2023-2024学年吉林省吉安市吉水县八年级（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2023-2024学年吉林省吉安市吉水县八年级（下）期末数学试卷（含答案），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.我国古代数学的许多创新与发明都曾在世界上有重要影响.下列图形“杨辉三角”“中国七巧板”“刘微割圆术”“赵爽弦图”中，中心对称图形是( )
A. B. C. D.
2.不等式组x≥−12x<4的解集在数轴上表示正确的是( )
A. B.
C. D.
3.下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是( )
A. (a+3)2=a2+6a+9B. a2−4a+4=a(a−4)+4
C. 5ax2−5ay2=5a(x+y)(x−y)D. a2−2a−8=(a−2)(a+4)
4.如图，直线a//b，直线l与直线a，b分别相交于点A，B，点C在直线b上，且CA=CB.若∠1=32°，则∠2的度数为( )
A. 32°
B. 58°
C. 74°
D. 75°
5.如图，▱ABCD的顶点A，B，C的坐标分别是0,1,−2,−2,2,−2，则顶点D的坐标是( )
A. −4,1
B. 4,−2
C. 4,1
D. 2,1
6.已知一组均不为1的数；a1，a2，a3，…，an.满足如下关系：a2=1+a11−a1，a3=1+a21−a2，a4=1+a31−a3，an+1=1+an1−an.若a1=2，则a2024的值是( )
A. −12B. 13C. −3D. 2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.因式分解：9x2−4y2= ______．
8.若分式|x|−1x−1的值为零，则x的值为______．
9.如图①是我国古建筑墙上采用的八角形空窗，其轮廓是一个正八边形，窗外之境如同镶嵌于一个画框之中.如图②是八角形空窗的示意图，它的一个外角∠1= ______．
10.如图，已知函数y=2x+b与函数y=kx−3的图象交于点P，则不等式kx−3<2x+b的解集是______．
11.将含30°角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已知∠α=60°，点B，C表示的刻度分别为1cm，3cm，则线段AB的长为______cm．
12.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是(1,0)，(0,2)，经过
点A的直线l⊥x轴，点P是直线l上第一象限内的一个动点.若△PAB是等腰
三角形，则点P的坐标为______．
三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题6分)
(1)若x+y=3，xy=2，求x2y+xy2的值．
(2)如图，将△ABC绕点C顺时针旋转45°后得到△A′B′C.若∠A=60°，∠B′=100°，求∠BCA′的度数．
14.(本小题6分)
解不等式组：2(x+2)−x≤7①4x−13>x−1②，并把其解集在数轴上表示出来．
15.(本小题6分)
如图，已知等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形DEF，∠ABC=90°，∠DEF=90°，点F，E，B，C在同一条直线上，连接AF.请在图①、图②中仅用无刻度的直尺画出△ACF中AF边上的高CM(保留作图痕迹，不写作法)．
(1)如图①，点B与点E重合；
(2)如图②，点E在CB的延长线上．
16.(本小题6分)
先化简：(x2−3x+3x−1−1)÷x2−4x+4x2−1，再从−217.(本小题8分)
如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，且BE=EF=FD，连接AE，EC，CF，FA.求证：四边形AECF是平行四边形．
18.(本小题8分)
创建文明城市，构建美好家园.为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶.若购买3个A型垃圾桶和4个B型垃圾桶共需要580元，购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元．
(1)求两种型号垃圾桶的单价；
(2)若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15000元，至少需购买A型垃圾桶多少个？
19.(本小题8分)
如图，在▱ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，∠A=60°，点P沿AB边从点A开始以1cm/s的速度向点B移动，同时点Q沿DA边从点D开始以2cm/s的速度向点A移动，用t(s)表示点P，Q移动的时间(0≤t≤3)．
(1)当t为何值时，△PAQ是等边三角形？
(2)当t为何值时，△PAQ是直角三角形？
20.(本小题9分)
阅读下列材料：
请仔细阅读下面某同学对多项式(x2−4x+2)(x2−4x+6)+4进行因式分解的过程，然后回答问题．
解：设x2−4x+2=m
原式=m(m+4)+4(第一步)
=m2+4m+4(第二步)
=(m+2)2(第三步)
=(x2−4x+4)2(第四步)
回答下列问题：
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的方法是______；
A.提取公因式
B.平方差公式
C.完全平方公式
(2)另外一名同学发现第四步因式分解的结果不彻底，请你直接写出因式分解的最后结果：______．
(3)请你模仿以上方法对多项式(x2−2x)(x2−2x+2)+1进行因式分解．
21.(本小题9分)
(1)阅读理解
由两个顶角相等且有公共顶角顶点的等腰三角形组成的图形，如果把它们的底角顶点连接起来，则在相对位置变化的过程中，始终存在一对全等三角形，我们把这种模型称为“手拉手模型”.在如图①所示的“手拉手”图形中，小白发现：若∠BAC=∠DAE，AB=AC，AD=AE，则△ABD≌△ACE，请证明他的发现；
(2)问题解决：如图②，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE．
①试探索线段CD，BD，DE之间满足的等量关系，并证明；
②若AB=AC=3，线段DE与线段AC交于点F，连接CE，当△ABD≌△DCF时，求线段CE的长．
22.(本小题12分)
【课本再现】
(1)如图(1)，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，则线段DE与边BC的数量关系是______，位置关系是______，小明给出了部分证明步骤，请你完成剩余部分；
证明：如图(2)，延长DE到F，使FE=DE.连接CF．
在△ADE和△CFE中，
∵AE=CE，∠1=∠2，DE=FE．
∴△ADE≌△CFE．
∴∠A=∠ECF，AD=CF．
∴CF//AB．
……

【知识应用】
如图(3)，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，N是AB的中点，M是DC的中点.求证：∠PMN=∠PNM；
【拓展应用】
(2)如图(4)，在四边形ABCD中，点E，F分别是边AB，AD的中点，若BC=5，CD=3，EF=2，∠AFE=45°，求∠ADC的度数．
参考答案
1.D
2.C
3.C
4.C
5.C
6.B
7.(3x+2y)(3x−2y)
8.−1
9.45°
10.x>4
11.2
12.(1,4)或(1, 5)或(1,54)
13.解：(1)∵x+y=3，xy=2，
∴x2y+xy2=xy(x+y)=2×3=6；
(2)∵将△ABC绕着点C顺时针方向旋转45°后得到△A′B′C，
∴∠BCB′=45°，∠A=∠A′=60°，
∵∠B′=100°，
∴∠A′CB′=180°−∠B′−∠A′=20°，
∴∠BCA′=∠BCB′+∠A′CB′=45°+20°=65°．
14.解：2(x+2)−x≤7①4x−13>x−1②，
解不等式①，得x≤3，
解不等式②，得x>−2，
∴原不等式组的解集为−2将不等式组的解集在数轴上表示如下：

15.解：(1)如图，延长FD交AC于G，
∵△ABC，△DEF均为等腰直角三角形，∠ABC=90°，∠DEF=90°，
∴∠DFE=∠ACB=45°，则FG⊥AC，D在AB上，且AB⊥CF，
∴点D为△ACF三条高的交点，

连接CD，并延长CD交AF于点M，则线段CM即为所求．
(2)解得：如图，延长FD交AB于点T，同(1)可知，
点T为△ACF三条高的交点，

连接C T，延长C T交AF于点M，线段CM即为所求．
16.解：(x2−3x+3x−1−1)÷x2−4x+4x2−1
=x2−3x+3−x+1x−1÷(x−2)2(x+1)(x−1)
=(x−2)2x−1⋅(x+1)(x−1)(x−2)2
=x+1；
由题意可知，x≠±1，x≠2，
∴当x=0时，原式=0+1=1．
17.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，且AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)；
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE//CF，
∴四边形AECF为平行四边形．
18.解：(1)设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，
由题意可得：3x+4y=5806x+5y=860，
解得：x=60y=100，
答：A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元；
(2)设A型垃圾桶a个，
由题意可得：60a+100(200−a)≤15000，
a≥125，
答：至少需购买A型垃圾桶125个．
19.解：(1)AP=t cm，AQ=(6−2t)cm，
∵当△PAQ是等边三角形时，AQ=AP，
即t=6−2t，
解得t=2．
∴当t=2时，△PAQ是等边三角形；
(2)∵△PAQ是直角三角形，
∴∠AQP=90°，
当∠AQP=90°时，有∠APQ=30°，AQ=12AP，
即AP=2AQ，
∴t=2(6−2t)，
解得t=125；
当∠APQ=90°时，有∠AQP=30°，AP=12AQ，
即AQ=2AP，
∴6−2t=2t，
解得t=32．
∴当t=32或t=125时，△PAQ是直角三角形．
20.(1)C；
(2)(x−2)4；
(3)设x2−2x=m，
原式=m(m+2)+1
=m2+2m+1
=(m+1)2
=(x2−2x+1)2
=[(x−1)2]2
=(x−1)4．
21.(1)证明：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
在△ABD和△ACE中，
AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE，
∴△ABD≌△ACE(SAS)；
(2)解：①结论：BD2+CD2=DE2.理由如下：
∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC，AD=AE，
∴∠B=∠ACB=45°，
由(1)得，△BAD≌△CAE，
∴BD=CE，∠ACE=∠B=45°，
∴∠DCE=90°，
∴CE2+CD2=ED2．
又∵BD=CE，
∴BD2+CD2=DE2．
②∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC=3，
∴BC= AB2+AC2=3 2，

∵△ABD≌△DCF，
∴BD=CF=CE，AB=CD=3，
则BD=BC−CD=3 2−3，
∴CE=3 2−3．
22.(1)解：线段DE与边BC的数量关系是DE=12BC，位置关系是DE//BC，
证明：如图(2)，延长DE到F，使FE=DE.连接CF．
在△ADE和△CFE中，
∵AE=CE，∠1=∠2，DE=FE，
∴△ADE≌△CFE．
∴∠A=∠ECF，AD=CF．
∴CF//AB．
又∵D是AB的中点，
∴AD=BD，
∴CF=BD，
∴四边形BCFD是平行四边形，
∴DF//BC，DF=BC，
∴DE//BC，DE=EF=12DF=12BC．
【知识应用】证明：由(1)可知，PM=12BC，PN=12AD，
∵AD=BC，
∴PM=PN，
∴∠PMN=∠PNM；
【拓展应用】(2)解：如图4，连接BD．
∵E，F分别是边AB，AD的中点，
∴EF//BD，BD=2EF=4，
∴∠ADB=∠AFE=45°．
∵BC=5，CD=3，
∴BD2+CD2=25，BC2=25，
∴BD2+CD2=BC2，
∴∠BDC=90°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=135°．