2023-2024学年辽宁省营口市大石桥市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省营口市大石桥市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.代数式x 2x−1有意义的x取值范围是( )
A. x>12B. x≥12C. x<12D. x≠12
2.下面计算正确的是( )
A. 3+ 3=3 3B. 27÷ 3=3C. 2⋅ 3= 5D. (−2)2=−2
3.八(1)班班长统计2017年5∼12月“书香校园”活动中全班同学的课外阅读数量(单位：本)，绘制出如下折线统计图，下列说法不正确的是( )
A. 众数是58B. 平均数是50
C. 中位数是58D. 每月阅读数量超过40本的有6个月
4.如图，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点(0,1)，则关于x的不等式kx+b>1的解集是( )
A. x>0
B. x<0
C. x>1
D. x<1
5.如图，数轴上点A，B表示的数分别是1，2，过点B作PB⊥AB，以点B为圆心，AB长为半径画弧，交PB于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M表示的数是( )
A. 3
B. 5
C. 6
D. 7
6.如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为(−2,0)，则下列说法正确的有( )
①y随x的增大而减小；
②k>0，b<0；
③关于x的方程kx+b=0的解为x=−2；
④当x>−2时，y>0.
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7.将四根长度相等的细木条首尾相接，用钉子钉成四边形ABCD，转动这个四边形，使它形状改变，当∠B=90∘时，如图1，测得AC=2，当∠B=60∘时，如图2，AC=( )
A. 2B. 2C. 6D. 2 2
8.平行四边形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC=45∘，OA=OC=3 2，则点B的坐标为( )
A. (3 2,3)B. (3,3 2)C. (3 2+3,3)D. (3,3 2+3)
9.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120∘，M是BC的中点，MN⊥AB，垂足为点N，D是BM的中点，连接AD，过点B作BC的垂线交AD的延长线于点E，若BE=6，则BN的长为( )
A. 6B. 9C. 6 3D. 9 3
10.如图，O是边长为4cm的正方形ABCD的中心，M是BC的中点，动点P由A开始沿折线A−B−M方向匀速运动，到M时停止运动，速度为1cm/s.设P点的运动时间为t(s)，点P的运动路径与OA、OP所围成的图形面积为S(cm2)，则描述面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图像可以是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.需要对一批排球的质量是否符合标准进行检测，其中质量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数，现抽取8个排球，通过检测所得数据如下(单位：克)：+1，−2，+1，0，+2，−3，0，+1，则这组数据的方差是__________.
12.如图，正方形ABCD的面积为1，则以相邻两边中点连线EF为边的正方形EFGH的周长为______.
13.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC、BD相交于点O，且BE：ED=1：3，AB=6，则AE=______.
14.如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90∘，BC=5，点A、B的坐标分别为(1,0)、(4,0)，将△ABC沿x轴向右平移，当点C落在直线y=2x−6上时，线段BC扫过的面积为______.
15.如图是一个棱长为6的正方体盒子，一只蚂蚁从棱CD的中点A出发，沿盒的表面爬到棱DE上后，接着又沿盒子的表面爬到盒底的B处，那么，整个爬行中，蚂蚁要爬行的最短路程为______.
16.如图，在菱形ABCD中，AB=AC=8，对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM=2，点P为线段BD上的一个动点，则MP+12PB的最小值是______.
三、计算题：本大题共1小题，共10分。
17.计算：
(1) 24+2 12−(6 2−3 6)；
(2)2 5×( 5−1 5)+|2− 5|−(1− 5)2.
四、解答题：本题共5小题，共62分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题10分)
如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB延长线上一动点，连接EF，过点C作AB的平行线CD，与线段EF的延长线交于点D，连接CE、BD.
(1)求证：四边形DBEC是平行四边形．
(2)若∠ABC=120∘，AB=BC=4，则在点E的运动过程中：
①当BE=______时，四边形BECD是矩形；
②当BE=______时，四边形BECD是菱形．
19.(本小题12分)
某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首先由本年级200名学生民主投票，每人只能推荐一人(不设弃权票)，选出了票数最多的甲、乙、丙三人．投票结果统计如图一：
其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试．各项成绩如下表所示：
图二是某同学根据上表绘制的一个不完全的条形图．
请你根据以上信息解答下列问题：
(1)补全图一和图二；
(2)请计算每名候选人的得票数；
(3)若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照2：5：3的比确定，计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？
20.(本小题12分)
如图，E是▱ABCD的边CD的中点，延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证：△ADE≌△FCE.
(2)若∠BAF=90∘，BC=5，EF=3，求CD的长．
21.(本小题14分)
在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对A、B两村之间的公路进行改造，并有甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务有甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是甲乙两个工程队修公路的长度y(米)与施工时间x(天)之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题：
(1)乙工程队每天修公路多少米？
(2)分别求甲、乙工程队修公路的长度y(米)与施工时间x(天)之间的函数关系式．
(3)若该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？
22.(本小题14分)
如图，将一个三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线AC上滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q.
(1)当点Q在DC边上时，过点P作MN//AD分别交AB，DC于点M，N，证明：PQ=BP；
(2)当点Q在线段DC的延长线上时，设A、P两点间的距离为x，CQ的长为y.①直接写出y与x之间的函数关系式，并写出函数自变量x的取值范围；
②△PCQ能否为等腰三角形？如果能，直接写出相应的x值；如果不能，说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据题意得：2x−1>0，
解得：x>12，
故选：A.
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
2.【答案】B
【解析】解：A.3+ 3不是同类项无法进行运算，故A选项错误；
B. 27÷ 3= 273= 9=3，故B选项正确；
C. 2× 3= 2×3= 6，故C选项错误；
D.∵ (−2)2= 22=2，故D选项错误；
故选：B.
根据二次根式的混合运算方法，分别进行运算即可．
此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
3.【答案】B
【解析】解：根据折线图，我们能够看出，5月课外阅读数量是36本，6月70本，7月58本，8月42本，9月58本，10月28本，11月75本，12月83本．
将这几个月的课外阅读数量(单位：本，下同)36，70，58，42，58，28，75，83进行排序为：28，36，42，58，58，70，75，83，不难发现，众数是58，A正确．中位数是(58+58)÷2=58，C正确．超过40本的有6月份，7月份，8月份，9月份，11月份，12月份这六个月，D正确．平均数为：(36+70+58+42+58+28+75+83)÷8=56.25，B错误．
故选：B.
通过折线统计图和中位数、众数、平均数的知识求解．对于中位数的判断：一组数据的中位数与这组数据的排序及数据个数有关，因此求一组数据的中位数时，先将该组数据按从小到大(或按从大到小)的顺序排列，然后根据数据的个数确定中位数：当数据个数为奇数时，则中间的一个数即为这组数据的中位数；当数据个数为偶数时，则最中间的两个数的算术平均数即为这组数据的中位数．众数即为出现次数最多的数．平均数为样本总数除以样本总个数．根据以上知识很容易就能求解本题．
本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的关键．
直接根据函数的图象与y轴的交点为(0,1)进行解答即可．
【详解】
解：
∵一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点(0,1)，
kx+b>1即y>1，此时函数图象在y轴左侧，
∴当x<0时，关于x的不等式kx+b>1.
故选B.
5.【答案】B
【解析】解：由题意可知，OA=1，OB=2，BC=AB，OM=OC，
∴BC=AB=OB−OA=1，
∵PQ⊥AB，
∴∠OBC=90∘，
由勾股定理得：OC= OB2+BC2= 22+12= 5.
∴OM= 5.
则点M表示的数是 5，
故选：B.
先由勾股定理可求得OC的长，从而得到OM的长，即可得出结论．
本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵图象过第一、二、三象限，
∴k>0，b>0，y随x的增大而而增大，故①②错误；
又∵图象与x轴交于(−2,0)，
∴kx+b=0的解为x=−2，③正确；
当x>−2时，图象在x轴上方，y>0，故④正确．
综上可得③④正确，共2个，
故选：B.
利用函数的图象结合一次函数的性质进行解答即可．
此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是正确从函数图象中获取信息．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，图1中根据勾股定理即可求得正方形的边长，图2根据有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形即可求得．
【解答】
解：如图1，
∵AB=BC=CD=DA，∠B=90∘，
∴四边形ABCD是正方形，
连接AC，则AB2+BC2=AC2，
∴AB=BC= 12AC2= 12×4= 2，
如图2，∠B=60∘，连接AC，
∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB=BC= 2.
故选A.
8.【答案】C
【解析】解：过B作BF⊥OA，交x轴于点F，
∵四边形OABC是平行四边形，OA=OC=3 2，
∴AB//OC，AB=OC=3 2，∠BAF=∠COA=45∘，
∵BF⊥OA，
∴∠BFA=90∘，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AF=BF= 22AB=3，
∴OF=OA+AF=3 2+3，
∴点B的坐标是(3 2+3,3)，
故选：C.
过B作BF⊥OA，先利用平行四边形的性质求出AB的长度，再求出AF、BF的长度，然后求得OF的长，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：连接AM，
∵AB=AC，∠BAC=120∘，
∴∠ABC=∠C=30∘，
∵M为BC的中点，
∴AM⊥BC，
∴AB=2AM，
∵BE⊥BC，
∴∠AMD=∠EBD=90∘，
∵D为BM的中点，
∴DM=DB，
在△AMD和△EBD中，
∠AMD=∠EBDDM=DB∠ADM=∠EDB，
∴△AMD≌△EBD(ASA)，
∴AM=BE=6，
∴AB=12，
∴BM= AB2−AM2=6 3，
∵MN⊥AB，∠ABC=30∘，
∴MN=12BM=3 3，
∴BN= BM2−MN2=9.
故选：B.
连接AM，根据等腰三角形的性质及含30∘角的直角三角形的性质可求得AB=2AM，再证明△AMD≌△EBD可求得AM及AB的长，由勾股定理可求BM的长，进而利用含30∘角的直角三角形的性质及勾股定理可求解BN的长．
本题主要考查含30∘角的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明△AMD≌△EBD(ASA)是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】分析：
分两种情况：①当0≤t<4时，作OM⊥AB于M，由正方形的性质得出∠B=90∘，AD=AB=BC=4cm，AM=BM=OM=12AB=2cm，由三角形的面积得出S=12AP⋅OM=t(cm2)；
②当t≥4时，S=△OAM的面积+梯形OMBP的面积=t(cm2)；得出面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图象是过原点的线段，即可得出结论．
本题考查了动点问题的函数图象、正方形的性质；熟练掌握正方形的性质，求出S与t的函数关系式是解决问题的关键．
解：分两种情况：
①当0≤t<4时，
作OM⊥AB于M，如图1所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90∘，AD=AB=BC=4cm，
∵O是正方形ABCD的中心，
∴AM=BM=OM=12AB=2cm，
∴S=12AP⋅OM=12×t×2=t(cm2)；
②当t≥4时，作OM⊥AB于M，
如图2所示：
S=△OAM的面积+梯形OMBP的面积=12×2×2+12(2+t−4)×2=t(cm2)；
综上所述：面积S(cm2)与时间t(s)的关系的图象是过原点的线段，
故选A.
11.【答案】2.5
【解析】【分析】
先求出平均数，再利用方差的计算公式解答即可．
本题考查了方差公式，解题的关键是牢记公式并能熟练运用，此题比较简单，易于掌握．
【解答】
解：平均数=1−2+1+0+2−3+0+18=0，
方差=18×[3×(1−0)2+(2−0)2+(−2−0)2+(−3−0)2]=2.5，
故答案为：2.5
12.【答案】2 2
【解析】解：∵正方形ABCD的面积为1，
∴BC=CD= 1=1，∠BCD=90∘，
∵E、F分别是BC、CD的中点，
∴CE=12BC=12，CF=12CD=12，
∴CE=CF，
∴△CEF是等腰直角三角形，
∴EF= 2CE= 22，
∴正方形EFGH的周长=4EF=4× 22=2 2；
故答案为2 2.
由正方形的性质和已知条件得出BC=CD= 1=1，∠BCD=90∘，CE=CF=12，得出△CEF是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出EF的长，即可得出正方形EFGH的周长．
本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握正方形的性质，由等腰直角三角形的性质求出EF的长是解决问题的关键．
13.【答案】3 3
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BO=DO，AO=CO，AC=BD，
∴AO=BO=DO=CO，
∵BE：ED=1：3，
∴BD=4BE，
∴OB=2BE，
∴BE=EO，
又∵AE⊥BD，
∴AB=AO=6=BO，
∴BE=3，
∴AE= AB2−BE2= 36−9=3 3，
故答案为：3 3.
由矩形的性质可得AO=BO=DO=CO，由BE：ED=1：3，可求BE=EO，由线段垂直平分线的性质可得AB=AO=6=BO，由勾股定理可求解．
本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解决问题的关键．
14.【答案】16
【解析】解：如图所示．
∵点A、B的坐标分别为(1,0)、(4,0)，
∴AB=3.
∵∠CAB=90∘，BC=5，
∴AC=4.
∴A′C′=4.
∵点C′在直线y=2x−6上，
∴2x−6=4，解得x=5.
即OA′=5.
∴CC′=5−1=4.
∴S▱BCC′B′=4×4=16.
即线段BC扫过的面积为16.
故答案为16.
根据题意，线段BC扫过的面积应为一平行四边形的面积，其高是AC的长，底是点C平移的路程．求当点C落在直线y=2x−6上时的横坐标即可．
此题考查平移的性质及一次函数的综合应用，难度中等．
15.【答案】 117
【解析】15解：把正方体沿棱剪开有两种展开图情况，
①如图1，∵正方体的棱长为6，点A为棱的中点，
∴直角三角形的两直角边分别为12、3，
∴AB= 122+32= 153，
②如图2，∵正方体的棱长为6，点A为棱的中点，
∴直角三角形的两直角边分别为9、6，
∴AB= 62+92= 117，
综上，它爬行的最短线路长是 117.
故答案为： 117
将正方体沿棱剪开，然后根据勾股定理求出蚂蚁爬行的路线的长度，再进行比较即可得解．
本题考查平面展开最短路径问题，关键是知道两点之间线段最短，找到起点终点，根据勾股定理求出，注意展开情况有两种．
16.【答案】3 3
【解析】解：过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时MP+12PB的长度最小，
∵菱形ABCD中，AB=AC=8，
∴AB=BC=AC=8，△ABC为等边三角形，
∴∠PBC=30∘，∠ACB=60∘，
∴在直角△PBH中，∠PBH=30∘，
∴PH=PB，
∴此时MP+12PB得到最小值，MP+12PB=MP+PH=MH，
∵AC=8，AM=2，
∴MC=6，
又∠ACB=60∘且△MHC为直角三角形，
∴HC=12MC=3，
∴MH= 3HC=3 3.
故答案为：3 3.
过M点作MH垂直BC于H点，与OB的交点为P点，此时MP+12PB的长度最小为MH，再算出MC的长度，在直角三角形MPC中利用特殊30∘直角三角形的性质即可解得MH.
本题主要考查了菱形的性质与特殊30∘直角三角形的性质，勾股定理，以及垂线段最短等知识，能够找到最小值时的P点是解题关键．
17.【答案】解：(1)原式=2 6+ 2−3 2+3 6
=5 6−2 2.
(2)原式=10−2+ 5−2−(1−2 5+5)
=3 5.
【解析】(1)先把二次根式化为最简二次根式，然后合并即可；
(2)根据二次根式的乘除法则运算．
本题考查了二次根式的混合运算：在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18.【答案】2 4
【解析】(1)证明：∵AB//CD，
∴∠CDF=∠FEB，∠DCF=∠EBF，
∵点F是BC的中点，
∴BF=CF，
在△DCF和△EBF中，
∠CDF=∠FEB∠DCF=∠EBFFC=BF，
∴△EBF≌△DCF(AAS)，
∴DC=BE，
又∵DC//AB，
∴四边形BECD是平行四边形；
(2)解：①BE=2；
∵四边形BECD是矩形，
∴∠CEB=90∘，
∵∠ABC=120∘，
∴∠CBE=60∘，
∴∠ECB=30∘，
∴BE=12BC=2，
故答案为：2；
②BE=4，
∵四边形BECD是菱形，
∴BE=CE，
∵∠ABC=120∘，
∴∠CBE=60∘，
∴△CBE是等边三角形，
∴BE=BC=4.
故答案为：4.
(1)证△EBF≌△DCF(AAS)，得DC=BE，再由DC//AB，即可得出结论；
(2)①由矩形的在得∠CEB=90∘，再求出∠ECB=30∘，则BE=12BC=2；
②由菱形的性质得BE=CE，再证△CBE是等边三角形，即可得出BE=BC=4.
本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质，证明∴△EBF≌△DCF是解题的关键．
19.【答案】解：(1)1−28%−8%−34%=30%;
如图：
(2)甲的票数是：200×34%=68(票)，
乙的票数是：200×30%=60(票)，
丙的票数是：200×28%=56(票)；
(3)甲的平均成绩：x1−=68×2+92×5+85×32+5+3=85.1(分)，
乙的平均成绩：x2−=60×2+90×5+95×32+5+3=85.5(分)，
丙的平均成绩：x3−=56×2+95×5+80×32+5+3=82.7(分)，
∵85.5>85.1>82.7，即乙的平均成绩最高，
∴应该录取乙．
【解析】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及加权平均数的求法．重点考查了理解统计图的能力和平均数的计算能力．
(1)由图一可看出，乙的得票所占的百分比为1减去“丙+甲+其他”的百分比；
(2)由题意可分别求得三人的得票数，甲的得票数=200×34%，乙的得票数=200×30%，丙的得票数=200×28%；
(3)由题意可分别求得三人的得分，比较得出结论．
20.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，
∵E是▱ABCD的边CD的中点，
∴DE=CE，
在△ADE和△FCE中，
∠DAE=∠F∠D=∠ECFDE=CE，
∴△ADE≌△FCE(AAS)；
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF=3，
∵AB//CD，
∴∠AED=∠BAF=90∘，
在△ADE中，AD=BC=5，
∴DE= AD2−AE2= 52−32=4，
∴CD=2DE=8.
【解析】(1)由平行四边形的性质得出AD//BC，得出∠DAE=∠F，∠D=∠ECF，由AAS证明△ADE≌△FCE即可；
(2)由全等三角形的性质得出AE=EF=3，由平行线的性质证出∠AED=∠BAF=90∘，求出DE，即可得出CD的长．
此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定方法、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
21.【答案】解：(1)由图得：720÷(9−3)=120(米)
答：乙工程队每天修公路120米．
(2)设y乙=kx+b，
则3k+b=09k+b=720，
解得：k=120b=−360，
所以y乙=120x−360，
当x=6时，y乙=360，
设y甲=k1x，
∵y乙与y甲的交点是(6,360)
∴把(6,360)代入上式得：
360=6k1，k1=60，
所以y甲=60x；
(3)当x=15时，y甲=900，
所以该公路总长为：720+900=1620(米)，
设需x天完成，由题意得：
(120+60)x=1620，
解得：x=9，
答：该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需9天完成．
【解析】此题考查一次函数的应用；数形结合得到所在函数解析式上的点及相关函数解析式是解决本题的突破点．
(1)根据图形用乙工程队修公路的总路程除以天数，即可得出乙工程队每天修公路的米数；
(2)根据函数的图象运用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
(3)先求出该公路总长，再设出需要x天完成，根据题意列出方程组，求出x，即可得出该项工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需要的天数．
22.【答案】解：(1)如图1中，过P点作MN//BC分别交AB、DC于点M、N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD=CD=BC，AD//BC，AB//CD，∠BAC=ACB=45∘，
∵MN//BC，
∴MN//AD//BC，
∴四边形ADNM，四边形BMNC是平行四边形，
∵∠DAM=∠MBC=90∘，
∴四边形ADNM，四边形BMNC都是矩形，
∴BM=NC，AM=DN，MN=AD=BC，
∵∠BAC=45∘，∠AMN=90∘，
∴AM=PM，
又∵AB=MN，
∴MB=PN，
∵∠BPQ=90∘，
∴∠BPM+∠NPQ=90∘，
又∵∠MBP+∠BPM=90∘，
∴∠MBP=∠NPQ，
在Rt△MBP和Rt△NPQ中，
∠PMB=∠PNQ=90∘BM=PN∠MBP=∠NPQ，
∴△MBP≌△NPQ(ASA)，
∴PB=PQ；
(2)如图1，∵四边形ABCD是边长为1的正方形，AP=x，CQ的长为y，
∴MP=AM=DN= 22x，
由(1)知△MBP≌△NPQ，
∴MP=NQ= 22x，
∴y=CQ=CD−DN−NQ=1− 2x(0≤x≤ 22)；
(3)△PCQ可能成为等腰三角形．
①当点P与点A重合时，点Q与点D重合，
∴PQ=QC，此时x=0.
②如图2中，当点Q在DC的延长线上，且CP=CQ时，
∵CP=CQ，∠ACD=45∘，
∴∠PQN=∠CPQ=22.5∘，
∴∠QPN=∠APB=67.5∘，
∵∠ABP=180∘−∠BAP−∠APB=180∘−45∘−67.5∘=67.5∘，
∴∠ABP=∠APB，
∴AP=AB=1，
∴x=1，
综上所述：△PCQ为等腰三角形时，x的值为0或1.
【解析】(1)过P点作MN//BC分别交AB、DC于点M、N，证明Rt△MBP≌Rt△NPQ即可解决问题；
(2)由(1)知△MBP≌△NPQ，得MP=NQ= 22x，进而可以解决问题；
(3)△PCQ可能成为等腰三角形．分两种情形：①当点P与点A重合，点Q与点D重合时，PQ=QC，②如图2中，当点Q在DC的延长线上，且CP=CQ时，证明此时AP=AB即可解决问题．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．测试项目
测试成绩/分
甲
乙
丙
笔试
92
90
95
面试
85
95
80