2023-2024学年天津市滨海新区八年级（上）期末数学练习试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年天津市滨海新区八年级（上）期末数学练习试卷(含详细答案解析)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列长度的三条线段，能构成三角形的是( )
A. 3，10，5B. 4，8，4C. 5，13，12D. 2，7，4
3.一个数是0.0000003，这个数用科学记数法表示为( )
A. 3×10−5B. 3×10−6C. 3×10−7D. 3×10−8
4.已知x+y=6，xy=5，则(x−y)2的值为( )
A. 25B. 36C. 11D. 16
5.化简x(x−1)2−1(x−1)2的结果为( )
A. x(x−1)2B. 1x−1C. 1(x−1)2D. 1
6.如图，△ABC≌△DEF，AD=2.2，CF=4.4，则AC的长度等于( )
A. 2.2
B. 1.1
C. 3.3
D. 2.3
7.计算(−12a)(2a2−23a+56)的结果是( )
A. −24a3+8a2B. −24a3−8a2−10a
C. −24a3+8a2−10aD. −24a2+8a+10
8.如图，点P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB，BC于点M，N，且M，N分别在PA，PC的垂直平分线上.若∠APC=142∘，则∠ABC的度数为( )
A. 76∘B. 104∘C. 130∘D. 140∘
9.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，∠A=56∘，将其折叠，使点A落在CB边上的A′处，折痕为CD，则∠A′DB的度数为( )
A. 56∘
B. 32∘
C. 22∘
D. 34∘
10.如果(2x+m)(x−3)展开后的结果不含x的一次项，则m的值是( )
A. 6B. ±6C. 0D. 3
11.小张和小王同时从学校出发去距离15千米的上海世博园，小张比小王每小时多行1千米，结果比小王早到半小时，设小王每小时走x千米，则( )
A. 15x+1−15x=12B. 15x−15x+1=12C. 15x−1−15x=12D. 15x−15x−1=12
12.如图，在四边形ABCD中，∠C=72∘，∠B=∠D=90∘，M，N分别是BC，DC上的点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为( )
A. 72∘
B. 36∘
C. 108∘
D. 38∘
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
13.要使分式x−12−x有意义，则x的取值应满足______.
14.[(x+3y)2−(x+y)(x−y)]÷2y=______.
15.如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形的边数是______.
16.若2x=5，4y=3，则2x+2y的值为______.
17.已知x2−x+3=0，则(x−3)(x+2)的值等于______.
18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90∘，∠A=30∘，AB=9，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM=2.
(Ⅰ)PM+PN是否存在最小值？______(填“是”或“否”).
(Ⅱ)如果存在，请直接写出此时PM+PN的最小值；如果不存在，请说明理由.
______.
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：
(Ⅰ)(a2b3)−1⋅(ab−2)2；
(Ⅱ)x2⋅x4−(2x3)2+x7÷x.
20.(本小题8分)
先化简.再求值：(a+7a−1−2a+1)÷a2+3aa2−1，其中a=−2.
21.(本小题8分)
如图，AD是△ABC边BC上的高，BE平分∠ABC交AD于点E，若∠C=65∘，∠BED=68∘，求∠ABC和∠BAC的度数.
22.(本小题8分)
因式分解：
(Ⅰ)mx2−2m2x+m3；
(Ⅱ)8m2n+2mn.
23.(本小题8分)
中华优秀传统文化是中华民族的“根”和“魂”，是我们必须世代传承的文化根脉、文化基因.为传承优秀传统文化，某校为各班购进《三国演义》和《水浒传》连环画若干套，其中每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元.已知该校购买《三国演义》和《水浒传》连环画的费用分别为3600元和4800元，购买《三国演义》连环画的套数是购买《水浒传》连环画套数的一半，求每套《水浒传》连环画的价格.
(1)设每套《水浒传》连环画的价格为x元，用含x的式子表示：
每套《三国演义》连环画的价格为______元，购买《三国演义》连环画的套数是______，购买《水浒传》连环画套数是______.
(2)列出方程，完成本题解答.
24.(本小题8分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CA=CB，点D在BC上，点E是AC延长线上一点，且BE=AD.
(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)若∠BAD=22∘，求∠ABE的度数．
25.(本小题8分)
如图，等边△ABC的边长为3，点D是AB延长线上的一个动点，以CD为边在AD上方作等边△CDM，过点A作AN⊥AD，连接MB并延长，交AN于点N.
(Ⅰ)求证：MB=DA；
(Ⅱ)当∠DCA=100∘时，求∠DMN的度数；
(Ⅲ)在点D的运动过程中，线段BN的长度是否会发生变化？若不变，则求出BN的长度；若变化，请说明理由.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：A.
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】C
【解析】解：A、3+5<10，不能够组成三角形，不符合题意；
B、4+4=8，不能够组成三角形，不符合题意；
C、5+12>13，能够组成三角形，符合题意；
D、2+4<7，不能组成三角形，不符合题意．
故选：C.
根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
本题考查了三角形的三边的关系，正确理解三边关系定理是解题关键．
3.【答案】C
【解析】解：0.0000003=3×10−7.
故选：C.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4.【答案】D
【解析】解：∵x+y=6，xy=5，
∴(x−y)2=(x+y)2−4xy
=62−4×5
=16.
故选：D.
根据(x−y)2=(x+y)2−4xy，求解即可．
本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，属于中考常考题型．
5.【答案】B
【解析】解：x(x−1)2−1(x−1)2=x−1(x−1)2=1x−1.
故选：B.
根据同分母分式相加减，分母不变，只把分子相加减计算，然后约分即可得解．
此题考查了分式化简，根据同分母分式相加减，分母不变，分子相加减计算是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴AC=DF，
∴AC−AD=DF−AD，
∴AF=DC，
∵AD=2.2，CF=4.4，
∴AF+DC=CF−AD=4.4−2.2=2.2，
∴DC=AF=1.1，
∴AC=AD+DC=2.2+1.1=3.3，
故选：C.
根据全等三角形的性质得出AC=DF，求出AF=DC，求出DC长，再求出答案即可．
本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，全等三角形的对应边相等，对应角相等．
7.【答案】C
【解析】解：原式=−12a⋅2a2−(−12a)⋅23a+(−12a)⋅56
=−24a3+8a2−10a.
故选：C.
直接利用单项式乘多项式，进而计算得出答案．
此题主要考查了单项式乘多项式，正确掌握相关运算法则是解题关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
根据平角的概念求出∠MPA+∠NPC，根据线段垂直平分线的性质得到MP=MA，NP=NC，得到∠MAP=∠MPA，∠NCP=∠NPC，根据三角形的外角性质、三角形内角和定理计算，得到答案．
【解答】
解：∵∠APC=142∘，
∴∠MPA+∠NPC=180∘−142∘=38∘，
∵M，N分别在PA，PC的垂直平分线上，
∴MP=MA，NP=NC，
∴∠MAP=∠MPA，∠NCP=∠NPC，
∵∠BMN=∠MPA+∠MAP，∠BNM=∠NCP+∠NPC，
∴∠BMN+∠BNM=∠MPA+∠MAP+∠NCP+∠NPC=76∘，
∴∠ABC=180∘−76∘=104∘.
9.【答案】C
【解析】解：∵∠ACB=90∘，∠A=56∘，
∴∠B=90∘−56∘=34∘，
∵折叠后点A落在边CB上A′处，
∴∠CA′D=∠A=56∘，
由三角形的外角性质得，∠A′DB=∠CA′D−∠B=56∘−34∘=22∘.
故选：C.
根据直角三角形两锐角互余求出∠B，根据翻折变换的性质可得∠CA′D=∠A，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．
本题考查了翻折变换，直角三角形两锐角互余，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，翻折前后对应边相等，对应角相等．
10.【答案】A
【解析】解：(2x+m)(x−3)=2x2+mx−6x−3m=2x2+(m−6)x−3m，
∵结果中不含有x的一次项，
∴m−6=0，
解得m=6，
故选：A.
原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据结果不含x的一次项，即可确定出m的值．
本题考查了多项式的乘法，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加；解题的关键是掌握不含x的一次项即x的一次项系数和为0.
11.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查列分式方程的应用的知识，得到两人所用时间的等量关系是解决本题的关键.等量关系为：小王走15千米用的时间-小张走15千米用的时间=12，把相关数值代入即可.
【解答】
解：小王走15千米用的时间为15x，小张走15千米用的时间为15x+1，
可列方程为15x−15x+1=12.
故选B.
12.【答案】B
【解析】解：作A关于BC和CD的对称点A′，A′′，连接A′A′′，交BC于M，交CD于N，则A′A′′即为△AMN的周长最小值．作DA延长线AH，
∵在四边形ABCD中，∠C=72∘，∠B=∠D=90∘，
∴∠DAB=108∘，
∴∠HAA′=72∘，
∴∠AA′M+∠A′′=∠HAA′=72∘，
∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A′′，
且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A′′=∠ANM，
∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A′′=2(∠AA′M+∠A′′)=2×72∘=144∘，
∴∠MAN=36∘，
故选：B.
根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A′′，即可得出∠AA′M+∠A′′=∠HAA′=72∘，进而得出∠AMN+∠ANM=2(∠AA′M+∠A′′)即可得出答案．
本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出E，F的位置是解题关键．
13.【答案】x≠2
【解析】解：要使分式x−12−x有意义，
则2−x≠0，
解得x≠2，
故答案为：x≠2.
根据分母不为零的条件进行解题即可．
本题考查分式有意义的条件，掌握分母不为零是解题的关键．
14.【答案】3x+5y
【解析】解：原式=[x2+6xy+9y2−(x2−y2)]÷2y
=(x2+6xy+9y2−x2+y2)÷2y
=(6xy+10y2)÷2y
=3x+5y；
故答案为：3x+5y.
先用完全平方公式和平方差公式把括号内展开，再合并同类项，最后算除法．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
15.【答案】4
【解析】解：设多边形的边数为n，根据题意得，
(n−2)⋅180∘=360∘，
解得n=4.
故答案为：4.
利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．
本题考查了多边形的内角和公式与多边形的外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360∘.
16.【答案】15
【解析】解：2x+2y=2x⋅(2y)2=2x⋅4y=5×3=15，
故答案为：15.
根据幂的乘方，可化成要求的形式，根据同底数幂的除法，可得答案．
本题考查了同底数幂的除法，先化成要求的形式，再进行同底数幂的除法．
17.【答案】−9
【解析】解：∵x2−x+3=0，
∴x2−x=−3，
∴(x−3)(x+2)=x2−x−6=−3−6=−9.
故答案为：−9.
先将x2−x+3=0变形为x2−x=−3，再根据多项式乘以多项式法则将(x−3)(x+2)进行运算并代入求值即可．
本题主要考查了整式运算及代数式求值，熟练掌握多项式乘以多项式运算法则是解题关键．
18.【答案】是 3.5
【解析】解：(Ⅰ)如图所示，作点M关于BD的对称点M′，连接PM′，则PM′=PM，BM=BM′=1，
∴PN+PM=PN+PM′，
当N，P，M′在同一直线上，且M′N⊥AC时，PN+PM′的最小值等于垂线段M′N的长，
故答案为：是；
(Ⅱ)存在，理由如下：
在Rt△AM′N中，∠A=30∘，
∴M′N=12AM′=12×(9−2)=3.5，
∴PM+PN的最小值为3.5，
故答案为：3.5.
作点M关于BD的对称点M′，连接PM′，则PM′=PM，BM=BM′=1，当N，P，M′在同一直线上，且M′N⊥AC时，PN+PM′的最小值等于垂线段M′N的长，利用含30∘角的直角三角形的性质，即可得到PM+PN的最小值．
本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
19.【答案】解：(Ⅰ)(a2b3)−1⋅(ab−2)2
=a−2b−3⋅a2b−4
=a0b−7
=1b7；
(Ⅱ)x2⋅x4−(2x3)2+x7÷x
=x6−4x6+x6
=−2x6.
【解析】(Ⅰ)根据负整数指数幂、分式的乘除法法则计算；
(Ⅱ)根据同底数幂的乘除法法则、积的乘方法则、合并同类项计算．
本题考查的是同底数幂的乘除法、负整数指数幂、合并同类项，掌握它们的运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：原式=(a+7a−1−2a+1)⋅(a+1)(a−1)a(a+3)
=a+7a−1⋅(a+1)(a−1)a(a+3)−2a+1⋅(a+1)(a−1)a(a+3)
=(a+1)(a+7)a(a+3)−2(a−1)a(a+3)
=a2+8a+7−2a+2a(a+3)
=a2+6a+9a(a+3)
=(a+3)2a(a+3)
=a+3a，
当a=−2时，
原式=−2+3−2=−12.
【解析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
21.【答案】解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90∘，
∴∠BED+∠EBD=90∘，
∵∠BED=68∘，
∴∠EBD=22∘，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠EBD=44∘；
∵∠ABC+∠BAC+∠C=180∘，
∵∠C=65∘，
∴∠BAC=71∘.
【解析】分析题意，根据AD是BC边上的高可得∠ADB=∠ADC=90∘，∠BED+∠EBD=90∘，再根据∠BED=68∘可求得∠EBD=22∘，根据BE平分∠ABC，可得∠ABC=2∠EBD=44∘，根据∠ABC+∠BAC+∠C=180∘，∠C=65∘可得∠BAC=71∘.
此题考查了三角形内角和定理，利用角平分线和直角三角形的性质，熟知三角形内角和是180∘是解题关键．
22.【答案】解：(Ⅰ)原式=m(x2−2mx+m2)
=m(x−m)2；
(Ⅱ)原式=2mn(4m+1).
【解析】(1)先提取公因式，再运用完全平方公式进行因式分解，即可得出答案．
(2)利用提取公因式方法进行因式分解，即可得出答案．
本题主要考查因式分解的方法，解决本题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
23.【答案】(x+60)3600x+60 4800x
【解析】解：(1)设每套《水浒传》连环画的价格为x元，每套《三国演义》连环画的价格为(x+60)元，购买《三国演义》连环画的套数是3600x+60套，购买《水浒传》连环画套数是4800x套；
故答案为：(x+60)；3600x+60；4800x.
(2)根据题意得：3600x+60=12×4800x，
解得：x=120，
经检验x=120是原方程的解，
答：每套《水浒传》连环画的价格120元．
(1)根据每套《三国演义》连环画的价格比每套《水浒传》连环画的价格贵60元，用x表示出每套《三国演义》连环画的价格即可；购买《三国演义》和《水浒传》连环画的费用分别为3600元和4800元表示出购买《三国演义》连环画的套数，购买《水浒传》连环画套数即可；
(2)根据购买《三国演义》连环画的套数是购买《水浒传》连环画套数的一半列出方程，解方程即可．
本题主要考查了列代数式，分式方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系表示出购买《三国演义》连环画的套数和购买《水浒传》连环画套数，注意解分式方程时，最后要进行检验．
24.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90∘，
在Rt△ACD与Rt△BCE中，
AD=BEAC=BC，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE(HL)；
(2)解：∵Rt△ACD≌Rt△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=90∘，AC=BC，
∴∠CAB=∠CBA=45∘，
∴∠CAD=45∘−22∘=23∘，
∴∠EBC=23∘，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=68∘.
【解析】(1)根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BCE；
(2)由Rt△ACD≌Rt△BCE，求出∠CAD=∠CBE，再求出∠EBC=23∘，即可求解．
本题考查直角三角形证明全等，全等三角形的性质，解题的关键是能够根据题目的条件，求出相应角的度数．
25.【答案】(Ⅰ)证明：∵△ABC，△CDM都是等边三角形，
∴CA=CB，CM=CD，∠ACB=∠DCM=60∘，
∴∠ACD=∠BCM，
在△ACD和△BCM中，
CA=CB∠ACD=∠BCMCD=CM，
∴△ACD≌△BCM(SAS)，
∴AD=BM；
(Ⅱ)解：∵△ACD≌△BCM，
∴∠ADC=∠BMC，
∵∠ADC=180∘−∠ACD−∠CAD=180∘−100∘−60∘=20∘，
∴∠BMC=20∘，
∴∠DMN=∠DMC−∠BMC=60∘−20∘=40∘；
(Ⅲ)解：结论：BN的长度不变，BN=6.
理由：设CD交BM于点O.
∵∠BDO=∠OMC，∠BOD=∠COM，
∴∠DBO=∠MCO=60∘，
∴∠ABN=∠DBM=60∘，
∵AN⊥AB，
∴∠BAN=90∘，
∴∠N=30∘，
∴BN=2AB=6.
【解析】(Ⅰ)证明△ACD≌△BCM(SAS)，可得结论；
(Ⅱ)利用三角形内角和定理，全等三角形的性质解决问题即可；
(Ⅲ)证明∠N=30∘，可得BN=2AB=6.
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．