2023-2024学年吉林省长春市榆树市九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析）

这是一份2023-2024学年吉林省长春市榆树市九年级（上）期末数学试卷（含详细答案解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各式中与 2是同类二次根式的是( )
A. 3B. 4C. 8D. 12
2.若sinα=12，则锐角α=( )
A. 30∘B. 45∘C. 50∘D. 60∘
3.一元二次方程x2−8x+20=0的根的情况是( )
A. 有两个相等的实数根B. 没有实数根
C. 有两个不相等的实数根D. 只有一个实数根
4.如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于( )
A. 60mB. 40mC. 30mD. 20m
5.若点(3,a)、(4,b)都在二次函数y=(x−2)2的图象上，则a与b的大小关系是( )
A. a>bB. a6.如图，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA：OA′=2：3，四边形ABCD的面积等于4，则四边形A′B′C′D′的面积为( )
A. 3B. 4C. 6D. 9
7.如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1： 3.坝高BC为4m，则AB的长度为( )
A. 4 3m
B. 8m
C. 8 3m
D. 16m
8.如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，已知∠α的顶点位于正方形网格的格点上，且csα=3 1313，则满足条件的∠α是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.计算： 3× 12=______ .
10.抛物线y=−3(x−1)2−2的对称轴是直线______.
11.如图，一片树叶放置在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、C均在格点上．若点A的坐标为(−1,1)，点B的坐标为(2,−1)；则点C的坐标为______.
12.如图，在4×4的正方形网络中，已将部分小正方形涂上阴影，有一个小虫落到网格中，那么小虫落到阴影部分的概率是______.
13.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为660平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则根据题意，列方程为______.
14.如图，在等边三角形ABC中，AB=4，点D是边AB上一点，且BD=1，点P是边BC上一动点(D、P两点均不与端点重合)，作∠DPE=60∘，PE交边AC于点E.若CE=a，当满足条件的点P有且只有一个时，则a的值为______.
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
15.解方程：x2−5x+2=0.
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
计算：
6× 3+ 24÷ 6−|−3 2|.
17.(本小题6分)
图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上，在图②、图③中仿照图①，只用无刻度的直尺，各画出一条线段CD，将线段AB分为2：3两部分．
要求：所画线段CD的位置不同，点C、D均在格点上
18.(本小题7分)
已知如图，抛物线的顶点D的坐标为(1,−4)，且与y轴交于点C(0,−3)
(1)求该函数的关系式；
(2)求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.
19.(本小题7分)
如图，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面离旗杆底部C处22米的A处放置高度为1.8米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32∘.求旗杆的高度CD.(结果精确到0.1米)【参考数据：sin32∘=0.53，cs32∘=0.85，tan32∘=0.62】
20.(本小题8分)
为加快新旧动能转换，提高公司经济效益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查：这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个；若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销售单价为多少元时，公司每天可获利32000元？
21.(本小题8分)
为了备战初三物理、化学实验操作考试，某校对初三学生进行了模拟训练，物理、化学各有3个不同的操作实验题目，物理题目用序号①、②、③表示，化学题目用字母a、b、c表示，测试时每名学生每科只操作一个实验，实验的题目由学生抽签确定，第一次抽签确定物理实验题目，第二次抽签确定化学实验题目．
(1)小李同学抽到物理实验题目①这是一个______事件(填“必然”、“不可能”或“随机”).
(2)小张同学对物理的①、②和化学的c号实验准备得较好，请用画树形图(或列表)的方法，求他同时抽到两科都准备得较好的实验题目的概率．
22.(本小题9分)
如图，四边形ABCD是矩形，AB=6，BC=4，点E在边AB上(不与点A、B重合)，过点D作DF⊥DE，交边BC的延长线于点F.
(1)求证：△DAE∽△DCF.
(2)设线段AE的长为x，线段BF的长为y，求y与x之间的函数关系式．
(3)当四边形EBFD为轴对称图形时，则cs∠AED的值为______.
23.(本小题10分)
【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．
请写出证明过程．
【结论应用】如图，△ABC是等边三角形，BD=CE，连结BE，M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，顺次连结M、N、P.
①求证：MN=PN；
②直接写出：∠MNP=______度．
24.(本小题12分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，动点P从点A出发，沿AC−CB以每秒5个单位长度的速度向终点C运动，过点P作PQ⊥AB于点Q，将线段PQ绕点P逆时针旋转90∘得到线段PR，连结QR.设点P的运动时间为t秒(t>0).
(1)线段AP的长为______(用含t的代数式表示).
(2)当点P与点C重合时，求t的值．
(3)当C、R、Q三点共线时，求t的值．
(4)当△CPR为钝角三角形时，直接写出t的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了同类二次根式，解题的关键是二次根式的化简．
先化简二次根式，再判定即可．
【解答】
解：A. 3与 2不是同类二次根式，
B. 4=2，所以 4与 2不是同类二次根式，
C. 8=2 2，所以 8与 2是同类二次根式，
D. 12=2 3，所以 12与 2不是同类二次根式，
故选：C.
2.【答案】A
【解析】解：∵sinα=12，
∵锐角α=30∘.
故选：A.
直接利用特殊角的三角函数值得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意可得，
a=1，b=−8，c=20.
∵△=b2−4ac=(−8)2−4×1×20=−16<0，
∴一元二次方程无实数根．
故选：B.
利用一元二次方程根的判别式(△=b2−4ac)判断方程的根的情况．①当△>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；
③当△<0时，方程无实数根．
本题主要考查了根的判别式，熟练应用根的判别式进行计算是解决本题的关键．
4.【答案】B
【解析】【分析】
考查相似三角形的应用，属于基础题．
证得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的AB.
【解答】
解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，则AB//CD，
∴△BAE∽△CDE，
∴ABCD=BECE，
∵BE=20m，CE=10m，CD=20m，
∴AB20=2010
解得：AB=40，
故选：B.
5.【答案】B
【解析】解：∵y=(x−2)2，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x=2，
∵2<3<4，
∴a故选：B.
根据二次函数的性质即可得出结论．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，
∴AD：A′D′=OA：OA′=2：3，
∴四边形ABCD的面积：四边形A′B′C′D′的面积=4：9，
而四边形ABCD的面积等于4，
∴四边形A′B′C′D′的面积为9.
故选：D.
利用位似的性质得到AD：A′D′=OA：OA′=2：3，再利用相似多边形的性质得到得到四边形A′B′C′D′的面积．
本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．注意：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行(或共线).
7.【答案】B
【解析】解：∵迎水坡AB的坡比为1： 3，
∴BCAC=1 3，
∵BC=4m，
∴AC=4 3m，
由勾股定理得：AB= BC2+AC2= 42+(4 3)2=8(m)，
故选：B.
根据坡度的概念求出AC，再根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度的概念是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：如图1，
∵AB=2，BC=3，
∴AC= 22+32= 13，
∴csα=ABAC=2 13=2 1313，
如图2，
由上得：AC= 13，AB=3，
∴csα=ABAC=3 13=3 1313，
csα=2 5=2 55，
如图4，
csα=3 32+12=3 10=3 1010
故选：B.
求出α的邻边和斜边，根据cs⁡α=α的邻边斜边求得．
本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握余弦函数定义．
9.【答案】6
【解析】解： 3× 12= 3×12
= 36
=6，
故答案为：6.
根据二次根式的乘法法则，进行计算即可解答．
本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘法法则是解题的关键．
10.【答案】x=1
【解析】解：∵y=−3(x−1)2−2，
∴此函数的对称轴就是直线x=1.
故答案为x=1.
由于所给的是二次函数的顶点式，故能直接求出其对称轴．
本题考查了二次函数的性质．
11.【答案】(2,2)
【解析】解：如图，
点C的坐标为(2,2).
故答案是：(2,2).
根据点A的坐标确定坐标原点，建立平面直角坐标系，由坐标系可以直接得到答案．
本题主要考查了了坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和x，y轴的位置及方向．
12.【答案】716
【解析】解：小虫落到阴影部分的概率=74×4=716，
故答案为：716.
分别求出正方形的总面积和阴影部分的面积，用阴影部分的面积除以总面积即可得出概率．
本题考查的是概率的公式，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
13.【答案】(35−2x)(20−x)=660
【解析】解：由题意可得，
(35−2x)(20−x)=660，
故答案为：(35−2x)(20−x)=660.
根据题意和图形，可以将小路平移到最上端和对左端，则阴影部分的长为(35−2x)米，宽为(20−x)米，然后根据长方形的面积=长×宽，即可列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是把原图形可以与平移后的图形建立关系，将复杂问题简单化．
14.【答案】4
【解析】解：∵ABC等边三角形，
∴∠B=∠C=60∘，BC=AB=4，
∵∠BPE=∠BPD+∠DPE=∠BPD+60∘，∠BPE=∠C+∠CEP=∠CEP+60∘，
∴∠BPD=∠CEP，
∴△BPD∽△CEP，
又∵CE=a，BD=1，PC=BC−BP=4−BP，
∴BPa=14−BP，
∴BP(4−BP)=a，
∴BP2+a−4BP=0，
若令BP=x，则有：x2−4x+a=0，
由题意只有一个解，
∴△=(−4)2−4×1×a=0，
解得a=4，
故答案为：4.
先利用三角形相似的判定定理证明三角形相似，再根据相似的性质建立等量关系，最后把满足条件的点只有一个，转化成方程的根只有一个，利用根的判别式求解．
本题考查了三角形相似的判定及性质的应用和一元二次方程只有一个解时Δ=0，解题的关键是：熟练掌握三角形相似的判定及性质．
15.【答案】解：这里a=1，b=−5，c=2，
∵△=25−8=17>0，
∴x=5± 172，
则x1=5+ 172，x2=5− 172.
【解析】找出a，b及c的值，得到根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
此题考查了解一元二次方程-公式法，利用公式法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解．
16.【答案】解：原式= 6×3+ 24÷6−3 2
=3 2+2−3 2
=2.
【解析】利用二次根式的乘除法则运算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
17.【答案】解：如图所示：
图中各画出了一条线段CD，将线段AB分为2：3两部分．
【解析】根据两条直线平行对应线段成比例即可画出一条线段CD，将线段AB分为2：3两部分．
本题考查了作图-应用与设计作图，解决本题的关键是利用两条直线平行对应线段成比例．
18.【答案】解(1)设抛物线顶点式为y=a(x−h)2+k，由题目可知h=1，k=−4，
将C点代入式子可算得a=1，
所以抛物线的关系式为：y=(x−1)2−4.
(2)要求抛物线与x轴的交点，可令y=0，即：(x−1)2−4=0，
解得x1=3，x2=−1.
所以坐标为B(3,0)，A(−1,0).
【解析】(1)利用顶点式即可解决问题；
(2)令y=0，解方程即可解决问题；
本题考查抛物线与x轴的交点、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
19.【答案】解：由题意得：CE=AB=1.8米，BE=AC=22米，
在Rt△DBE中，∠DBE=32∘，
则DE=BE⋅tan∠DBE≈22×0.62=13.64(米)，
∴CD=DE+EC=13.64+1.8≈15.4(米)，
答：旗杆的高度CD约为15.4米．
【解析】根据正切的定义求出DE，结合图形计算，得到答案．
本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
20.【答案】解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5(200−x)]个，
依题意，得：(x−100)[300+5(200−x)]=32000，
整理，得：x2−360x+32400=0，
解得：x1=x2=180.
180<200，符合题意．
答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时，公司每天可获利32000元．
【解析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可售出[300+5(200−x)]个，根据总利润=每个产品的利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
21.【答案】随机
【解析】解：(1)由题意可知，
小李同学抽到物理实验题目①这是一个随机事件，
故答案为：随机；
(2)树状图如下图所示：
则P(同时抽到两科都准备得较好)=29.
(1)根据“必然”、“不可能”或“随机”三种事件的特点，可知小李同学抽到物理实验题目①这是一个什么事件；
(2)根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以求得他同时抽到两科都准备得较好的实验题目的概率．
本题考查列表法与树状图法、随机事件，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图，求出相应的概率．
22.【答案】513
【解析】证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，∠A=∠BCD=∠ADC=90∘，AD=BC=4，AB=CD=6，
∴∠ADE+∠EDC=90∘，
∵DF⊥DE，
∴∠EDC+∠CDF=90∘，
∴∠ADE=∠CDF，且∠A=∠DCF=90∘，
∴△DAE∽△DCF；
(2)∵△DAE∽△DCF，
∴ADDC=AECF，
∴46=xy−4
∴y=32x+4；
(3)∵四边形EBFD为轴对称图形，
∴DE=BE，
∵AD2+AE2=DE2，
∴16+AE2=(6−AE)2，
∴AE=53，
∴DE=BE=133，
∴cs∠AED=AEDE=513，
故答案为：513.
(1)根据矩形的性质得到∠A=∠ADC=∠DCB=90∘，根据余角的性质得到∠ADE=∠CDF，由相似三角形的判定定理即可得到结论；
(2)由相似三角形的性质可得ADDC=AECF，即可求解；
(3)由轴对称图形的性质可得DE=BE，由勾股定理可求AE，DE的长，即可求解．
本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，轴对称图形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
23.【答案】120
【解析】【教材呈现】证明：如图①，∵点D、E分别是AB与AC的中点，
∴AD=AB，AE=AC，
∴==，
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠B，==，
∴DE//BC，且DE=BC；
【结论应用】①证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠A=∠ABC=60∘，
∵M，N，P分别是DE，BE，BC的中点，
∴MN=BD，PN=EC，
∵BD=EC，
∴MN=PN；
②解：如图，∵AB=AC，BD=EC，
∴AD=AE，
∵∠A=60∘，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠ABC=60∘，
∴DE//CB，
∴四边形BDEC是等腰梯形，
∵DM=ME，BP=PC，
∴PM所在的直线是等腰梯形BDEC的对称轴，
∴∠BPM=90∘，
∵BN−EN，BP=PC，
∴PN//EC，
∴∠BPN=∠C=60∘，
∴∠NPM=30∘，
∵NP=NM，
∴∠NMP=∠NPM=30∘，
∴∠PMN=180∘−30∘−30∘=120∘.
故答案为：120.
【教材呈现】利用相似三角形的性质，平行线的判定证明即可；
【结论应用】①利用三角形中位线定理证明即可；
②证明∠NPM=30∘，可得结论．
本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，等腰梯形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
24.【答案】5t
【解析】解：(1)∵点P的运动速度为每秒5个单位，
∴AP=5t，
故答案为：5t；
(2)当点P与点C重合时，
则5t=3，
∴t=35；
(3)∵∠ACB=90∘，BC=4，AC=3，
∴AB=5，
∴sinA=BCAB=35，tanA=BCAC=34，
∴tanA=PQAQ=34，
又由旋转的性质知，PQ=PR，
当C、R、Q三点共线时，如图，
∵∠RPQ=∠AQP=90∘，
∴PR//AQ，
∴△CPR∽△CAQ，
∴PRAQ=CPAC，
即PQAQ=CPAC=34，
∵AP=5t，AC=4，
∴CP=4−5t，
∴4−5t4=34，
∴t=15，
(4)由旋转的性质知PR//AB，
∴∠CPR=∠A，
∴∠CPR不可能为钝角，
若点R在△ABC内部，∠ACR也不可能为钝角，
①如图，过C作CD⊥AB于D，
当点R在CD上时，∠PRC=90∘，
当点R在CD左边时，∠CRP都为钝角，
∵∠RPQ=∠PQD=∠CDA=90∘，
∴四边形PQDR为矩形，
又∵PQ=PR，
∴四边形PQDR为正方形，
∵AP=5t，sin∠A=PQAP=BCAB=35，
∴PQ=3t，
∵tan∠A=PQAQ=BCAC=34，
∴AQ=4t，
∴PR=PQ=3t，
∵PR//AB，
∴∠CPR=∠A，∠PRC=∠AQP=90∘，
∴△CPR∽△PAQ，
∴CPPA=PRAQ，
∴4−5t5t=3t4t，
∴t=1635，
∴当0②如图，
当点R在BC边上时，∠PCR=90∘，若点R在△ABC外，则∠PCR为钝角，
∵PR//AB，
∴∠A=∠CPR，
又∵∠C=∠AQP=90∘，
∴△CPR∽△QAP，
∴CPAQ=RPAP，
∴AP=5t，PQ=PR=3t，AQ=4t，
∴4−5t4t=3t5t，
∴t=2037，
又∵点P最多只能运动到点C，
∴t≤45，
∴当2037综上所述：当0(1)根据路程=速度×时间即可；
(2)当点P与点C重合时，则5t=3即可；
(3)当C、R、Q三点共线时，可得△CPR∽△CAQ，根据相似三角形对应边成比例，即可得出关于t的方程；
(4)过C作CD⊥AB于D，当点R在CD上时，∠PRC=90∘，当点R在CD左边时，∠CRP都为钝角，求出点R在CD上时，t的值，当点R在BC边上时，∠PCR=90∘，若点R在△ABC外，则∠PCR为钝角，再利用相似求出点R在BC上时的t，从而解决问题．
本题是几何变换综合题，主要考查了旋转变换，相似三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，直角三角形的性质等知识，根据题意，画出图形，熟练利用相似三角形的判定与性质是解题的关键．猜想：如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，根据画出的图形，可以猜想：DE//BC，且DE=BC.
对此，我们可以用演绎推理给出证明．