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2022-2023学年吉林省四平市铁东区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年吉林省四平市铁东区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年吉林省四平市铁东区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列计算正确的是( )
A. 3− 2=1 B. 2⋅ 3= 6 C. 5+ 2= 7 D. (−5)2=−5
2. 如图所示，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，若BC=6，则OE的长为( )
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4
3. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是( )
A. 2，3，4 B. 3， 7，5 C. 5，12，13 D. 4，4，8
4. 如图，正方形ABCD中，以对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB等于( )
A. 22.5° B. 45° C. 30° D. 15°
5. 为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高(单位：cm)的平均数与方差为：x甲−=x丙−=13，x乙−=x丁−=15：s甲2=s丁2=3.6，s乙2=s丙2=6.3.则麦苗又高又整齐的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6. 如图1，动点K从△ABC的顶点A出发，沿AB−BC匀速运动到点C停止．在动点K运动过程中，线段AK的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中点Q为曲线部分的最低点，若△ABC的面积是5 5，则图2中a的值为( )
A. 30 B. 5 C. 7 D. 3 5
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
7. 化简： (3−π)2= ．
8. 小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，河水的深度为______ m.
9. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，若AB=2，BC=3，∠ADC=60°，则图中阴影部分的面积是______．
10. 如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx−3的图象交于点P，则方程组2x−y=−bkx−y=3的解是______．
11. 如图，一次函数y=kx+b(k<0)的图象与x轴交于点(2,0)，则关于x的不等式kx+b>0的解集为______ ．
12. 若一次函数y=(k+1)x+2k−4的图象经过第一、三、四象限，则k的取值范围是______ ．
13. 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边．若a2+b2=25，a2−b2=7，c=5，则最长边上的高是______．
14. 如图，在菱形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，若BE⊥AB，且BE=2，AB=2 3，则AC的长为______ ．
三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
计算：( 48− 20)− 6÷2 2．
16. (本小题5.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，BC=7，AB=4，BE平分∠ABC交AD于点E，求DE的长．
17. (本小题5.0分)
(1)在直角坐标系中画出直线l1：y=−x+1；
(2)将直线l1向下平移3个单位得到直线l2，请直接写出直线l2的函数解析式为：______ ．
18. (本小题5.0分)
如图，已知四边形OABC是平行四边形，A、B两点的坐标分别为(6,0)，(2,4)．
(1)点C的坐标为：______ ；
(2)求直线OB的函数解析式．
19. (本小题7.0分)
如图，▱ABCD的对角线相交于点O，△OAB是等边三角形，AD=6．
(1)求证：▱ABCD是矩形；
(2)求四边形ABCD的面积．
20. (本小题7.0分)
如图，直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点．
(1)在x轴上存在点D，使得S△ACD=S△ABC，求点D的坐标；
(2)在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21. (本小题7.0分)
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，且AE//BD，BE//AC，OE=AB．
(1)试判定四边形ABCD的形状；
(2)若∠ADC=60°，BE=2，求四边形ABCD的面积．
22. (本小题7.0分)
为了全面了解学生的学习、生活及家庭的基本情况，加强学校、家庭的联系，梅灿中学积极组织全体教师开展“课外访万家活动”，王老师对所在班级的全体学生进行实地家访，了解到每名学生家庭的相关信息，先从中随机抽取15名学生家庭的年收入情况，数据如表：
年收入(单位：万元)
2
2.5
3
4
5
9
13
家庭个数
1
3
5
2
2
1
1
(1)求这15名学生家庭年收入的平均数、中位数、众数；
(2)你认为用(1)中的哪个数据来代表这15名学生家庭年收入的一般水平较为合适？请简要说明理由．
23. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5 3.∠C=30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
(1)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；
(2)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请直接写出相应的t值为：______ ．
24. (本小题8.0分)
甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折．
(1)以x(单位：元)表示商品原价，y(单位：元)表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；
(2)春节期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
25. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3，点D为x轴上一点，其坐标为(1,0)，连接CD，点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C→B→A的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．
(1)求线段CD的函数解析式；
(2)连接PC、PD，求△CPD的面积S关于t的函数解析式；
(3)点P在运动过程中，是否存在某个位置使得△CDP为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
26. (本小题10.0分)
如图1，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°．B(− 3,0)，C( 3,0)，D(0,3)．
(1)点A坐标为______ ，四边形ABOD的面积为______ ；
(2)如图2，点E在线段AC上运动，△DEF为等边三角形．
①求证：AF=BE，并求AF的最小值；
②点E在线段AC上运动时，点F的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点F的横坐标.若变化，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 3− 2无法计算，故此选项错误；
B、 2⋅ 3= 6，故此选项正确；
C、 5+ 2无法计算，故此选项错误；
D、 (−5)2=5，故此选项错误．
故选：B．
直接利用二次根式混合运算法则分别化简求出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式运算法则是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OB=OD，
∵点E是CD的中点，
∴CE=DE，
∴OE是△BCD的中位线，
∵BC=6，
∴OE=12BC=3．
故选：C．
先说明OE是△BCD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解．
本题考查了平行四边形的性质：对角线互相平分这一性质和三角形的中位线定理．
3.【答案】C
【解析】解：A.∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵( 7)2+32≠52，
∴以3， 7，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.∵52+122=132，
∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D.∵42+42≠82，
∴以4，4，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
4.【答案】A
【解析】解：四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=12∠DAB=12×90°=45°，
∵四边形AEFC是菱形，
∴∠FAB=12∠CAE=12×45°=22.5°，
故选：A．
根据正方形的性质求出∠CAB=45°，再根据菱形的性质∠FAB=12∠CAB，即可解决问题．
本题考查正方形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练记住正方形、菱形的性质，属于基础题，中考常考题型．
5.【答案】D
【解析】解：∵x乙−=x丁−>x甲−=x丙−，
∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高，
∵s甲2=s丁2
综上，麦苗又高又整齐的是丁，
故选：D．
方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，据此判断出小麦长势比较整齐的是哪种小麦即可．
此题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．
6.【答案】A
【解析】解：由图象的曲线部分看出直线部分表示K点在AB上，且AB=a，
曲线开始AK=a，结束时AK=a，所以AB=AC．
当AK⊥BC时，在曲线部分AK最小为5．
所以12BC×5=5 5，解得BC=2 5．
所以AB= 52+( 5)2= 30．
故选：A．
根据题意可知图象中的直线部分表示K点在AB上，曲线部分表示K点在BC上，通过曲线分析出AB=AC，根据等腰三角形的性质可求a的值．
本题主要考查了动点问题的函数图象，解决此类问题要清楚横纵轴表示的含义，特别是折点这个关键点的意义．
7.【答案】π−3
【解析】解： (3−π)2= (π−3)2=π−3．
故答案是：π−3．
二次根式的性质： a2=a(a≥0)，根据二次根式的性质可以对上式化简．
本题考查的是二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质，对代数式进行化简．
8.【答案】2
【解析】解：在直角△ABC中，AC=1.5cm.AB−BC=0.5m．
设河深BC=xm，则AB=0.5+x米．
根据勾股定理得出：
∵AC2+BC2=AB2
∴1.52+x2=(x+0.5)2
解得：x=2米．
故答案为：2．
河水的深、竹竿的长、离岸的距离三者构成直角三角形，作出图形，根据勾股定理即可求解．
本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，根据勾股定理可以把求线段的长的问题转化为解方程得问题解决．
9.【答案】3 32
【解析】解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
∴S△AFO=S△CEO，
∴阴影部分面积等于△BCD的面积，即为▱ABCD面积的一半，
过点C作CP⊥AD于点P，
∵CD=AB=2，∠ADC=60°，
∴DP=1，CP= 3，
∴S平行四边形ABCD=BC⋅CP=3 3，
∴阴影部分面积为3 32，
故答案为：3 32．
由平行四边形的性质可知阴影部分面积为平行四边形面积的一半，进而可求出结果．
本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质是解题关键．
10.【答案】x=4y=−6
【解析】解：∵点P(4,−6)为函数y=2x+b与函数y=kx−3的图象的交点，
∴方程组2x−y=−bkx−y=3的解为x=4y=−6．
故答案为x=4y=−6．
利用“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”解决问题．
本题考查了一次函数与二元一次方程(组)：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
11.【答案】x<2
【解析】解：∵一次函数y=kx+b(k<0)的图象与x轴交于点(2,0)，
∴kx+b>0的解集即为一次函数y=kx+b(k<0)的图象x轴上方部分的自变量取值范围，
∴不等式kx+b>0的解集为x<2，
故答案为：x<2．
kx+b>0的解集即为一次函数y=kx+b(k<0)的图象x轴上方部分的自变量取值范围，根据图象直接解答．
此题考查了一次函数的图象与不等式的关系，正确理解函数图象与不等式的关系是解题的关键．
12.【答案】−1
∴k+1>02k−4<0，
解得：−1
此题所考查的知识点是一次函数的图象与系数之间的关系，一般情况下：一次函数y=kx+b(k≠0,b≠0)，①当k>0且b>0时，函数的图象经过第一、二、三象限；②当k>0且b<0时，函数的图象经过第一、三、四象限；③当k<0且b<0时，函数的图象经过第二、三、四象限；④当k<0且b>0时，函数的图象经过第一、二、四象限；反之亦成立．
13.【答案】125
【解析】解：由a2+b2=25，a2−b2=7建立方程组a2+b2=25a2−b2=7，解得a=4b=3，
∵32+42=52，
∴△ABC为直角三角形，c为斜边，
设c上的高为h，由面积公式S=12ch=12ab，
∴3×4=5h，
∴h=125，
故答案为：125．
求出a、b的值，根据勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形，利用三角形的面积公式即可求解．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积公式的应用，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．
14.【答案】6
【解析】解：连接BD交AC于O，
∵BE⊥AB，
∴∠ABE=90°，
∵BE=2，AB=2 3，
∴AE= AB2+BE2=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO⊥AE，AO=OC，
∴△ABE的面积=12AE⋅OB=12AB⋅BE，
∴4OB=2 3×2，
∴OB= 3，
∴AO= AB2−OB2=3，
∴AC=2AO=6．
故答案为：6．
连接BD交AC于O，由勾股定理求出AE的长，由三角形面积公式求出OB的长，由勾股定理求出OA的长，由菱形的性质即可求出AC的长．
本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，关键是连接BD，由菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式，求出OA的长．
15.【答案】解：原式=4 3−2 5−12 3
=7 32−2 5．
【解析】先算二次根式的除法，把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
16.【答案】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵BC=7，AB=AE=4，
∴DE=AD−AE=7−4=3．
故答案为：3．
【解析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE//BC，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得DE的长度．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠ABE=∠AEB．
17.【答案】y=−x−2
【解析】解：(1)如图所示；
(2)将直线l1向下平移3个单位得到直线l2，直线L2的函数解析式为y=−x+1−3=−x−2．
故答案为：y=−x−2．
(1)根据两点法画出图象即可；
(2)根据平移的规律即可求得．
此题考查一次函数图象和性质，一次函数图象与几何变换，关键是根据一次函数的几何变换规律解答．
18.【答案】(−4,4)
【解析】解：(1)过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，如图，
∵A、B两点的坐标分别为(6,0)，(2,4)，
∴OA=6，OD=2，BD=4，
∴AD=OA−OD=4，
∴AD=BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAD=45°．
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA//BC，AB//OC，
∴∠COE=∠BAD=45°．
∵BD⊥OA，CE⊥x轴，
∴四边形ABCO为矩形，
∴CE=BD=4，
∴CE=OE=4，
∴C(−4,4)．
故答案为(−4,4)；
(2)设直线OB的函数解析式为y=kx，
∴2k=4，
∴k=2，
∴直线OB的函数解析式为y=2x．
(1)过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，利用点的坐标的性质和平行四边形的性质解答即可；
(2)利用待定系数法解答即可．
本题主要考查了平行四边形的性质，点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵△ABO是等边三角形，
∴OA=OB=AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴OA=OC=OB=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AD=6，∠ABD=60°，
∴∠ADB=30°，
∴BD=2AD，
∵AB2+AD2=BD2，
∴AB2+36=4AB2．
∴AB=2 3(负根已经舍去)，
∴▱ABCD的面积是AD×AB=6×2 3=12 3．
【解析】(1)根据等边三角形性质求出OA=OB=AB，根据平行四边形的性质求出OA=OC，OB=OD，求出AC=BD，根据矩形的判定得出即可；
(2)求出AC、根据勾股定理求出BC，根据面积公式求出即可．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的性质和判定的应用，能求出四边形ABCD是矩形是解此题的关键，注意：对角线相等的平行四边形是矩形．
20.【答案】解：(1)∵y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
当x=0时，y=2×0+4=4，则B(0,4)，
当y=0时，0=2x+4，x=−2，则A(−2,0)，
∴OA=2，OB=4，
∴BC=∵点C是OB的中点，
∴C(0,2)，
∴OC=2，
∴S△ABC=12×CB×CO=2
设D(m,0)，
则AD=m+2，
∴S△ACD=12×AD×CO=12×m+2×2=m+2，
当S△ACD=S△ABC时，2=m+2，
解得：m=−4或m=0，
∴D(−4,0)或(0,0)；
(2)设x轴存在一点P(m,0)，使得△ABP是直角三角形，
∵A(−2,0)，B(0,4)，∠AOB=90°，
∴根据勾股定理可得：AB2=OB2+OA2，
∴AB2=20，
∵AP2=(m+2)2，BP2=m2+16，(距离公式)，
△ABP是直角三角形，分两种情况：
①∠APB=90°时，P与原点重合，此时P(0,0)；
②∠ABP=90°时，则AB2+BP2=AP2，
∴20+m2+16=(m+2)2，
解得：m=8，此时P(8,0)，
综上所述：P(0,0)或(8,0)．
【解析】(1)根据已知求得A、B坐标，由重点坐标公式求C坐标，根据三角形面积公式建立方程，求解即可；
(2)设P点坐标，当△ABP是直角三角形分两种情况：∠ABP=90°或∠APB=90°时求解即可．
本题考查一次函数的图象和性质，以及勾股定理，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
21.【答案】解：(1)四边形ABCD是菱形，理由如下：
∵AE//BD，BE//AC，
∴四边形AEBO是平行四边形，
∵OE=AB，
∴平行四边形AEBO是矩形，
∴∠AOB=90°，
∴OA⊥OB，
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)∵四边形AEBO是矩形，BE=2，
∴OA=BE=2，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，
∴AC=2OA=4，∠ADO=12∠ADC=30°，BD=2OD，
∴OD= 3OA=2 3，
∴BD=4 3，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×4×4 3=8 3．
【解析】(1)根据题意推出平行四边形AEBO是矩形，四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的性质得出OA⊥OB，即可判定四边形ABCD是菱形；
(2)根据矩形的性质求出OA=2，根据菱形的性质求出AC=4，∠ADO=30°，BD=2OD，解直角三角形求出BD=4 3，根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”求解即可．
此题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)这15名学生家庭年收入的平均数是：
(2+2.5×3+3×5+4×2+5×2+9+13)÷15=4.3万元；
将这15个数据从小到大排列，最中间的数是3，
所以中位数是3万元；
在这一组数据中3出现次数最多的，
故众数3万元；
(2)众数代表这15名学生家庭年收入的一般水平较为合适，
因为3出现的次数最多，所以能代表家庭年收入的一般水平．
【解析】(1)根据平均数、中位数和众数的定义求解即可；
(2)在平均数，众数两数中，平均数受到极端值的影响较大，所以众数更能反映家庭年收入的一般水平．
本题考查的是平均数、众数和中位数的概念和其意义．要注意：当所给数据有单位时，所求得的平均数、众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位．
23.【答案】52或4
【解析】解：(1)(2)能；理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE//DF．
又AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵∠C=30°，BC=5 3，
∴AC=10，AB=5，
∴AD=AC−DC=10−2t，
若使△DEF能够成为等边三角形，
则平行四边形AEFD为菱形，则AE=AD，
∴t=10−2t，
∴t=103；
即当t=103时，△DEF为等边三角形；
(2)当t=25或4时，△DEF为直角三角形；
理由如下：
①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE.即10−2t=2t，
∴t=52；
②∠DEF=90°时，由(2)知EF//AD，
∴∠ADE=∠DEF=90°．
∵∠A=90°−∠C=60°，
∴AD=AE⋅cos60°．
即10−2t=12t，
∴t=4；
③∠EFD=90°时，
∵DF⊥BC，
∴点E运动到点B处，用了AB÷1=5秒中，
同时点D也运动5秒钟，点D就和点A重合，
点F也就和点B重合，
点D，E，F不能构成三角形．
此种情况不存在；
综上所述，当t=52或4时，△DEF为直角三角形．
故答案为：52或4．
(1)由∠DFC=90°，∠C=30°，证出DF=t=AE；
(2)先证明四边形AEFD为平行四边形．得出AB=5，AD=AC−DC=10−2t，若△DEF为等边三角形，则？AEFD为菱形，得出AE=AD，t=10−2t，求出t=103；
(3)分三种情况讨论：①∠EDF=90°时；②∠DEF=90°时；③∠EFD=90°时，此种情况不存在；分别求出t的值即可．
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定与性质以及锐角三角函数的知识；考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力；特别注意(3)中分类讨论三种情况，分别求出t的值，避免漏解
24.【答案】解：(1)甲商场：y=0.8x(x≥0)，
乙商场：y=x(0≤x≤200)，
y=0.7(x−200)+200=0.7x+60，
即y=0.7x+60(x>200)；
答：甲商场：y=0.8x(x≥0)，乙商场：y=x(0≤x≤200)0.7x+60(x>200)；
(2)0.8x=0.7x+60，解得x=600，
∴当购物金额按原价等于600元时，在两商场购物花钱一样多；
0.8x<0.7x+60，解得x<600，
∴当购物金额按原价小于600元时，在甲商场购物省钱；
0.8x>0.7x+60，解得x>600，
∴当购物金额按原价大于600元时，在乙商场购物省钱．
【解析】(1)根据两家商场的让利方式分别列式整理即可；
(2)将(1)中两个函数分段讨论比较大小即可．
本题是一次函数的实际应用问题，考查了一次函数以及一元一次方程、不等式的相关性质，解答时注意根据题意分类讨论．
25.【答案】(1)解设直线CD的解析式为y=kx+b，
点C(0,3)，D(1,0)在函数图象上，
∴3=b0=k+b，
解得y=−3x+3，
由图可知x的取值范围为0≤x≤1，
∴线段CD的解析式为：y=−3x+3(0≤x≤1)；
(2)存在某个位置使得△CDP为等腰三角形，
理由如下：
①当点P在CB上运动时，即0≤t≤3，
CP=t，
S=12⋅CP⋅OC=12×t×3=3t2，
②当点P在BA上运动时，即3
S=S正方形OABC−S△CBP−S△ODC−S△APD
=3×3−12×3×(t−3)−12×1×3−12×2×(6−t)
=6−t2，
∴S=3t2,0≤t≤36−t2,3
CD=CP，
在Rt△COD与Rt△PED中，
CD=PDOC=PE，
∴Rt△COD≌Rt△PED(HL)，
∴OD=DE=1，
∴点P的坐标为(2,3)；
当点P在CB上运动时，
①CD=PC，
△COD≌△CBP，
∴OD=BP=1，
∴点P的坐标为(3,1)；
②CD=PD，
即CD2+OD2=AP2+AD2，
32+1=(6−t)2+22，
∴6−t= 6，
∴点P的坐标为(3, 6)；
③CP=PD，
(t−3)2+32=(6−t)2+22，
解得t=113，6−t=73，
∴点P的坐标为(3,73)；
综上，点P的坐标为：(2,3)，(3,1)，(3, 6)，(3,73).
【解析】(1)设直线CD即一次函数解析式，点C和点D代入即可求得；
(2)△CPD的面积分情况讨论，当点P在CB上运动和点P在BA上运动，即可作答；
(3)分情况讨论．当点P在CB上运动一种情况；点P在BA上运动，三种情况，分别计算即可．
本题考查四边形，一次函数和全等三角形等的综合题，解题的关键是利用三角形全等分类讨论作答．
26.【答案】(−2 3,3) 9 32
【解析】(1)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AB//CD，
∵D(0,3)，B(− 3,0)，C( 3,0)，
∴AD=BC=2 3，
∴A(−2 3,3)，
∴S四边形ABOD=12×3×( 3+2 3)=9 32，
故答案为：(−2 3,3)，9 32；
(2)①证明；如图2中，设AC交BD于J．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=120°，AC⊥BD，
∵AD//CB，
∴∠DAB=∠DCB=60°，
∴△ADB，△DBC都是等边三角形，
∴∠EDF=∠ADB=60°，
∴∠ADF=∠BDE，
∵AD=DB，DF=DE，
∴△ADF≌△BDE(SAS)．
∴AF=BE，
∴当BE⊥AC时，AF的值最小，
∵∠BJC=90°，∠JBC=60°，
∴∠BCJ=90°−∠JBC=30°，
在Rt△BCJ中，
∴BJ=12BC= 3，
∴AF的最小值为 3；
②解：不变．
理由：过点F作FH⊥AD于H，
∵△ADF≌△BDE，
∴DF=DE，∠FDH=∠EDJ．
∵∠FHD=∠EJD=90°，
∴△FDH≌△EDJ(AAS)，
∴DH=DJ=BJ= 3，
∴点F的横坐标为− 3，不变．
(1)利用菱形的性质可得点A坐标，根据梯形的面积公式，可得答案．
(2)①如图2中，设AC交BD于J.证明△ADF≌△BDE(SAS)，推出AF=BE，推出当BE⊥AC时，AF的值最小，求出BJ的值，可得结论．
②不变．过点F作F⊥AD于H.证明△FDH≌△EDJ(AAS)，推出DH=DJ=BJ= 3，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
2022-2023学年吉林省四平市铁东区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列计算正确的是( )
A. 3− 2=1 B. 2⋅ 3= 6 C. 5+ 2= 7 D. (−5)2=−5
2. 如图所示，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，若BC=6，则OE的长为( )
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 4
3. 以下列长度的三条线段为边，能组成直角三角形的是( )
A. 2，3，4 B. 3， 7，5 C. 5，12，13 D. 4，4，8
4. 如图，正方形ABCD中，以对角线AC为一边作菱形AEFC，则∠FAB等于( )
A. 22.5° B. 45° C. 30° D. 15°
5. 为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高(单位：cm)的平均数与方差为：x甲−=x丙−=13，x乙−=x丁−=15：s甲2=s丁2=3.6，s乙2=s丙2=6.3.则麦苗又高又整齐的是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
6. 如图1，动点K从△ABC的顶点A出发，沿AB−BC匀速运动到点C停止．在动点K运动过程中，线段AK的长度y与运动时间x的函数关系如图2所示，其中点Q为曲线部分的最低点，若△ABC的面积是5 5，则图2中a的值为( )
A. 30 B. 5 C. 7 D. 3 5
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
7. 化简： (3−π)2= ．
8. 小刚准备测量河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，河水的深度为______ m.
9. 如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O的直线分别交AD、BC于点E、F，若AB=2，BC=3，∠ADC=60°，则图中阴影部分的面积是______．
10. 如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx−3的图象交于点P，则方程组2x−y=−bkx−y=3的解是______．
11. 如图，一次函数y=kx+b(k<0)的图象与x轴交于点(2,0)，则关于x的不等式kx+b>0的解集为______ ．
12. 若一次函数y=(k+1)x+2k−4的图象经过第一、三、四象限，则k的取值范围是______ ．
13. 在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C所对的边．若a2+b2=25，a2−b2=7，c=5，则最长边上的高是______．
14. 如图，在菱形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，若BE⊥AB，且BE=2，AB=2 3，则AC的长为______ ．
三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
计算：( 48− 20)− 6÷2 2．
16. (本小题5.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，BC=7，AB=4，BE平分∠ABC交AD于点E，求DE的长．
17. (本小题5.0分)
(1)在直角坐标系中画出直线l1：y=−x+1；
(2)将直线l1向下平移3个单位得到直线l2，请直接写出直线l2的函数解析式为：______ ．
18. (本小题5.0分)
如图，已知四边形OABC是平行四边形，A、B两点的坐标分别为(6,0)，(2,4)．
(1)点C的坐标为：______ ；
(2)求直线OB的函数解析式．
19. (本小题7.0分)
如图，▱ABCD的对角线相交于点O，△OAB是等边三角形，AD=6．
(1)求证：▱ABCD是矩形；
(2)求四边形ABCD的面积．
20. (本小题7.0分)
如图，直线y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是OB的中点．
(1)在x轴上存在点D，使得S△ACD=S△ABC，求点D的坐标；
(2)在x轴上是否存在一点P，使得△ABP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21. (本小题7.0分)
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，且AE//BD，BE//AC，OE=AB．
(1)试判定四边形ABCD的形状；
(2)若∠ADC=60°，BE=2，求四边形ABCD的面积．
22. (本小题7.0分)
为了全面了解学生的学习、生活及家庭的基本情况，加强学校、家庭的联系，梅灿中学积极组织全体教师开展“课外访万家活动”，王老师对所在班级的全体学生进行实地家访，了解到每名学生家庭的相关信息，先从中随机抽取15名学生家庭的年收入情况，数据如表：
年收入(单位：万元)
2
2.5
3
4
5
9
13
家庭个数
1
3
5
2
2
1
1
(1)求这15名学生家庭年收入的平均数、中位数、众数；
(2)你认为用(1)中的哪个数据来代表这15名学生家庭年收入的一般水平较为合适？请简要说明理由．
23. (本小题8.0分)
如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=5 3.∠C=30°，点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D、E运动的时间是t秒(t>0).过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
(1)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；
(2)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请直接写出相应的t值为：______ ．
24. (本小题8.0分)
甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折．
(1)以x(单位：元)表示商品原价，y(单位：元)表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出y关于x的函数解析式；
(2)春节期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
25. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴与y轴上，已知正方形边长为3，点D为x轴上一点，其坐标为(1,0)，连接CD，点P从点C出发以每秒1个单位的速度沿折线C→B→A的方向向终点A运动，当点P与点A重合时停止运动，运动时间为t秒．
(1)求线段CD的函数解析式；
(2)连接PC、PD，求△CPD的面积S关于t的函数解析式；
(3)点P在运动过程中，是否存在某个位置使得△CDP为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由．
26. (本小题10.0分)
如图1，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°．B(− 3,0)，C( 3,0)，D(0,3)．
(1)点A坐标为______ ，四边形ABOD的面积为______ ；
(2)如图2，点E在线段AC上运动，△DEF为等边三角形．
①求证：AF=BE，并求AF的最小值；
②点E在线段AC上运动时，点F的横坐标是否发生变化？若不变，请求出点F的横坐标.若变化，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 3− 2无法计算，故此选项错误；
B、 2⋅ 3= 6，故此选项正确；
C、 5+ 2无法计算，故此选项错误；
D、 (−5)2=5，故此选项错误．
故选：B．
直接利用二次根式混合运算法则分别化简求出答案．
此题主要考查了二次根式的混合运算，正确掌握二次根式运算法则是解题关键．
2.【答案】C
【解析】解：∵▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，
∴OB=OD，
∵点E是CD的中点，
∴CE=DE，
∴OE是△BCD的中位线，
∵BC=6，
∴OE=12BC=3．
故选：C．
先说明OE是△BCD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解．
本题考查了平行四边形的性质：对角线互相平分这一性质和三角形的中位线定理．
3.【答案】C
【解析】解：A.∵22+32≠42，
∴以2，3，4为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
B.∵( 7)2+32≠52，
∴以3， 7，5为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
C.∵52+122=132，
∴以5，12，13为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
D.∵42+42≠82，
∴以4，4，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：C．
先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．
本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．
4.【答案】A
【解析】解：四边形ABCD是正方形，
∴∠CAB=12∠DAB=12×90°=45°，
∵四边形AEFC是菱形，
∴∠FAB=12∠CAE=12×45°=22.5°，
故选：A．
根据正方形的性质求出∠CAB=45°，再根据菱形的性质∠FAB=12∠CAB，即可解决问题．
本题考查正方形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是熟练记住正方形、菱形的性质，属于基础题，中考常考题型．
5.【答案】D
【解析】解：∵x乙−=x丁−>x甲−=x丙−，
∴乙、丁的麦苗比甲、丙要高，
∵s甲2=s丁2
综上，麦苗又高又整齐的是丁，
故选：D．
方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定，据此判断出小麦长势比较整齐的是哪种小麦即可．
此题主要考查了方差的意义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，数据越不稳定；方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，数据越稳定．
6.【答案】A
【解析】解：由图象的曲线部分看出直线部分表示K点在AB上，且AB=a，
曲线开始AK=a，结束时AK=a，所以AB=AC．
当AK⊥BC时，在曲线部分AK最小为5．
所以12BC×5=5 5，解得BC=2 5．
所以AB= 52+( 5)2= 30．
故选：A．
根据题意可知图象中的直线部分表示K点在AB上，曲线部分表示K点在BC上，通过曲线分析出AB=AC，根据等腰三角形的性质可求a的值．
本题主要考查了动点问题的函数图象，解决此类问题要清楚横纵轴表示的含义，特别是折点这个关键点的意义．
7.【答案】π−3
【解析】解： (3−π)2= (π−3)2=π−3．
故答案是：π−3．
二次根式的性质： a2=a(a≥0)，根据二次根式的性质可以对上式化简．
本题考查的是二次根式的性质和化简，根据二次根式的性质，对代数式进行化简．
8.【答案】2
【解析】解：在直角△ABC中，AC=1.5cm.AB−BC=0.5m．
设河深BC=xm，则AB=0.5+x米．
根据勾股定理得出：
∵AC2+BC2=AB2
∴1.52+x2=(x+0.5)2
解得：x=2米．
故答案为：2．
河水的深、竹竿的长、离岸的距离三者构成直角三角形，作出图形，根据勾股定理即可求解．
本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，根据勾股定理可以把求线段的长的问题转化为解方程得问题解决．
9.【答案】3 32
【解析】解：∵平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，
∴S△AFO=S△CEO，
∴阴影部分面积等于△BCD的面积，即为▱ABCD面积的一半，
过点C作CP⊥AD于点P，
∵CD=AB=2，∠ADC=60°，
∴DP=1，CP= 3，
∴S平行四边形ABCD=BC⋅CP=3 3，
∴阴影部分面积为3 32，
故答案为：3 32．
由平行四边形的性质可知阴影部分面积为平行四边形面积的一半，进而可求出结果．
本题考查平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质是解题关键．
10.【答案】x=4y=−6
【解析】解：∵点P(4,−6)为函数y=2x+b与函数y=kx−3的图象的交点，
∴方程组2x−y=−bkx−y=3的解为x=4y=−6．
故答案为x=4y=−6．
利用“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”解决问题．
本题考查了一次函数与二元一次方程(组)：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．
11.【答案】x<2
【解析】解：∵一次函数y=kx+b(k<0)的图象与x轴交于点(2,0)，
∴kx+b>0的解集即为一次函数y=kx+b(k<0)的图象x轴上方部分的自变量取值范围，
∴不等式kx+b>0的解集为x<2，
故答案为：x<2．
kx+b>0的解集即为一次函数y=kx+b(k<0)的图象x轴上方部分的自变量取值范围，根据图象直接解答．
此题考查了一次函数的图象与不等式的关系，正确理解函数图象与不等式的关系是解题的关键．
12.【答案】−1
∴k+1>02k−4<0，
解得：−1
此题所考查的知识点是一次函数的图象与系数之间的关系，一般情况下：一次函数y=kx+b(k≠0,b≠0)，①当k>0且b>0时，函数的图象经过第一、二、三象限；②当k>0且b<0时，函数的图象经过第一、三、四象限；③当k<0且b<0时，函数的图象经过第二、三、四象限；④当k<0且b>0时，函数的图象经过第一、二、四象限；反之亦成立．
13.【答案】125
【解析】解：由a2+b2=25，a2−b2=7建立方程组a2+b2=25a2−b2=7，解得a=4b=3，
∵32+42=52，
∴△ABC为直角三角形，c为斜边，
设c上的高为h，由面积公式S=12ch=12ab，
∴3×4=5h，
∴h=125，
故答案为：125．
求出a、b的值，根据勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形，利用三角形的面积公式即可求解．
本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的面积公式的应用，判断△ABC是等腰直角三角形是解决本题的关键．
14.【答案】6
【解析】解：连接BD交AC于O，
∵BE⊥AB，
∴∠ABE=90°，
∵BE=2，AB=2 3，
∴AE= AB2+BE2=4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BO⊥AE，AO=OC，
∴△ABE的面积=12AE⋅OB=12AB⋅BE，
∴4OB=2 3×2，
∴OB= 3，
∴AO= AB2−OB2=3，
∴AC=2AO=6．
故答案为：6．
连接BD交AC于O，由勾股定理求出AE的长，由三角形面积公式求出OB的长，由勾股定理求出OA的长，由菱形的性质即可求出AC的长．
本题考查菱形的性质，勾股定理，三角形的面积公式，关键是连接BD，由菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式，求出OA的长．
15.【答案】解：原式=4 3−2 5−12 3
=7 32−2 5．
【解析】先算二次根式的除法，把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则．
16.【答案】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∵BC=7，AB=AE=4，
∴DE=AD−AE=7−4=3．
故答案为：3．
【解析】根据四边形ABCD为平行四边形可得AE//BC，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得DE的长度．
本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的定义得出∠ABE=∠AEB．
17.【答案】y=−x−2
【解析】解：(1)如图所示；
(2)将直线l1向下平移3个单位得到直线l2，直线L2的函数解析式为y=−x+1−3=−x−2．
故答案为：y=−x−2．
(1)根据两点法画出图象即可；
(2)根据平移的规律即可求得．
此题考查一次函数图象和性质，一次函数图象与几何变换，关键是根据一次函数的几何变换规律解答．
18.【答案】(−4,4)
【解析】解：(1)过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，如图，
∵A、B两点的坐标分别为(6,0)，(2,4)，
∴OA=6，OD=2，BD=4，
∴AD=OA−OD=4，
∴AD=BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAD=45°．
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA//BC，AB//OC，
∴∠COE=∠BAD=45°．
∵BD⊥OA，CE⊥x轴，
∴四边形ABCO为矩形，
∴CE=BD=4，
∴CE=OE=4，
∴C(−4,4)．
故答案为(−4,4)；
(2)设直线OB的函数解析式为y=kx，
∴2k=4，
∴k=2，
∴直线OB的函数解析式为y=2x．
(1)过点B作BD⊥OA于点D，过点C作CE⊥x轴于点E，利用点的坐标的性质和平行四边形的性质解答即可；
(2)利用待定系数法解答即可．
本题主要考查了平行四边形的性质，点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
19.【答案】(1)证明：∵△ABO是等边三角形，
∴OA=OB=AB，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∴OA=OC=OB=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形；
(2)解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AD=6，∠ABD=60°，
∴∠ADB=30°，
∴BD=2AD，
∵AB2+AD2=BD2，
∴AB2+36=4AB2．
∴AB=2 3(负根已经舍去)，
∴▱ABCD的面积是AD×AB=6×2 3=12 3．
【解析】(1)根据等边三角形性质求出OA=OB=AB，根据平行四边形的性质求出OA=OC，OB=OD，求出AC=BD，根据矩形的判定得出即可；
(2)求出AC、根据勾股定理求出BC，根据面积公式求出即可．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，矩形的性质和判定的应用，能求出四边形ABCD是矩形是解此题的关键，注意：对角线相等的平行四边形是矩形．
20.【答案】解：(1)∵y=2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，
当x=0时，y=2×0+4=4，则B(0,4)，
当y=0时，0=2x+4，x=−2，则A(−2,0)，
∴OA=2，OB=4，
∴BC=∵点C是OB的中点，
∴C(0,2)，
∴OC=2，
∴S△ABC=12×CB×CO=2
设D(m,0)，
则AD=m+2，
∴S△ACD=12×AD×CO=12×m+2×2=m+2，
当S△ACD=S△ABC时，2=m+2，
解得：m=−4或m=0，
∴D(−4,0)或(0,0)；
(2)设x轴存在一点P(m,0)，使得△ABP是直角三角形，
∵A(−2,0)，B(0,4)，∠AOB=90°，
∴根据勾股定理可得：AB2=OB2+OA2，
∴AB2=20，
∵AP2=(m+2)2，BP2=m2+16，(距离公式)，
△ABP是直角三角形，分两种情况：
①∠APB=90°时，P与原点重合，此时P(0,0)；
②∠ABP=90°时，则AB2+BP2=AP2，
∴20+m2+16=(m+2)2，
解得：m=8，此时P(8,0)，
综上所述：P(0,0)或(8,0)．
【解析】(1)根据已知求得A、B坐标，由重点坐标公式求C坐标，根据三角形面积公式建立方程，求解即可；
(2)设P点坐标，当△ABP是直角三角形分两种情况：∠ABP=90°或∠APB=90°时求解即可．
本题考查一次函数的图象和性质，以及勾股定理，三角形的面积公式，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
21.【答案】解：(1)四边形ABCD是菱形，理由如下：
∵AE//BD，BE//AC，
∴四边形AEBO是平行四边形，
∵OE=AB，
∴平行四边形AEBO是矩形，
∴∠AOB=90°，
∴OA⊥OB，
∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)∵四边形AEBO是矩形，BE=2，
∴OA=BE=2，
∵四边形ABCD是菱形，∠ADC=60°，
∴AC=2OA=4，∠ADO=12∠ADC=30°，BD=2OD，
∴OD= 3OA=2 3，
∴BD=4 3，
∴菱形ABCD的面积=12AC⋅BD=12×4×4 3=8 3．
【解析】(1)根据题意推出平行四边形AEBO是矩形，四边形ABCD是平行四边形，根据矩形的性质得出OA⊥OB，即可判定四边形ABCD是菱形；
(2)根据矩形的性质求出OA=2，根据菱形的性质求出AC=4，∠ADO=30°，BD=2OD，解直角三角形求出BD=4 3，根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”求解即可．
此题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质，熟记平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质是解题的关键．
22.【答案】解：(1)这15名学生家庭年收入的平均数是：
(2+2.5×3+3×5+4×2+5×2+9+13)÷15=4.3万元；
将这15个数据从小到大排列，最中间的数是3，
所以中位数是3万元；
在这一组数据中3出现次数最多的，
故众数3万元；
(2)众数代表这15名学生家庭年收入的一般水平较为合适，
因为3出现的次数最多，所以能代表家庭年收入的一般水平．
【解析】(1)根据平均数、中位数和众数的定义求解即可；
(2)在平均数，众数两数中，平均数受到极端值的影响较大，所以众数更能反映家庭年收入的一般水平．
本题考查的是平均数、众数和中位数的概念和其意义．要注意：当所给数据有单位时，所求得的平均数、众数和中位数与原数据的单位相同，不要漏单位．
23.【答案】52或4
【解析】解：(1)(2)能；理由如下：
∵AB⊥BC，DF⊥BC，
∴AE//DF．
又AE=DF，
∴四边形AEFD为平行四边形．
∵∠C=30°，BC=5 3，
∴AC=10，AB=5，
∴AD=AC−DC=10−2t，
若使△DEF能够成为等边三角形，
则平行四边形AEFD为菱形，则AE=AD，
∴t=10−2t，
∴t=103；
即当t=103时，△DEF为等边三角形；
(2)当t=25或4时，△DEF为直角三角形；
理由如下：
①∠EDF=90°时，四边形EBFD为矩形．
在Rt△AED中，∠ADE=∠C=30°，
∴AD=2AE.即10−2t=2t，
∴t=52；
②∠DEF=90°时，由(2)知EF//AD，
∴∠ADE=∠DEF=90°．
∵∠A=90°−∠C=60°，
∴AD=AE⋅cos60°．
即10−2t=12t，
∴t=4；
③∠EFD=90°时，
∵DF⊥BC，
∴点E运动到点B处，用了AB÷1=5秒中，
同时点D也运动5秒钟，点D就和点A重合，
点F也就和点B重合，
点D，E，F不能构成三角形．
此种情况不存在；
综上所述，当t=52或4时，△DEF为直角三角形．
故答案为：52或4．
(1)由∠DFC=90°，∠C=30°，证出DF=t=AE；
(2)先证明四边形AEFD为平行四边形．得出AB=5，AD=AC−DC=10−2t，若△DEF为等边三角形，则？AEFD为菱形，得出AE=AD，t=10−2t，求出t=103；
(3)分三种情况讨论：①∠EDF=90°时；②∠DEF=90°时；③∠EFD=90°时，此种情况不存在；分别求出t的值即可．
本题是四边形综合题，主要考查了平行四边形、菱形、矩形的判定与性质以及锐角三角函数的知识；考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力；特别注意(3)中分类讨论三种情况，分别求出t的值，避免漏解
24.【答案】解：(1)甲商场：y=0.8x(x≥0)，
乙商场：y=x(0≤x≤200)，
y=0.7(x−200)+200=0.7x+60，
即y=0.7x+60(x>200)；
答：甲商场：y=0.8x(x≥0)，乙商场：y=x(0≤x≤200)0.7x+60(x>200)；
(2)0.8x=0.7x+60，解得x=600，
∴当购物金额按原价等于600元时，在两商场购物花钱一样多；
0.8x<0.7x+60，解得x<600，
∴当购物金额按原价小于600元时，在甲商场购物省钱；
0.8x>0.7x+60，解得x>600，
∴当购物金额按原价大于600元时，在乙商场购物省钱．
【解析】(1)根据两家商场的让利方式分别列式整理即可；
(2)将(1)中两个函数分段讨论比较大小即可．
本题是一次函数的实际应用问题，考查了一次函数以及一元一次方程、不等式的相关性质，解答时注意根据题意分类讨论．
25.【答案】(1)解设直线CD的解析式为y=kx+b，
点C(0,3)，D(1,0)在函数图象上，
∴3=b0=k+b，
解得y=−3x+3，
由图可知x的取值范围为0≤x≤1，
∴线段CD的解析式为：y=−3x+3(0≤x≤1)；
(2)存在某个位置使得△CDP为等腰三角形，
理由如下：
①当点P在CB上运动时，即0≤t≤3，
CP=t，
S=12⋅CP⋅OC=12×t×3=3t2，
②当点P在BA上运动时，即3
S=S正方形OABC−S△CBP−S△ODC−S△APD
=3×3−12×3×(t−3)−12×1×3−12×2×(6−t)
=6−t2，
∴S=3t2,0≤t≤36−t2,3
CD=CP，
在Rt△COD与Rt△PED中，
CD=PDOC=PE，
∴Rt△COD≌Rt△PED(HL)，
∴OD=DE=1，
∴点P的坐标为(2,3)；
当点P在CB上运动时，
①CD=PC，
△COD≌△CBP，
∴OD=BP=1，
∴点P的坐标为(3,1)；
②CD=PD，
即CD2+OD2=AP2+AD2，
32+1=(6−t)2+22，
∴6−t= 6，
∴点P的坐标为(3, 6)；
③CP=PD，
(t−3)2+32=(6−t)2+22，
解得t=113，6−t=73，
∴点P的坐标为(3,73)；
综上，点P的坐标为：(2,3)，(3,1)，(3, 6)，(3,73).
【解析】(1)设直线CD即一次函数解析式，点C和点D代入即可求得；
(2)△CPD的面积分情况讨论，当点P在CB上运动和点P在BA上运动，即可作答；
(3)分情况讨论．当点P在CB上运动一种情况；点P在BA上运动，三种情况，分别计算即可．
本题考查四边形，一次函数和全等三角形等的综合题，解题的关键是利用三角形全等分类讨论作答．
26.【答案】(−2 3,3) 9 32
【解析】(1)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AB//CD，
∵D(0,3)，B(− 3,0)，C( 3,0)，
∴AD=BC=2 3，
∴A(−2 3,3)，
∴S四边形ABOD=12×3×( 3+2 3)=9 32，
故答案为：(−2 3,3)，9 32；
(2)①证明；如图2中，设AC交BD于J．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ABC=∠ADC=120°，AC⊥BD，
∵AD//CB，
∴∠DAB=∠DCB=60°，
∴△ADB，△DBC都是等边三角形，
∴∠EDF=∠ADB=60°，
∴∠ADF=∠BDE，
∵AD=DB，DF=DE，
∴△ADF≌△BDE(SAS)．
∴AF=BE，
∴当BE⊥AC时，AF的值最小，
∵∠BJC=90°，∠JBC=60°，
∴∠BCJ=90°−∠JBC=30°，
在Rt△BCJ中，
∴BJ=12BC= 3，
∴AF的最小值为 3；
②解：不变．
理由：过点F作FH⊥AD于H，
∵△ADF≌△BDE，
∴DF=DE，∠FDH=∠EDJ．
∵∠FHD=∠EJD=90°，
∴△FDH≌△EDJ(AAS)，
∴DH=DJ=BJ= 3，
∴点F的横坐标为− 3，不变．
(1)利用菱形的性质可得点A坐标，根据梯形的面积公式，可得答案．
(2)①如图2中，设AC交BD于J.证明△ADF≌△BDE(SAS)，推出AF=BE，推出当BE⊥AC时，AF的值最小，求出BJ的值，可得结论．
②不变．过点F作F⊥AD于H.证明△FDH≌△EDJ(AAS)，推出DH=DJ=BJ= 3，可得结论．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
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