2023-2024学年辽宁省沈阳市法库县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年辽宁省沈阳市法库县八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列美丽的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.下列从左到右的变形是因式分解的是( )
A. ab−a−b+1=(a−1)(b−1)B. (a−b)(n−n)=(b−a)(n−n)
C. (x+1)(x−1)=x2−1D. n2−2n−3=n(n−2−3n)
3.不等式2x−2≥0的解集在数轴上表示正确的选项是( )
A. B.
C. D.
4.已知a=x+2，b=x−1，且a>3>b，则x的取值范围是( )
A. x>1B. x<4C. x>1或x<4D. 15.如图，▱ABCD中，BE平分∠ABC，若∠C=110∘，则∠AEB等于( )
A. 11∘
B. 25∘
C. 35∘
D. 70∘
6.如图，将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为( )
A. 12
B. 16
C. 20
D. 24
7.点P(−2,−3)向左平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得的点的坐标为 ( )
A. (−3,0)B. (−1,6)C. (−3,−6)D. (−1,0)
8.小马虎在下面的计算中只作对了一道题，他做对的题目是( )
A. (ab)2=a2bB. a+b×1b=aC. 1a+1b=2a+bD. −x+yx−y=−1
9.如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( )
A. 20
B. 14
C. 13
D. 12
10.如图，已知▱ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′.连接DA′.若∠ADC=60∘，∠ADA′=50∘，则∠DA′E′的大小为( )
A. 130∘B. 150∘C. 160∘D. 170∘
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.分解因式：x2y−2xy+y=______.
12.一个正多边形的一个内角为150∘，则该正多边形的边数为______.
13.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，AD=BD.则∠B等于______.
14.如图，已知函数y=x+b和y=ax+3的图象交点为P，则不等式x+b>ax+3的解集为______.
15.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=4，AF=6，▱ABCD的周长为40，则▱ABCD的面积为______.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
(1)计算：(−2)2025+(−2)2024+22023；
(2)解方程：xx−2+2x2−4=1.
17.(本小题8分)
先化简，再求值：x2−4x+4x2−2x÷(x−4x)，其中−118.(本小题8分)
(1)如图(a)，在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，涂黑的小正方形的序号是______.
(2)如图(b)，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B、C都是格点．将△ABC向左平移6个单位，作出它的像△A1B1C1；
(3)如图(b)，求作一个△A2B2C2，并画出△A2B2C2，使它与△A1B1C1关于点O成中心对称．
19.(本小题8分)
2008年6月1日起，我国实施“限塑令”，开始有偿使用环保购物袋．为了满足市场需求，某厂家生产A、B两种款式的布质环保购物袋，每天共生产4500个，两种购物袋的成本和售价如下表，设每天生产A种购物袋x个，每天共获利y元．
(1)求出y与x的函数关系式；
(2)如果该厂每天最多投入成本10000元，那么每天最多获利多少元？
20.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中AB=AD=4，∠A=60∘，BC=4 5，CD=8.
(1)求∠ADC的度数；
(2)求四边形ABCD的面积。
21.(本小题8分)
为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息：
信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；
信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍．
根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？
22.(本小题12分)
如图，在▱ABCD中，∠ACB=45∘，AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AB于点F，交AE于点M，点N在边BC上，且AM=CN，连接DN，延长AD到点G，使DG=NC，连接CG.
(1)求证：AB=CM；
(2)试判断△ACG的形状，并说明理由.
(3)若AD=3 2，AM= 2，则DN=______.
23.(本小题13分)
如图1，在平面直角坐标系中．直线y=−12x+3与x轴、y轴相交于A、B两点，动点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90∘得到CD，此时点D恰好落在直线AB上时，过点D作DE⊥x轴于点E.
(1)求证：△BOC≌△CED；
(2)如图2，将△BCD沿x轴正方向平移得△B′C′D′，当直线B′C′经过点D时，求点D的坐标及△BCD平移的距离；
(3)若点P在y轴上，点Q在直线AB上．是否存在以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件的Q点坐；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：第一个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；
第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个图形是轴对称图形，也是中心对称图形；
第四个图形是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：C.
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2.【答案】A
【解析】解：ab−a−b+1=(a−1)(b−1)符合因式分解的定义，则A符合题意；
(a−b)(n−n)=(b−a)(n−n)中等号左边不是多项式，则B不符合题意；
(x+1)(x−1)=x2−1是乘法运算，则C不符合题意；
n2−2n−3=n(n−2−3n)中等号右边不是整式的积的形式，则D不符合题意；
故选：A.
将一个多项式化为几个整式的积的形式即为因式分解，据此进行判断即可．
本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键．
3.【答案】B
【解析】解：∵2x−2≥0，
∴2x≥2，
则x≥1，
根据一定界点，定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．将解集表示在数轴上如下：
故选：B.
利用不等式的基本性质，移项后再除以2，不等号的方向不变．
本题考查了解一元一次不等式，解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
4.【答案】D
【解析】解：∵a=x+2，b=x−1，且a>3>b，
∴x+2>3x−1<3，
解得：1故选：D.
根据题意可得不等式组x+2>3x−1<3，再解不等式组即可．
此题主要考查了一元一次不等式组的应用，关键是根据题意列出不等式组，再正确确定不等式组的解集．
5.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠A=∠C=110∘，
∴∠AEB=∠CBE，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠AEB=∠CBE，
∴∠AEB=12(180∘−110∘)=35∘，
故选：C.
根据平行四边形的性质结合角平分线的定义提出∠ABE=∠AEB=∠CBE，即可得出结果．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，熟记平行四边形的性质是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：∵将边长为4个单位的等边△ABC沿边BC向右平移2个单位得到△DEF，
∴AD=BE=2，各等边三角形的边长均为4.
∴四边形ABFD的周长=AD+AB+BE+FE+DF=16.
故选B.
根据平移的性质易得AD=BE=2，那么四边形ABFD的周长即可求得．
本题考查平移的性质，用到的知识点为：平移前后对应线段相等；关键是找到所求四边形的各边长．
7.【答案】A
【解析】【分析】
根据平移时，坐标的变化规律“上加下减，左减右加”进行计算．
此题考查了平移时，点的坐标变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【解答】
解：根据题意，得点P(−2,−3)向左平移1个单位，再向上平移3个单位，所得点的横坐标是−2−1=−3，纵坐标是−3+3=0，即新点的坐标为(−3,0).
故选：A.
8.【答案】D
【解析】解：A、(ab)2=a2b2，原计算错误，不符合题意；
B、a+b×1b=a+1，原计算错误，不符合题意；
C、1a+1b=b+aab，原计算错误，不符合题意；
D、−x+yx−y=−(x−y)x−y=−1，正确，符合题意，
故选：D.
根据分式混合运算的法则进行计算即可．
本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，
∴AD⊥BC，CD=BD=12BC=4，
∵点E为AC的中点，
∴DE=CE=12AC=5，
∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14.
故选：B.
根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，CD=BD，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=CE=12AC，然后根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
10.【答案】C
【解析】解：∵△BA′E′是由△BAE旋转得到的，
∴∠BA′E′=∠BAE.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠ADC=∠ABC，AD//BC.
∵AD//BC，∠ADA′=50∘，
∴∠DA′B=180∘−∠ADA′=130∘.
∴∠EAB=30∘=∠BA′E′.
∵∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′，∠DA′B=130∘，∠BA′E′=30∘，
∴∠DA′E′=130∘+30∘=160∘.
故选：C.
1、分析题意，首先根据旋转的性质可得：∠BA′E′=∠BAE；
2、由平行四边形的对角相等可得∠ADC=∠ABC，根据平行四边形对边平行，结合平行线的性质可得∠DA′B+∠ADA′=180∘，进而求得∠DA′B的度数；
3、根据∠ADC=∠ABC，结合三角形内角和定理可求得∠EAB的度数，即∠BA′E′的度数，接下来根据角度之间的和差关系．
本题考查旋转的性质，平行四边形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
11.【答案】y(x−1)2
【解析】解：x2y−2xy+y，
=y(x2−2x+1)，
=y(x−1)2.
故答案为：y(x−1)2.
先提取公因式y，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2−2ab+b2=(a−b)2.
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
12.【答案】12
【解析】解：设这个正多边形的边数为n，
∴这个正多边形的一个内角的度数为：(n−2)180∘n，
又∵正多边形的一个内角是150∘，
∴(n−2)180n=150，
解得：n=12.
检验后知道：n=12是原方程的根．
∴这个正多边形的边数12.
故答案为：12.
设这个正多边形的边数为n，根据正多边形的每个内角(n−2)180∘n，据此得(n−2)⋅180n=150，解此方程求出n即可．
此题主要考查了正多边形的性质，解答此题的关键是理解正n边形的n条边都相等，n个内角都相等，正n边形的内角和为(n−2)180∘，每个内角的度数为(n−2)180∘n.
13.【答案】30∘
【解析】解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD=∠BAD，
∵AD=BD，
∴∠B=∠BAD，
∴∠CAD=∠BAD=∠B，
∵∠C=90∘，
∴∠CAD+∠BAD+∠B=90∘，
∴∠B=30∘.
故答案为：30∘.
根据角平分线的定义可得∠CAD=∠BAD，根据等边对等角可得∠B=∠BAD，再根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．
本题考查了角平分线上的定义，等边对等角的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并列出求出∠CAD=∠BAD=∠B是解题的关键．
14.【答案】x>1
【解析】解：由图知：当直线y=x+b的图象在直线y=ax+3的上方时，不等式x+b>ax+3成立；
由于两直线的交点横坐标为：x=1，
观察图象可知，当x>1时，x+b>ax+3；
故答案为：x>1.
此题可根据两直线的图象以及两直线的交点坐标来进行判断．
此题考查的是用图象法来解不等式，充分理解一次函数与不等式的联系是解决问题的关键．
15.【答案】48
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的周长与面积得到关于BC、CD的两个方程并求出CD的值是解题的关键．根据平行四边形的周长求出BC+CD=20，再根据平行四边形的面积求出BC=32CD，然后求出CD的值，再根据平行四边形的面积公式计算即可得解．
【解答】
解：∵▱ABCD的周长=2(BC+CD)=40，
∴BC+CD=20①，
∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，AE=4，AF=6，
∴S▱ABCD=4BC=6CD，
整理得，BC=32CD②，
联立①②解得，CD=8，
∴▱ABCD的面积=AF⋅CD=6CD=6×8=48.
故答案为：48.
16.【答案】解：(1)(−2)2025+(−2)2024+22023
=(−2)2024×(−2)+(−2)2024+22023
=(−2)2024×(−2+1)+22023
=(−2)2024×(−1)+22023
=−22024+22023
=−22023×2+22023
=−(22023×2−22023)
=−22023×(2−1)
=−22023；
(2)解：原方程去分母得：x(x+2)+2=(x+2)(x−2)，
整理得：x2+2x+2=x2−4，
即2x+2=−4，
解得：x=−3，
检验：当x=−3时，(x+2)(x−2)≠0，
故原方程的解为x=−3.
【解析】(1)利用同底数幂乘法法则计算即可；
(2)利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可．
本题考查有理数的混合的运算，同底数幂乘法，解分式方程，熟练掌握相关运算法则及解方程组的方法是解题的关键．
17.【答案】解：x2−4x+4x2−2x÷(x−4x)
=(x−2)2x(x−2)÷x2−4x
=(x−2)2x(x−2)⋅x(x+2)(x−2)
=1x+2，
∵−1∴x的值为0，1，2，
∵当x=0和x=2时，原分式无意义，
∴x=1，
当x=1时，原式=11+2=13.
【解析】先通分括号内的式子，然后将除法转化为乘法，再约分，由−1本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：(1)②；
(2)所作图形如图所示：
(3)所作图形如图所示．

【解析】(1)根据中心对称图形的特点可得将②涂黑可使得其与图中阴影部分构成中心对称图形；
(2)分别将点A、B、C向左平移6个单位，然后顺次连接；
(3)分别作出点A1、B1、C1关于点O成中心对称的点，然后顺次连接．
本题考查了根据旋转变化和平移变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
19.【答案】解：(1)根据题意得：y=(2.3−2)x+(3.5−3)(4500−x)=−0.2x+2250，
(2)根据题意得：2x+3(4500−x)≤10000，
2x+13500−3x≤10000，
解得x≥3500个，
y=−0.2x+2250，
∵k=−0.2<0，
∴y随x增大而减小
∴当x=3500时，y有最大值，y=−0.2×3500+2250=1550元
答：该厂每天至多获利1550元．
【解析】(1)根据题意可得A种塑料袋每天获利(2.3−2)x，B种塑料袋每天获利(3.5−3)(4500−x)，共获利y元，
列出y与x的函数关系式：y=(2.3−2)x+(3.5−3)(4500−x).
(2)根据题意得2x+3(4500−x)≤10000，解出x的范围．得出y随x增大而减小．
考查一次函数与不等式的应用问题，该题满分10分，平均得分3.79分，得分率为37.9%；满分人数56人，满分率17.5%；零分人数152人，零分率高达47.5%.该题有2个问，第(1)问满分2分，平均得分0.8分，得分率为40%；第(2)问满分8分，平均得分2.98分，得分率为37.25%.试题评分标准和参考答案中的基本思路是：第(1)问是根据等量关系求出函数关系式，第(2)问先根据给出的条件列出关于x的不等式(或方程)，求出x的取值范围，然后再通过这个函数的增减性求出最大值．也有许多学生独辟蹊径，第(2)问求解过程没有利用第(1)问的函数关系，而是通过讨论A、B两种塑料代的成本和售价差，即每个塑料代获利多少求出最大值．也正因为如此，许多学生在第(1)问作答错误的前提下，第(2)问得了满分．从试卷作答情况看，该题丢分原因有以下几点：第一，函数关系布列错误或化简函数式时出错；第二，不理解第(2)问所给条件“该厂每天最多投入成本10000元”的含义，没有列出关于x的不等式(或方程)；第三，利用函数关系求最大值时，没有讨论函数的增减性，就直接将x=3500代入函数关系式求值；第四，有的学生代入求值时，竟然出现2250−0.2×3500=1500的低级错误．
20.【答案】解：(1)连接BD，
∵AB=AD，∠A=60∘，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB=60∘，DB=4，
∵42+82=(4 5)2，
∴DB2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90∘，
∴∠ADC=60∘+90∘=150∘；
(2)过B作BE⊥AD，
∵∠A=60∘，AB=4，
∴BE=AB⋅sin60∘=4× 32=2 3，
∴四边形ABCD的面积为：12AD⋅EB+12DB⋅CD=12×4×2 3+12×4×8=4 3+16.
【解析】此题主要考查了勾股定理逆定理，以及等边三角形的判定和性质，关键是掌握有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
(1)连接BD，首先证明△ABD是等边三角形，可得∠ADB=60∘，DB=4，再利用勾股定理逆定理证明△BDC是直角三角形，进而可得答案；
(2)过B作BE⊥AD，利用三角形函数计算出BE长，再利用△ABD的面积加上△BDC的面积可得四边形ABCD的面积．
21.【答案】解：设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品，
依题意得1200x−12001.5x=10，
解得：x=40.
经检验：x=40是原方程的解，且符合题意．
所以1.5x=60.
答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品．
【解析】如果设甲工厂每天加工x件产品，那么根据乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍，可知乙工厂每天加工1.5x件产品．然后根据等量关系：甲工厂单独加工完成这批产品的天数-乙工厂单独加工完成这批产品的天数=10，列出方程．
本题考查了分式方程在实际生产生活中的应用．理解题意找出题中的等量关系，列出方程是解题的关键．注意分式方程一定要检验．
22.【答案】4
【解析】(1)证明：∵AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，
∴∠AEB=∠CEM=∠CFB=90∘，
∴∠BAE=∠MCE=90∘−∠B，
∵∠AEC=90∘，∠ACB=45∘，
∴∠EAC=∠ECA=45∘，
∴AE=CE，
在△ABE和△CME中，
∠AEB=∠CEMAE=CE∠BAE=∠MCE，
∴△ABE≌△CME(ASA)，
∴AB=CM.
(2)△ACG是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD//BC，∠B=∠ADC，
∴∠MCD=∠CFB=90∘，
∵△ABE≌△CME，
∴AB=CM，∠B=∠CME，
∴CM=CD，∠CME=∠ADC，
∵∠AMC+∠CME=180∘，∠GDC+∠ADC=180∘，
∴∠AMC=∠GDC，
∵AM=CN，GD=CN，
∴AM=GD，
在△ACM和△GCD中，
AM=GD∠AMC=∠GDCCM=CD，
∴△ACM≌△GCD(SAS)，
∴AC=GC，∠ACM=∠GCD，
∴∠ACG=∠ACD+∠GCD=∠ACD+∠ACM=∠MCD=90∘，
∴△ACG是等腰直角三角形．
(3)解：∵AD=3 2，AM=GD= 2，
∴AG=AD+GD=3 2+ 2=4 2，
∵AC=GC，∠ACG=90∘，
∴AC2+GC2=2GC2=AG2=(4 2)2，
∴GC=4，
∵DG=NC，DG//NC，
∴四边形CGDN是平行四边形，
∴DN=GC=4，
故答案为：4.
(1)由AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，得∠AEB=∠CEM=∠CFB=90∘，则∠BAE=∠MCE=90∘−∠B，由∠EAC=∠ECA=45∘，得AE=CE，即要根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ABE≌△CME，得AB=CM；
(2)由平行四边形的性质得AB=CD，AD//BC，∠B=∠ADC，由△ABE≌△CME，得AB=CM，∠B=∠CME，则CM=CD，∠CME=∠ADC，所以∠AMC=∠GDC，而AM=GD=CN，即可证明△ACM≌△GCD，得AC=GC，∠ACM=∠GCD，则∠ACG=∠MCD=90∘，所以△ACG是等腰直角三角形；
(3)由AD=3 2，AM=GD= 2，得AG=AD+GD=4 2，由勾股定理得AC2+GC2=2GC2=AG2=(4 2)2，则GC=4，再证明四边形CGDN是平行四边形，则DN=GC=4.
此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的判定、勾股定理等知识，证明△ABE≌△CME及△ACM≌△GCD是解题的关键．
23.【答案】(1)证明：∵∠BOC=∠BCD=∠CED=90∘，
∴∠OCB+∠DCE=90∘，∠DCE+∠CDE=90∘，
∴∠BCO=∠CDE，
∵BC=CD，
∴△BOC≌△CED.
(2)∵△BOC≌△CED，
∴OC=DE=m，BO=CE=3，
∴D(m+3,m)，
把D(m+3,m)代入y=−12x+3得到，m=−12(m+3)+3，
∴2m=−m−3+6，
∴m=1，
∴D(4,1)，
∵B(0,3)，C(1,0)，
∴直线BC的解析式为y=−3x+3，
设直线B′C′的解析式为y=−3x+b，把D(4,1)代入得到b=13，
∴直线B′C′的解析式为y=−3x+13，
∴C′(133,0)，
∴CC′=103，
∴△BCD平移的距离是103个单位．
(3)解：如图3中，作CP//AB交y轴于P，作PQ//CD交AB于Q，则四边形PCDQ是平行四边形，
易知直线PC的解析式为y=−12x+12，
∴P(0,12)，
∵点C向左平移1个单位，向上平移12个单位得到P，
∴点D向左平移1个单位，向上平移12个单位得到Q，
∴Q(3,32)，
当CD为对角线时，四边形PCQ′′D是平行四边形，可得Q′′(5,12)，
当四边形CDP′Q′为平行四边形时，可得Q′(−3,92)，
综上所述，满足条件的点Q的坐标为(3,32)或(5,12)或(−3,92).
【解析】(1)根据AAS或ASA即可证明；
(2)首先求出点D的坐标，再求出直线B′C′的解析式，求出点C′的坐标即可解决问题；
(3)如图3中，作CP//AB交y轴于P，作PQ//CD交AB于Q，则四边形PCDQ是平行四边形，求出直线PC的解析式，可得点P坐标，点C向左平移1个单位，向上平移12个单位得到P，推出点D向左平移1个单位，向上平移12个单位得到Q，再根据对称性可得Q′、Q′′的坐标；
本题考查一次函数综合题、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会用平移、对称等性质解决问题，属于中考压轴题．成本(元/个)
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A
2
2.3
B
3
3.5