2020-2021学年北京大学附中八年级（下）期中数学试卷

2020-2021学年北京大学附中八年级（下）期中数学试卷

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）

A． B． C． D．

2．菱形的面积为12cm2，一条对角线是6cm，那么菱形的另一条对角线长为（　　）

A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm

3．△ABC中，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接DE．若∠C＝68°，则∠AED＝（　　）

A．22° B．68° C．96° D．112°

4．勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，这是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（　　）

A． B． C． D．

5．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（　　）

A．4 B．4 C．3 D．5

6．已知＝1﹣2a，那么a的取值范围是（　　）

A．a＞ B．a＜ C．a≥ D．a≤

7．在某时段有50辆车通过一个雷达测速点，工作人员将测得的车速绘制成如图所示的条形统计图，则这50辆车的车速的众数（单位：km/h）为（　　）

A．60 B．50 C．40 D．15

8．将一张平行四边形的纸片折一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积．则这样的折纸方法共有（　　）

A．1种 B．2种 C．4种 D．无数种

9．如图是某班甲、乙、丙三位同学最近5次数学成绩及其所在班级相应平均分的折线统计图，则下列判断错误的是（　　）

A．甲的数学成绩高于班级平均分，且成绩比较稳定 

B．乙的数学成绩在班级平均分附近波动，且比丙好 

C．丙的数学成绩低于班级平均分，但成绩逐次提高 

D．就甲、乙、丙三个人而言，乙的数学成绩最不稳

10．一只小猫在距墙面4米，距地面2米的架子上，紧紧盯住了斜靠墙的梯子中点处的一只老鼠，聪明的小猫准备在梯了下滑时，在与老鼠距离最小时捕食．如图所示，把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，猫所处位置为点D，梯子视为线段MN，老鼠抽象为点E，已知梯子长为4米，在梯子滑动过程中，猫与老鼠的距离DE的最小值为（　　）

A．2 B．2﹣2 C．2 D．4

二、填空题（每小题2分，共20分）

11．若根式有意义，则实数x的取值范围为　    　．

12．在实数范围内分解因式a2﹣6＝　                　．

13．命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是　                　．

14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若∠A＝26°，则∠BDC的度数为　    　．

15．当x＝　 　时，代数式+1取最小值为　 　．

16．已知平行四边形ABCD的一个内角平分线把一边分为3cm，5cm两部分，这个平行四边形的周长是　          　．

17．如果四边形ABCD中∠A、∠B、∠C、∠D的大小之比是2：3：2：3，那么四边形ABCD是平行四边形，判定的依据是　                　．

18．北大附中实验学校科技节的作品得分包括三部分，专家评委给出的专业得分，宣传展示得分以及通过同学们投票得到的支持得分．已知某个作品各项得分如表所示（各项得分均按百分制计）：按专业得分占50%、展示得分占40%、支持得分占10%，计算该作品的综合成绩（百分制），则该作品的最后得分是　      　．

19．如图所示，菱形ABCD，在边AB上有一动点E，过菱形对角线交点O作射线EO与CD边交于点F，线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，得到四边形EGFH，点E在运动过程中，有如下结论：

①可以得到无数个平行四边形EGFH；

②可以得到无数个矩形EGFH；

③可以得到无数个菱形EGFH；

④至少得到一个正方形EGFH．

所有正确结论的序号是　    　．

20．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，A、B、C、D均落在格点上．

（1）S△BDC：S△BAC＝　    　；

（2）点P为BD的中点，过点P作直线l∥BC，过点B作BM⊥l于点M，过点C作CN⊥l于点N，则矩形BCNM的面积为　    　．

三、解答题（第21-23题每题5分，第24、25题每题6分，第26题7分，第27、28题每题8分，共50分）

21．计算：（π﹣1）0++﹣2．

22．已知x＝﹣1，求代数式x2+2x﹣6的值．

23．下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程

已知：Rt△ABC中，∠ABC＝90°．

求作：矩形ABCD．

作法：如图，

①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；

②连接BO并延长，在延长线上截取OD＝OB

③连接AD，CD

所以四边形ABCD即为所求作的矩形

根据小东设计的尺规作图过程，

（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）

（2）完成下面的证明．

证明：∵OA＝　   　，OD＝OB，

∴四边形ABCD是平行四边形（　   　）（填推理的依据）．

∵∠ABC＝90°，

四边形ABCD是矩形（　   　）（填推理的依据）

24．在平行四边形ABCD中，DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线，交AB、CD于点E、F．求证：四边形BEDF是平行四边形．

25．我校小李同学对北大附中初中三个年级的学生年龄构成很感兴趣，整理数据并绘制如图所示不完整的统计图．依据信息解答下列问题．

（1）求样本容量；

（2）直接写出样本数据的众数、中位数和平均数；

（3）已知北大附中实验学校一共有1920名学生，请估计全校年龄在14岁及以上的学生大约有多少人．

26．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，延长BC至F点使CF＝BE，连接AF，DE，DF．

（1）求证：四边形AEFD是矩形；

（2）若AB＝6，DE＝8，BF＝10，求AE的长．

27．已知在菱形ABCD中，点P在CD上，连接AP．

（1）在BC上取点Q，使得∠PAQ＝∠B，

①如图1，当AP⊥CD于点P时，线段AP与AQ之间的数量关系是　      　．

②如图2，当AP与CD不垂直时，判断①中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明，若不成立，则需说明理由．

（2）在CD的延长线取点N，使得∠PAN＝∠B，

①根据描述在图3中补全图形．

②若AB＝4，∠B＝60°，∠ANC＝45°，求此时线段DN的长．

28．对于平面内的图形G1和图形G2，A为图形G1上一点，B为图形G2上一点，如果线段AB的长度有最小值，称图形G1和图形G2存在“最短距离”，此时线段AB的长度记为m（G1，G2）；如果线段AB的长度有最大值，称图形G1和图形G2存在“最长距离”，此时线段AB的长度记为M（G1，G2）．

例如：线段EF两端点坐标为E（1，3），F（3，1），线段KH两端点坐标为K（3，3），H（3，5），根据“最短距离”和“最长距离”的公式可得m（G1，G2）＝，M（G1，G2）＝4．

在平面直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，1），C（4，2），D（2，2）．

（1）线段AD和线段BC是否存在“最短距离”和“最长距离”？如果存在，请直接写出m（AD，BC）和M（AD，BC）；如果不存在，请说明理由．

（2）已知点P（0，t），若过点P且平行于AD的直线l与四边形ABCD没有公共点，且m（l，AD）、m（l，BC）、m（l，ABCD）三者中的最小值不超过最大值的，求t的取值范围．

（3）已知四边形QRST，其中Q（4，5），R（5，4），S（6，5），T（5，6）．现将四边形ABCD绕点O旋转，旋转后的图形记为A′B'C′D′，记m*表示m（A'B′C′D′，QRST）的最小值，M*表示M（A′B'C′D′，QRST）的最大值，直接写出M*+m*的值．

2020-2021学年北京大学附中八年级（下）期中数学试卷

参考答案

一、选择题（每小题3分，共30分）

1．A； 2．B； 3．B； 4．D； 5．B； 6．D； 7．C； 8．D； 9．D； 10．A；

二、填空题（每小题2分，共20分）

11．x≥8； 12．（a+）（a﹣）； 13．对角线互相平分的四边形是平行四边形； 14．52°； 15．2；1； 16．22cm或26cm； 17．两组对角分别相等的四边形是平行四边形； 18．96.8分； 19．①③④； 20．5：1；；

三、解答题（第21-23题每题5分，第24、25题每题6分，第26题7分，第27、28题每题8分，共50分）

21．　　　； 22．　　　； 23．OC；对角线互相平分的四边形是平行四边形；有一个角是直角的平行四边形是矩形； 24．　　　； 25．　　　； 26．　　　； 27．AP＝AQ； 28．　　　；