2023-2024学年吉林省长春市榆树市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年吉林省长春市榆树市八年级（下）期末数学试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.若代数式1x−3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是( )
A. x<3B. x>3C. x≠3D. x=3
2.若点P(a,2)在第二象限，则a的值可以是( )
A. −2B. 0C. 1D. 2
3.把下列分式中x，y的值都同时扩大到原来的5倍，那么分式的值保持不变的是( )
A. yx−yB. 1x−yC. x−yxyD. x−yy2
4.已知一次函数y=(1+2m)x−3中，函数值y随自变量x的增大而减小，那么m的取值范围是( )
A. m≤−12B. m≥−12C. m<−12D. m>−12
5.如图，▱ABCD中，AB=12，PC=4，AP是∠DAB的平分线，则▱ABCD周长为( )
A. 20
B. 24
C. 32
D. 40
6.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，且BE=2OE.若AE=4，则OA的长为( )
A. 3 2
B. 2 3
C. 2
D. 2 2
7.如图，在菱形ABCD中，∠D=140∘，则∠1的大小为( )
A. 15∘
B. 20∘
C. 25∘
D. 30∘
8.如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=kx在第一象限内的图象经过点A(2,2)和点B(4,m)，则△AOB的面积为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.(π−3.14)0−(13)−2=______.
10.写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达式______.
11.每年10月16日为世界粮食日，它告诫人们要珍惜每一粒粮食、已知一粒米的重量约0.000021千克，将数据0.000021用科学记数法表示为______.
12.学校举行物理科技创新比赛，各项成绩均按百分制计，然后按照理论知识占20%，创新设计占50%，现场展示占30%计算选手的综合成绩(百分制).某同学本次比赛的各项成绩分别是：理论知识85分，创新设计88分，现场展示90分，那么该同学的综合成绩是______分．
13.如图，根据小孔成像的原理，当像距(小孔到像的距离)和物高(蜡烛火焰高度)不变时，火焰的像高y(单位：cm)是物距(蜡烛到小孔的距离)x(单位：cm)的反比例函数，当x=5时，y=1.6.则y关于x的函数表达式是______.
14.如图①，在矩形ABCD中，动点P从A出发，以相同的速度，沿A→B→C→D→A方向运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PAB面积为y，如果y与x的函数图象如图②所示，则矩形ABCD的面积为______.
三、计算题：本大题共1小题，共5分。
15.解方程：2xx−2=1−12−x.
四、解答题：本题共9小题，共73分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
先化简，再求值：(1−1a+2)÷a2+2a+1a2−4，其中a=3.
17.(本小题6分)
如图，在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：四边形EBFD是平行四边形．
18.(本小题7分)
某车间接到加工200个零件的任务，在加工完40个后，由于改进了技术，每天加工的零件数量是原来的2.5倍，整个加工过程共用了13天完成．求原来每天加工零件的数量．
19.(本小题7分)
图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上.
(1)在图①中，以AB为边画一个▱ABCD，且其面积为4；
(2)在图②中，以AB为对角线画一个▱AEBF，且其面积为4；
(3)在图③中，以AB为对角线画一个▱AMBN，且其面积为5.
20.(本小题8分)
已知一次函数y=kx+b(k≠0)与反比例函数y=mx(m≠0)相交于A、B两点，且A点坐标为(1,3)，B点的横坐标为−3.
(1)求反比例函数和一次函数的解析式.
(2)根据图象直接写出使得kx+b21.(本小题8分)
如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF//AC交OE的延长线于点F，连接AF.
(1)求证：△AOE≌△DFE；
(2)判定四边形AODF的形状并说明理由．
22.
23.(本小题10分)
综合与实践
【操作感知】如图①，在矩形纸片ABCD的AD边上取一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连结PM、BM.∠DPM=60∘，则∠MBC的大小为______度.
【迁移探究】如图②，将矩形纸片换成正方形纸片，将正方形纸片ABCD按照【操作感知】进行折叠，并延长PM交CD于点Q，连结BQ.
(1)判断△MBQ与△CBQ的关系并证明.
(2)若正方形ABCD的边长为4，点P为AD中点，则CQ的长为______.
24.(本小题12分)
在平面直角坐标系中，点P的坐标为(x1,y1)，点Q的坐标为(x2,y2)，且x1≠x2，y1≠y2.若P、Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P、Q的“相关矩形”，如图①为点P、Q的“相关矩形”示意图.若点P(1,0)，点Q(m,5).
(1)当m=3时，在图②中画出点P、Q的“相关矩形”并求它的周长.
(2)若点P、Q的“相关矩形”为正方形，求m的值.
(3)已知一次函数y=−2x+4的图象交x轴于点A，交y轴于点B，若在线段AB上存在一点C，使得点C、Q的“相关矩形”是正方形.
①点A的坐标为______，点 B的坐标为______.
②直接写出m的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了分式有意义的条件．(1)分式有意义的条件是分母不等于零．(2)分式无意义的条件是分母等于零．分式有意义时，分母x−3≠0，据此求得x的取值范围．
【解答】
解：依题意得：x−3≠0，
解得x≠3，
故选C.
2.【答案】A
【解析】解：∵点P(a,2)在第二象限，
∴a<0，
∴−2、0、1、2四个数中，a的值可以是−2.
故选：A.
根据第二象限内点的横坐标是负数判断．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限内点的坐标的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−).
3.【答案】A
【解析】解：A、5y5x−5y=5y5(x−y)=yx−y，分式的值保持不变，符合题意；
B、15x−5y=15(x−y)=15×1x−y，分式的值改变，不符合题意；
C、5x−5y5x⋅5y=5(x−y)25xy=15×x−yxy，分式的值改变，不符合题意；
D、5x−5y(5y)2=5(x−y)25y2=15×x−yy2，分式的值改变，不符合题意；
故选：A.
根据分式的基本性质，x，y的值都同时扩大到原来的5倍，求出每个式子的结果，看结果是否等于原式．
本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质：分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．
4.【答案】C
【解析】解：函数值y随自变量x的增大而减小，那么1+2m<0，
解得m<−12.
故选：C.
根据一次函数的性质解题，若函数值y随自变量x的增大而减小，那么k<0.
本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数y=kx+b(k≠0)中，当k<0时，函数值y随自变量x的增大而减小是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：∵▱ABCD，
∴CD=AB=12，AD=BC，AB//CD，
∴∠DPA=∠BAP，
∵AP是∠DAB的平分线，
∴∠DAP=∠BAP，
∴∠DPA=∠DAP，
∴AD=DP=CD−PC=8，
∴▱ABCD周长为2(AD+AB)=40，
故选：D.
由平行四边形的性质可得CD=AB=12，AD=BC，AB//CD，则∠DPA=∠BAP，由AP是∠DAB的平分线，可得∠DAP=∠BAP，则∠DPA=∠DAP，AD=DP=CD−PC=8，根据▱ABCD周长为2(AD+AB)，计算求解即可．
本题考查了平行四边形的性质，角平分线，等角对等边．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
6.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，AO=CO=BO=DO，
∵BE=2OE.
∴BO=3OE=OA，
在Rt△AOE中，AE2+EO2=AO2，
∴16+OE2=9OE2，
∴OE= 2，
∴OA=30E=3 2，
故选：A.
由矩形的性质可得AC=BD，AO=CO=BO=DO，由勾股定理可求OE的长，即可求解．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，由勾股定理求出BE的长是解决问题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴DA=DC，∠DAC=∠1，
∴∠DAC=∠DCA=∠1，
在△ABD中，
∵∠D=140∘，∠D+∠DAC+∠DCA=180∘，
∴∠DAC=∠DCA=12(180∘−∠D)=12×(180∘−140∘)=20∘，
故选：B.
由菱形的性质得到DA=DC，∠DAC=∠1，由等腰三角形的性质得到∠DAC=∠DCA=∠1，根据三角形的内角和定理求出∠DAC，即可得到∠1.
本题考查了菱形的性质，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DAC是解决问题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：∵反比例函数y=kx在第一象限内的图象经过点A(2,2)和点B(4,m)，
∴k=2×2=4，m=44=1，
∴B(4,1)
设直线OB的解析式y=kx，
∵点B(4,1)在直线上，
∴k=14.
∴直线OB的解析式y=14x，
过点A作AM⊥x轴，交OB于点N.则点N的坐标为(2,12)，AN=2−12=32，
S△AOB=S△ANO+S△BAN=12×32×2+12×32×2=3.
故选：B.
根据条件，过点A作AM⊥x轴，交OB于点N.则点N的坐标为(2,12)，AN=2−12=32，所求三角形面积由两个三角形面积相加计算即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握面积分割求面积是常用方法．
9.【答案】−8
【解析】解：原式=1−9
=−8.
故答案为：−8.
直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．
10.【答案】y=−2x(答案不唯一)
【解析】解：∵正比例函数的一般形式为y=kx，并且y随x的增大而减小，
∴答案不唯一：y=−2x、y=−3x等．
由于正比例函数的一般形式为y=kx，并且y随x的增大而减小，所以k是一个负数，由此可以确定函数的表达式．
此题是一个开放性试题，答案不唯一，主要利用正比例函数的性质即可解决问题．
11.【答案】2.1×10−5
【解析】解：0.000021=2.1×10−5.
故答案为：2.1×10−5，
根据科学记数法的表示方法直接求解即可．
此题考查科学记数法，解题关键是科学记数法表示为a×10−n(1≤|a|<10).
12.【答案】88
【解析】解：85×20%+88×50%+90×30%=88(分)，
故答案为：88.
根据加权平均数的计算方法进行计算即可．
本题考查加权平均数，理解加权平均数的定义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的关键．
13.【答案】y=8x
【解析】解：设解析式为kx(k≠0)，
把x=5，y=1.6代入，得：
1.6=k5，
解得k=8，
∴函数解析式为y=8x，
故答案为：y=8x.
根据待定法求反比例函数的解析式即可．
本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．
14.【答案】24
【解析】解：从图象②和已知可知：AB=4，BC=10−4=6，
所以矩形ABCD的面积是4×6=24，
故答案为：24.
根据图象②得出AB、BC的长度，再求出面积即可．
本题考查了矩形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．
15.【答案】解：去分母得：2x=x−2+1，
移项合并得：x=−1，
经检验x=−1是分式方程的解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
16.【答案】解：(1−1a+2)÷a2+2a+1a2−4
=a+2−1a+2⋅(a+2)(a−2)(a+1)2
=a+1a+2⋅(a+2)(a−2)(a+1)2
=a−2a+1，
当a=3时，原式=3−23+1=14.
【解析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式的减法和除法的运算法则．
17.【答案】证明：在▱ABCD中，DC//AB，DC=AB，
∵E、F分别是AB、CD的中点，
∴EB//FD，EB=FD，
∴四边形EBFD是平行四边形．
【解析】由平行四边形的性质得出AB=CD，BE//DF，证出BE=DF，即可得出四边形EBFD是平行四边形．
本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键．
18.【答案】解：设原来每天加工零件的数量是x个，根据题意得：
40x+200−402.5x=13，
解得：x=8
将检验x=8是原方程的解，
答：原来每天加工零件的数量是8个．
【解析】设原来每天加工零件的数量是x个，根据整个加工过程共用了13天完成，列出方程，再进行检验即可．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．涉及到的公式：工作时间=工作总量÷工作效率．
19.【答案】解：(1)如图①中，平行四边形ABCD即为所求；
(2)如图②中，平行四边形AEBF即为所求；
(3)如图③中，平行四边形AMBN即为所求．

【解析】(1)根据平行四边形的判定利用数形结合的射线画出图形即可；
(2)根据要求画出图形即可；
(3)构造两个等腰直角三角形即可．
本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
20.【答案】(1)将点A(1,3)代入y=mx，
解得：m=3.
∴反比例函数解析式为y=3x.
∵点B的横坐标为−3，
∴点B坐标(−3,−1).
把A(1,3)，B(−3,−1)代入y=kx+b得：
k+b=3−3k+b=−1，
解得：k=1b=2，
∴一次函数的解析式为y=x+2；
(2)由图象可知kx+b【解析】(1)根据待定系数法即可解决问题．
(2)观察图象kx+b本题考查反比例函数与一次函数的图象的交点，学会待定系数法是解决问题的关键，学会观察图象由函数值的大小确定自变量的取值范围，属于中考常考题型．
21.【答案】(1)证明：∵E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵DF//AC，
∴∠OAD=∠ADF，
在△AOE和△DFE中，
∠AEO=∠DEFAE=DE∠OAE=∠FDE，
∴△AOE≌△DFE(ASA).
(2)解：四边形AODF为矩形．
理由：∵△AOE≌△DFE，
∴AO=DF，
∵DF//AC，
∴四边形AODF为平行四边形，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，
即∠AOD=90∘，
∴平行四边形AODF为矩形．
【解析】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键．
(1)利用全等三角形的判定定理即可．
(2)先证明四边形AODF为平行四边形，再结合∠AOD=90∘，即可得出结论．
22.【答案】

【解析】
23.【答案】3043
【解析】解：【操作感知】：由折叠知，∠APB=∠MPB，∠ABP=∠MBP，∠A=∠M=90∘，
∵∠DPM=60∘，
∴∠APB=∠MPB=(180∘−∠DPM)÷2=60∘，
∴∠ABP=∠MBP=30∘，
∴∠MBC=90∘−∠ABP−∠MBP=30∘，
故答案为：30；
【迁移探究】(1)判断：△MBQ≌△CBQ，
证明：∵正方形纸片ABCD按照【操作感知】进行折叠，
∴AB=BM=BC，∠A=∠BMP=∠BMQ=∠C=90∘
在Rt△MBQ和Rt△CBQ中，
BQ=BQBM=BC，
∴Rt△MBQ≌Rt△CBQ(HL)，
即△MBQ≌△CBQ；
(2)设CQ的长为x，
∵正方形ABCD的边长为4，点P为AD中点，
∴DQ=4−x，MQ= BQ2−BM2= BC2+CQ2−BM2=x，PM=AP=12×4=2，
在Rt△PDQ中，PQ2=PD2+DQ2，
即(2+x)2=22+(4−x)2，
解得x=43，
故答案为：43.
操作感知：根据折叠求出∠ABP=∠MBP=30∘，即可得出结论；
迁移探究：(1)根据HL证Rt△MBQ≌Rt△CBQ即可；
(2)设CQ的长为x，则DQ=4−x，MQ= BQ2−BM2= BC2+CQ2−BM2=x，利用勾股定理求出x的值即可．
本题主要考查四边形的综合题，熟练掌握正方形的性质，长方形的性质，全等三角形的判定等知识是解题的关键．
24.【答案】(2,0)(0,4)
【解析】解：(1)当m=3时，Q(3,5)，点P、Q的“相关矩形”PDQE如图所示：
∵四边形PDQE是矩形，
∴PE=DQ=5，PD=EQ=2，
∴矩形PDQE的周长=2×(5+2)=14.
(2)∵P(1,0)，Q(m,5)，DQ⊥x轴，PE⊥x轴，EQ⊥y轴，PD⊥y轴，
∴D(m,0)，E(1,5)，
∴PD=|m−1|，PE=5，
∵四边形PDQE是正方形，
∴PD=PE，
∴|m−1|=5，
∴m=6或−4.
(3)①在一次函数y=−2x+4中，令x=0，得y=4，令y=0，得x=2，
∴A(2,0)，B(0,4)，
故答案为：(2,0)(0,4).
②如图，
∵点C线段AB上，
∴设C(n,−2n+4)，且0≤n≤2，
则D(m,−2n+4)，E(n,5)，
∴CD=|m−n|，CE=5−(−2n+4)=2n+1，
∵点C、Q的“相关矩形”是正方形，即四边形CDQE是正方形，
∴CD=CE，即|m−n|=2n+1，
∴m=3n+1或m=−n−1，
当m=3n+1时，
∵0≤n≤2，
∴1≤3n+1≤7，
即1≤m≤7；
当m=−n−1时，
∵0≤n≤2，
∴−3≤−n−1≤−1，
即−3≤m≤−1；
综上所述，m的取值范围为−3≤m≤−1或1≤m≤7.
(1)根据点P、Q的“相关矩形”的定义画出图形，利用矩形的周长公式即可求得点P、Q的“相关矩形”的周长．
(2)利用点P、Q的“相关矩形”的定义可得：D(m,0)，E(1,5)，即PD=|m−1|，PE=5，根据正方形的性质可得PD=PE，即|m−1|=5，解方程即可得出答案．
(3)设C(n,−2n+4)，且0≤n≤2，则D(m,−2n+4)，E(n,5)，可得CD=|m−n|，CE=5−(−2n+4)=2n+1，根据正方形性质可得CD=CE，即|m−n|=2n+1，得出m=3n+1或m=−n−1，利用不等式性质即可求得答案．
本题考查新定义问题，涉及一次函数的图象和性质，矩形的性质，正方形的性质，解答本题需要我们理解点P、Q的“相关矩形”的定义，对学生的综合能力要求较高，运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键．