2025高考数学一轮复习-5.1-平面向量的概念及线性运算【课件】

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ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI
(4)平行向量(共线向量)：方向______或______的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量______.(5)相等向量：长度______且方向______的向量.(6)相反向量：长度______且方向______的向量.
3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使__________.
解析　(2)若b＝0，则a与c不一定平行.(3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上.
解析　根据向量的有关概念可知ABC正确，对于D，当λ＝μ＝0时，a与b不一定共线，故D错误.
2.(多选)下列说法正确的是(　　 )
又O为△ABC的外接圆的圆心，根据加法的几何意义，四边形OACB为菱形，且∠CAO＝60°，因此∠CAB＝30°.
解析　A中，a∥b，则a＝λb，故A不正确；B、C中，由于向量a，b的大小相等，但其方向不确定，故B、C都不正确；D显然正确.
4.(易错题)下列四个命题中，正确的是(　　)A.若a∥b，则a＝bB.若|a|＝|b|，则a＝bC.若|a|＝|b|，则a∥bD.若a＝b，则|a|＝|b|
解析　由已知2a－b≠0，依题意知向量a＋λb与2a－b共线，设a＋λb＝k(2a－b)，则有(1－2k)a＋(k＋λ)b＝0，因为a，b是两个不共线向量，故a与b均不为零向量，
6.设a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－2a)共线，则λ＝________.
KAODIANTUPOTIXINGPOUXI
解析　由平行向量和共线向量可知，A正确；因为相反向量是方向相反，长度相等的两个向量，所以B是错误的；
1.(多选)下列命题中正确的有(　　)A.平行向量就是共线向量B.相反向量就是方向相反的向量C.a与b同向，且|a|＞|b|，则a＞bD.两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件
因为向量是既有大小又有方向的量，所以任何两个向量都不能比较大小，所以C是错误的；因为两个向量平行不能推出两个向量相等，而两个向量相等，则这两个向量平行，因此两个向量平行是这两个向量相等的必要不充分条件，所以D是正确.
所以向量a与向量b方向相同，故可排除A，B，D.
解析　方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故A正确；单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故B错误；
3.(多选)下列命题正确的有(　　)A.方向相反的两个非零向量一定共线B.单位向量都相等C.若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同
两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点，故C错误；
解析　由已知a，b不共线，
例1 (1)已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结论正确的是(　　)A.a∥b B.a⊥bC.|a|＝|b| D.a＋b＝a－b
角度1　平面向量的加、减运算的几何意义
从而▱ABCD为矩形，即AB⊥AD，故a⊥b.
所以△ABC是边长为2的正三角形，
角度2　向量的线性运算
A.1 B.2 C.3 D.4
解析　法一　由题图可得
则2r＋3s＝1＋2＝3.
得(4m，2h)＝r(4m，0)＋s(3m，3h)，
法三　如图，建立平面直角坐标系xAy，依题意可设点B(4m，0)，D(3m，3h)，E(4m，2h)，其中m＞0，h＞0.
所以2r＋3s＝1＋2＝3.
解析　如图，记正六边形ABCDEF的中心为点O，连接OB，OD，易证四边形OBCD为菱形，且P恰为其中心，
∴A，B，D三点共线.
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.解　∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即ka＋b＝λa＋λkb，∴(k－λ)a＝(λk－1)b.∵a，b是不共线的两个向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.
所以3e1＋2e2＝λ(3－k)e1－λ(2k＋1)e2，又e1与e2不共线，
＝(3－k)e1－(2k＋1)e2，
因为M，O，N三点共线，
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
解析　因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，所以a与b共线同向，故D正确.
1.已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是(　　)A.a＋b＝0B.a＝bC.a与b共线反向D.存在正实数λ，使a＝λb
A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线
所以A，B，D三点共线.
解析　根据正六边形的性质，
6.(多选)设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　 )
解析　∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，
7.设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.
即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb，整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b.因为a，b不共线，
(2)证明：B，E，F三点共线.
且有公共点B，所以B，E，F三点共线.
12.(多选)瑞士数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，而且外心和重心间的距离是垂心和重心间的距离之半.这个定理就是著名的欧拉线定理.设△ABC中，点O，H，G分别是其外心、垂心、重心，则下列四个选项中结论正确的是(　　)
解析　由题意作图，如图所示，易知BC的中点D与A，G共线.
因为B，P，N三点共线，
由P，G，Q三点共线得，