2023-2024学年北京大学附中八年级（下）期中数学试卷-（含答案）

这是一份2023-2024学年北京大学附中八年级（下）期中数学试卷-（含答案），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各组数中，能作为直角三角形三边长度的是( )
A. 1，2，3B. 2，3，4C. 4，5，6D. 6，8，10
2.如图，在▱ABCD中，AB=AC，∠CAB=40°，则∠D的度数是( )
A. 70°
B. 60°
C. 50°
D. 40°
3.下列计算正确的是( )
A. 2+ 3= 5B. 3 2− 2=3C. 2× 3= 6D. 10÷ 5=2
4.若正比例函数的图象经过点(−1,2)，则这个图象必经过点( )
A. (1,2)B. (−1,−2)C. (2,−1)D. (1,−2)
5.如图，为测量池塘边A、B两点的距离，小明在池塘的一侧选取一点O，测得OA、OB的中点分别是点D、E，且DE=14米，则A、B间的距离是( )
A. 18米B. 24米C. 28米D. 30米
6.若四边形ABCD是甲，则四边形ABCD一定是乙，甲、乙两空可以填( )
A. 平行四边形，矩形B. 矩形，菱形
C. 菱形，正方形D. 正方形，平行四边形
7.下列选项中，不能被边长为2的正方形及其内部所覆盖的图形是( )
A. 长度为2 2的线段B. 边长为2的等边三角形
C. 斜边为2的直角三角形D. 面积为4的菱形
8.如图，用一根长8cm的铁丝围成一个矩形，小北发现矩形的邻边a，b及面积S是三个变量，下面有三个说法：①b是a的函数；②S是a的函数；③a是S的函数.其中所有正确的结论的序号是( )
A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.函数y= x−3，自变量x的取值范围是 ．
10.比较大小：3 2 ______2 3(填“>”，“90°，点E为线段CD上一动点，有下列四个结论：
①在E点运动过程中，△ABE的面积始终是▱ABCD面积的一半；
②在线段CD上有且只有一点E，使得S△ADE=2S△BCE；
③若点E恰好是∠BAD的角平分线与∠ABC的角平分线的交点，则点E是CD的中点；
④若AB=2AD，则在CD上有且只有一点E，使得△ABE是直角三角形．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共9小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：
(1) 12− 27+3 13；
(2) 32÷ 2− 12⋅ 8+(3 2)2．
18.(本小题5分)
已知a= 5−1，求代数式a2+2a−5的值．
19.(本小题5分)
已知：如图，E、F是平行四边形ABCD对角线BD上的两点，且BE=DF.求证：AE=CF．
20.(本小题5分)
下面是小阳设计的作矩形的尺规作图过程．
已知：Rt△ABC，∠ABC=90°．
求作：矩形ABCD．
作法：
①以A为圆心，BC的长为半径画弧，再以C为圆心，AB的长为半径画弧，两弧交于点D；
②连接DA，DC．
所以四边形ABCD即为所求作的矩形．
根据小阳设计的尺规作图过程，
(1)使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；
(2)完成下面的证明．
证明：∵AD=BC，CD=AB，
∴四边形ABCD是______(______).
∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形(______).
21.(本小题5分)
如图，在正方形网格中，每个小正方形网格的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．
(1)判断△ACD的形状，并说明理由；
(2)求四边形ABCD的面积．
22.(本小题5分)
如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB，BC的中点，BF//DE，EF//DB．
(1)求证：四边形BDEF是菱形；
(2)连接DF交BC于点M，连接CD，若BE=4，AC=2 5，求DM，CD的长．
23.(本小题6分)
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如 a与 a， 2+1与 2−1．
在解形如 24−x− 8−x−2的方程时也可以采用类似的策略：由( 24−x− 8−x)( 24−x+ 8−x)=( 24−x)2−( 8−x)2=16，考虑到 24−x− 8−x−2，可得 24−x+ 8−x=8，故可得 24−x=5 8−x=3，将 24−x=5两边平方可解得x=−1，经检验x=−1是原方程的解．
请根据此方法，解下面的方程：
(1)方程 x+1=2的解是______；
(2)方程 x2+42+ x2+10=16的解是______；
(3)解方程 4x2+6x−5+ 4x2−2x−5=4x．
24.(本小题6分)
已知，四边形ABCD是正方形，E是BC边上一点，F在DE上，且BF=AB．
(1)如图1，若E是BC中点，连接AF．
①补全图形；
②直接的写出AF与DE的数量关系和位置关系．
(2)若F是DE的中点，求∠CDF的度数．
25.(本小题7分)
对于平面直角坐标系xOy中的点P和图形W，给出如下定义：若图形W上存在点M和点Q，使得PM=QM，且∠PMQ=90°，则称点P为图形W的“等直点”．
(1)如图1，点A的坐标为(1,1)，点B的坐标为(3,1)，
①在点P1(0,2)，P2(1,3)，P3(2,3)，P4(2,0)中，线段AB的“等直点”是______；
②若直线y=kx(k≠0)上存在线段AB的“等直点”，求k的取值范围；
(2)如图2，边长为2的正方形CDEF对角线交于O点，其各边与坐标轴平行，若直线y=kx上所有正方形CDEF的“等直点”组成的线段长度为a，则a的取值范围是______．
参考答案
1.D
2.A
3.C
4.D
5.C
6.D
7.D
8.A
9.x≥3
10.>
11.−1(答案不唯一)
12.(2, 3)
13.45
14.4
15.5
16.①②③
17.解：(1) 12− 27+3 13
=2 3−3 3+ 3
=0；
(2) 32÷ 2− 12⋅ 8+(3 2)2
= 16− 4+18
=4−2+18
=20．
18.解：
a2+2a−5=(a+1)2−6，
当a= 5−1时，a+1= 5，
∴a2+2a−5=( 5)2−6=−1．
19.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB/​/CD．
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，
AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，
∴△ABE≌△CDF(SAS)．
∴AE=CF．
20.平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；有一个内角为直角的平行四边形为矩形.
21.解：(1)△ACD为直角三角形，
理由：由题意得：AC2=32+32=18，
CD2=22+22=8，
AD2=12+52=26，
∴AC2+CD2=AD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴∠ACD=90°；
(2)在Rt△ABC中，AB=AC=3，∠ABC=90°，
∴SRt△ABC=12AB⋅BC=12×3×3=92；
在Rt△ACD中，AC=3 2，CD=2 2，
∴SRt△ACD=12AC⋅CD=12×3 2×2 2=6
∴S四边形ABCD=SRt△ABC+SRt△ACD=92+6=212，
∴四边形ABCD的面积为212．
22.(1)证明：如图1，连接AE，
∵BF//DE，EF//DB，
∴四边形BDEF是平行四边形，
∵AB=AC，E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
∵点D是AB的中点，
∴DE=12AB=BD，
∴四边形BDEF是菱形；
(2)解：如图2，
∵四边形BDEF是菱形，BE=4，
∴BE⊥DF，BM=ME=2，
∵D，E分别是AB，BC的中点，
∴DE=12AC= 5，
∴DM= DE2−ME2= 5−4=1，
又∵BE=CE=4，
∴MC=6，
∴CD= CM2+DM2= 62+12= 37．
23.（1）x=3
（2）x=± 39
24.解：(1)①连接AF，补全图形如图1所示：

②AF⊥DE，AF=45DE，理由如下：
设AD的中点为G，连接BG交AF于H，如图2所示：

∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD=DA，AD//BC，∠DAB=∠ABC=∠C=∠CDA=90°，
∵点E为BC的中点，点G为AD的中点，
∴AG=CE，
在△ABG和△CDE中，
AB=CD∠ABG=∠C=90°AG=CE，
∴△ABG≌△CDE(SAS)，
∴∠BGA=∠DEC，BG=DE，
∵AD//BC，
∴∠DEC=∠EDA，
∴∠BGA=∠EDA，
∴BG//DE，
∴GH为△ADF的中位线，
∴AH=FH，则AF=2AH，
∵BF=AB，
∴BH⊥AF，
∴AF⊥DE，
设AG=a，则AD=AB=2a，
在Rt△ABG中，由勾股定理得：BG= AB2+AG2= 5a，
∴S△ABG=12BG⋅AH=12AB⋅AG，
∴AH=AB⋅AGBG=2a×a 5a=2 5a5，
∴AF=2AH=4 5a5，
又∵DE=BG= 5a，
∴AF=45DE；
(2)过点F作FM/​/BC交AB于M，如图3所示：

∴∠AMF=∠ABC=90°，即FM⊥AB，
∵AD//BC，
∴四边形ABED为直角梯形，
又∵点F为DE的中点，
∴FM为直角梯形ABED的中位线，
∴AM=BM，
∴FM为AB的垂直平分线，
∴FA=BF，
∵BF=AB，
∴FA=BF=AB，
∴△FAB为等边三角形，
∴∠BAF=60°，
∴∠DAF=∠DAB−∠BAF=90°−60°=30°，
∵FA=AB=AD，
∴∠ADF=∠AFD=12(180°−∠DAF)=75°，
∴∠CDE=∠CDA−∠ADF=90°−75°=15°．
25.（1）①P2(1,3)，P4(2,0)
（2） 2 2≤a≤2 10