
解得
则
故的平方根为；
（2）方程可化为
整理得
解得．
【点睛】
本题考查了相反数的定义、绝对值的非负性、算术平方根的非负性、平方根的定义等知识点，利用绝对值的非负性、算术平方根的非负性求解是常考知识点，需重点掌握．
【即学即练】已知+|y-17|=0，求x+y的算术平方根.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
【详解】
根据题意得：，
解得： ，
则x+y=25，算术平方根是：.
故答案是：5.
【点睛】
本题考查非负数的性质：算术平方根，非负数的性质：绝对值.
考法05 算数平方根小数点移动规律
【典例7】观察下表，按你发现的规律填空
已知，则的值为_______．
【答案】387.3
【解析】
【详解】
试题分析：观察表格得：被开方数扩大或缩小102n倍，非负数的算术平方根就相应的扩大或缩小10n倍；
或者说成被开方数的小数点向左或向右移动2n位，算术平方根的小数点就向左或向右移动n位；
被开方数15到150000小数点向右移动4位，所以其算术平方根的小数点向右移动2位，
即=387.3；
【即学即练】若≈6.172，≈19.517，则≈__．
【答案】617.2
【解析】
【分析】
利用被开方数的小数点向左或向右移动两位，则算术平方根的小数点向左或向右移动一位直接回答即可．
【详解】
解：∵≈6.172，
∴≈617.2，
故答案为：617.2．
【点睛】
本题考查了算术平方根的知识，解题的关键是了解被开方数的小数点向左或向右移动两位，则算术平方根的小数点向左或向右移动一位．
【即学即练】若则_______.
【答案】44.72
【解析】
【分析】
被开方数2000是把20的小数点向右移动2位后得到的，则的值是把的小数点向右运动1位.
【详解】
因为，所以44.72.
故答案为44.72.
【点睛】
本题考查了算术平方根的概念，关键是理解算术平方根每向左(或右)移动一位，则被开方数向相同的方向移动两位，反之被开方数每移动两位，则算术平方根每向相同的方向移动一位．
【即学即练】已知，则=________.
【答案】
【解析】
【详解】
试题解析：
考法06 平方根的性质应用
【典例8】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是_________________
【答案】
【解析】
【分析】
先根据数轴的定义得出，再根据绝对值运算、算术平方根进行化简，然后计算整式的加减即可得．
【详解】
由数轴的定义得：，
则，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了数轴的定义、绝对值运算、算术平方根、整式的加减，根据数轴的定义判断出是解题关键．
【即学即练】实数、在数轴上的位置，化简______．
【答案】
【解析】
【分析】
由数轴得：，，，根据二次根式的性质化简即可.
【详解】
解：由数轴得：，，
故答案为：.
【点睛】
本小题主要考查利用数轴判断实数取值范围、二次根式的化简、代数式的恒等变形等基础知识，考查基本的代数运算能力．观察数轴确定a、b及a-b的符号是解答本题的关键，本题巧用数轴给出了每个数的符号，渗透了数形结合的思想，这也是中考时常考的知识点．
【即学即练】已知实数a在数轴上的位置如图，则化简|1﹣a|+的结果为_____．
【答案】1-2a
【解析】
【详解】
由图可知：，
∴，
∴.
故答案为.
考法07 算数平方根的估算
【典例9】的小数部分是__________.
【答案】-3
【解析】
【详解】
∵9