2023-2024学年江西省吉安市吉水县七年级（下）期末数学试卷(含详细答案解析)

这是一份2023-2024学年江西省吉安市吉水县七年级（下）期末数学试卷(含详细答案解析)，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，如图是我国四个银行的商标图案，其中是轴对称图形的有( )
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
2.下列运算结果正确的是( )
A. a2⋅a=a3B. a6÷a2=a3
C. 3a−a=3D. (a−b)2=a2−b2
3.如图，AB//CD，直线EF分别交AB，CD于点M，N，将一个含有45∘角的直角三角尺按如图所示的方式摆放，若∠BME=80∘，则∠PNM等于( )
A. 15∘
B. 25∘
C. 35∘
D. 45∘
4.一种优质的苹果，应付钱数与购买数量关系如表所示，则购买6千克应付钱数为( )
A. 48元B. 96元C. 64元D. 108元
5.下列事件为必然事件的是( )
A. 打开电视，它正在播广告B. 抛掷一枚硬币，正面朝上
C. 367人中有两人的生日相同D. 打雷后会下雨
6.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD是AB边的中线，AE平分∠CAB，CF⊥AB，下列结论一定成立的是( )
①△ACD与△BCD的面积相等；
②∠ACF=∠B；
③△ACE≌△CFD；
④∠CEG=∠CGE.
A. ①②B. ②③C. ①③④D. ①②④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.蚕丝是古代中国文明产物之一蚕丝是最细的天然纤维，它的截面可以近似地看成圆，直径约为0.000011m，将0.000011m用科学记数法表示为______m.
8.如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AD=BE，BC=DF，要使△ABC≌△EDF，只需添加一个条件，这个条件可以是______.
9.在一个不透明的袋子中装有4个白球，a个红球．这些球除颜色外都相同．若从袋子中随机摸出1个球，摸到红球的概率为23，则a=__________.
10.按如图所示的程序计算变量y的值.若输入的x值为−3，则输出y的结果为______.
11.如图，在直角△ABC中，∠C=90∘，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=7，则点D到斜边AB的距离为______.
12.当三角形中一个内角是另一个内角的3倍时，我们称此三角形为“梦想三角形”．如果一个“梦想三角形”有一个角为126∘，那么这个“梦想三角形”的最小内角的度数为______.
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)计算：−12024+(−12)−2+(3.14−π)0；
(2)如图，已知点E在AB上，CE平分∠ACD，∠ACE=∠AEC，试说明：AB//CD.
14.(本小题6分)
请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
(1)如图①，四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，画出四边形ABCD的对称轴m；
(2)如图②，△ABC中，AB=AC，D，E分别在AB，AC，且AD=AE，画出BC边的垂直平分线n.
15.(本小题6分)
如图，把一些相同规格的碗整齐地叠放在水平桌面上，这摞碗的高度随着碗的数量变化而变化的情况如下面表格所示：
(1)用h(单位：cm)表示这摞碗的高度，用x(单位：只)表示这摞碗的数量，请用含有x的代数式表示h；
(2)若一摞碗的高度为11.2cm，求这摞碗的数量.
16.(本小题6分)
化简求值：[(2x+y)(2x−y)+(x+y)2−2(2x2−xy)]÷2x，其中x=−2,y=12.
17.(本小题6分)
一个不透明的布袋里装有16个只有颜色不同的球，其中红球有x个，白球有2x个，其他均为黄球，现甲同学从布袋中随机摸出1个球，若是红球，则甲同学获胜，甲同学把摸出的球放回并搅匀，由乙同学随机摸出1个球，若为黄球，则乙同学获胜．
(1)当x=3时，谁获胜的可能性大？
(2)当x为何值时，游戏对双方是公平的？
18.(本小题8分)
如图，已知AB//EF，∠1=∠DEF.
(1)试说明AC//DE；
(2)若EC平分∠DEF，∠DEF=45∘，CD⊥DE于点D，求∠DCE的度数.
19.(本小题8分)
张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题：
请观察以下算式：
①32−12=8×1
②52−32=8×2
③72−52=8×3
(1)请你再写出另外两个符合上述规律的算式；
(2)验证规律：设两个连续奇数为2n+1，2n−1(其中n为正整数)，则它们的平方差是8的倍数；
(3)拓展延伸：“两个连续偶数的平方差是8的倍数”，这个结论正确吗？
20.(本小题8分)
如图，AC与BD相交于点E，∠A=∠D，EB=EC.
(1)求证：△ABC≌△DCB；
(2)若CE=CD，∠1=40∘，求∠3的度数.
21.(本小题9分)
如图，已知自行车与摩托车从甲地开往乙地，OA与BC分别表示它们与甲地距离s(千米)与时间t(小时)的关系，则：
(1)摩托车每小时走______千米，自行车每小时走______千米；
(2)自行车出发后多少小时，它们相遇？
(3)摩托车出发后多少小时，他们相距10千米？
22.(本小题9分)
O为直线AB上一点、过点O作射线OC，使∠AOC=120∘，一直角三角板的直角顶点放在点O处.
(1)如图①，将三角板DOE的一边OD与射线OB重合时，∠COE=______；
(2)如图②，将图①中的三角板DOE绕点O逆时针旋转一定角度，当OC恰好是∠BOE的平分线时.求∠COD的度数；
(3)将图①中的三角尺DOE绕点O逆时针旋转180∘，设旋转的角度为α，在旋转的过程中，能否使∠AOE=3∠COD？若能，求出α的度数；若不能，请说明理由.
23.(本小题12分)
问题情境：在图1中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，连接BD和CE，试说明：BD=CE.
问题探究：在图2中，若△ABC与△ADE均为等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90∘，点C，D，E在同一条直线上，点F为DE的中点，连接AF和BD.
(1)线段BD和CE的关系是______；
(2)试说明：AF//BD；
(3)猜想线段AF，BD，CF之间的数量关系是______.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
根据轴对称的定义，结合所给图形进行判断即可．
【解答】解：①不是轴对称图形；
②是轴对称图形；
③是轴对称图形；
④是轴对称图形；
故是轴对称图形的是②③④．
故选：D.
2.【答案】A
【解析】解：A.a2⋅a=a3，故本选项符合题意；
B.a6÷a2=a4，故本选项不符合题意；
C.3a−a=2a，故本选项不符合题意；
D.(a−b)2=a2−2ab+b2，故本选项不符合题意；
故选：A.
先根据同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则和完全平方公式进行计算，再根据求出的结果进行判断即可．
本题考查了同底数幂的乘法，同底数幂的除法，合并同类项法则和完全平方公式等知识点，能熟记同底数幂的乘法、同底数幂的除法、合并同类项法则和完全平方公式是解此题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠DNM=∠BME=80∘，
∵∠PND=45∘，
∴∠PNM=∠DNM−∠PND=80∘−45∘=35∘，
故选：C.
根据平行线的性质得到∠DNM=∠BME=80∘，由等腰直角三角形的性质得到∠PND=45∘，根据角的和差即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：由表格知，每增加0.5千克，应付钱数增加8元，
可知优质的苹果的单价为每千克16元，
∴购买6千克应付钱数为6×16=96(元)，
故选：B.
根据表格，先求得优质的苹果的单价，据此求解即可．
本题考查了认识表格，从表格中获取数据是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、不一定发生，属于不确定事件，不符合题意；
B、不一定发生，属于不确定事件，不符合题意；
C、一年最多有366天，367人中有两人生日相同，是必然事件．
D、不一定发生，属于不确定事件，不符合题意；
故选：C.
确定事件包括必然事件和不可能事件，必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．
本题考查了必然事件、随机事件，解题的关键是理解必然事件是一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠ACB=90∘，CD是AB边的中线，
∴DA=DB=DC，
∴S△ACD=S△BCD，所以①成立；
∵CF⊥AB，
∴∠AFC=90∘，
∵∠CAF+∠ACF=90∘，∠CAF+∠B=90∘，
∴∠ACF=∠B，所以②成立；
∵AC>CF，
∴△ACE≌△CFD错误，所以③不成立；
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE=∠BAE，
∵∠CEG=∠EAB+∠B，∠CGE=∠ACG+∠CAG，
而∠ACF=∠B，
∴∠CGE=∠CEG，所以④成立．
故选：D.
利用AD=DB和三角形面积公式可对①进行判断；利用等角的余角相等可对②进行判断；根据AC和CF的大小关系和全等三角形的判定方法可对③进行判断；由于∠CAE=∠BAE，∠ACF=∠B，则根据三角形外角性质可对④进行判断．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．
7.【答案】1.1×10−5
【解析】解：0.000011=1.1×10−5.
故答案为：1.1×10−5.
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
8.【答案】AC=EF(或∠ABC=∠EDF)答案不唯一
【解析】解：∵AD=BE，
∴AD+BD=BD+BE，
即AB=DE，
∵BC=DF，
∴当添加AC=EF时，△ABC≌△EDF(SSS)；
当添加∠ABC=∠EDF时，△ABC≌△EDF(SAS)；
故答案为：AC=EF(或∠ABC=∠EDF).答案不唯一
先证明BC=DF，然后根据“SSS”或“SAS”添加条件．
本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键；选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件．
9.【答案】8
【解析】【分析】
根据摸到红球的概率为23，则白球的概率为13，解之可得．
本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
【解答】
解：根据题意，得：4÷13=12，
12−4=8，
红球的的个数为8个，
故答案为：8.
10.【答案】18
【解析】解：∵−3<−1，
∴把x=−3代入y=2x2，
得y=2×(−3)2=18，
故答案为：18.
先判断−3与−1的大小，然后确定代入哪个函数解析式，最后计算即可．
本题考查了函数值的计算，理解题意是前提条件，熟练掌握函数值的定义是解题的关键．
11.【答案】7
【解析】解：作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，∠C=90∘，DE⊥AB，
∴DE=DC=7，
故答案为：7.
作DE⊥AB于E，根据角平分线的性质解答．
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
12.【答案】12∘或13.5∘
【解析】解：①126∘÷3=42∘，
180∘−126∘−42∘=12∘，
则这个“梦想三角形”的最小内角的度数为12∘；
②设这个“梦想三角形”的其它两个内角的度数分别为3x、x，
则3x+x+126∘=180∘，
解得，x=13.5∘，
则这个“梦想三角形”的最小内角的度数13.5∘，
故答案为：12∘或13.5∘.
分两种情况，根据三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是三角形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180∘、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
13.【答案】解：(1)−12024+(−12)−2+(3.14−π)0
=−1+4+1
=4；
(2)∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE=∠DCE，
∵∠ACE=∠AEC，
∴∠DCE=∠AEC，
∴AB//CD.
【解析】(1)根据实数的运算法则求解即可；
(2)结合角平分线定义求出∠DCE=∠AEC，再根据“内错角相等，两直线平行”求解即可．
此题考查了平行线的判定、实数的运算，熟记平行线的判定定理、实数的运算法则是解题的关键．
14.【答案】解：(1)如图所示，m即为所求：
(2)如图所示，n即为所求．
【解析】(1)根据轴对称画出图形即可；
(2)根据轴对称的性质解答即可．
本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出点A、B、C的对应点，然后顺次连接．
15.【答案】解：(1)根据表格可知，
h=4+1.2(x−1)=1.2x+2.8，
答：h=1.2x+2.8；
(2)当h=11.2cm时，即11.2=1.2x+2.8，
解得：x=7，
答：当一摞碗的高度为11.2cm，则这摞碗的数量是7个．
【解析】(1)根据表格中的数据变化规律列出代数式；
(2)根据函数关系式，当h=11.2cm时，求出这摞碗的数量，即x的值即可．
本题考查的是列代数式，根据题意正确列出代数式是解题的关键．
16.【答案】解：[(2x+y)(2x−y)+(x+y)2−2(2x2−xy)]÷2x
=(4x2−y2+x2+2xy+y2−4x2+2xy)÷2x
=(x2+4xy)÷2x
=12x+2y，
当x=−2，y=12时，原式=12×(−2)+2×12=0.
【解析】根据平方差公式、完全平方公式和单项式乘多项式将括号内的式子展开，再化简，然后计算多项式除以单项式，最后将x、y的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式、完全平方公式的应用．
17.【答案】解：(1)甲同学获胜可能性为316，乙同学获胜可能性为16−3−616=716，
因为316<716，
当x=3时，乙同学获胜可能性大；
(2)游戏对双方公平必须有：x16=16−3x16，
解得：x=4，
答：当x=4时，游戏对双方是公平的．
【解析】此题考查游戏的公平性问题，关键是根据甲、乙两位同学的概率解答．
(1)比较甲、乙两位同学的概率解答即可；
(2)根据游戏的公平性，列出方程x16=16−3x16解答即可．
18.【答案】解：(1)∵AB//EF，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠DEF.
∴∠2=∠DEF，
∴AC//DE；
(2)∵EC平分∠DEF，∠DEF=45∘，
∴∠3=12∠DEF=12×45∘=22.5∘，
∵CD⊥DE，
∴∠D=90∘，
∴∠DCE=90∘−∠3=90∘−22.5∘=67.5∘.
【解析】(1)由平行线的性质得∠1=∠2，再根据等量代换和平行线的判定可得结论；
(2)由角平分线的定义得∠3度数，再根据直角三角形的性质可得答案．
本题考查了平行线的性质，平行线的判定，结合图形准确找出同位角、内错角、同旁内角是解题的关键．
19.【答案】解：(1)92−72=8×4，112−92=8×5；
(2)验证规律：设两个连续奇数为2n+1，2n−1(其中n为正整数)，
则它们的平方差是8的倍数；
(2n+1)2−(2n−1)2=(2n+1−2n+1)(2n+1+2n−1)=2×4n=8n
故两个连续奇数的平方差是8的倍数．
(3)拓展延伸：“两个连续偶数的平方差是8的倍数”，这个结论正确吗？
不正确．
解法一：举反例：42−22=12，
因为12不是8的倍数，故这个结论不正确．
解法二：设这两个偶数位2n和2n+2，(2n+2)2−(2n)2=(2n+2−2n)(2n+2+2n)=8n+4
因为8n+4不是8的倍数，故这个结论不正确．
【解析】此题主要考查了平方差公式的应用，正确发现数字变化规律是解题关键．
(1)根据已知算式写出符合题意的答案；
(2)利用平方差公式计算得出答案；
(3)利用举例法分析得出答案．
20.【答案】(1)证明：∵EB=EC，
∴∠1=∠2，
在△ABC和△DCB中，
∠A=∠D ∠2=∠1 BC=CB ，
∴△ABC≌△DCB(AAS)；
(2)解：∵EB=EC，
∴∠1=∠2=40∘，
∴∠CED=∠1+∠2=80∘，
∵CE=CD，
∴∠D=∠CED=80∘，
∴∠3=180∘−80∘−80∘=20∘.
【解析】(1)根据等腰三角形的性质推出∠1=∠2，利用AAS证明△ABC≌△DCB即可；
(2)根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解即可．
此题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．
21.【答案】40 10
【解析】解：(1)摩托车每小时走：80÷(5−3)=40(千米)，
自行车每小时走：80÷8=10(千米).
故答案为：40，10；
(2)设自行车出发后x小时，它们相遇，
10x=40(x−3)
解得x=4.
(3)设摩托车出发后t小时，他们相距10千米；
①相遇前：10(t+3)−40t=10，
解得t=23；
②相遇后：40t−10(t+3)=10，
解得：t=43，
③摩托车到达终点10(t+3)=70，解得t=4
答：摩托车出发后23或43或4小时，他们相距10千米．
(1)用总路程除以各自用的时间即是各自的速度；
(2)设自行车出发后x小时，它们相遇，根据等量关系“自行车x小时走的路程=摩托车用(x−3)小时走的路程”列方程解答即可；
(3)分三种情形讨论即可；
本题考查了函数的图象，学会看函数图象，从函数图象中获取信息，并且解决有关问题．
22.【答案】30∘
【解析】解：(1)∵∠AOC=120∘，OD与射线OB重合，
∴∠COD=180∘−∠AOC=60∘，
∵∠DOE=90∘，
∴∠COE=90∘−60∘=30∘，
故答案为：30∘；
(2)由(1)得，∠BOC=60∘，
∵OC是∠BOE的角平分线，
∴∠COE=∠BOC=60∘，
∵∠DOE=90∘，
∴∠COD=90∘−60∘=30∘；
(3)能，
①当0≤α<60时，有：
∠COD=60∘−α，∠AOE=180∘−∠DOE−α=90∘−α，
则90∘−α=3(60∘−α)，
解得：α=45∘；
②60≤α<90时，有：
∠COD=α−60∘，∠AOE=90∘−α，
则90∘−α=3(α−60∘)，
解得：α=67.5∘；
③90≤α<180时，有：
∠COD=α−60∘，∠AOE=α−90∘，
则α−90∘=3(α−60∘)，
解得：α=45∘(舍去).
综上所述，α的度数为45∘或67.5∘.
(1)由邻补角和余角的定义求出两个角，即可得出结论；
(2)由角平分线的定义可得∠COE=∠BOC=60∘，再根据∠DOE=90∘，从而可求解；
(3)分3种情况讨论：①0≤α<60；②60≤α<90；③90≤α<180；分析清楚角关系求解即可．
本题属于三角形综合题，主要考查三角形的内角和定理，余角和补角，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系．
23.【答案】BD=CEBD+AF=CF
【解析】解：问题情境：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠BAE=∠DAE−∠BAE，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AD=AE ∠BAD=∠CAE AB=AC ，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE；
问题探究：
(1)∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠BAE=∠DAE−∠BAE，
即∠BAD=∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
AD=AE ∠BAD=∠CAE AB=AC ，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴BD=CE，
故答案为：BD=CE；
(2)∵AD=AE，F是DE的中点．
∴AF⊥DE，
∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD=∠ACE，
∴∠CBD+∠BCD=∠ABC+∠ACB=90∘，
∴∠BDC=90∘，
∴BD⊥DC，
∴AF//BD；
(3)AF+BD=CF，理由如下：
∵AD=AE，∠DAE=90∘，点F为DE的中点，
∴AF=12DE=EF，
∴CF=CE+EF=CE+AF，
∵BD=CE，
∴BD+AF=AF，
故答案为：BD+AF=CF.
问题情境：利用SAS证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质即可得解；
问题探究：(1)利用SAS证明△BAD≌△CAE，根据全等三角形的性质即可得解；
(2)根据等腰三角形的性质推出AF⊥DE，根据全等三角形的性质推出∠CBD+∠BCD=∠ABC+∠ACB=90∘，进而求出∠BDC=90∘，则BD⊥DC，根据平行线的判定定理即可求出AF//BD；
(3)根据等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质及线段的和差求解即可．
此题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、平行线的判定等知识，熟记全等三角形的判定与性质定理是解题的关键．购买数量/千克
0.5
1
1.5
2
2.5
…
应付钱数/元
8
16
24
32
40
…
碗的数量/只
1
2
3
4
5
…
高度/cm
4
5.2
6.4
7.6
8.8
…