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2023-2024学年山东省东营市广饶县七年级（下）期末数学试卷（五四学制） （含解析）
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这是一份2023-2024学年山东省东营市广饶县七年级（下）期末数学试卷（五四学制） （含解析），共26页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题，附加题等内容，欢迎下载使用。
1．下列事件中是确定事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放中央电视台的《开学第一课》
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．早上的太阳从东方升起
D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
2．若x＜y，则下列各不等式中成立的是（ ）
A．x﹣6＞y﹣6B．﹣3x＜﹣3yC．xz＜yzD．2x+1＜2y+1
3．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）
B．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1
C．（a﹣3）（a+3）＝a2﹣9
D．（x+2）2＝x2+4x+4
4．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（ ）
A．5B．6C．8D．10
5．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠A的度数为（ ）
A．56°B．34°C．36°D．24°
6．两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为x，较小的两位数为y，根据题意可列方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E．若AE＝2cm，△ABC的周长为15cm，则△ABD的周长为（ ）
A．11cmB．13cmC．15cmD．17cm
8．若点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④OC平分∠BCD；⑤∠AOB＝60°．其中正确的结论有（ ）
A．①③⑤B．①②③⑤C．①③④⑤D．①②③④⑤
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分。只要求填写最后结果。
11．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在白色区域的概率是 ．
12．已知一次函数y＝3x﹣1与y＝2x图象的交点是（1，2），则方程组的解为 ．
13．多项式3a3m﹣6a2m+12am的公因式是 ．
14．已知关于x、y的二元一次方程组满足x﹣y＞0，则a的取值范围是 ．
15．等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为 度．
16．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝20，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE＝DF，则DE的长度为 ．
17．关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是 ．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰Rt△AOE∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰Rt△A1OB1，且A1O＝2AO；再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰Rt△A2OB2，且A2O＝2A1O；……依此规律，得到等腰Rt△A2024OB2024，则点B2024的坐标为 ．
三、解答题：本大题共7小题，共62分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（1）解方程组：；
（2）求不等式组的解㷛，并在数轴上表示它的解集．
20．（1）因式分解：4xy2﹣4x2y﹣y3；
（2）因式分解：（x2+1）2﹣4x2．
21．课堂上，老师提出问题：
如图，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心P的位置？
（1）利用尺规作图确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）写出作图依据： ．
22．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°．
（1）求∠C的度数；
（2）若DE＝2，求BC的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，6），与x轴交于点B，与正比例函数y2＝3x的图象交于点C，且点C的横坐标为1．
（1）求k，b的值；
（2）请根据图象直接写出kx+b＞3x的解集；
（3）若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标．
24．新能源汽车越来越受到人们的喜爱，某新能源汽车厂为了满足订单需求，决定扩大产能，计划招聘A，B两个工种的工人．若招聘A工种4人与招聘B工种3人工厂每月需要支付的基本工资相同；已知招聘A工种3人，B工种2人．工厂每月需要支付的基本工资为17000元．
（1）求A工种和B工种工人每月的基本工资是多少？
（2）该工厂决定招聘A，B两个工种工人共150人，现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，那么招聘A工种工人多少人时，可使每月所付的基本工资总额最少？最少工资总额是多少？
25．阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，求证：△ADC≌△CEB；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，求B点坐标．
四、附加题：写出必要的推理过程或演算步骤。
26．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
请在他们的解法启发下解答下面各题：
（1）因式分解：a2+b2﹣9﹣2ab；
（2）若a﹣b＝﹣5，b﹣c＝3，求式子ab﹣bc+ac﹣a2的值．
（3）已知△ABC的三边a、b、c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，则△ABC为 三角形．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来。每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。
1．下列事件中是确定事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放中央电视台的《开学第一课》
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．早上的太阳从东方升起
D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
解：A、打开电视机，正在播放中央电视台的《开学第一课》是随机事件；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件；
C、早上的太阳从西方升起是不可能事件即是确定事件；
D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数是随机事件；
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．若x＜y，则下列各不等式中成立的是（ ）
A．x﹣6＞y﹣6B．﹣3x＜﹣3yC．xz＜yzD．2x+1＜2y+1
【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可得．
解：A、∵x＜y，∴x﹣6＜y﹣6，则此项不成立，不符题意；
B、∵x＜y，∴﹣3x＞﹣3y，则此项不成立，不符题意；
C、∵x＜y，∴当z＜0时，xz＞yz，则此项不成立，不符合题意；
D、∵x＜y，∴2x＜2y，所以2x+1＜2y+1，则此项成立，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
3．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）
B．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1
C．（a﹣3）（a+3）＝a2﹣9
D．（x+2）2＝x2+4x+4
【分析】根据因式分解的定义以及其所遵循的原则逐项判断即可．
解：A、运用平方差公式进行的因式分解，故是因式分解，符合题意；
B、右边不是积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
C、右边不是积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
D、右边不是积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的定义以及因式分解遵循的基本原则．关键掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做多项式的因式分解，遵循的原则：多项式是恒等变形；结果必须是积的形式；分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能在分解为止等．
4．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（ ）
A．5B．6C．8D．10
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∵AB＝5，AD＝3，
∴BD＝＝4，
∴BC＝2BD＝8，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠A的度数为（ ）
A．56°B．34°C．36°D．24°
【分析】先根据对顶角的定义得出∠3的度数，再由三角形内角与外角的关系求出∠A的度数．
解：如图，
∵∠1＝58°，a∥b，
∴∠3＝∠1＝58°．
∵∠2＝24°，∠A＝∠3﹣∠2，
∴∠A＝58°﹣24°＝34°．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
6．两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为x，较小的两位数为y，根据题意可列方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意可得等量关系：①两个两位数的和为68，②100x+y比100y+x大990，根据等量关系列出方程组．
解：根据题意，得．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和解二元一次方程组，关键是弄清题目意思，表示出“较小的两位数写在较大的两位数的右边，得到一个四位数为100y+x”，把较小的两位数写在较大的两位数的左边，得到另一个四位数为100x+y．
7．如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E．若AE＝2cm，△ABC的周长为15cm，则△ABD的周长为（ ）
A．11cmB．13cmC．15cmD．17cm
【分析】证明△ABD的周长＝AB+BC，再判断出AB，AC的长可得结论．
解：由作图可知，MN垂直平分线段AC，
∴AD＝DC，AE＝EC＝2cm，
∵△ABC的周长为15cm，
∴AB+BC＝15﹣4＝11（cm），
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝11（cm）．
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
8．若点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由P点关于x轴的对称点在第四象限，得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．
解：∵点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，
∴点P在第一象限，
∴，
解得：﹣1＜a＜1，
在数轴上表示为：，
故选：C．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，能根据题意得出不等式组是解此题的关键．
9．已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】因为方程组和有相同的解，所以把5x+y＝3和x﹣2y＝5联立解之求出x、y，再代入其他两个方程即可得到关于a、b的方程组，解方程组即可求解．
解：∵方程组和有相同的解，
∴方程组的解也它们的解，
解得：，
代入其他两个方程得，
解得：，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解及二元一次方程组的解法，正确理解题意，然后根据题意得到关于待定系数的方程组，解方程组是解答此题的关键．
10．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④OC平分∠BCD；⑤∠AOB＝60°．其中正确的结论有（ ）
A．①③⑤B．①②③⑤C．①③④⑤D．①②③④⑤
【分析】由等边三角形的性质可得AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，从而可根据SAS得到△ACD≌△BCE，结合全等三角形的性质可判断①的正误；由△ACD≌△BCE可得∠CBE＝∠DAC，结合∠A C B＝∠D C E＝60°，A C＝B C可得到△ACP≌△BCQ，结合全等三角形的性质可判断③的正误；由全等三角形的性质可得到PC＝QC，结合∠PCQ＝60°可知△PCQ为等边三角形，因此∠CPQ＝60°，结合平行线的判定可判断②的正误；根据全等三角形的性质、三角形面积公式求出CH＝CG，根据角平分线的判定定理可判断④其正误；根据△ACD≌△BCE结合三角形外角的性质，据此可判断⑤的正误．
解：∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴BC＝AC＝AB，DE＝DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠BCA+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE．
在△DCA和△ECB中，
，
∴△DCA≌△ECB（SAS），
∴AD＝BE，故①正确，符合题意；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠BCD＝60°，
∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，
在△ACP和△BCQ中
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP＝CQ，故③正确，符合题意；
∵CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ＝60°，
∴∠ACB＝∠CPQ，
∴PQ∥AE，故②正确，符合题意；
过点C作CH⊥EQ于H，C G⊥D P于G，
∵△DCA≌△ECB，
∴S△DCA＝S△ECB，AD＝BE，
∴，
∴CH＝CG，
∴OC平分∠AOE，而不是平分∠BCD，故④错误，不符合题意；
∵△DCA≌△ECB，
∴∠ADC＝∠AEO，
∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，
∴故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论有①②③⑤，
故选：B．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分。只要求填写最后结果。
11．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在白色区域的概率是 ．
【分析】用白色区域的圆心角的度数除以圆周角的度数可得到指针落在白色区域的概率．
解：指针落在白色区域的概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等．
12．已知一次函数y＝3x﹣1与y＝2x图象的交点是（1，2），则方程组的解为 ．
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系求解即可．
解：∵一次函数y＝3x﹣1与y＝2x图象的交点是（1，2），
∴方程组的解为，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．
13．多项式3a3m﹣6a2m+12am的公因式是 ．
【分析】根据公因式的确定方法解答即可．
解：多项式3a3m﹣6a2m+12am的公因式是3am，
故答案为：3am．
【点评】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．
14．已知关于x、y的二元一次方程组满足x﹣y＞0，则a的取值范围是 ．
【分析】方程组两方程相减表示出x﹣y，代入已知不等式求出a的范围即可．
解：，
①﹣②得：x﹣y＝4a﹣3，
代入x﹣y＞0得：4a﹣3＞0，
解得：a＞．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
15．等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为 度．
【分析】分为两种情况：①高BD在△ABC内时，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；②高CD在△ABC外时，求出∠DAC，根据平角的定义求出∠BAC即可．
解：①如图，
∵BD是△ABC的高，AB＝AC，BD＝AB，
∴∠A＝30°，
②如图，
∵CD是△ABC边BA 上的高，DC＝AC，
∴∠DAC＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°＝150°，
故答案为：30或150．
【点评】本题考查了等腰三角形性质和含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生能否求出符合条件的所有情况，注意：一定要分类讨论啊．
16．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝20，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE＝DF，则DE的长度为 ．
【分析】根据角平分线的判定定理求出∠BAD，根据直角三角形30°角的性质计算，得到答案．
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，
在Rt△ADE中，∠BAD＝30°，
∴DE＝AD＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、直角三角形30°角的性质，掌握到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键．
17．关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组无解，即可确定m的取值范围．
解：解不等式2x﹣3≥x得：x≥3，
∵关于x的不等式组无解，
∴m＜3，
故答案为：m＜3．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰Rt△AOE∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰Rt△A1OB1，且A1O＝2AO；再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰Rt△A2OB2，且A2O＝2A1O；……依此规律，得到等腰Rt△A2024OB2024，则点B2024的坐标为 ．
【分析】根据题意，依次求出点Bn的坐标，发现规律即可解决问题．
解：∵△AOB是等腰直角三角形，且AO＝1，
∴AB＝AO＝1，
∴点B的坐标为（1，1）．
由旋转可知，
∠A1OA＝90°，∠OA1B1＝90°，
∵A1O＝2AO，
∴A1O＝A1B1＝2，
∴点B1的坐标为（2，﹣2）．
同理可得，
点B2的坐标为（﹣22，﹣22），
点B3的坐标为（﹣23，23），
点B4的坐标为（24，24），
点B5的坐标为（25，﹣25），
…，
由此可见，每旋转四次，点Bn所在象限重复出现，且其横纵坐标的绝对值都是2n（n为正整数），
因为2024÷4＝506，
则点B2024在第一象限，
所以点B2024的坐标为（22024，22024）．
故答案为：（22024，22024）．
【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律及坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质及根据题得出每旋转四次，点Bn所在象限重复出现，且其横纵坐标的绝对值都是2n（n为正整数）是解题的关键．
三、解答题：本大题共7小题，共62分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（1）解方程组：；
（2）求不等式组的解㷛，并在数轴上表示它的解集．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：（1）整理得，
由①×3﹣②×4得：7y＝28，
解得y＝4，
将y＝4代入①得：4x﹣12＝12，
解得x＝6，
∴方程组的解为：；
（2），
由①得：x≥1，
由②得：x＜4，
∴原不等式组的解集为：1≤x＜4．
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组和二元一次方程组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（1）因式分解：4xy2﹣4x2y﹣y3；
（2）因式分解：（x2+1）2﹣4x2．
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解．
解：（1）4xy2﹣4x2y﹣y3
＝﹣y（4x2﹣4xy+y2）
＝﹣y（2x﹣y）2；
（2）（x2+1）2﹣4x2
＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）
＝（x+1）2（x﹣1）2．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
21．课堂上，老师提出问题：
如图，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心P的位置？
（1）利用尺规作图确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）写出作图依据： ．
【分析】（1）作∠MON的平分线和线段AB的垂直平分线，则交点即为所求点P；
（2）根据（1）中图形证明即可．
解：（1）如图1，点P为所求；
（2）作∠MON的平分线OC，线段AB的垂直平分线DE，DE交OC于点P，
连接PA，PB，过点P作PF⊥ON于点F，PG⊥OM于点G．
∵PF⊥ON，PG⊥OM，
且点P在∠MON的平分线上，
∴PF＝PG（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
即活动中心P到两条马路的距离相等，
∵点P在线段AB的垂直平分线DE上，
∴PA＝PB（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），
即活动中心P到两个小区的距离也相等，
∴点P为所求作的点．
故答案为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
【点评】本题考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，利用角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，找出点P的位置是解题的关键．
22．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°．
（1）求∠C的度数；
（2）若DE＝2，求BC的长．
【分析】（1）DE是边AB上的垂直平分线推AE＝BE，利用等腰三角形的性质和角平分线的定义推角相等，最后得出角的度数；
（2）利用角平分线的性质求出EC的长，再由直角三角形的性质求出BE的长，进而可得出结论．
解：（1）∵DE是边AB上的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE＝30°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAC＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝30°+30°＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°；
（2）∵AE平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴EC＝ED＝2，
∵DE垂直平分AB，
∴∠BDE＝90°．
在△BDE 中，
∵∠BDE＝90°．∠B＝30°．
∴BE＝2DE＝4．
∴BC＝BE+EC＝4+2＝6
【点评】本题考查的是含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质，熟知在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，6），与x轴交于点B，与正比例函数y2＝3x的图象交于点C，且点C的横坐标为1．
（1）求k，b的值；
（2）请根据图象直接写出kx+b＞3x的解集；
（3）若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标．
【分析】（1）根据A、C两点坐标利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）根据图象直接回答；
（3）根据三角形面积之间的关系列出含有m的一元一次方程，然后求解即可．
解：（1）∵点C的横坐标是1，
∴当x＝1时，y2＝3，
∴C（1，3）
把（1，3）和（﹣2，6）分别代入y1＝kx+b可得：
，
解得：；
（2）由图象可知：kx+b＞3x的解集是x＜1时；
（3）当y＝0时，则：﹣x+4＝0，
解得：x＝4，
∴B（4，0），
设点D坐标为：（0，m）（m＜0），
∵，
∴，
解得：m＝±4．
∴D（0，﹣4）或（0，4）．
【点评】本题是两条直线相交问题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数与一元一次不等式，三角形的知识，有一定的难度．
24．新能源汽车越来越受到人们的喜爱，某新能源汽车厂为了满足订单需求，决定扩大产能，计划招聘A，B两个工种的工人．若招聘A工种4人与招聘B工种3人工厂每月需要支付的基本工资相同；已知招聘A工种3人，B工种2人．工厂每月需要支付的基本工资为17000元．
（1）求A工种和B工种工人每月的基本工资是多少？
（2）该工厂决定招聘A，B两个工种工人共150人，现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，那么招聘A工种工人多少人时，可使每月所付的基本工资总额最少？最少工资总额是多少？
【分析】（1）设A工种工人每月的基本工资是x元，B工种工人每月的基本工资是y元，根据“招聘A工种4人与招聘B工种3人工厂每月需要支付的基本工资相同；招聘A工种3人，B工种2人．工厂每月需要支付的基本工资为17000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设招聘A工种工人m人，则招聘B工种工人（150﹣m）人，根据招聘B工种的人数不少于A工种人数的2倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设该工厂招聘A，B两个工种工人每月所付的基本工资总额是w元，利用该工厂招聘A，B两个工种工人每月所付的基本工资总额＝A工种工人每月的基本工资×招聘A工种工人的人数+B工种工人每月的基本工资×招聘B工种工人的人数，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
解：（1）设A工种工人每月的基本工资是x元，B工种工人每月的基本工资是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A工种工人每月的基本工资是3000元，B工种工人每月的基本工资是4000元；
（2）设招聘A工种工人m人，则招聘B工种工人（150﹣m）人，
根据题意得：150﹣m≥2m，
解得：m≤50，
设该工厂招聘A，B两个工种工人每月所付的基本工资总额是w元，则w＝3000m+4000（150﹣m），
即w＝﹣1000m+600000，
∵﹣1000＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝50时，w取得最小值，最小值为﹣1000×50+600000＝550000＝55（万元）．
答：招聘A工种工人50人时，可使每月所付的基本工资总额最少，最少工资总额是55万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
25．阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，求证：△ADC≌△CEB；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，求B点坐标．
【分析】（1）由余角的性质可证∠DAC＝∠ECB，再由AAS证△ADC≌△CEB即可；
（2）由“AAS”可证△ADC≌△CEB，得AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，即可解决问题；
（3）过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作AE⊥l于点E，过B作BF⊥l于点F，交x轴于点H，证△AEC≌△CFB（AAS），得AE＝CF＝3，BF＝CE＝2，则FG＝CG+CF＝4，BH＝FH﹣BF＝1，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠ECB＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠CBE+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，
∴BE＝CD＝CE﹣DE＝2.5﹣1.7＝0.8（cm），
即BE的长为0.8cm；
（3）解：如图3，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作AE⊥l于点E，过B作BF⊥l于点F，交x轴于点H，
则∠AEC＝∠CFB＝∠ACB＝90°，
∵A（﹣1，0），C（1，3），
∴EG＝OA＝1，CG＝1，FH＝AE＝OG＝3，
∴CE＝EG+CG＝2，
∵∠ACE+∠EAC＝90°，∠ACE+∠FCB＝90°，
∴∠EAC＝∠FCB，
在△AEC和△CFB中，
，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE＝CF＝3，BF＝CE＝2，
∴FG＝CG+CF＝1+3＝4，BH＝FH﹣BF＝3﹣2＝1，
∴B点坐标为（4，1）．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、“一线三垂直”模型等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
四、附加题：写出必要的推理过程或演算步骤。
26．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
请在他们的解法启发下解答下面各题：
（1）因式分解：a2+b2﹣9﹣2ab；
（2）若a﹣b＝﹣5，b﹣c＝3，求式子ab﹣bc+ac﹣a2的值．
（3）已知△ABC的三边a、b、c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，则△ABC为 三角形．
【分析】（1）先分组，再利用公式法进行因式分解；
（2）先对式子进行因式分解，再代入求值；
（3）先将式子变形为（a+b﹣c）（a﹣b）＝0，再根据三角形的三边关系即可得出结果．
解：（1）a2+b2﹣9﹣2ab
＝（a2+b2﹣2ab）﹣32
＝（a﹣b）2﹣32
＝（a﹣b+3）（a﹣b﹣3）；
（2）原式＝ab﹣bc+ac﹣a2
＝（ab﹣a2）+（ac﹣bc）
＝﹣a（a﹣b）+c（a﹣b）
＝（a﹣b）（c﹣a）；
∵a﹣b＝﹣5，b﹣c＝3，
∴c﹣a＝2，
∴原式＝（a﹣b）（c﹣a）＝﹣5×2＝﹣10；
（3）∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，
∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a+b﹣c）（a﹣b）＝0，
∵a+b﹣c＞0，
∴a﹣b＝0，即a＝b，
∴△ABC为 等腰三角形，
故答案为：等腰．
【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
甲：x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）
甲：x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）
1．下列事件中是确定事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放中央电视台的《开学第一课》
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．早上的太阳从东方升起
D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
2．若x＜y，则下列各不等式中成立的是（ ）
A．x﹣6＞y﹣6B．﹣3x＜﹣3yC．xz＜yzD．2x+1＜2y+1
3．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）
B．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1
C．（a﹣3）（a+3）＝a2﹣9
D．（x+2）2＝x2+4x+4
4．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（ ）
A．5B．6C．8D．10
5．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠A的度数为（ ）
A．56°B．34°C．36°D．24°
6．两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为x，较小的两位数为y，根据题意可列方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
7．如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E．若AE＝2cm，△ABC的周长为15cm，则△ABD的周长为（ ）
A．11cmB．13cmC．15cmD．17cm
8．若点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④OC平分∠BCD；⑤∠AOB＝60°．其中正确的结论有（ ）
A．①③⑤B．①②③⑤C．①③④⑤D．①②③④⑤
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分。只要求填写最后结果。
11．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在白色区域的概率是 ．
12．已知一次函数y＝3x﹣1与y＝2x图象的交点是（1，2），则方程组的解为 ．
13．多项式3a3m﹣6a2m+12am的公因式是 ．
14．已知关于x、y的二元一次方程组满足x﹣y＞0，则a的取值范围是 ．
15．等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为 度．
16．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝20，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE＝DF，则DE的长度为 ．
17．关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是 ．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰Rt△AOE∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰Rt△A1OB1，且A1O＝2AO；再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰Rt△A2OB2，且A2O＝2A1O；……依此规律，得到等腰Rt△A2024OB2024，则点B2024的坐标为 ．
三、解答题：本大题共7小题，共62分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（1）解方程组：；
（2）求不等式组的解㷛，并在数轴上表示它的解集．
20．（1）因式分解：4xy2﹣4x2y﹣y3；
（2）因式分解：（x2+1）2﹣4x2．
21．课堂上，老师提出问题：
如图，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心P的位置？
（1）利用尺规作图确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）写出作图依据： ．
22．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°．
（1）求∠C的度数；
（2）若DE＝2，求BC的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，6），与x轴交于点B，与正比例函数y2＝3x的图象交于点C，且点C的横坐标为1．
（1）求k，b的值；
（2）请根据图象直接写出kx+b＞3x的解集；
（3）若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标．
24．新能源汽车越来越受到人们的喜爱，某新能源汽车厂为了满足订单需求，决定扩大产能，计划招聘A，B两个工种的工人．若招聘A工种4人与招聘B工种3人工厂每月需要支付的基本工资相同；已知招聘A工种3人，B工种2人．工厂每月需要支付的基本工资为17000元．
（1）求A工种和B工种工人每月的基本工资是多少？
（2）该工厂决定招聘A，B两个工种工人共150人，现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，那么招聘A工种工人多少人时，可使每月所付的基本工资总额最少？最少工资总额是多少？
25．阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，求证：△ADC≌△CEB；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，求B点坐标．
四、附加题：写出必要的推理过程或演算步骤。
26．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
请在他们的解法启发下解答下面各题：
（1）因式分解：a2+b2﹣9﹣2ab；
（2）若a﹣b＝﹣5，b﹣c＝3，求式子ab﹣bc+ac﹣a2的值．
（3）已知△ABC的三边a、b、c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，则△ABC为 三角形．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来。每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。
1．下列事件中是确定事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放中央电视台的《开学第一课》
B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
C．早上的太阳从东方升起
D．任意买一张电影票，座位号是2的倍数
【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可．
解：A、打开电视机，正在播放中央电视台的《开学第一课》是随机事件；
B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件；
C、早上的太阳从西方升起是不可能事件即是确定事件；
D、任意买一张电影票，座位号是2的倍数是随机事件；
故选：C．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
2．若x＜y，则下列各不等式中成立的是（ ）
A．x﹣6＞y﹣6B．﹣3x＜﹣3yC．xz＜yzD．2x+1＜2y+1
【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可得．
解：A、∵x＜y，∴x﹣6＜y﹣6，则此项不成立，不符题意；
B、∵x＜y，∴﹣3x＞﹣3y，则此项不成立，不符题意；
C、∵x＜y，∴当z＜0时，xz＞yz，则此项不成立，不符合题意；
D、∵x＜y，∴2x＜2y，所以2x+1＜2y+1，则此项成立，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．
3．下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．m2﹣4＝（m+2）（m﹣2）
B．a2﹣b2+1＝（a+b）（a﹣b）+1
C．（a﹣3）（a+3）＝a2﹣9
D．（x+2）2＝x2+4x+4
【分析】根据因式分解的定义以及其所遵循的原则逐项判断即可．
解：A、运用平方差公式进行的因式分解，故是因式分解，符合题意；
B、右边不是积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
C、右边不是积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
D、右边不是积的形式，故不是因式分解，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了因式分解的定义以及因式分解遵循的基本原则．关键掌握把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子变形叫做多项式的因式分解，遵循的原则：多项式是恒等变形；结果必须是积的形式；分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能在分解为止等．
4．如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为（ ）
A．5B．6C．8D．10
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD，根据勾股定理即可得到结论．
解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，
∴AD⊥BC，BD＝CD，
∵AB＝5，AD＝3，
∴BD＝＝4，
∴BC＝2BD＝8，
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
5．如图，直线a∥b，在Rt△ABC中，点C在直线a上，若∠1＝58°，∠2＝24°，则∠A的度数为（ ）
A．56°B．34°C．36°D．24°
【分析】先根据对顶角的定义得出∠3的度数，再由三角形内角与外角的关系求出∠A的度数．
解：如图，
∵∠1＝58°，a∥b，
∴∠3＝∠1＝58°．
∵∠2＝24°，∠A＝∠3﹣∠2，
∴∠A＝58°﹣24°＝34°．
故选：B．
【点评】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等是解答此题的关键．
6．两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数．已知前一个四位数比后一个四位数大990．若设较大的两位数为x，较小的两位数为y，根据题意可列方程组（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意可得等量关系：①两个两位数的和为68，②100x+y比100y+x大990，根据等量关系列出方程组．
解：根据题意，得．
故选：C．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和解二元一次方程组，关键是弄清题目意思，表示出“较小的两位数写在较大的两位数的右边，得到一个四位数为100y+x”，把较小的两位数写在较大的两位数的左边，得到另一个四位数为100x+y．
7．如图，在△ABC中，分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧分别相交于M，N两点，作直线MN，分别交线段BC，AC于点D，E．若AE＝2cm，△ABC的周长为15cm，则△ABD的周长为（ ）
A．11cmB．13cmC．15cmD．17cm
【分析】证明△ABD的周长＝AB+BC，再判断出AB，AC的长可得结论．
解：由作图可知，MN垂直平分线段AC，
∴AD＝DC，AE＝EC＝2cm，
∵△ABC的周长为15cm，
∴AB+BC＝15﹣4＝11（cm），
∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝11（cm）．
故选：A．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
8．若点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，则a的取值范围在数轴上表示为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】由P点关于x轴的对称点在第四象限，得出不等式组，求出不等式组的解集，即可得出选项．
解：∵点P（a+1，2﹣2a）关于x轴的对称点在第四象限，
∴点P在第一象限，
∴，
解得：﹣1＜a＜1，
在数轴上表示为：，
故选：C．
【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集的应用，能根据题意得出不等式组是解此题的关键．
9．已知方程组和有相同的解，则a，b的值为（ ）
A．B．C．D．
【分析】因为方程组和有相同的解，所以把5x+y＝3和x﹣2y＝5联立解之求出x、y，再代入其他两个方程即可得到关于a、b的方程组，解方程组即可求解．
解：∵方程组和有相同的解，
∴方程组的解也它们的解，
解得：，
代入其他两个方程得，
解得：，
故选：D．
【点评】本题主要考查了二元一次方程的解及二元一次方程组的解法，正确理解题意，然后根据题意得到关于待定系数的方程组，解方程组是解答此题的关键．
10．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③CP＝CQ；④OC平分∠BCD；⑤∠AOB＝60°．其中正确的结论有（ ）
A．①③⑤B．①②③⑤C．①③④⑤D．①②③④⑤
【分析】由等边三角形的性质可得AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，从而可根据SAS得到△ACD≌△BCE，结合全等三角形的性质可判断①的正误；由△ACD≌△BCE可得∠CBE＝∠DAC，结合∠A C B＝∠D C E＝60°，A C＝B C可得到△ACP≌△BCQ，结合全等三角形的性质可判断③的正误；由全等三角形的性质可得到PC＝QC，结合∠PCQ＝60°可知△PCQ为等边三角形，因此∠CPQ＝60°，结合平行线的判定可判断②的正误；根据全等三角形的性质、三角形面积公式求出CH＝CG，根据角平分线的判定定理可判断④其正误；根据△ACD≌△BCE结合三角形外角的性质，据此可判断⑤的正误．
解：∵△ABC和△DCE是等边三角形，
∴BC＝AC＝AB，DE＝DC＝CE，∠BCA＝∠DCE＝60°，
∴∠BCA+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，
即∠ACD＝∠BCE．
在△DCA和△ECB中，
，
∴△DCA≌△ECB（SAS），
∴AD＝BE，故①正确，符合题意；
∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD＝∠CBE，
∵∠ACB＝∠ECD＝60°，
∴∠BCD＝60°，
∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，
在△ACP和△BCQ中
，
∴△ACP≌△BCQ（ASA），
∴CP＝CQ，故③正确，符合题意；
∵CP＝CQ，∠PCQ＝60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∴∠CPQ＝60°，
∴∠ACB＝∠CPQ，
∴PQ∥AE，故②正确，符合题意；
过点C作CH⊥EQ于H，C G⊥D P于G，
∵△DCA≌△ECB，
∴S△DCA＝S△ECB，AD＝BE，
∴，
∴CH＝CG，
∴OC平分∠AOE，而不是平分∠BCD，故④错误，不符合题意；
∵△DCA≌△ECB，
∴∠ADC＝∠AEO，
∴∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，
∴故结论⑤正确．
综上所述，正确的结论有①②③⑤，
故选：B．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质的应用、等边三角形的性质和应用、平行线的判定；熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．
二、填空题：本大题共8小题，其中11-14题每小题3分，15-18题每小题3分，共28分。只要求填写最后结果。
11．如图是一个可以自由转动的转盘，转动转盘，当转盘停止时，指针落在白色区域的概率是 ．
【分析】用白色区域的圆心角的度数除以圆周角的度数可得到指针落在白色区域的概率．
解：指针落在白色区域的概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等．
12．已知一次函数y＝3x﹣1与y＝2x图象的交点是（1，2），则方程组的解为 ．
【分析】根据一次函数与二元一次方程组的关系求解即可．
解：∵一次函数y＝3x﹣1与y＝2x图象的交点是（1，2），
∴方程组的解为，
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，熟练掌握两者之间的关系是解题的关键．
13．多项式3a3m﹣6a2m+12am的公因式是 ．
【分析】根据公因式的确定方法解答即可．
解：多项式3a3m﹣6a2m+12am的公因式是3am，
故答案为：3am．
【点评】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．
14．已知关于x、y的二元一次方程组满足x﹣y＞0，则a的取值范围是 ．
【分析】方程组两方程相减表示出x﹣y，代入已知不等式求出a的范围即可．
解：，
①﹣②得：x﹣y＝4a﹣3，
代入x﹣y＞0得：4a﹣3＞0，
解得：a＞．
【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
15．等腰三角形腰上的高等于腰长的一半，则这个等腰三角形的顶角为 度．
【分析】分为两种情况：①高BD在△ABC内时，根据含30度角的直角三角形性质求出即可；②高CD在△ABC外时，求出∠DAC，根据平角的定义求出∠BAC即可．
解：①如图，
∵BD是△ABC的高，AB＝AC，BD＝AB，
∴∠A＝30°，
②如图，
∵CD是△ABC边BA 上的高，DC＝AC，
∴∠DAC＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣30°＝150°，
故答案为：30或150．
【点评】本题考查了等腰三角形性质和含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生能否求出符合条件的所有情况，注意：一定要分类讨论啊．
16．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，点D在BC上，AD＝20，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且DE＝DF，则DE的长度为 ．
【分析】根据角平分线的判定定理求出∠BAD，根据直角三角形30°角的性质计算，得到答案．
解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，DE＝DF，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝30°，
在Rt△ADE中，∠BAD＝30°，
∴DE＝AD＝10，
故答案为：10．
【点评】本题考查的是角平分线的性质、直角三角形30°角的性质，掌握到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上是解题的关键．
17．关于x的不等式组无解，那么m的取值范围是 ．
【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组无解，即可确定m的取值范围．
解：解不等式2x﹣3≥x得：x≥3，
∵关于x的不等式组无解，
∴m＜3，
故答案为：m＜3．
【点评】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法．
18．如图，在平面直角坐标系xOy中，有一个等腰Rt△AOE∠OAB＝90°，直角边AO在x轴上，且AO＝1．将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰Rt△A1OB1，且A1O＝2AO；再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰Rt△A2OB2，且A2O＝2A1O；……依此规律，得到等腰Rt△A2024OB2024，则点B2024的坐标为 ．
【分析】根据题意，依次求出点Bn的坐标，发现规律即可解决问题．
解：∵△AOB是等腰直角三角形，且AO＝1，
∴AB＝AO＝1，
∴点B的坐标为（1，1）．
由旋转可知，
∠A1OA＝90°，∠OA1B1＝90°，
∵A1O＝2AO，
∴A1O＝A1B1＝2，
∴点B1的坐标为（2，﹣2）．
同理可得，
点B2的坐标为（﹣22，﹣22），
点B3的坐标为（﹣23，23），
点B4的坐标为（24，24），
点B5的坐标为（25，﹣25），
…，
由此可见，每旋转四次，点Bn所在象限重复出现，且其横纵坐标的绝对值都是2n（n为正整数），
因为2024÷4＝506，
则点B2024在第一象限，
所以点B2024的坐标为（22024，22024）．
故答案为：（22024，22024）．
【点评】本题主要考查了点的坐标变化规律及坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质及根据题得出每旋转四次，点Bn所在象限重复出现，且其横纵坐标的绝对值都是2n（n为正整数）是解题的关键．
三、解答题：本大题共7小题，共62分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
19．（1）解方程组：；
（2）求不等式组的解㷛，并在数轴上表示它的解集．
【分析】（1）利用加减消元法求解即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
解：（1）整理得，
由①×3﹣②×4得：7y＝28，
解得y＝4，
将y＝4代入①得：4x﹣12＝12，
解得x＝6，
∴方程组的解为：；
（2），
由①得：x≥1，
由②得：x＜4，
∴原不等式组的解集为：1≤x＜4．
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组和二元一次方程组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（1）因式分解：4xy2﹣4x2y﹣y3；
（2）因式分解：（x2+1）2﹣4x2．
【分析】（1）先提取公因式，再利用完全平方公式；
（2）先利用平方差公式，再利用完全平方公式分解．
解：（1）4xy2﹣4x2y﹣y3
＝﹣y（4x2﹣4xy+y2）
＝﹣y（2x﹣y）2；
（2）（x2+1）2﹣4x2
＝（x2+1+2x）（x2+1﹣2x）
＝（x+1）2（x﹣1）2．
【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式法、公式法是解决本题的关键．
21．课堂上，老师提出问题：
如图，OM，ON是两条马路，点A，B处是两个居民小区，现要在两条马路之间的空场处建活动中心P，使得活动中心P到两条马路的距离相等，且到两个小区的距离也相等，如何确定活动中心P的位置？
（1）利用尺规作图确定点P的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）写出作图依据： ．
【分析】（1）作∠MON的平分线和线段AB的垂直平分线，则交点即为所求点P；
（2）根据（1）中图形证明即可．
解：（1）如图1，点P为所求；
（2）作∠MON的平分线OC，线段AB的垂直平分线DE，DE交OC于点P，
连接PA，PB，过点P作PF⊥ON于点F，PG⊥OM于点G．
∵PF⊥ON，PG⊥OM，
且点P在∠MON的平分线上，
∴PF＝PG（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
即活动中心P到两条马路的距离相等，
∵点P在线段AB的垂直平分线DE上，
∴PA＝PB（垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等），
即活动中心P到两个小区的距离也相等，
∴点P为所求作的点．
故答案为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．
【点评】本题考查了角平分线的性质以及线段垂直平分线的性质，利用角平分线的性质及线段垂直平分线的性质，找出点P的位置是解题的关键．
22．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB，分别交AB、BC于点D、E，AE平分∠BAC，∠B＝30°．
（1）求∠C的度数；
（2）若DE＝2，求BC的长．
【分析】（1）DE是边AB上的垂直平分线推AE＝BE，利用等腰三角形的性质和角平分线的定义推角相等，最后得出角的度数；
（2）利用角平分线的性质求出EC的长，再由直角三角形的性质求出BE的长，进而可得出结论．
解：（1）∵DE是边AB上的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE＝30°．
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠EAC＝30°，
∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝30°+30°＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠BAC﹣∠B＝180°﹣60°﹣30°＝90°；
（2）∵AE平分∠BAC，∠ACB＝90°，DE⊥AB，
∴EC＝ED＝2，
∵DE垂直平分AB，
∴∠BDE＝90°．
在△BDE 中，
∵∠BDE＝90°．∠B＝30°．
∴BE＝2DE＝4．
∴BC＝BE+EC＝4+2＝6
【点评】本题考查的是含30度角的直角三角形、线段垂直平分线的性质，熟知在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（﹣2，6），与x轴交于点B，与正比例函数y2＝3x的图象交于点C，且点C的横坐标为1．
（1）求k，b的值；
（2）请根据图象直接写出kx+b＞3x的解集；
（3）若点D在y轴上，且满足，求点D的坐标．
【分析】（1）根据A、C两点坐标利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）根据图象直接回答；
（3）根据三角形面积之间的关系列出含有m的一元一次方程，然后求解即可．
解：（1）∵点C的横坐标是1，
∴当x＝1时，y2＝3，
∴C（1，3）
把（1，3）和（﹣2，6）分别代入y1＝kx+b可得：
，
解得：；
（2）由图象可知：kx+b＞3x的解集是x＜1时；
（3）当y＝0时，则：﹣x+4＝0，
解得：x＝4，
∴B（4，0），
设点D坐标为：（0，m）（m＜0），
∵，
∴，
解得：m＝±4．
∴D（0，﹣4）或（0，4）．
【点评】本题是两条直线相交问题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、一次函数与一元一次不等式，三角形的知识，有一定的难度．
24．新能源汽车越来越受到人们的喜爱，某新能源汽车厂为了满足订单需求，决定扩大产能，计划招聘A，B两个工种的工人．若招聘A工种4人与招聘B工种3人工厂每月需要支付的基本工资相同；已知招聘A工种3人，B工种2人．工厂每月需要支付的基本工资为17000元．
（1）求A工种和B工种工人每月的基本工资是多少？
（2）该工厂决定招聘A，B两个工种工人共150人，现要求B工种的人数不少于A工种人数的2倍，那么招聘A工种工人多少人时，可使每月所付的基本工资总额最少？最少工资总额是多少？
【分析】（1）设A工种工人每月的基本工资是x元，B工种工人每月的基本工资是y元，根据“招聘A工种4人与招聘B工种3人工厂每月需要支付的基本工资相同；招聘A工种3人，B工种2人．工厂每月需要支付的基本工资为17000元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设招聘A工种工人m人，则招聘B工种工人（150﹣m）人，根据招聘B工种的人数不少于A工种人数的2倍，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设该工厂招聘A，B两个工种工人每月所付的基本工资总额是w元，利用该工厂招聘A，B两个工种工人每月所付的基本工资总额＝A工种工人每月的基本工资×招聘A工种工人的人数+B工种工人每月的基本工资×招聘B工种工人的人数，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
解：（1）设A工种工人每月的基本工资是x元，B工种工人每月的基本工资是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A工种工人每月的基本工资是3000元，B工种工人每月的基本工资是4000元；
（2）设招聘A工种工人m人，则招聘B工种工人（150﹣m）人，
根据题意得：150﹣m≥2m，
解得：m≤50，
设该工厂招聘A，B两个工种工人每月所付的基本工资总额是w元，则w＝3000m+4000（150﹣m），
即w＝﹣1000m+600000，
∵﹣1000＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m＝50时，w取得最小值，最小值为﹣1000×50+600000＝550000＝55（万元）．
答：招聘A工种工人50人时，可使每月所付的基本工资总额最少，最少工资总额是55万元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
25．阅读理解，自主探究：
“一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为90°，于是有三组边相互垂直，所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形．
（1）问题解决：如图1，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线DE，AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E，求证：△ADC≌△CEB；
（2）问题探究：如图2，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线CE，AD⊥CE于点D，BE⊥CE于点E，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，求BE的长．
（3）拓展延伸：如图3，在平面直角坐标系中，A（﹣1，0），C（1，3），△ABC为等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC，求B点坐标．
【分析】（1）由余角的性质可证∠DAC＝∠ECB，再由AAS证△ADC≌△CEB即可；
（2）由“AAS”可证△ADC≌△CEB，得AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，即可解决问题；
（3）过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作AE⊥l于点E，过B作BF⊥l于点F，交x轴于点H，证△AEC≌△CFB（AAS），得AE＝CF＝3，BF＝CE＝2，则FG＝CG+CF＝4，BH＝FH﹣BF＝1，即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠ECB＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠CBE+∠ECB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ECB+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠CBE，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE＝2.5cm，CD＝BE，
∴BE＝CD＝CE﹣DE＝2.5﹣1.7＝0.8（cm），
即BE的长为0.8cm；
（3）解：如图3，过点C作直线l∥x轴，交y轴于点G，过A作AE⊥l于点E，过B作BF⊥l于点F，交x轴于点H，
则∠AEC＝∠CFB＝∠ACB＝90°，
∵A（﹣1，0），C（1，3），
∴EG＝OA＝1，CG＝1，FH＝AE＝OG＝3，
∴CE＝EG+CG＝2，
∵∠ACE+∠EAC＝90°，∠ACE+∠FCB＝90°，
∴∠EAC＝∠FCB，
在△AEC和△CFB中，
，
∴△AEC≌△CFB（AAS），
∴AE＝CF＝3，BF＝CE＝2，
∴FG＝CG+CF＝1+3＝4，BH＝FH﹣BF＝3﹣2＝1，
∴B点坐标为（4，1）．
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、坐标与图形性质、“一线三垂直”模型等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
四、附加题：写出必要的推理过程或演算步骤。
26．在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解：
请在他们的解法启发下解答下面各题：
（1）因式分解：a2+b2﹣9﹣2ab；
（2）若a﹣b＝﹣5，b﹣c＝3，求式子ab﹣bc+ac﹣a2的值．
（3）已知△ABC的三边a、b、c满足a2﹣b2﹣ac+bc＝0，则△ABC为 三角形．
【分析】（1）先分组，再利用公式法进行因式分解；
（2）先对式子进行因式分解，再代入求值；
（3）先将式子变形为（a+b﹣c）（a﹣b）＝0，再根据三角形的三边关系即可得出结果．
解：（1）a2+b2﹣9﹣2ab
＝（a2+b2﹣2ab）﹣32
＝（a﹣b）2﹣32
＝（a﹣b+3）（a﹣b﹣3）；
（2）原式＝ab﹣bc+ac﹣a2
＝（ab﹣a2）+（ac﹣bc）
＝﹣a（a﹣b）+c（a﹣b）
＝（a﹣b）（c﹣a）；
∵a﹣b＝﹣5，b﹣c＝3，
∴c﹣a＝2，
∴原式＝（a﹣b）（c﹣a）＝﹣5×2＝﹣10；
（3）∵a2﹣b2﹣ac+bc＝0，
∴（a+b）（a﹣b）﹣c（a﹣b）＝0，
∴（a+b﹣c）（a﹣b）＝0，
∵a+b﹣c＞0，
∴a﹣b＝0，即a＝b，
∴△ABC为 等腰三角形，
故答案为：等腰．
【点评】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
甲：x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）
甲：x2﹣xy+4x﹣4y
＝（x2﹣xy）+（4x﹣4y）（分成两组）
＝x（x﹣y）+4（x﹣y）（直接提公因式）
＝（x﹣y）（x+4）
乙：a2﹣b2﹣c2+2bc
＝a2﹣（b2+c2﹣2bc）（分成两组）
＝a2﹣（b﹣c）2（直接运用公式）
＝（a+b﹣c）（a﹣b+c）
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